课时梯级训练(17) 从速度的倍数到向量的数乘（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(17)　从速度的倍数到向量的数乘 1．已知a，b，c均为非零向量，且a＝2b，b＝－3c，则(　　) A．a与c垂直 B．b与c同向 C．a与c反向 D．a与b反向 C　解析：因为a＝2b，b＝－3c，所以a与b同向，b与c反向，所以a与c反向． 2．在△ABC中，D为边BC的中点，记＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a－b C．a＋b D．a－b C　解析：由题意可知＝＝(－)＝(a－b)，＝＋＝b＋(a－b)＝(a＋b). 3．已知a与b为非零向量，＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ＋μ＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　解析：由题意知，A，B，C三点共线，故＝a－2b，＝(λ－2)a＋(μ＋1)b， 且，共线，故不妨设＝k(k≠0)，则 所以λ－2＝，解得2λ＋μ＝3.故选D. 4．下列说法中正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| D　解析：对于A，当λ＝0时，λa＝0，由于零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B，当a＝0，b≠0时，此时a，b共线，但不能得到b＝λa，故B错误； 对于C，|b|＝2|a|，a，b的方向不确定，故不能得到b＝±2a，故C错误； 对于D，若b＝±2a，则|b|＝2|a|，故D正确，故选D. 5．(多选)(2024·辽宁丹东高一期末)在△ABC中，点D在AB边上，＝2，E是CD的中点，则(　　) A．＝－ B．＝＋ C．＝＋ D．＝2－3 BCD　解析：如图，对于选项A，由向量减法法则可知＝－，故A错误； 对于选项B，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故B正确； 对于选项C，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋， 而＝－，所以＝＋＝＋(－)＝＋，故C正确； 对于选项D，＝－＝－3＝－3(－)＝2－3，故D正确． 6．若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________． 答案：等腰梯形　解析：因为＝3a，＝－5a，所以＝－，所以∥，即AB∥CD.又因为||＝||，所以AD＝BC，所以四边形ABCD的形状是等腰梯形． 7．若＝3－2，则＝________． 答案：　解析：由＝3－2可得－＝2(－)，即＝2＝2(－)， 可得3＝2，则＝. 8．已知向量a，b不共线，且＝2a－b，＝3a＋b，＝a＋λb(λ∈R). (1)将用a，b表示； (2)若∥，求λ的值． 解：(1)因为＝2a－b，＝3a＋b，所以＝－＝3a＋b－(2a－b)＝a＋2b. (2)因为∥，＝2a－b，＝a＋λb， 所以可设＝t(t∈R)，则2a－b＝t(a＋λb)， 又向量a，b不共线，所以 解得即λ的值为－. 9．(2024·贵州毕节高一期中)如图，在梯形ABCD中，＝4，E，F分别是AB，BC的中点，AC与DE相交于点O，设＝a，＝b. (1)用a，b表示； (2)用a，b表示. 解：(1)因为E，F分别是AB，BC的中点， 所以＝，又＝4， 所以＝＝＋＝b＋＝b＋a. (2)因为AB∥CD，所以△AOE∽△COD， 由于＝4，E是AB的中点，故＝， 由(1)知＝b＋a， 所以＝＋＝＋b＋a＝－＋b＋a ＝a－b＋b＋a＝a－b. 10．如图，已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a－b D．－a＋b B　解析：AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线， 则＝－＝－， ＝＋＝＋＝＋(＋)＝(＋)， 由于＝a，＝b，所以a＝－，b＝＋， 故＝a＋b. 11．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则(　　) A．＋＋与反向平行 B．＋＋与同向平行 C．3＋3－与反向平行 D．3＋3－与不共线 A　解析：因为＝2，所以＝， 因为＝2，所以＝， 因为＝2，所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， ＝－＝－， ＝－＝－， 所以＋＋＝＋＋－＋－＝－＝＝－， 所以＋＋与反向平行，故A正确，B错误； 3＋3－＝3(－)＋3(·－)－ ＝－2－－＝－2－＝－3＝3， 所以3＋3－与同向平行，故C，D错误． 12．(2024·甘肃临夏高一统考期末)如图，在△ABC中，E是BC边上一点，且BE＝3EC，F为AE的延长线上一点，写出使得＝λ＋μ(λ，μ∈R)成立的λ，μ的一组数据(λ，μ)为________． 答案：(，)(答案不唯一)　解析：由题意知＝－，而BE＝3EC，故＝(－)， 则＝＋＝＋(－)＝＋， 又F为AE的延长线上一点，故＝t(t∈R，t>1)， 可取t＝2，则＝2(＋)＝＋， 故使得＝λ＋μ(λ，μ∈R)成立的λ，μ的一组数据(λ，μ)为(，). 13．设O为△ABC内部的一点，且＋2＋3＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________． 答案：2∶1　解析：若＝2，＝3， 则＋2＋3＝＋＋＝0，即O为△ADE的重心， 令S△AOC＝x，S△BOC＝y，则S△AOE＝3x，S△EOD＝6y， ∴3x＝6y，∴S△AOC∶S△BOC＝x∶y＝2∶1. 14．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近点B的三等分点，求证：M，N，C三点共线． 证明：∵＝a，＝b，∴＝－＝b－a. ∵N是BD上靠近点B的三等分点，∴＝＝(b－a). ∵在平行四边形中，＝＝b，连接CN，MN， ∴＝－＝(b－a)－b＝－a－b①. ∵M为AB的中点，∴＝a，∴＝－＝－(＋)＝－(a＋b)＝－a－b②. 由①②可得＝. 由向量共线定理知∥.又与有公共点C， ∴M，N，C三点共线． 15．如图，在△ABC中，已知＝2，＝，＝a，＝b. (1)若＝3，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求的值． (1)证明：因为＝2，＝，所以＝b，＝(b－a)， 又＝3，所以＝＝(－)＝(b－a)＝b－a， 因为＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b， ＝＋＝a＋b－a＝a＋b，所以＝， 又，有公共点A，所以A，F，E三点共线． (2)解：记＝λ(λ∈R)，则＝a＋λ＝a＋λ(－)＝(1－λ)a＋b， 由(1)知＝a＋b， 由题知，A，F，E三点共线，记＝μ(μ∈R)， 所以(1－λ)a＋b＝μ(a＋b)＝a＋b， 因为a，b不共线，所以解得λ＝，μ＝， 所以＝，所以＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$