精品解析：吉林省四平市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期初验收考试数学试题

四平市第一高级中学2024—2025学年度下学期期初验收考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷 客观题 一、单选题（每题5分） 1. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 2. 若一组数据的方差为0.4，则另一组数据的方差为（ ） A. 1.6 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.1 3. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 4. 已知点是圆上动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 5. 当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为 A. B. C. D. 6. 以下说法： ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 ③线性回归方程必过 ④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高； ⑤在一个列联表中，由计算得值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。 其中错误的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 为迎接第届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排人，则学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，，左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是（ ） A. 2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少 B. 2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上 C. 2017年末我国农村贫困人口有3046万人 D. 2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平 10. 某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知点P是抛物线上一点，C的准线与x轴交于Q点，是以点P为圆心且过点Q的圆，则与C的交点个数不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题（每题5分） 12. 过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________． 13. 已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________． 14. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是_____. 四、解答题 15. 手机用户可通过某软件查看自己每天行走步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据： 积极型 懈怠型 男 20 30 女 10 40 （1）能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ （2）以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为，求随机变量的数学期望. 附：，其中. 0.050 0025 0.010 3.841 5.024 6.635 16. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 17. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1. （1）求证:BC⊥平面ACFE. （2）在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为θ，且满足cosθ=，若不存在，请说明理由;若存在，求出FM的长度. 18. 已知抛物线：，点为抛物线外一点（如图），过点作的两条切线，切点分别为，. （1）求证：直线的方程为； （2）若在直线上，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 19. 2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练. （1）若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率； （2）若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为，求的分布列及数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平市第一高级中学2024—2025学年度下学期期初验收考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共3页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第I卷 客观题 一、单选题（每题5分） 1. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行，斜率相等来求解即可. 【详解】由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 再由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 由两直线平行，斜率相等可知：，即， 再由直线过点可得，，即，检验符合， 所以， 故选：D. 2. 若一组数据的方差为0.4，则另一组数据的方差为（ ） A. 1.6 B. 0.8 C. 0.4 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均值与方差的计算公式，可得答案. 【详解】数据的平均数， 数据的方差 数据的平均数， 数据的方差 ， 所以数据的方差为. 故选：A. 3. 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得的系数． 【详解】在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大， 它的展开式共计有9项，， 故二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 4. 已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出线段中点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，根据在圆上，得到轨迹方程． 【详解】设线段中点，则． 在圆上运动， ，即． 故选：A． 【点睛】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题． 5. 当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得6−2m>0，即有m<3， 由c2=m2+8+6−2m=(m−1)2+13， 可得当m=1时，焦距2c取得最小值， 双曲线的方程为， 即有渐近线方程为 . 故选：B. 【点睛】双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，应注意其区别与联系. 6. 以下说法： ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 ③线性回归方程必过 ④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高； ⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。 其中错误的个数是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本概念和基本性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想. 7. 为迎接第届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目志愿者，每个比赛项目至少安排人，则学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出将名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排人的排法种数，以及学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者，且每个比赛项目至少安排人的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】先考虑全部的情况，即将名学生分为三组，每组的人数分别为、、或、、， 所有将名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排人， 不同的排法种数为种； 接下来考虑学生甲被安排到冰球比赛项且做志愿者，则做冰球志愿者的人数可为或或， 若做冰球志愿者的人数为且为甲，共有种； 若做冰球志愿者的人数为且包含甲，共有种； 若做冰球志愿者的人数为且包含甲，共有种. 因此，所求概率为. 故选：A. 8. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，，左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得的方程，设出点坐标，代入的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案. 【详解】解：依题意，作图如下 ，，，， 直线的方程为：，整理得：， 设直线上的点，则， ，， ， 令， 则， 由得：，于是， ， 整理得：，又，， ， ，又椭圆的离心率， ， 椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于中档题. 二、多选题（每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是（ ） A. 2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少 B. 2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上 C. 2017年末我国农村贫困人口有3046万人 D. 2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据折线统计图逐一判断可得选项. 【详解】解：由题可知，2013—2020年我国农村每年减贫人数均大于0，因此贫困人口逐年减少，故选项A正确； 2013—2019年我国农村每年减贫人数的平均值为(万人)，又，故选项B正确； 2017年末我国农村贫困人口为(万人)，故选项C正确； 由于2013—2019年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据古典概型，对立事件，条件概率计算公式逐一计算每个选项进行判断. 【详解】由题意可得，，故A错误， ，故B错误， ，， ，故C正确， ，故D正确． 故选：CD 11. 已知点P是抛物线上一点，C的准线与x轴交于Q点，是以点P为圆心且过点Q的圆，则与C的交点个数不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意知与抛物线必有两个交点，取抛物线上高于点N或低于点M的点，证明该点到点P的距离大于PN，即证明了不存在其他点到点P的距离等于的半径即可. 【详解】 如图，与抛物线交于M、N两点且将抛物线分成圆内和圆外共三部分： 显然圆内部分每一点到圆心距离均小于，故圆内部分不存在满足条件的点； 设点坐标为，，，为抛物线上高于点的点且，则有 因为且， 所以，即在抛物线上高于N点的部分不存在到P点的距离等于的点； 同理，圆外部分且在点M下方的抛物线上亦不存在到P点的距离等于的点； 即与抛物线的交点只有两个. 故选:ACD 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题（每题5分） 12. 过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________． 【答案】8x－y－24＝0 【解析】 【分析】 设出与两点的坐标，因为为线段的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把的坐标代入直线，把的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出的坐标，然后由和的坐标，利用两点式即可写出直线的方程. 【详解】设直线夹在直线之间的线段是(在上，在上)， 的坐标分别是. 因为被点平分，所以 ， 于是. 由于在上，在上，所以， 解得，即的坐标是. 直线的方程是， 即 . 所以直线的方程是. 【点睛】解题关键在于，利用中点坐标公式列出两点坐标的两个关系式，然后，列出相应方程组求解，主要考查学生的运算能力，属于基础题 13. 已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为关于的方程在区间内有两个不等的实根，于是画出曲线与直线的图象，结合图象求解即可 【详解】因为函数有2个不同的零点， 所以关于的方程在区间内有两个不等的实根， 即曲线（圆的上半部分）与经过定点的直线有两个不同的交点，如图 过作圆的切线，则点到切线的距离， 解得（舍去）或， 所以，得， 即k的取值范围是， 故答案为： 14. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，利用全概率公式求得，再构造等比数列即可得答案. 【详解】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 设，则， 则， 于是，， 由，得，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以第次投篮的人是甲的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：把投篮是甲的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用全概率公式列式是求解问题的关键. 四、解答题 15. 手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据： 积极型 懈怠型 男 20 30 女 10 40 （1）能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ （2）以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为，求随机变量的数学期望. 附：，其中. 0.050 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）有； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对即可得解. （2）求出从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率，再求出的可能值，利用二项分布的期望公式计算得解. 【小问1详解】 列联表如下： 积极型 懈怠型 合计 男 20 30 50 女 10 40 50 合计 30 70 100 则的观测值为， 所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 【小问2详解】 由表格中的数据知，从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率为， 随机变量的可能值为，， 所以随机变量的数学期望. 16. 已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. （1）求E的方程； （2）已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. 【小问2详解】 设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 17. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1. （1）求证:BC⊥平面ACFE. （2）在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为θ，且满足cosθ=，若不存在，请说明理由;若存在，求出FM的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）将底面梯形单独分析得到，再根据面面垂直的性质定理即可证明； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算出相关法向量，利用二面角公式得到方程，解出的长度. 【小问1详解】 证明:如图所示的等腰梯形中,经过点,分别作,,垂足为,,则为矩形,.在中,,则, 同理可得. 在中, , 又平面平面,平面平面平面,平面. 【小问2详解】 如图所示,建立空间直角坐标系. 设, , 设平面的法向量, 则，令， 则，取平面的法向量， 由题意假设:,. 解得. 因此在线段上存在点,使得平面与平面所成锐二面角的平面角为,且满足，. 18. 已知抛物线：，点为抛物线外一点（如图），过点作的两条切线，切点分别为，. （1）求证：直线的方程为； （2）若在直线上，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用导数几何意义分别求出在，两点处的切线方程，再分别代入点即可发现A，B两点都在直线上，进而得到直线的方程； （2）由（1）得直线的方程，与抛物线联立，求出线段的中点为，再根据圆的性质所得建立方程进行研究即可. 【小问1详解】 设，，由得， 所以在处的切线方程为， 同理在处的切线方程为， 两条切线都过，所以，， 显然A，B两点都在直线上， 所以直线的方程为； 【小问2详解】 若在直线上，则直线的方程为， 即直线过定点，不妨设直线方程， 由，可得，， 于是，， 设为线段的中点，则， 由于，而，与向量平行， ∴，解得或， 当时，，所求圆的方程为； 当时，，所求圆的方程为. 19. 2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练. （1）若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率； （2）若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设第一次训练的是“排球对墙垫球”的概率为，第一次训练的不是“排球对墙垫球”的概率为，则所求概率为； （2）由题可得的所有可能取值为1，2. 说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次，说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，据此可得分布列及期望. 【小问1详解】 第一次训练的是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为， 第一次训练的不是“排球对墙垫球”，且第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为， 所以第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率为. 【小问2详解】 由题意知“1000米跑”最多训练2次，所以的所有可能取值为1，2. ①说明后4次训练中除“1000米跑”外的3项中有1项训练了2次，余下的2项都各训练一次， 从除“1000米跑”外的3项中选一项训练2次有种方法，不妨设训练了2次“排球对墙垫球”，可分为以下两类： 第一类，第二次训练的是“排球对墙垫球”，则第四次或第五次也训练了“排球对墙垫球”，有种方法； 第二类，第三次训练的是“排球对墙垫球”，则第五次也训练了“排球对墙垫球”，有种方法，因此共有种方法. ②说明“1000米跑”训练了2次，第三次或第四次或第五次也训练了“1000米跑”，故有种方法. 所以， . 所以的分布列为： 1 2 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $