阶段质量检测(4)（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

阶段质量检测(四) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知复数z＝(1－i)(3＋4i)(i是虚数单位)，则＝(　　) A．－1＋i B．7＋i C．－1－i D．7－i D　解析：z＝(1－i)(3＋4i)＝7＋i，则＝7－i. 2．(2024·陕西高一期中)在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则＝(　　) A．＋i B．－i C．7＋4i D．7－4i A　解析：因为点Z的坐标为(1，2)，所以复数z＝1＋2i， 则＝＝＝＝＝＋i. 3．(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i C　解析：方法一　因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i， 所以z＝＝＝1－i，故选C. 方法二　因为＝1＋i，所以＝，即1－＝＝－i，即＝＋i＝，所以z＝＝1－i，故选C. 4．(2024·河南洛阳高一期中)已知i为虚数单位，若＝1＋i，则实数a的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 D　解析：＝＝＝1＋i， 所以可得a＝3. 5．若z是方程x2＋x＋1＝0的一个虚数根，则z2－＝(　　) A．0 B．－1 C．i D．－1或i A　解析：方程x2＋x＋1＝0化为(x＋)2＝－，依题意，z＝－＋i或z＝－－i， 6．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)对应复平面内的点在第二象限，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，0) C．(－1，4) D．(－∞，－1) D　解析：z＝＝ ＝＝－i， 因为复数对应复平面内的点在第二象限， 所以解得m<－1. 7．在复数范围内，z1，z2是方程z3＋z2＋z＋1＝0的两个不同的复数根，则|z1－z2|的值为(　　) A．1 B． C．2 D．或2 D　解析：由z3＋z2＋z＋1＝0，得z2(z＋1)＋z＋1＝(z2＋1)·(z＋1)＝0. 因为i2＝－1，所以z＝±i或－1， 当z1＝±i，z2＝－1或z2＝±i，z1＝－1时，|z1－z2|＝； 当z1＝i，z2＝－i或z2＝i，z1＝－i时，|z1－z2|＝2. 8．(2024·广东佛山高一统考期中)复数z满足|z|＝1，则|z－3＋4i|(i为虚数单位)的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．5 B　解析：设复数z在复平面内对应的点为Z，由|z|＝1知，点Z的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，|z－3＋4i|表示圆上的点到点C(3，－4)的距离， 如图，最小值为|BC|＝|OC|－1＝5－1＝4. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有(　　) A．若z∈R，则z＝ B．若z2∈R，则z∈R C．若(1＋i)z＝1－i，则|z|＝1 D．若z2＋1＝0，则z＝i AC　解析：对于A选项，若z∈R，则z＝，A正确； 对于B选项，若z2∈R，不妨取z＝i，则z2＝－1∈R，但z∉R，B错误； 对于C选项，若(1＋i)z＝1－i，则z＝＝＝－i，故|z|＝1，C正确； 对于D选项，若z2＋1＝0，则z2＝－1，解得z＝±i，D错误． 10．已知复数z在复平面内对应的点为(1，－1)，则下列说法正确的是(　　) A．复数z的共轭复数是＝1＋i B．|z|＝ C．复数z的虚部为－1 D．复数i(z＋i)对应的点在实轴上 ABC　解析：根据复数的几何意义可知，z＝1－i，所以＝1＋i，|z|＝＝， 复数z的虚部为－1，故ABC正确； 复数i(z＋i)＝i(1－i＋i)＝i，对应的点为(0，1)，在虚轴上，故D错误． 11．(2024·陕西宝鸡高一统考)已知复数范围内关于x的方程x2－x＋3＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是(　　) A．x1·x2＝－3 B．x1＋x2＝－1 C．x1与x2互为共轭复数 D．|x1－x2|＝ CD　解析：因为x2－x＋3＝0，即(x－)2＝－，解得x＝±i， 不妨令x1＝－i，x2＝＋i. 对于选项A：x1x2＝(－i)(＋i)＝＋＝3，故A错误； 对于选项B：x1＋x2＝(－i)＋(＋i)＝1，故B错误； 对于选项C：x1与x2互为共轭复数，故C正确； 对于选项D：|x1－x2|＝|(－i)－(＋i)|＝|－i|＝，故D正确． 故选CD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知复数z满足＝(1＋2i)2，则复数z在复平面内所对应的点的坐标为________． 答案：(－4，－3)　解析：＝(1＋2i)2，则z＝(1＋2i)2×i＝(1＋4i－4)×i＝－4－3i， 则复数z在复平面内所对应的点的坐标为(－4，－3). 13．(2024·山西大同高一统考)已知复数z满足z＋＝2，则|z|＝________． 答案：　解析：因为z＋＝2，整理得(z－1)2＝－1，解得z＝1±i， 所以|z|＝＝. 14．复平面上两个点Z1，Z2分别对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：①z2＝z1·2i；②两点Z1，Z2连线的中点对应的复数为3＋4i.若O为坐标原点，则△Z1OZ2的面积为________． 答案：20　解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝z1·2i＝(a＋bi)·2i＝－2b＋2ai. 所以点Z1，Z2的坐标分别为Z1(a，b)，Z2(－2b，2a)， 又两点Z1，Z2连线的中点对应的复数为3＋4i， ∴解得 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)(2024·陕西榆林高一期中)已知复数z＝(m2＋5m－6)＋(m－1)i，m∈R. (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围． 解：(1)z＝(m2＋5m－6)＋(m－1)i是纯虚数， 故解得m＝－6. (2)因为z在复平面内对应的点在第三象限， 所以解得－6<m<1， 故m的取值范围为(－6，1). 16．(15分)已知复数z1满足：|z1|＝1＋3i－z1. (1)求z1； (2)若复数z2的虚部为2，且是实数，求． 解：(1)设z1＝x＋yi(x，y∈R)， 则＝1＋3i－(x＋yi)＝(1－x)＋(3－y)i， 故解得∴z1＝－4＋3i. (2)令z2＝a＋2i，a∈R，由(1)知，z1＝－4＋3i， 则＝＝＝－i， ∵是实数，∴3a＋8＝0，即a＝－， ∴z2＝－＋2i，则＝－－2i. 17．(15分)已知复数z1＝1＋3i，z2＝2＋2i，i为虚数单位． (1)求|z1－z2|； (2)若z＝，求z的共轭复数． 解：(1)∵z1＝1＋3i，z2＝2＋2i， ∴z1－z2＝(1＋3i)－(2＋2i)＝－1＋i， ∴|z1－z2|＝. (2)由z＝＝＝＝＝＝1＋i， 所以复数z的共轭复数＝1－i. 18．(17分)已知复数z＝＋(2＋i)2，i为虚数单位． (1)求|z|和； (2)若复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根(其中m，n∈R)，求m＋n的值． 解：(1)∵z＝＋(2＋i)2＝＋4＋4i－1＝＋3＋4i＝2＋i， ∴|z|＝＝，＝2－i. (2)∵复数z是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根， ∴(2＋i)2＋m(2＋i)＋n＝0， ∴3＋4i＋2m＋mi＋n＝0，∴(3＋2m＋n)＋(m＋4)i＝0， ∴解得∴m＋n＝1. 19．(17分)(2024·河南焦作高一期中)已知a∈R，复数z1＝a－1＋i，z2＝1－i，z3＝－1在复平面上对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点． (1)求|z1＋z2|的取值范围； (2)当A，B，C三点共线时，求△AOB的面积． 解：(1)因为z1＝a－1＋i，z2＝1－i， 所以z1＋z2＝a－i，|z1＋z2|2＝a2＋≥2＝4， 当且仅当a＝±时取得等号， 所以|z1＋z2|∈[2，＋∞). (2)因为＝(－a，－1)，＝(－2，)， 当A，B，C三点共线时，有∥， 即(－1)×(－2)＝(－a)×，解得a＝－4， 此时＝(－5，1)，＝(1，－)，cos 〈，〉＝＝－， 所以sin 〈，〉＝＝， 所以S△AOB＝||·||·sin〈，〉＝×××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$