精品解析：重庆市大足区八校学业水平测试2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年春期初2025届八校素养问答 数学 （时间：120分钟-满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解． 【详解】解：，，且， ∴， 故最小的数是， 故选：B． 2. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 16 B. 11 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象在点和之间即可作出判断． 【详解】解：反比例函数的图象在点和之间， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 4. 如图是五边形的三个外角，若则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 5. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据与之比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与位似， ∴与相似， ∵， ∴， 又∵的面积为1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的有关概念和性质是解题的关键． 6. 下列说法中正确的是（　　） A. 两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 有两个角相等的平行四边形是矩形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法正确，符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 7. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式的除法进行计算，然后估算的大小即可求解 【详解】解：∵， ∴ 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键． 8. 如图，是一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9个四边形，第3个图案中有13个四边形，．．．，按此规律，第7个图案中四边形的个数为（　　） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，由所给图形得出规律第个图案中四边形的个数为个，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中四边形的个数为， 第2个图案中四边形的个数为， 第3个图案中四边形的个数为， …， ∴第个图案中四边形的个数为个， 当时，，即第7个图案中四边形的个数为， 故选：C． 9. 如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点、分别为，上的动点，始终有．若，，的面积为（　　） A. B. 60 C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，，，进而推出为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，再由勾股定理求出即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 故选：A． 10. 有依次排列的3个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推通过实际操作，得出以下结论： ①整式串2为：，，，，，，，，；②整式串3的和为；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；④整式串2025的所有整式的和为；上述四个结论正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减的应用、整式的加减的规律探索，根据题意求出第一次操作后的整式串的和、第二次操作后的整式串的和以及第三次操作后的整式串的和，从而得出规律第次操作后所有整式的和为，逐项分析即可得解． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：，，，，， ∴第一次操作后的整式串的和为：， 第二次操作后的整式串为：，，，，，，，，，故①正确； 第二次操作后的整式串的和为：， 第三次操作后的整式串为：，，，，，，，，，，，，，，，，， 第三次操作后的整式串的和为：故②正确； 故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式串的和的差为：，即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③正确； ∴第次操作后所有整式的和为， ∴整式串2025所有整式的和为，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 地球上的海洋面积约为361000000km2，则科学记数法可表示为_______km2． 【答案】3.61×108 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】将361000000用科学记数法表示为3.61×108． 故答案3.61×108． 12. 如图，直线与函数的图象相交于点，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．根据函数图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为：． 故答案为：． 13. 在一个不透明的布袋里装有个白球和个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出个球，摸出小球均为黄球的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题的关键． 根据题意，运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，个白球用表示，个黄球用表示， 共有20种等可能结果，其中两个小球均为黄色的结果有，共2种， ∴摸出小球均为黄球的概率为， 故答案为： ． 14. “渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在重庆迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今年4月份，某零售公司实现月纯利润为5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元，若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．根据题意，列出方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．再结合“第二季度就突破到纯利润为23万元”列出一元二次方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x． 根据题意，列出方程为， 故答案为：． 15. 如图，在圆心角为90°的扇形中，半径，以为直径作半圆．过点作的平行线交于两弧，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接CE，可得AC=CE，由AC是半圆的直径，可得OA=OC=CE，根据平行线的性质可得，根据特殊角三角函数值得到，即可得出，利用勾股定理求出OE的长，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接AE， ∵AC=6，AC、AE为扇形ACB的半径， ∴AE=AC=6， ∵OE//BC，， ∴， ∴， ∵AB是半圆的直径， ∴OA=OB=AE=3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积、平行线的性质，特殊角三角函数值求角度及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式并正确作出辅助线是解题关键． 16. 如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，求出不等式组的解集结合无解得出，解分式方程结合有非负数解得出且，从而可得且，写出符合题意的值，求和即可得解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：， 解分式方程得， ∵有非负数解， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足题意的的值为，，，，故和为， 故答案为：． 17. 如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是___；的长度是___． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在中，； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键． 18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，（，，，且为整数）．若能被整除，则的值为_____，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据题意求得，，结合题意可得，，推导出所有可能情况，即可求解，理解题意求得，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵能被整除，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， ∵，， 当，时，； 当，时， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当，时， 当，时，； ∵，， ∴的值为：或， ∴的最大值为：， 故答案为：，． 三、解答题（本大题8个小题，其中19题8分，其余各题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算∶ （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 毛泽东同志曾说“德志皆寄予于体，无体是无德志也”，某社区为了加强社区居民对冬奥会的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2022年北京冬奥会知识点》模拟试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 甲：85，80，95，100，90，95，85，65，75，85，89，90，70，90，100，80，80，90，96，75； 乙：80，60，80，95，65，100，90，85，85，80，95，75，80.90，70，80，95，75，100，90． 【整理数据】 成绩x 60≤x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 甲小区 2 5 a b 乙小区 3 7 5 5 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 87.5 c 乙小区 83.5 d 80 【应用数据】 （1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ； （2）若甲小区共有600人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数； （3）你认为甲、乙两个小区哪一个对冬奥会知识掌握更好？请写出一条理由． 【答案】（1）8；5；90；825； （2）390人； （3）甲小区，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）直接根据收集的数据以及众数、中位数的定义求解即可； （2）用600乘以甲小区成绩大于80分的人数所占比例即可； （3）直接比较两小区的平均数、中位数、众数即可． 【小问1详解】 由甲小区抽取的20名人员的答卷成绩可知a=8，b=5， 甲的数据：85，80，95，100，90，95，85，65，75，85，89，90，70，90，100，80，80，90，96，75； 从中可以得出数据90出现的次数最多，得出c=90， 把乙小区抽取的20名人员的答卷成绩排序为：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100， 则乙小区成绩的中位数为=82.5（分）， 故答案为：8，5，90，82.5； 【小问2详解】 估计甲小区成绩大于80分的人数为600×=390（人） 【小问3详解】 甲小区对冬奥会知识掌握更好， 理由：甲小区的平均数、中位数、众数均大于乙小区的． 【点睛】本题主要考查统计图表及数据的收集宇整理知识，熟练掌握众数、平均数、中位数的定义、用样本估计总体的方法是解题的关键． 21. 数学兴趣小组探究发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，数学兴趣小组给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ，，． 又，分别为，的中点， ，， ①___________， 在与中， ， ． ②___________． 又， ， ， 又， ， ③___________． 又， ④___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）结合全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定填空即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ，，． 又，分别为，中点， ，， ， 在与中， ， ． ． 又， ， ， 又， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 22. 某公司计划共花费2800元为所有员工网购工作服，恰逢双11购物狂欢节，商家将服装原价上涨后再打五折，该公司实际比原计划可多买3件． （1）求每件服装的原价； （2）若该公司按原计划数量购买服装，将剩余的钱用来购买围巾和袜子．一条围巾的售价比一双袜子的售价的12倍还多2元．该公司给每位员工购买了2条围巾和5双袜子，恰好用完剩余的钱．求一双袜子的售价． 【答案】（1）每件服装的原价为400元 （2）一双袜子的售价为4元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程和分式方程是解此题的关键． （1）设每件服装的原价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）先计算出该公司的员工人数，设一双袜子的售价为元，则一条围巾的售价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设每件服装的原价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每件服装的原价为400元； 【小问2详解】 解：该公司共有员工（人）， 设一双袜子的售价为元，则一条围巾的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：一双袜子的售价为4元． 23. 已知四边形是平行四边形，，，，为延长线上一点，，动点同时从点出发，点以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点到达点时，两者都停止运动．设运动时间为秒，点的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，，点运动到点的时间为秒，从点运动到点的时间为秒，当时，，，如图1，连接，证明，则，即，解得，，可得当时，；当时，，可得当时，；然后作答即可； （2）描点，连线可得函数图象，然后根据图象写性质即可； （3）当时，；当时，；由，可得，由图象可知，，进而可求的取值范围． 【小问1详解】 解：∵平行四边形，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴点运动到点的时间为秒，从点运动到点的时间为秒， 当时，，，如图1，连接， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，； 当时，， ∴当时，； 综上所述，； 【小问2详解】 解：由题意，函数图象如图所示； 由图象可知：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； ∵， ∴， 由图象可知，， ∴当时，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质．熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质，数形结合是解题的关键． 24. 如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱与地面垂直，即，且，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆于点D，该支架的边与的夹角，又测得． （1）求出该支架的边的长（结果保留根号）． （2）若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度合格标准是不超过3.5米，问安装雨棚的高度是否合格？（结果精确至0.1米，参考数据：，） 【答案】（1） （2）安装雨棚的高度是合格的 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用， （1）解求出，解，即可求得的长，即可求解． （2）过点E作，垂足为H，可得四边形是矩形，，再解直角三角形分别求出、即可解答. 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即, ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴， 【小问2详解】 过点E作，垂足为H， 由题意可知：，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴安装雨棚的高度是合格的. 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，点为抛物线上之间的一个动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，连接，点为新抛物线对称轴右侧平面内一点，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点P的坐标为， （3）点Q的坐标是或或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设点P的坐标是，其中，得到，根据二次函数性质即可得到答案； （3）分两种情况分别画图，进行解答即可． 【小问1详解】 解：将、点代入函数解析式得到， ， 解得， ∴ 【小问2详解】 当，， 当，，解得或， ∴点A点的坐标是， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为 同理可得的解析式为 设点P的坐标是，其中 ∵轴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ 当时，由最大值， 此时点P的坐标为， 【小问3详解】 直线的解析式为 ∴ ∵原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴原抛物线沿y轴正方向平移，沿x轴正方向平移 ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴， 设点Q的坐标为， 当时，如图1，过点D作轴于点F，过点Q作轴于点E， ∴， ∴， ∴ 解得 ∴点Q的坐标是 ∴， ∴ 解得 ∴点Q的坐标是 当时，如图2，过点D作轴于点M，过点Q作于点G， ∴， ∴， ∴ 解得 ∴点Q的坐标是 当时， 解得 ∴点Q的坐标是（不合题意，舍去） 综上可知，点Q的坐标是或或 26. 在ABC中，∠A＝45°，BC＝8，点D是边AB上任意一点，连接CD． （1）如图1，若∠ACD＝30°，DB＝BC时，求AD的长． （2）如图2，当DC＝BC时，过点B作BE⊥CD交CD于点E，交AC于点F，连接DF，求证：BD＝AF． （3）如图3，当点D是边AB中点时，过点D作DH⊥BC交BC于点H，当线段DH取最大值时，请直接写出DBH的面积． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）作CE⊥AB于E，解Rt△CBE和Rt△ABC，进而求得结果； （2）作FH⊥AB于H，CG⊥BD于G，先证明BC＝BF，然后证明△BCG≌△FBH，进而命题得证； （3）先确定点A运动轨迹，进而由∠BDO＝90°，确定点D的轨迹在OB为直径的圆上，进而得出DH的最大值，进一步求得结果． 【小问1详解】 解：如图4， 作CE⊥AB于E， ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝75°， ∴∠BCD＝75°， ∴∠B＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝30°， ∴CE＝，， ∴DE＝BD﹣BE＝8﹣4 ， ∵∠A＝45°， ∴∠ACE＝90°﹣∠A＝45°， ∴∠ACE＝∠A， ∴AE＝CE＝4， ∴AD＝AE﹣DE＝4﹣（8﹣4）＝4； 【小问2详解】 证明：如图5， 作FH⊥AB于H，CG⊥BD于G， ∵BC＝DC， ∴BG＝，∠CBD＝∠CDB， 设∠ACD＝α， ∴∠CBD＝∠CDB＝∠A+∠ACD＝45°+α， ∴∠DBE＝90°﹣∠CDB＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α， ∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠CBD＝180°﹣45°﹣（45°+α）＝90°﹣α， ∵∠BFC＝∠A+∠DBE＝45°+45°﹣α＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠BFC， ∴BF＝BC， ∵∠DBE＝90°﹣∠CDB，∠BCG＝90°﹣∠CBD， ∴∠DBE＝∠BCG， ∵∠FHB＝∠CGB＝90°， ∴△BCG≌△FBH（AAS）， ∴FH＝BG， ∵FH＝， ∴BG＝， ∴BD＝2BG＝ ； 【小问3详解】 解：如图6， 以BC为斜边作等腰直角三角形BOC， ∵BC＝8，∠A＝45°， ∴点A在以O为圆心，OB＝为半径的圆上运动， 作OD⊥AB于D， ∴AD＝BD＝， ∵∠BDO＝90°， ∴点D在以OB为直径圆上运动， ∴当DH过点O时，DH最大， ∵DI＝BI＝， ∴BH＝IH＝， ∴DH＝DI+IH＝， ∴S△BDH＝ ＝2.. 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件，垂径定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期初2025届八校素养问答 数学 （时间：120分钟-满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. B. C. 0 D. 1 2. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 16 B. 11 C. 8 D. 6 4. 如图是五边形三个外角，若则=（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 16 6. 下列说法中正确的是（　　） A. 两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 有两个角相等的平行四边形是矩形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 7. 估计的值应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 8. 如图，是一组有规律的图案，第1个图案中有5个四边形，第2个图案中有9个四边形，第3个图案中有13个四边形，．．．，按此规律，第7个图案中四边形的个数为（　　） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 9. 如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点、分别为，上的动点，始终有．若，，的面积为（　　） A. B. 60 C. 30 D. 10. 有依次排列的3个整式：，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，，，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推通过实际操作，得出以下结论： ①整式串2为：，，，，，，，，；②整式串3的和为；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；④整式串2025的所有整式的和为；上述四个结论正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 地球上的海洋面积约为361000000km2，则科学记数法可表示为_______km2． 12. 如图，直线与函数的图象相交于点，则不等式的解集为_______． 13. 在一个不透明的布袋里装有个白球和个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出个球，摸出小球均为黄球的概率为___________． 14. “渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在重庆迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今年4月份，某零售公司实现月纯利润为5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元，若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．根据题意，列出方程为___________． 15. 如图，在圆心角为90°的扇形中，半径，以为直径作半圆．过点作的平行线交于两弧，，则图中阴影部分的面积是______． 16. 如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是___________． 17. 如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是___；的长度是___． 18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，则将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以所得的商记为，例如：时，，．对于两位正整数与，其中，（，，，且为整数）．若能被整除，则的值为_____，在此条件下，若，其中为整数，则此时与乘积的最大值为_____． 三、解答题（本大题8个小题，其中19题8分，其余各题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 毛泽东同志曾说“德志皆寄予于体，无体是无德志也”，某社区为了加强社区居民对冬奥会的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2022年北京冬奥会知识点》模拟试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据】 甲：85，80，95，100，90，95，85，65，75，85，89，90，70，90，100，80，80，90，96，75； 乙：80，60，80，95，65，100，90，85，85，80，95，75，80.90，70，80，95，75，100，90． 【整理数据】 成绩x 60≤x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 甲小区 2 5 a b 乙小区 3 7 5 5 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 87.5 c 乙小区 835 d 80 【应用数据】 （1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ； （2）若甲小区共有600人参与答卷，请估计甲小区成绩大于80分的人数； （3）你认为甲、乙两个小区哪一个对冬奥会知识掌握更好？请写出一条理由． 21. 数学兴趣小组探究发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，数学兴趣小组给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ，，． 又，分别为，的中点， ，， ①___________， 在与中， ， ． ②___________． 又， ， ， 又， ， ③___________． 又， ④___________． 22. 某公司计划共花费2800元所有员工网购工作服，恰逢双11购物狂欢节，商家将服装原价上涨后再打五折，该公司实际比原计划可多买3件． （1）求每件服装的原价； （2）若该公司按原计划数量购买服装，将剩余的钱用来购买围巾和袜子．一条围巾的售价比一双袜子的售价的12倍还多2元．该公司给每位员工购买了2条围巾和5双袜子，恰好用完剩余的钱．求一双袜子的售价． 23. 已知四边形是平行四边形，，，，为延长线上一点，，动点同时从点出发，点以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点到达点时，两者都停止运动．设运动时间为秒，点的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当时，请直接写出的取值范围． 24. 如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱与地面垂直，即，且，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆于点D，该支架的边与的夹角，又测得． （1）求出该支架的边的长（结果保留根号）． （2）若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度合格标准是不超过3.5米，问安装雨棚的高度是否合格？（结果精确至0.1米，参考数据：，） 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求抛物线表达式； （2）如图1，连接，点为抛物线上之间的一个动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，连接，点为新抛物线对称轴右侧平面内一点，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点坐标． 26. 在ABC中，∠A＝45°，BC＝8，点D是边AB上任意一点，连接CD． （1）如图1，若∠ACD＝30°，DB＝BC时，求AD的长． （2）如图2，当DC＝BC时，过点B作BE⊥CD交CD于点E，交AC于点F，连接DF，求证：BD＝AF． （3）如图3，当点D是边AB中点时，过点D作DH⊥BC交BC于点H，当线段DH取最大值时，请直接写出DBH的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$