课时梯级训练(27) 平面向量在几何、物理中的应用举例（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(27)　平面向量在几何、物理中的应用举例 1．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ，已知礼物的质量为m kg，重力加速度为g，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为(　　) A． B． C． D． C　解析：设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为|F|， 则8|F|cos θ＝mg，故|F|＝. 2．长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6 km/h，如图，设v1和v2所成角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D． B　解析：由题意知(v1＋v2)·v2＝0，则v1·v2＋v＝|v1|·|v2|·cos θ＋v＝60cos θ＋36＝0， 所以cos θ＝－. 3．已知△ABC的三个顶点分别是A(－1，0)，B(1，0)，C(，)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 B　解析：易知＝(，)，＝(－，)， 可得·＝×(－)＋×＝0，即⊥，且||＝≠||＝1， 所以可得△ABC的形状是直角三角形． 4．已知点P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△PBC的面积的比值为(　　) A．2 B．3 C． D．6 B　解析：如图，取BC的中点为D，连接AD，则＝(＋)， 因为＝(＋)，所以＝，则＝，因此PD＝AD， 过点P作PM⊥BC于点M，过点A作AN⊥BC于点N，则易知Rt△PDM∽Rt△ADN，因此＝＝，所以△ABC的面积与△PBC的面积的比值为＝＝＝3. 5．(多选)(2024·河南开封高一统考期末)若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知|F1|＝4 N，|F2|＝2 N，F1与F2的夹角为120°，则下列说法正确的是(　　) A．|F3|＝2 N B．F1与F3的夹角为90° C．F2与F3的夹角为90° D．(F1＋F3)·F2＝4 AC　解析：如图所示，设F1，F2，F3分别为，，， 将向量进行平移，平移至，将反向延长至点D， 则∠AOB＝120°，∠OAB′＝∠DOB＝180°－∠AOB＝60°， 在△OAB′中，由余弦定理得，OB′2＝AB′2＋OA2－2AB′·OA cos 60°＝16＋4－2×4×2×＝12， 所以OB′＝2，即|F3|＝2 N，故A正确； 显然，在△OAB′中，OB′2＋AB′2＝12＋4＝16＝OA2， 即∠AB′O＝90°， 所以∠COD＝∠AOB′＝30°， 所以F1与F3的夹角∠AOC＝180°－∠COD＝150°，故B错误； F2与F3的夹角∠BOC＝∠DOB＋∠COD＝60°＋30°＝90°，故C正确； 6．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J. 答案：300　解析：W＝F·s＝|F|·|s|cos 〈F，s〉＝6×100×cos 60°＝300(J). 7．如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝2 N，F1与F2的夹角为，则F3的大小为________N. 答案：　解析：因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝＝＝ N． 8．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点M为边BC的中点，求证：AM⊥BC. 证明：如图，由题意得＝(＋)，＝－， 故·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(||2－||2)， 因为AB＝AC，所以·＝(||2－||2)＝0，故AM⊥BC. 9．已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(取重力加速度大小为10 m/s2) 解：如图所示，设木块的位移为s，则F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J). 将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2，则|f1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N). 所以|f|＝μ(|G|－|f1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1(N). 因此f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J). 故力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和－22 J. 10．已知非零向量与满足(＋)·＝0，且·＝－，则△ABC为(　　) A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形 A　解析：，都为单位向量，所以＋在∠BAC的平分线上， 由(＋)·＝0，得AB＝AC，由·＝－，得∠BAC＝120°， 所以△ABC为等腰非等边三角形．故选A. 11．(2024·辽宁锦州高一统考)已知△ABC，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，点D在BC边上且BD＝BC，则AD的长度为(　　) A． B． C． D． D　解析：在△ABC中，点D在BC边上且BD＝BC， 则＝＋＝＋(－)＝＋， 又||＝1，||＝2，∠BAC＝60°， 则||＝ ＝ ＝＝，即AD的长度为. 12．如图所示，无弹性细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OB⊥OC，则OA，OB，OC三根细绳受力最大的是________． 答案：OA　解析：受力最大的是OA，理由如下： 设OA，OB，OC三根细绳对O所施力分别为a，b，c， 则a＋b＋c＝0，设a与b的合力为c′，则|c|＝|c′|， 如图，在平行四边形OBC′A中，因为⊥，＝， 所以||>||，||>||，即|a|>|b|，|a|>|c′|＝|c|，所以绳OA受力最大． 13．(2024·山东聊城高一统考)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是BC的中点，＝，设AM与BN相交于点P，则cos ∠MPN＝________． 答案：　解析：因为M是BC的中点， 所以＝＋， 所以||＝ ＝ ＝＝， 因为＝，＝－＝－， 所以||＝ ＝ ＝＝2， 所以·＝(＋)·(－)＝－||2＋||2－||||×＝－×4＋×9－×2×3×＝， 所以cos ∠MPN＝cos 〈，〉＝＝＝. 14．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝3，cos ∠ACB＝－，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝2DC，CE⊥AC，AD与CE交于点M. (1)设＝a，＝b，试用a，b表示； (2)求AM的长． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB， 即100＝9＋BC2－6×BC×(－)， 即BC2＋BC－91＝0，解得BC＝9(负值舍去). ∴cos ∠BAC＝＝. 则在Rt△ACE中，AE＝＝， ∴BE＝AB－AE＝，∴＝， 即＝，∴－＝(－)， ∴＝＋，即＝a＋b. (2)由(1)知BD＝6，DC＝3，在△ADC中，由余弦定理得 AD2＝AC2＋DC2－2AC·DC·cos ∠ACB＝， ∴cos ∠DAC＝＝. 则在Rt△ACM中，AM＝＝＝.故AM的长为. 15．(2024·山东日照高一统考期中)如图，设P1P2…P2 024是半径为1的圆O内接正2 024边形，M是圆O上的动点． (2)是定值，定值为4 048. 因为P1P2…P2 024是半径为1的圆O内接正2 024边形， 学科网（北京）股份有限公司 $$