课时梯级训练(22) 利用数量积计算长度与角度（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(22)　利用数量积计算长度与角度 1．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且|a－2b|＝|a＋4b|，则a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． C　解析：由已知|a－2b|＝|a＋4b|可得a2－4a·b＋4b2＝a2＋8a·b＋16b2，即a·b＋b2＝0， 又因为|a|＝2|b|，所以cos 〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，所以a，b的夹角为. 2．(2024·北京昌平高一统考期末)已知向量a，b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则|a＋b|＝(　　) A．　　　　　　　B．2 C．　　　　　　　D．4 B　解析：由图知a＝(1，2)，b＝(－3，－2)，所以a＋b＝(－2，0)，所以|a＋b|＝＝2. 3．已知△ABC中，(＋)·＝0，|＋|＝，则此三角形为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 B　解析：如图所示， 设M为AC的中点，连接BM，则(＋)·＝2·＝0， 所以⊥，即△ABC为等腰三角形， 又|＋|＝， 所以|＋|2＝3， 即()2＋()2＋2·＝2＋2cos 〈，〉＝3， 所以cos 〈，〉＝，可得A＝60°，综上可知三角形为等边三角形． 4．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，而c·a＝t＋1，c·b＝t－1，则对于任意的实数t，|a－b＋c|的最小值是(　　) A．4 B．2 C．2 D．4 C　解析：∵a，b是两个互相垂直的单位向量，∴可令a＝(1，0)，b＝(0，1)， 设c＝(x，y)，则 ∴|c|＝＝＝≥(当且仅当t＝0时取等号)， ∴|a－b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2－2a·b＋2a·c－2b·c＝|c|2＋6≥2＋6＝8， ∴|a－b＋c|min＝2. 5．(多选)如图，在边长为1的正方形ABCD中，(　　) A．·＝1 B．·＝1 C．|＋|＝2 D．|＋|＝2 BC　解析：因为正方形ABCD的边长为1， 对于A选项，·＝－2＝－1，A错误； 对于B选项，·＝·(＋)＝2＋·＝1，B正确； 对于C选项，＋＝(＋)＋(－)＝2， 所以|＋|＝|2|＝2，C正确； 对于D选项，＋＝＋＋＝2＋， 6．如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝3AB，点P满足＝(＋)，则sin ∠DPA的值为________． 答案：　解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设BC＝3AB＝3， 则点A(0，0)，B(1，0)，C(1，3)，D(0，3)， ＝(＋)＝(1，0)＋(1，3)＝(1，)， 则P(1，)， ∴＝(－1，)，＝(－1，－)， 因此，||＝＝，||＝，·＝－1×(－1)＋×(－)＝1－＝－. cos ∠DPA＝＝＝－，所以sin ∠DPA＝. 7．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________． 答案：[0，1]　解析：因为b·(a－b)＝a·b－b2＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉－|b|2＝0， 即|b|·cos 〈a，b〉－|b|2＝0，所以|b|＝0或cos 〈a，b〉－|b|＝0， 即|b|＝0或|b|＝cos 〈a，b〉，由于〈a，b〉∈[0，π]，且|b|是非负数，所以|b|∈[0，1]. 8．(2024·辽宁葫芦岛高一统考期末)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(2a＋b)·(2a－b)＝3. (1)求|b|； (2)当a·b＝－时，求|2a＋b|和向量b与2a＋b的夹角θ的值． 解：(1)由已知得4|a|2－|b|2＝3，即4×12－|b|2＝3，∴|b|＝1. (2)|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝4－2＋1＝3， ∴|2a＋b|＝， b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2×(－)＋12＝0， cos θ＝＝0， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 9．(2024·江苏淮安高一统考期中)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝，点M在线段AC上． (1)若＝，求·； (2)求|＋|的取值范围． 解：(1)以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ). 若＝，则M(，)，所以＝(，－)，＝(，)， 所以·＝. (2)由(1)知，＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ). 则＋＝(2－2λ，2－4λ)， 所以|＋|＝＝，0≤λ≤1. 当λ＝0时，|＋|取得最大值2， 当λ＝时，|＋|取得最小值， 所以|＋|的取值范围为[，2]. 10．(2024·江苏盐城高一统考期末)在△ABC中，||＝||＝2，∠A＝120°，点M满足＝λ＋μ，λ＋2μ＝1，则||的最小值为(　　) A． B． C．2 D．1 A　解析：∵·＝||·||cos A＝－2， ∴||2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ·＝4λ2＋4μ2－4λμ＝4(1－2μ)2＋4μ2－4(1－2μ)μ＝28μ2－20μ＋4， 则当μ＝＝时，||＝＝， ∴||min＝. 11．已知菱形ABCD中，AC＝2，BD＝4，且＝2，则∠DEC的余弦值为(　　) A． B． C． D． D　解析：在菱形ABCD中，设BD，AC交于点O，分别以BD，AC为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 由AC＝2，BD＝4，则A(0，1)，B(－2，0)，C(0，－1)，D(2，0)， 由＝2，则点B为AE的中点， 所以E(－4，－1)， 则＝(6，1)，＝(4，0)， 所以cos ∠DEC＝＝＝＝. 12．设点P是△ABC的中线AM上一个动点，·(＋)的最小值是－，则中线AM的长是________． 答案：3　解析：如图，设PM＝x，AM＝m，则PA＝m－x. 因为M为BC边中点，所以＝(＋)，即＋＝2. 于是·(＋)＝·2＝－2x(m－x)＝2x2－2mx＝2(x－)2－. 当x＝，即点P是中线AM的中点时，·(＋)取得最小值－， 即－＝－，因此m＝3. 设A1(0，0)，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A2(x，0)，A3(x，)，A4(－，)，A5(－，－)， ∵＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立， ∴|A1A5|≥. 14．如图所示，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F，G分别是AD，BC的三等分点(AF＝AD，BG＝BC)，设＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)如果|a|＝|b|＝2且∠BAD＝60°，求∠FEG的余弦值． 解：(1)＝－＝－＝b－a， ＝＋＝＋＝＋ ＝a＋b. (2)||＝＝ ＝ ＝ ＝＝， ＝＝＝， cos ∠FEG＝ ＝＝ ＝＝＝－＝－. 15．如图，斜坐标系xOy中，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且e1，e2的夹角为120°，定义向量＝xe1＋ye2在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(x，y)，在斜坐标系xOy中完成下列问题： (1)若向量的坐标为(2，3)，计算||的大小； (2)若向量的坐标为(x1，y1)，向量的坐标为(x2，y2)，判断下列两个命题的真假，并说明理由． 命题①：若∥，则x1y2－x2y1＝0； 命题②：若⊥，则x1x2＋y1y2＝0. 解：(1)由题知＝(2，3)＝2e1＋3e2，|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|cos 120°＝－， (2)由题知＝x1e1＋y1e2，＝x2e1＋y2e2， 命题①是真命题，理由如下： 当＝x2e1＋y2e2＝0时，即x2＝y2＝0，显然x1y2－x2y1＝0. 当＝x2e1＋y2e2≠0时，即x2，y2至少一个不为0，不妨设y2≠0， 若∥，则存在λ∈R，使得＝λ，故x1e1＋y1e2＝λ(x2e1＋y2e2)， 即(x1－λx2)e1＋(y1－λy2)e2＝0，因为e1，e2不共线，所以 由λ＝，代入x1－λx2＝0得x1－x2＝0，即x1y2－x2y1＝0. 综上所述，命题“若∥，则x1y2－x2y1＝0”是真命题． 命题②是假命题，理由如下： 若⊥，则·＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)＝x1x2e＋(x1y2＋x2y1)e1·e2＋y1y2e＝x1x2＋y1y2－(x1y2＋x2y1)＝0. 当x1y2＋x2y1≠0时，结论x1x2＋y1y2＝0不成立， 所以命题“若⊥，则x1x2＋y1y2＝0”是假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$