精品解析：广东省深圳市聚龙科学中学教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

深圳市聚龙科学中学2024-2025学年度下学期第一次段考 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：王乐飞 审核人：黄薇 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.  两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.  当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.  向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.  故选：D. 2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义即可列关系求解. 【详解】由于为纯虚数， 所以且， 解得， 故选：C 3. 下列各式中不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 4. 设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z，再求得其共轭复数，从而得解 【详解】，，对应点为 , 故选：B． 5. 已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的坐标，再根据三点共线求出的值，即可得到结果. 【详解】由题意可得,， 若点三点共线，则点不能构成三角形, 即，解得：， 所以的值为. 故选：B. 6. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式计算即可. 【详解】由，得，则， 由，得，因此， 所以. 故选：A 7. 设非零向量满足，，则四边形ABCD形状（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形法则和已知可得四边形ABCD是正方形. 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 根据平行四边形法则，所以四边形ABCD是菱形， 又因为，所以， 所以四边形ABCD是正方形， 故选：C. 【点睛】本题考查了利用平行四边形法则进行向量的加法、减法运算，及判断四边形的形状问题，属于基础题. 8. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.） 9. 下面是关于复数的四个命题，其中真命题是（ ） A. B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为 【答案】ABCD 【解析】 【分析】 先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】， ，故A正确；，故B正确；的共轭复数为，故C正确；的虚部为，故D正确； 故选：ABCD. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题. 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. 若，则 D. 存在，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量模长坐标计算公式可得答案； 对于B，由向量夹角计算公式可得答案； 对于C，由向量垂直坐标表示可得答案； 对于D，由向量垂直定义可得答案. 【详解】对于A，由题可知，故A项正确； 对于B，，故与的夹角为，故B项错误； 对于C，若，则，故C项正确； 对于D，若，则，则当时，可以使，故D正确. 故选：ACD 11. 在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 存在t，使得 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的正方形及其边长建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示逐项分析计算判断即可. 【详解】由题可以A为原点，AB、AD分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则由题意，故， 对于A，当时，则由可知， 所以，又， 故，故A正确； 对于B，当时，则由可知， 所以，， 所以， 故B错误； 对于C，由可得，故，， 则， 故不存在t，使得，故C错误； 对于D，由C得， 故， 又，故当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据为平面内所有向量的一组基底，可知不共线，通过求共线时的值，即可得到不共线时的范围. 【详解】因为向量，，能作为平面内所有向量的一组基底， 所以， 当时，，解得， 所以若，则，即的取值范围为， 故答案为： 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，可得，求解即可 【详解】设点为坐标原点， 点在线段的延长线上，且，， 即，． 点的坐标为． 故答案为： 14. 在山脚A测得山顶P的仰角，沿倾斜角的公路向上走600m到达B处，在B处测得山顶P的仰角，如图，若在山高的处的点S位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为______m. 【答案】 【解析】 【分析】过B作，求得，利用正弦定理可得，进而可得山的高度，即可得结果. 【详解】过B作，垂足为， 因为， 在中，可得， 在中，则， 由正弦定理可得， 在中，可得， 则山的高度，所以索道离地面的高度为（m）. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设，是不共线的两个非零向量． （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证. （2）利用共线向量定理及平面向量基本定理列式求解. 【小问1详解】 由，，， 得， ， 则，且有公共点B，所以A，B，C三点共线． 【小问2详解】 由与共线，则存在实数，使得， 即，又，是不共线的两个非零向量， 因此，解得或， 所以实数k的值是，当时，与反向共线. 16. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，，在上的投影向量； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) , , 在上的投影向量为： ; (2) 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的定义，向量数量积的运算性质和投影向量的定义直接求解即可. （2）先求，再由向量的夹角的计算公式可得答案. 【详解】（1），所以 ，所以 在上的投影向量为： （2） 设向量与夹角为，则 17. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 【答案】（1）或； （2） 当时，无解；当时，或. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，进而求出. （2）由（1）的结论，利用余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得，而， 则，又， 所以或. 【小问2详解】 由的周长为，，得， 在中，由余弦定理得，即， 则，当时，，于是，，此方程无解； 当时，，于是，解得或， 所以当时，无解；当时，或. 18. 在中，角 的对边分别是 ，． （1）求C； （2）若，的面积是，求的周长． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）将化为，由余弦定理即可求得角C. （2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意在中，， 即，故 ， 由于，所以. 【小问2详解】 由题意的面积是，，即 ， 由，得， 故的周长为. 19. 如图，已知中，，D是边BC上一点，且． （1）设，，试用，表示． （2）若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理用基底表示向量. （2）分别求出长度，在中用勾股定理求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理得 ， 因为，所以 ， ， 在中，，所以，则， 所以， 又因为为锐角，所以的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市聚龙科学中学2024-2025学年度下学期第一次段考 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：王乐飞 审核人：黄薇 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 下列各式中不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 4. 设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 7. 设非零向量满足，，则四边形ABCD形状（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 8. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.） 9. 下面是关于复数的四个命题，其中真命题是（ ） A. B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. 若，则 D. 存在，使得 11. 在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 存在t，使得 D. 的最小值为2 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为____________. 13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______． 14. 在山脚A测得山顶P的仰角，沿倾斜角的公路向上走600m到达B处，在B处测得山顶P的仰角，如图，若在山高的处的点S位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为______m. 四、解答题（共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设，是不共线的两个非零向量． （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 16. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，，在上的投影向量； （2）求向量与夹角的余弦值． 17. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 18. 在中，角 的对边分别是 ，． （1）求C； （2）若，的面积是，求的周长． 19. 如图，已知中，，D是边BC上一点，且． （1）设，，试用，表示． （2）若，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $