1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修2（北师大版2019）

三角函数 5．2　余弦函数的图象与性质再认识 第一章 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 B 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 返回导航 数学 必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 必修 第二册 北　 学习目标 1.会用“五点(画图)法”“图象变换法”作余弦函数的图象． 2．理解余弦函数的性质，会求y＝A cos x＋B的单调区间及最值． 3．会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图象解简单的三角不等式． 知识点一　余弦函数的图象 类比正弦函数的“五点法”作图，能否选出一些关键点，用来快捷地画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象？ 1．余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线． 2．要画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，可以通过描出 _______________________________________________五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象． (0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1) 3．根据诱导公式sin (x＋)＝cos x，x∈R.只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图). (1)y＝cos x，x∈[0，2π]上的五点是指图象的最高点、最低点以及与x轴的交点． (2)y＝cos x的图象由y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到，图象仍然夹在y＝±1之间． [例1] 用“五点法”作函数y＝2cos x－1，x∈R的简图． y＝2cos x－1，x∈R的周期T＝＝2π，列表、描点，画出在一个周期内的图象． x 0 π 2π y＝2cos x 2 0 －2 0 2 y＝2cos x－1 1 －1 －3 －1 1 把y＝2cos x－1在[0，2π]上的图象向左右拓展，得y＝2cos x－1在R上的图象，如图所示． “五点法”作余弦型曲线的步骤 作形如y＝A cos x＋B，x∈[0，2π]的简图时，可由“五点(画图)法”作出，其步骤：①列表，取x＝0，，π，，2π；②描点；③用光滑曲线顺次连接成图． [练1] 用“五点法”作函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的简图． 由题条件列表如下： x 0 π 2π y＝－2cos x －2 0 2 0 －2 y＝－2cos x＋3 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象，如图所示． 知识点二　余弦函数的性质 我们上一节课已经学习了正弦函数的性质，类比正弦函数图象和性质的学习，你能否利用余弦函数的图象，得到其周期性、奇偶性、单调性等性质？ 函数 y＝cos x 定义域 R 图象 值域 [－1，1] 奇偶性 偶函数 周期性 以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期 单调性 在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最大值与 最小值 当x＝2kπ，k∈Z时，最大值为1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，最小值为－1 对称轴 x＝kπ，k∈Z 对称中心 (kπ＋，0)，k∈Z 单调性 在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最大值与 最小值 当x＝2kπ，k∈Z时，最大值为1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，最小值为－1 对称轴 x＝kπ，k∈Z 对称中心 (kπ＋，0)，k∈Z (1)y＝cos x，x∈R不具有单调性，但有无穷多个单调区间． (2)y＝cos x在某个象限内也不具有单调性． [例2] (1)函数f(x)＝lg cos x－的定义域为________． (2)函数y＝cos2x－4cosx＋1，x∈R，当y取最大值时，x的取值集合是________． 答案：(1)[－5，－)∪(－，)∪(，5]　(2){x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}　 (1)由题意得解得 令k＝－1，解得x∈[－5，－)， 令k＝0，解得x∈(－，)， 令k＝1，解得x∈(，5]， 综上，函数f(x)的定义域为[－5，－)∪(－，)∪(，5]. (2)y＝cos2x－4cosx＋1＝(cos x－2)2－3，又－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝－1时，ymax＝6，此时x＝(2k＋1)π，k∈Z. 求值域或最大值、最小值问题的依据 (1)cos x的有界性． (2)cos x的单调性． (3)化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定． (4)通过换元转化为二次函数． [练2] (1)函数y＝2cos x，x∈[－，]的值域为________． (2)函数y＝的定义域是________，值域是________． 答案：(1)[0，2]　(2){x|x≠2kπ，k∈Z}　(－∞，－1] (1)因为x∈[－，]，所以cos x∈[0，1]，所以y＝2cos x∈[0，2]. (2)由cos x－1≠0可得cos x≠1，∴x≠2kπ，k∈Z， ∴函数的定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}． 又y＝＝＝1＋， ∵－1≤cos x<1，∴－2≤cos x－1<0， ∴≤－2，∴1＋≤－1， ∴函数的值域为(－∞，－1]. 知识点三　余弦函数的单调性及应用 [例3] (1)函数y＝1－cos x的单调递减区间是__________________． (2)cos 110°，sin 10°，－cos 50°的大小关系是_______________． 答案：(1)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　(2)sin 10°>cos 110°>－cos 50°　 (1)设t＝cos x∈[－1，1]，则y＝1－t，因为函数y＝1－t在[－1，1]上单调递减，所以函数y＝1－cos x的单调递减区间即函数t＝cos x的单调递增区间， 即为[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z). (2)因为sin 10°＝cos 80°，－cos 50°＝cos (180°－50°)＝cos 130°， 而余弦函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，因此cos 80°>cos 110°>cos 130°， 所以sin 10°>cos 110°>－cos 50°. [变式探究] 将本例(1)改为函数y＝3－2cos (－x)，x∈[－4，4]，求其单调递增区间． y＝3－2cos (－x)＝3－2cos x，y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反， 由函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)， 得y＝3－2cos (－x)的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z). 由[－4，4]∩[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)＝[－4，－π]∪[0，π]， 得函数y＝3－2cos (－x)，x∈[－4，4]的单调递增区间为[－4，－π]，[0，π]. 1．形如y＝A cos x＋B(A≠0)函数单调区间的求法 (1)当A>0时，其单调性与y＝cos x的单调性一致． (2)当A<0时，其单调性与y＝cos x的单调性相反． 2．利用单调性比较大小的方法 (1)同名三角函数比较大小，若两角不在同一个单调区间上时，应先用诱导公式化为同一个单调区间上，再用单调性比较大小． (2)非同名三角函数比较大小，利用诱导公式化为同名三角函数比较大小． [练3] (1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________． (2)cos 1，cos 2，cos 3的大小关系为________________________． 答案：(1)(－π，0]　(2)cos 1>cos 2>cos 3　 (1)因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， 所以只有当－π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]. 即a的取值范围为(－π，0]. (2)因为0<1<<2<3<π，又函数y＝cos x在(0，π)上单调递减， 所以cos 1>cos 2>cos 3. ◎随堂演练 1．函数y＝cos x，x∈[－，]的值域是(　　) A．[－1，1] B．[，1] C．[－，1] D．[0，1] 由余弦函数y＝cos x的性质，可得当x∈[－，0]时，函数y＝cos x单调递增； 当x∈[0，]时，函数y＝cos x单调递减， 所以当x＝0时，取得最大值ymax＝cos 0＝1， 又由cos (－)＝cos ＝，所以函数的值域为[，1]. 2．函数y＝－cos x的单调递增区间是______________． 答案：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z　 根据复合函数的单调性知， 函数y＝－cos x的单调递增区间即函数y＝cos x的单调递减区间． 根据余弦函数的单调性知，函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z， 所以函数y＝－cos x的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z. 3．函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有___个． 答案：2　 作出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝－如图所示，知两函数图象有两个交点． $$