精品解析：重庆市第十八中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

重庆市第十八中学2024-2025学年度高一下学期3月月考 数学试题 注意事项： 1．本次考试试卷共2页，19个题． 2．本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分：卷I为选择题，共58分：卷Ⅱ为非选择题，共92分． 3．请把答案写到答题纸上，否则无效． 第I卷选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知向量，向量，且，那么等于 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 已知的面积为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 17 D. 15 5. 已知向量、，满足，，，向量是与同向的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（ ） A. B. C D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线 C. 若非零向量与共线，则 D. 若，则 10. 中，为边上一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 最小值为 D. 的最小值为 11. 如图所示，在中，，且点为边的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 设是中点，则 B C. 若，则的最小值为 D. 若，则边的最小值为 第II卷 非选择题 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知矩形中，，，设与交于点，则_____． 13. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 14. 已知中，为上一点，且，垂足为，则______． 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15. 已知. （1）当k为何值时，与共线； （2）若，且三点共线，求m的值以及. 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 17. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，为的中点，的面积为，求的长． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的大小； （2）若，且的面积为，求的长度； （3）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围． 19. 1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和最小．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角），该点称为费马点．试用以上知识解决下面问题： （1）在中，若，，； ①求的面积； ②点P为的费马点，求； （2）在中，若，点Q为的费马点，，求实数t的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2024-2025学年度高一下学期3月月考 数学试题 注意事项： 1．本次考试试卷共2页，19个题． 2．本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分：卷I为选择题，共58分：卷Ⅱ为非选择题，共92分． 3．请把答案写到答题纸上，否则无效． 第I卷选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标. 【详解】因为，所以， 所以与向量同向的单位向量的坐标为：， 故选：B 2. 在中，，，，则为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求，结合三角形内角和的性质即可求. 【详解】由题意知：，则，又， ∴或. 故选：B 3. 已知向量，向量，且，那么等于 A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由向量平行的充要条件有： ，解得： . 本题选择C选项. 4. 已知的面积为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 17 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理即可得解. 【详解】因为的面积为， 所以的面积，所以， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 5. 已知向量、，满足，，，向量是与同向单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律可得，再由向量夹角的公式求，根据向量在向量上的投影向量，即可求投影向量. 【详解】由题意，，则， ∴， ∴向量在向量上的投影向量为. 故选：C 6. 记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得 ，则， 而，则，两边平方整理得，而， 于是，，因此为直角三角形； 反之，为直角三角形，或或， 所以“为直角三角形”是“”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 7. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果. 【详解】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 8. 如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设外接圆半径，连接，设点到三边的距离分别为，,再结合正弦定理可求得. 【详解】如图，设外接圆半径，连接，在三角形中，的对角分别为，设点到三边的距离分别为， 由锐角知均为正数， 由外接圆知，所以， 同理: ，， 所以， 由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与是共线向量，则四点共线 C. 若非零向量与共线，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可． 【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC 10. 中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理可知A错误； 根据，利用基本不等式可求得最大值，知B正确； 由，利用基本不等式可求得最小值，知C错误； 利用基本不等式可得，知D正确. 【详解】对于A，， 三点共线，，A错误； 对于B，，（当且仅当时取等号），B正确； 对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误； 对于D，（当且仅当时取等号），D正确. 故选：BD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 11. 如图所示，在中，，且点为边的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 设是的中点，则 B. C. 若，则的最小值为 D. 若，则边的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量线性运算判断A；利用三角形面积求解判断B；利用余弦定理及基本不等式，再结合向量数量积的运算律求出范围判断C；利用正弦定理结合几何图形，求出最小值判断D. 【详解】对于A，由为边的中点，是的中点，得， 则，A错误； 对于B，由为边的中点，得， ，因此，B正确； 对于C，在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号， 又，则， 因此当时，取得最大值，C错误； 对于D，在中，由正弦定理得， 的外接圆圆的半径为，则点在优弧上运动， 则的最小值为，D正确. 故选：BD 第II卷 非选择题 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知矩形中，，，设与交于点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的加减运算和向量数量积的性质，计算可得所求值． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 【答案】54m 【解析】 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故答案为：54m. 14. 已知中，为上一点，且，垂足为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出的坐标，即可求出结果. 【详解】如图，以坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以，     故答案：. 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15. 已知. （1）当k为何值时，与共线； （2）若，且三点共线，求m的值以及. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量共线的坐标表示，及模长的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 易知，所以， 即时，与共线； 【小问2详解】 易知，由三点共线得， 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量； （2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 17. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，为的中点，的面积为，求的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得，结合（1）的结论可得，进而根据向量的模长即可求解. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理可得， 可得，即，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，的面积为， 所以，由（1）知，可得， 因为，可得：， 解得，可得的长为 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的大小； （2）若，且的面积为，求的长度； （3）若为锐角三角形，，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角运算，根据展开化简，再由辅助角公式计算可求出的值； （2）由三角形面积公式和边的等量关系，可求出边，从而求出相应边长，余弦定理即可求出长； （3）法一：根据题意，由余弦定理可求出等量关系，由三角形为锐角三角形建立边的不等式组，求解可解出边的范围，三角形面积公式即可求出结果；法二：正弦定理求解边的范围，代入三角形面积公式可求出结果. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 因为，且， 所以，即， 因为，所以，即； 【小问2详解】 由的面积为，得， ，， 又因为，，，，，， 在中，由余弦定理，得， 所以． 【小问3详解】 法一：由余弦定理，得， 将代入，整理，得， 因为为锐角三角形， ，即，解得：， . 法二：， 因为为锐角三角形， ，，， ，. 19. 1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和最小．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角），该点称为费马点．试用以上知识解决下面问题： （1）在中，若，，； ①求的面积； ②点P为的费马点，求； （2）在中，若，点Q为的费马点，，求实数t的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理求出，再利用三角形面积公式求解即可；②根据题意P与三角形三个顶点的连线两两成角，表示出三角形的面积后结合向量的数量积的运算即可求解； （2）设，，，，，，则由，得；利用由余弦定理在中，表示出，，，根据故由得建立等式，即，再利用基本不等式和换元法求解． 【小问1详解】 ①在中，，，，由正弦定理 ， ②由（1）知， 的三个内角均小于， 则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角； 所以 ， 所以， 所以 ． 【小问2详解】 中，，因为点Q为的费马点，则， 设，，，，，， 则由，得； 由余弦定理得中，， ， ， 故由得， 即，而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数t的最小值为． 【点睛】本题考查了余弦定理，数量积、基本不等式，需要理解题干中信息：即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角，利用基本不等式来求解最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $