精品解析：浙江省台州市仙居县仙居外语学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

仙居外语学校高中部高一年级 数学月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 出卷人：范艳华） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 的虚部为 D. 的虚部为1 2. 在中， 角、、对边分别是、、， 若， 则（ ） A. 6 B. 7 C. D. 3. 对于非零向量，，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，满足：，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论正确的是（ ） A B. 若，则四点构成平行四边形 C. 若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量 D. 向量与可以作为平面内所有向量的一组基底 7. 已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（ ） A. B. C. D. 8. 在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. .等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若.则的模为7 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若且，则 D. 若非零向量，满足，则 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的面积是 D. 若，则外接圆半径 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，（i为虚数单位），则的值为_________． 13. 在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________. 14. 已知，，，则在方向上的投影向量是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15. 已知，为虚数单位，复数. （1）若，求m的值； （2）若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围. 16. 已知向量． （1）求向量与的夹角； （2）若，且，求m的值． 17. 在矩形中，点是边上的中点，点在边上. （1）若点是上靠近四等分点，设，求的值； （2）若，，当时，求的长. 18. 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B点到D点的距离BD； （2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间． 19. 在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直. （1）求角的大小； （2）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 仙居外语学校高中部高一年级 数学月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 出卷人：范艳华） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 的虚部为 D. 的虚部为1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的虚部与实部的定义求解. 【详解】复数的实部为，虚部为， 故选：B. 2. 在中， 角、、的对边分别是、、， 若， 则（ ） A. 6 B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得； 【详解】解：由余弦定理，即， 所以； 故选：B 3. 对于非零向量，，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反向量一定是共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】对于非零向量，，因为， 所以，则， 即“”能推出 ， 但当时，，显然 不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，满足：，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对两边平方化简求出的值，从而可求出的值 【详解】解：因为，，，， 所以，，得 ， 所以， 故选：D 5. 如图，在中，点是线段上靠近三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量对应线段的位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义，用表示即可. 【详解】由题图，. 故选：A 6. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则四点构成平行四边形 C. 若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量 D. 向量与可以作为平面内所有向量的一组基底 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算判断A，根据相等向量的概念判断BC，根据基底的概念判断D. 【详解】对于A，，A错误， 对于B，若，则A，B，C，D四点可以构成平行四边形或者A，B，C，D四点共线，B错误， 对于C，若平面向量与平面向量相等，则与长度相等且方向相同，但起点不一定相同，C错误， 对于D，由，得与不共线，可以作为平面内所有向量的一组基底，D正确， 故选：D． 7. 已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、、的方程组，消去即可得出结果. 【详解】、、三点共线， 设，即， 由于、不共线，则，消去可得. 因此，、、三点共线的充要条件为. 故选：D. 8. 在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. .等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化得，进而移项整理得，再结合得或，进而得答案. 【详解】解：根据正弦定理边角互化得， 所以， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或，即的形状是等腰或直角三角形. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若.则的模为7 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义运算判断BD． 【详解】对于A，设，由，则，故A错误； 对于B，由点的坐标为，则，， 所以复数对应的点为，对应的点在第三象限，故B正确； 对于C，由，则，故C错误； 对于D，设，由，则， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD. 10. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若且，则 D. 若非零向量，满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量共线的定义，投影向量的定义，向量的数量积的定义判断． 【详解】若，虽然有，，得不一定平行，A错； 根据投影向量的定义，若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为，B正确； 且，，不能得出，C错； 非零向量，夹角为，满足时，，，两向量同向，当然平行，D正确． 故选：BD． 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的面积是 D. 若，则外接圆半径是 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知比例关系易得，应用正弦边角关系判断A；由向量数量积的定义及三角形内角性质判断B；余弦定理求得，再由面积公式求面积判断C；利用正弦定理求外接圆半径判断D. 【详解】令，则，，可得， 所以，由正弦边角关系易知：，A对； 若，则，故，，则， 所以，C错； 由，结合C可得，B错； 由，则，而，故外接圆半径是，D对. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，（i为虚数单位），则的值为_________． 【答案】8 【解析】 【详解】由得，所以， 【考点】复数运算和复数的概念． 13. 在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由此求得. 【详解】由正弦定理得， 即， 由于， 所以或. 故答案为：或 14. 已知，，，则在方向上的投影向量是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设与方向相同单位向量为， 则在方向上的投影向量与共线，可用表示,由已知表示单位向量，并求出可得所求向量. 【详解】设与方向相同的单位向量为，则， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15. 已知，为虚数单位，复数. （1）若，求m的值； （2）若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）若，则虚部为0，可求m的值 （2）复数z对应的点在第三象限，则实部和虚部都为负，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得：或1， 经检验，均满足题意，故m的值为或 . 【小问2详解】 由题意得：， 得，解得：， 故m的取值范围是. 16. 已知向量． （1）求向量与的夹角； （2）若，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用向量坐标的夹角公式求解即可； （2）先求出，再解方程即得解. 【详解】解：（1）由，，则， 由题得，， 设向量与的夹角为，则， 由，所以. 即向量与的夹角为. （2）由，， 所以，又， 所以，又， 所以，解得. 17. 在矩形中，点是边上的中点，点在边上. （1）若点是上靠近的四等分点，设，求的值； （2）若，，当时，求的长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算可得，再根据平面向量基本定理即可得出结果； （2）设，取基底向量表示，再利用向量数量积即可计算作答. 【小问1详解】 ∵， ∵是边的中点，点是上靠近的四等分点， ∴， 在矩形中，，， ∴， 即，， 则. 【小问2详解】 设，则， ， ， 又， ∴， 解得， ∴的长为. 18. 某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B点到D点的距离BD； （2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间． 【答案】（1）50海里 （2）小时. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理解三角形计算即可； （2）利用余弦定理解三角形计算即可. 【小问1详解】 由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：即， 所以(海里)； 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以海里，所以需要的时间为(小时). 19. 在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直. （1）求角的大小； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量垂直关系的向量表示和数量积的坐标表示可得，结合余弦定理计算即可求解； （2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为互相垂直，所以. 将（为外接圆半径）代入上式， 得，即， 由余弦定理得，， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）得，即， 即，所以， 当且仅当时等号成立.所以， 故面积的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$