27.2.3 相似三角形应用举例 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点) 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点) 学习目标 新课讲解 知识点1 利用相似三角形测量高度 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 新课讲解 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 解：∵太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ ， ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为134 m. 新课讲解 结论 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度， 可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 新课讲解 想一想： A F E B O ┐ ┐ 还可以有其他测量方法吗？ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 新课讲解 结论 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度， 可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 新课讲解 知识点2 利用相似三角形测量宽度 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知 测得QS = 45 m，ST = 90 m， QR = 60 m，请根据这些数据， 计算河宽 PQ. P R Q S b T a 新课讲解 PQ×90 = (PQ+45)×60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P， ∴△PQR∽△PST. P R Q S b T a ∴ ， 即 ， 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ 45m 90m 60m 新课讲解 结论 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 课堂小结 利用相似解决有遮挡物问题 利用相似三角形测量宽度 相似三角形的应用举例 利用相似三角形测量高度 当堂小练 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( ) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m A A 当堂小练 3. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 为 . 12 cm 当堂小练 4. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15 m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 m. A B E D C 20 运用相似三角形的性质求线段长在实际生活中的应用 运用相似三角形的性质解决实际问题的步骤： (1)在实际问题中构建两个三角形； (2)根据已知条件证明这两个三角形相似； (3)运用相似三角形的对应边成比例求未知线段的长． 1．(人教9下P41、北师9上P105)某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高为1.5米，影子长1米，旗杆的影子长是6米，则旗杆的高度是( ) A．9米 B．8米 C．6米 D．4米 A 相似三角形的实际应用类型及方法 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接到达的河的宽度； (2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度． ①方法1：利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度)； ②方法2：利用标杆(如测量古塔的高度)； ③方法3：利用镜子的反射(如测量旗杆的高度)． A．5 m B．7 m C．7.5 m D．21 m 2．(人教9下P43)如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2 m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6 m，与树距15 m，那么这棵树的高度为( ) B 小结：注意物理模型中的事实，如入射角等于反射角. 3．【例1】(跨学科融合)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在E点位置，AE＝60 cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置，则CF的长为　 　． 　169 cm　 4．【例2】(人教9下P41、北师9上P91)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的距离AB． 解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，∠ADB＝∠EDC， ∴△ABD∽△ECD，∴AB∶CE＝BD∶CD， 即AB∶50＝120∶60，∴AB＝100． 答：两岸间的距离AB为100米． 小结：构造相似三角形，用可测线段的长度求解实际生活中不好（或不可）测量线段的长度. 5．【例3】(人教9下P40改编)(2024石家庄模拟)如图，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度． 解：如图，设EH与CD交于点G．∵CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE，∴， 即，∴，∴AH＝11.9， ∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)． 答：旗杆AB的高度为13.5 m． 答案图 小结：常过点作某线的垂线，构造直角三角形及相似三角形. 6．(跨学科融合)(人教9下P43、北师9上P104改编)(2023深圳一模)如图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，则该古城墙的高度为　 　．  　8米　 7．(人教9下P40)(2024广西模拟)如图，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定一个目标点O，在近岸取点A，C，使O，A，C三点共线，且线段OC与河岸垂直，接着在过点C且与OC垂直的直线上选择适当的点D，使OD与近岸所在的直线交于点B．若测得AC＝30 m，CD＝120 m，AB＝40 m，求河的宽度OA． 解：∵AB⊥OC，CD⊥OC，∴AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD，∴， 即，∴OA＝15． 答：河的宽度OA为15 m． ★8． 0.45 (人教9下P40改编)如图，一教学楼AB的高为20 m，教学楼后面水塔CD的高为30 m，已知BC＝30 m，小张的目高EF为1.6 m．当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE． 解：如图，过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M， ∵AM∥DN，∴△AMF∽△DNF，∴． 由题意知BE＝FM，BC＝MN＝30 m，EF＝BM＝CN＝1.6 m， ∴FN＝FM＋MN＝BE＋BC＝(BE＋30)m， DN＝CD－CN＝30－1.6＝28.4(m)， AM＝AB－BM＝20－1.6＝18.4(m)． ∴．解得BE＝55.2(m)． 答：此时他与教学楼的距离BE为55.2 m． 答案图 请完成本节对应习题 布置作业 感谢大家观看 $$