精品解析：云南省上海新纪元实验学校2024-2025学年高二下学期3月云贵统一考试数学试题

上海新纪元2025年3月云贵统一考试试题 数学（高二） 本试题共4页，19小题，满分150分．考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由平均变化率计算公式求解． 【详解】解：函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 2. 已知函数，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据得到方程，求出答案. 【详解】，， ． 故选：B 3. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解. 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 5. 曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：D. 6. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 8. 已知奇函数的定义域为，且是的导函数，若对任意，都有则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，结合已知条件判断函数的奇偶性与单调性，将变形为，即，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】设， 因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数； 因为对任意，都有， 而，所以在单调递减，又因为为奇函数，所以在单调递减，当时，，因为，所以，所以，所以， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的运算法则以及导数公式表计算可得答案. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，根据导数公式表可知B正确； 对于C，根据导数公式表可知C正确； 对于D， ，故D不正确. 故选：BC 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 存在a，使得点为曲线的对称中心 D. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；B选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；C选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断； 【详解】A选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，A选项错误； B选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，B选项正确； C选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，C选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，C选项正确. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，D选项错误； 故选：BC 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率. 【详解】由，求导得，则， 所以所求切线的斜率为2. 故答案为：2. 13. 函数的极小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值. 【详解】由题意，函数的定义域为，. 因为恒成立，所以由，得；由，得； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值. 故答案为：. 14. 设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，得在上恒成立，问题转化为求函数在上的最小值.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】因为，由，得：恒成立，即. 记，则， 由得：；由得：. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取到最小值，且. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求函数的极值； 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）极大值为，极小值为． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）的单调性求出函数的极值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为． 16. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）若，时，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ，， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，如果函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1）①当时，在上单调递增； ②当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】 （1）利用导数求函数的单调性即可； （2）求出，由单调性与导数的关系得出，分离参数，构造函数求出其最大值，即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）定义域为， ①当时，，在上单调递增； ②当时，当时，；当时， 即在上单调递减，在上单调递增. （2） 由题意对恒成立 即对恒成立 ，. 18. 已知函数在处取得极值，其中． （1）求的值； （2）当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再依据题意求解检验即可. （2）由（1）得和，接着研究在上的正负从而得在上的单调性，根据单调性数形结合即可得解. 【小问1详解】 由求导得， 依题意可知，即，解得， 此时，， 由得或， 当时，，函数递增， 当时，，函数递减， 故时，函数取得极大值，故. 【小问2详解】 由（1）得，， 令，解得或，因， 故当时，函数递减，当时，函数递增， 当时，取得极小值，无极大值，所以， 所以在区间上，的最大值为或，而， 所以在区间上的最大值为，最小值为， 作出函数与直线的图像，如图， 由图知. 19. 已知函数， （1）求的极值； （2）若时，与的单调性相同，求的取值范围； （3）当时，函数，有最小值，记的最小值为，证明：. 【答案】(1) 极小值，无极大值. (2) (3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过导函数大于零和小于零的解得函数单调区间，求出极值； （2）由（1）知，在单调递增，则在恒成立，转化成不等式恒成立求参数范围； （3）时，有最小值，则的最小值是这个区间上的极小值，隐含着的根，结合根的存在性定理确定的范围，利用隐零点关系转化，即可求证. 【详解】解：（1）的定义域为，， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以有极小值，无极大值. （2）由（1）知，在单调递增. 则在单调递增，即在恒成立， 即在恒成立， 令，；， 所以当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又时，，所以， ∴. （3），，， ∵，，∴， ∴在单调递增， 又，， ∴存在唯一的，使得， 即，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴， 令，，则恒成立， 则在上单调递减， ∴即即， ∴. 【点睛】此题考查导函数与函数的单调性，涉及等价转化，转化与化归思想，第三问考查隐零点问题，注意整理出隐零点问题的常规解法，确定导函数的零点所在区间，利用等量关系对最值进行等价代换，利于求出最值的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海新纪元2025年3月云贵统一考试试题 数学（高二） 本试题共4页，19小题，满分150分．考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知函数，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 5. 曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，且是的导函数，若对任意，都有则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 存在a，使得点为曲线的对称中心 D. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线的斜率为______． 13. 函数的极小值为________． 14. 设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求函数的极值； 16. 已知函数. （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）若，时，求实数a的取值范围. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，如果函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围． 18. 已知函数在处取得极值，其中． （1）求的值； （2）当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值范围． 19. 已知函数， （1）求的极值； （2）若时，与的单调性相同，求的取值范围； （3）当时，函数，有最小值，记的最小值为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $