课时梯级训练(4) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

课时梯级训练(4)　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 1．函数f(x)＝2sin x的最小正周期为(　　) A．2π B． C．π D． A　解析：∵sin (x＋2π)＝sin x，∴f(x＋2π)＝f(x)，∴函数f(x)＝2sin x的最小正周期为2π. 2．函数y＝2sin α的单调递减区间是(　　) A．[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z) B．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ＋](k∈Z) A　解析：∵y＝2sin α与y＝sin α单调性相同．故选A. 3．y＝3cos α，α∈(－，]的最大值与最小值分别为(　　) A．3，－3 B．3，－ C．3， D．3，－ A　解析：如图，当α＝0时，ymax＝3×1＝3，当α＝π时，ymin＝3×(－1)＝－3. 4．已知函数f(x)＝loga(x＋5)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点A，以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边的角α的终边过点A，则cos (－6π＋α)＝(　　) A． B． C．－ D．－ D　解析：在f(x)＝loga(x＋5)＋3中令x＝－4，得f(－4)＝3，所以定点A的坐标为(－4，3).因为角α的终边过点A，所以cos (－6π＋α)＝cos α＝－. 5．已知a＝cos ，b＝sin ，c＝0.3－2，则(　　) A．c>a>b B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a A　解析：因为1>a＝cos >b＝sin >0，c＝0.3－2＝>1，所以c>a>b. 6．函数y＝2－3cos α的单调递减区间是________． 答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　解析：函数y＝2－3cos α的单调递减区间即函数y＝－cos α的单调递减区间，也即函数y＝cos α的单调递增区间，为[2kπ－π，2kπ](k∈Z). 7．满足sin α－cos α>0的α的取值范围是________________________________． 答案：{α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}　解析：由图可解得满足条件的α的取值范围是{α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}． 8．已知函数y＝a cos α＋b的最大值是0，最小值是－4，求a，b的值． 解：当a＞0时，解得 当a<0时，解得 ∴a＝2，b＝－2或a＝b＝－2. 9．已知f(x)＝－sin x. (1)试写出f(x)的单调区间； (2)若f(x)在[－，a]上是单调递减的，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝－sin x， 根据正弦函数y＝sin x的单调性可知，f(x)的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z). (2)∵f(x)在[－，]上是单调递减的， ∴[－，a]⊆[－，]，即－<a≤. ∴a的取值范围是(－，]. 10．(多选)下列说法正确的是(　　) A．y＝|sin x|的定义域为R B．y＝3sin x＋1的最小值为1 C．y＝－sin x为周期函数 D．y＝sin x－1的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z) AC　解析：对于B，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于D，y＝sin x－1的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，故B，D错误，A，C正确． 11．函数y＝＋－取值的集合是(　　) A．{－4，0，2} B．{4，0，2} C.{－4，0，－2} D．{2，0} A　解析：由sin α≠0，cos α≠0知，α的终边不能落在坐标轴上， 当α为第一象限角时，sin α>0，cos α>0，sin αcos α>0，y＝0； 当α为第二象限角时，sin α>0，cos α<0，sin αcos α<0，y＝2； 当α为第三象限角时，sin α<0，cos α<0，sin αcos α>0，y＝－4； 当α为第四象限角时，sin α<0，cos α>0，sin αcos α<0，y＝2. 故函数y＝＋－取值的集合为{－4，0，2}． 12．函数y＝＋的定义域为________． 答案：{α|2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}　解析：根据题意，得即 所以解得2kπ<α≤＋2kπ(k∈Z). 13．函数y＝cos2x－sinx的值域是________． 答案：[－1，]　解析：y＝cos2x－sinx＝－sin2x－sinx＋1＝－(sin x＋)2＋， ∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－时，y取最大值， 当sin x＝1时，y取最小值－1. 故函数y＝cos2x－sinx的值域为[－1，]. 14．已知点P(sin α－cos α，)在第一象限，α在[0，2π)内，求α的取值范围． 解：∵点P(sin α－cos α，)在第一象限内，∴ 即α的终边在第一象限或第三象限，且sin α>cos α，如图，由三角函数的定义知，当α∈[0，2π)时，α∈(，)∪(π，). 15．已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)是否为周期函数； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)当x∈(－，]时，求f(x)的值域． 解：(1)函数f(x)的定义域是R. 因为f(x＋2π)＝＝＝f(x)，所以f(x)是周期函数． (2)由正弦函数的基本性质可知，在区间[2kπ－， 2kπ＋](k∈Z)上，函数y＝sin x是单调递增的，则函数h(x)＝2－sin x单调递减， 从而可知此时函数f(x)单调递增， 故可知函数f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z). (3)设t＝sin x(x∈(－，])，则t∈(－，1]，所以1≤2－t<，则<≤1. 故f(x)的值域为(，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$