阶段质量检测(3)（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

阶段质量检测(三) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．sin cos ＝(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意得，sin cos ＝sin (－)·cos ＝cos2＝＝＝. 2．tan 45°－tan 15°－tan 45°tan 15°＝(　　) A． B．－2 C．－ D． D　解析：因为＝tan (45°－15°)，所以tan 45°－tan 15°＝(1＋tan 45°tan 15°)， 故tan 45°－tan 15°－tan 45°tan 15°＝(1＋tan 45°tan 15°)－tan 45°tan 15°＝， 故选D. 3．已知tan α＝－7，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　解析：因为tan α＝－7，所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－， 故＝＝－. 4．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝(　　) A． B． C．或 D．或 B　解析：因为锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，所以cos α＝＝，sinβ＝＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝， 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状是(　　) A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 B　解析：由c2＝a2＋b2－ab，得a2＋b2－c2＝ab， 而cos C＝＝＝，又0°<C<180°，所以C＝60°. ＝，由正弦定理得＝， 即＝，得sin ＝sin ， 所以＝或＝180°－，得A＝B或A＋B＝360°(舍去)， 所以A＝B，即△ABC为等边三角形． 6．已知sin α＝，cos (α＋β)＝，α，β均为锐角，则cos ＝(　　) A．－ B． C． D．－ B　解析：因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π， 又因为sin α＝，所以cos α＝＝， 因为cos(α＋β)＝，所以sin (α＋β)＝＝， 所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝， 又因为0<<，所以cos ＝＝＝. 7．请运用所学三角恒等变换公式，化简计算tan 10°＋2sin 10°，该式子正确的值为(　　) A． B． C．2 D．1 A　解析：tan 10°＋2sin 10°＝＋2sin 10°＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝. 8．如图，△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上且满足CP＝CA，则△PAB面积的最大值为(　　) A．2－1 B．4 C．2 D．2＋ D　解析：设∠PAC＝α(0<α<)，则在△PAC中，由正弦定理得＝，则PA＝4cos α， 所以S△PAB＝PA·AB sin (α＋)＝×4cos α×2sin (α＋)＝4cos αsin (α＋) ＝sin 2α＋cos 2α＋＝2sin (2α＋)＋， 故当2α＋＝，即α＝时，S△PAB取得最大值为2＋，故选D. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若函数f(x)＝sin x cos x－cos2x＋，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为 B．函数f(x)在区间[－，]上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称 D．函数f(x)的图象关于点(，0)对称 BCD　解析：f(x)＝sinx cos x－cos2x＋＝sin2x－cos 2x＝sin (2x－). 所以f(x)的最小正周期T＝＝π，A错误； 当x∈[－，]时，2x－∈[－，]，故f(x)在[－，]上单调递增，B正确； 由f(－)＝sin (－－)＝－1，得直线x＝－是f(x)图象的一条对称轴，C正确； 由f()＝sin (－)＝0，得(，0)是f(x)图象的一个对称点，D正确． 10．已知0<β<α<，且sin (α－β)＝，tan α＝5tan β，则(　　) A．sin αcos β＝ B．sin βcos α＝ C．sin 2αsin 2β＝ D．α＋β＝ ABD　解析：由sin (α－β)＝，得sin αcos β－sin βcos α＝， 由tan α＝5tan β，得＝，即sin αcos β＝5sin βcos α， 以上两式联立解得所以A，B正确； 对于C，sin 2αsin 2β＝2sin αcos α×2sin βcos β＝4××＝，C错误； 对于D，sin (α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝， 所以α＋β＝＋2kπ(k∈Z)或者α＋β＝＋2kπ(k∈Z)， 又因为0<β<α<，所以α＋β∈(0，)，所以α＋β＝，D正确，故选ABD. 11．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．可用公式S＝(其中a，b，c，S为三角形的三边和面积)表示．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b＝2，且＝，则下列命题正确的是(　　) A．△ABC面积的最大值是2 B．c＝a C．b＝c D．△ABC面积的最大值是 BD　解析：由＝，得sin C－cos B sin C＝sin B cos C， 即sin C＝(sin B cos C＋cos B sin C)＝sin (B＋C)， 即sin C＝sin A，结合正弦定理得c＝a，B正确； 由S＝得S＝ ＝＝ ＝， 当a2＝4，即a＝2时，△ABC的面积取到最大值＝，A错误，D正确； 对于C，假设b＝c，由于b＝2，c＝a，故c＝，a＝， 则c2a2－()2＝×－2＝－<0， 这与三角形面积S＝的意义不相符，C错误，故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．化简计算：sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝________． 答案：－1　解析：sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝－sin 20°cos 70°－cos 20°sin 70°＝－sin (20°＋70°)＝－sin 90°＝－1. 13．若cos (－α)＝，则cos (＋2α)的值为________． 答案：　解析：由题意得cos (＋2α)＝cos [π－2(－α)]＝－cos 2(－α) ＝1－2cos2(－α)＝1－2×()2＝. 14．已知函数f(x)＝2cos2x－2sinx cos x＋1，则该函数的最小正周期是________；当x∈[－，]时，关于x的方程f(x)＋a＝0仅有一个实数根，则实数a的取值范围为________． 答案：π　{a|－2－<a≤－1或a＝－4}　 解析：f(x)＝2cos2x－2sinx cos x＋1＝cos 2x－sin 2x＋2＝2cos (2x＋)＋2， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. 当x∈[－，]时，2x＋∈[－，]. 因为y＝cos x在x∈[－，0]上为单调递增函数， 在[0，]上为单调递减函数， 故y＝cos (2x＋)在[－，－]上为单调递增函数，在[－，]上为单调递减函数， 而cos (－2×＋)＝，cos (－2×＋)＝1，cos (2×＋)＝－， 要使得f(x)＋a＝0仅有一个实数根， 即cos (2x＋)＝在x∈[－，]上只有一个实数根， 即－≤<或＝1，解得－2－<a≤－1或a＝－4. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知tan α＝－. (1)求tan (＋α)的值； (2)求的值． 解：(1)tan (＋α)＝＝＝＝. (2)＝ ＝ ＝＝＝－. 16．(15分)已知＝－4. (1)求tan α的值； (2)若0<β<π，且tan (α－β)＝，求β. 解：(1) ＝＝ ＝＝－4， 解得tan α＝－. (2)由两角差的正切公式得tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝－1. ∵0<β<π，∴β＝. 17．(15分)已知向量a＝(sin x，sin x＋cos x)，b＝(cos x，cos x－sin x)，f(x)＝a·b＋. (1)求函数f(x)的解析式及其单调递减区间； (2)若函数y＝f(x)－k在区间[－，]上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 解：(1)f(x)＝a·b＋＝sin x cos x＋cos2x－2sin2x＋ ＝sin2x＋cos 2x＝sin (2x＋)， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 即函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z). (2)当x∈[－，]时，令t＝2x＋∈[－，]， 则函数g(t)＝sin t在[－，－]上单调递减，在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减， 且g(－)＝－，g(－)＝－，g()＝，g()＝. 函数y＝f(x)－k在区间[－，]上有且仅有两个零点， 等价于函数y＝k与函数y＝g(t)的图象在[－，]上有两个交点，如图， 所以－<k≤－，或≤k<， 即k的取值范围是(－，－]∪[，). 18．(17分)如图，扇形钢板POQ的半径为1 m，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ. (1)设∠AOB＝θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S(θ)，并指出θ的取值范围； (2)求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大．解：(1)利用正弦函数可得OA＝cos θ，AB＝sin θ，OC＝cos (60°－θ)，BC＝sin (60°－θ)，所以S(θ)＝ sin θcos θ＋sin (60°－θ)cos (60°－θ) ＝sin 2θ＋sin (120°－2θ)＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ ＝sin (2θ＋30°)(0°<θ<60°). (2)因为0°<θ<60°，所以30°<2θ＋30°<150°， 当2θ＋30°＝90°，即θ＝30°时，四边形钢板ABCO的面积最大． 19．(17分)(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，∴C＝. ∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝， 又0<B<π，∴B＝. (2)由(1)得A＝π－B－C＝， 由正弦定理＝，得＝，∴a＝c. ∴△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋， 得c＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$