精品解析：重庆市第十八中学2024-2025学年高一2+4班下学期5月测试数学试题

重庆市第十八中学2024-2025学年高一2+4班下学期5月测试 数学试题 （总分150分，时长120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在三角形中，，，，则（   ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求解出角，然后由内角和定理求解角即可. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以， 结合内角和定理，所以. 故选：B 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 3. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 4. 已知，，，则事件A与B的关系是（ ） A. A与B互斥不对立 B. A与B对立 C. A与B相互独立 D. A与B既互斥又相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】由互斥事件加法公式和独立事件乘法公式可得答案. 【详解】因，则. 注意到： ， 则A与B不互斥，不对立，则ABD错误； 又. 因，则事件A与事件B相互独立，则C正确； 故选：C 5. 直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线确定定点，求出定点与已知点所成直线的斜率，数形结合得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题设，则，可得， 所以直线过定点，则，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又， 所以或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， 所以的取值范围为. 故选：C 6. 已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为（ ） A. 18.2 B. 19.6 C. 19.8 D. 21.4 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数公式及其方差公式求解. 【详解】设增加的数为，原来的9个数分别为， 则，， 所以， 又因为，即， 所以， 故选：C. 7. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，； 设，，， ，，， ，即， 关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为， ，解得：，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ， 由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度. 8. 如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，作辅助线找到，及二面角，四边形为正方形进而得到为等腰三角形，利用所得直角三角形用边表示、，即有它们的等量关系，利用结合二面角，即可求的最大值； 【详解】直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，而，，又，可知： ， 若令二面角为，作于，于；过作，过作与交于点； ∴面，又，，故面，面，即； 过作，过作与交于点； ∴面，又，，故面，面，即； 作于，于，连接、，即有，且； ∵，即，作有四边形为正方形，即， ∴，有，故为等腰三角形且， 令，，则，有，而， ∴，，又， ∴当时等号成立 故选：B 【点睛】本题考查了应用辅助线，根据已知条件以及线面角、线线角、面面角的性质，得到它们的三角函数间等量关系，并化简目标三角函数式，结合二面角的范围求目标式的最值； 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按照答案个数平均得分，有选错的得0分. 9. 将函数y＝4sin x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝的图象，下列关于y＝的说法正确的是（ ） A. y＝的最小正周期为4π B. 由＝0可得x1－x2是π的整数倍 C. y＝的表达式可改写成＝4cos D. y＝的图象关于中心对称 【答案】CD 【解析】 【分析】首先根据函数的平移伸缩变换确定新函数解析式为，结合新函数的性质判断各选项的正误 【详解】由题意得，函数的解析式为 选项A，由T＝得y＝的最小正周期为π，错误； 选项B，由＝0有2x＋＝kπ (k∈Z)，即x＝π－ (k∈Z)，故x1－x2是的整数倍，错误； 选项C，＝4sin利用诱导公式得＝4cos＝4cos，正确； 选项D，＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ (k∈Z)，即x＝π－ (k∈Z)，故是函数y＝的一个对称中心，正确． 故选：CD 【点睛】本题考查了三角函数的性质，由三角函数解析式确定周期、对称中心，利用诱导公式判断与不同名三角函数的等价性，从而判断选项的正误 10. 袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ） A. 至少有一个白球与都是白球 B. 恰有一个红球与白、黑球各一个 C. 至少一个白球与至多有一个红球 D. 至少有一个红球与两个白球 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义和性质判断. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个， 在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立. 在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立； 在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立； 在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立； 故选：BD 【点睛】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 11. 地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图①，已知球的表面积为，底座由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 底座多面体的体积为 C. 平面平面 D. 球离球托底面的最小距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图形的形成可知，三点在底面上的投影分别是三边中点，，，由平面可得就是直线与平面所成的角，即可判断A项；多面体的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，利用几何体的体积公式计算，可判断B项；利用面面平行的判定定理证明平面平面，可判断C项；由已知可得球的半径，计算球心到平面的距离，即可判断D项. 【详解】解：根据图形的形成可知，三点在底面上的投影分别是三边中点，，，如图所示， 对于A，平面，∴就是直线与平面所成的角，∵是等边三角形，∴，A正确； 对于B，将几何体补全为直三棱柱，如下图示，∴多面体的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，∴由下图知：，故B正确； 对于C，因为且，故四边形为平行四边形，故， 因为、分别为、的中点，则，故， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面，平面，∴平面， ∵，所以，平面平面， 因为过直线有且只有一个平面与平面平行，显然平面与平面不重合， 故平面与平面不平行，故C错误； 对于D，由上面讨论知，设是球心，球半径为，由得，则是正四面体，棱长为1，设是的中心，则平面，又平面，所以，，则，又.所以球离球托底面的最小距离为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 13. O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用空间向量共面定理计算求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，解得. 故答案为：. 14. 如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量的方法列方程得到，然后利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以． 设平面的一个法向量为， 则，则， 所以顶点到平面的距离为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，、、分别是角、、所对的边，. （1）求角的大小； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用切化弦公式结合两角和差的三角公式以及正弦定理进行转化求解即可. （2）利用余弦定理得到，利用转化法转化为二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由得， 所以，即， 即，所以，解得：； （2）若，得，即， 则，所以， 则， 则当，即时，取得最小值. 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及二次函数的性质进行转化是解决本题的关键，属于常考题型. 16. 某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是． （1）求语文成绩在内的学生人数． （2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率． （3）若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）5 （2）0.21 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为求出，即可求出语文成绩在内的学生人数； （2）直接利用频率分布直方图求概率； （3）利用古典概型的概率公式直接求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，知，解得， 语文成绩在内的学生人数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率． 【小问3详解】 由频率分布直方图，知语文成绩在内的学生有人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A，B，3名男生为a，b，c. 样本空间为，其中抽到1名男生和1名女生的情况有， 所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为． 17. 某高校的入学面试中有，，三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对，，题的概率依次是，，. （1）求李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试的概率； （2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用积事件的概率公式求解即可. （2）利用对立事件或者直接分类求解. 【小问1详解】 设事件为李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试. 由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为， 所以. 小问2详解】 方法一：设事件为李明第一环节通过面试， 则. 设事件为李明面试失败，李明答题情况如下： 题错题错题错，题错题错题错， 题错题错题错，题错题错题错， 题错题错题错，题错题错题错. 所以. 故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为. 方法二：设事件为李明第二环节通过面试，李明答题情况如下： 题错题对，题错题对，题错题对， 题错题对，题错题对，题错题对. 所以. 设事件为李明第三环节通过面试，李明答题情况如下： 题错题错题对，题错题错题对， 题错题错题对，题错题错题对， 题错题错题对，题错题错题对. 所以. 故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． 【小问2详解】 ， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，  ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                      （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，           ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则，       由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是，  ． 19. 定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记． （1）若到平面的距离均为1，求； （2）若是的重心，且对任意，均有． （i）求的最大值； （ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立． （参考公式：） 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三棱锥的体积公式结合图形和题意计算即可； （2）（i）由是的重心，得到，再由余弦定理和基本不等式得到，然后由是的重心知，进而得到，最后结合题意求出结果即可；（ii）由（i）知，结合题意可得；再假设对任意及均成立，可得，二者互相矛盾，可得证. 【小问1详解】 如图，在中，． 因为，所以， 所以在中，， 所以在中，， 所以，所以的面积为， 所以，所以． 【小问2详解】 （i）因为是的重心，所以的面积为， 在中，由余弦定理得，， 即，由基本不等式知， ，所以， 故 ，等号当且仅当时成立， 又由是的重心知，， 所以， 所以，所以， 所以，等号当且仅当， 且平面时成立，所以的最大值为． （ii）由（i）知，，所以对任意， 均有，故，记， 则， 所以， 由于任意均有， 所以，所以． 假设对任意及均成立． 则对于，均有， 所以，与矛盾， 所以假设不成立，即不可能对任意及均成立． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是能根据题意证明和矛盾. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2024-2025学年高一2+4班下学期5月测试 数学试题 （总分150分，时长120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在三角形中，，，，则（   ） A. B. C. 或 D. 或 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则事件A与B的关系是（ ） A. A与B互斥不对立 B. A与B对立 C. A与B相互独立 D. A与B既互斥又相互独立 5. 直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为（ ） A 18.2 B. 19.6 C. 19.8 D. 21.4 7. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按照答案个数平均得分，有选错的得0分. 9. 将函数y＝4sin x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝的图象，下列关于y＝的说法正确的是（ ） A. y＝的最小正周期为4π B. 由＝0可得x1－x2是π的整数倍 C. y＝的表达式可改写成＝4cos D. y＝图象关于中心对称 10. 袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ） A. 至少有一个白球与都是白球 B. 恰有一个红球与白、黑球各一个 C. 至少一个白球与至多有一个红球 D. 至少有一个红球与两个白球 11. 地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图①，已知球的表面积为，底座由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 底座多面体的体积为 C. 平面平面 D. 球离球托底面的最小距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 14. 如图，长方体的顶点在平面内，其余顶点均在平面的同侧，.若顶点到平面的距离为，顶点到平面的距离为，则顶点到平面的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，、、分别是角、、所对的边，. （1）求角的大小； （2）若，求最小值. 16. 某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是． （1）求语文成绩在内的学生人数． （2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率． （3）若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率． 17. 某高校的入学面试中有，，三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对，，题的概率依次是，，. （1）求李明第一环节抽中题，且第一环节通过面试的概率； （2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记． （1）若到平面的距离均为1，求； （2）若是的重心，且对任意，均有． （i）求的最大值； （ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立． （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $