精品解析： 山东省枣庄市第四十一中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期八年级第一次阶段性教学质量诊断 数学试题 （考试时间：90分钟试卷满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　） A. a﹣2＜b﹣2 B. ﹣a＞﹣b C. D. a2＜b2 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断． 【详解】A、由a＜b，可得a﹣2＜b﹣2，成立； B、由a＜b，可得﹣a＞﹣b，成立； C、由a＜b，可得，成立； D、当a＝﹣5，b＝1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确； 故选D． 【点睛】考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2. 下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意； 、不等式不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、不等式未知数最高次数是2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、是多项式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 等腰三角形一边长为5，另一边长为2，则此三角形的周长为（ ） A. 9或12 B. 12 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况考虑：当5为等腰三角形的腰长时和底边时，分别求出周长即可． 【详解】解：当5为等腰三角形腰长时，2为底边，此时等腰三角形三边长分别为5，5，2，周长为5＋5＋2＝12； 当5为等腰三角形的底边时，腰长为2，此时等腰三角形三边长分别为5，2，2， ∵5>2+2， ∴不能组成三角形， 综上这个等腰三角形的周长为12． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键． 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形三个角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】A. 两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行是真命题，故选项A不合题意； B. 全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，故选项B符合题意； C. 等边三角形三个角相等的逆命题有三个角相等的三角形是等边三角形是真命题，故选项C不合题意； D. 直角三角形的两个锐角互余的逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形是真命题，故选项D不合题意． 故选B． 【点睛】本题考查命题与逆命题，掌握把命题变为逆命题的方法，会判断命题真假是解题关键． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式再在数轴上表示即可. 【详解】解不等式得： 在数轴上表示为 故选C. 【点睛】本题考查不等式得解法及在数轴上表示不等式解集，需要注意解不等式时两边同时除以负数要变号，在数轴上表示不等式解集时小于号向左、大于号向右，有等于时实心、没有等于时空心. 6. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ） A. 至少有一个内角是直角 B. 没有一个内角是直角 C. 至多有—个内角是直角 D. 至少有两个内角是直角 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”． 【详解】解：∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确， ∴应假设：至少有两个内角是直角． 故选：D． 7. 如图所示，在中，，分别垂直平分和，交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，于是得到结论． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键． 8. 某校学生会组织七年级和八年级共60名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少名八年级学生参加活动？设需要x名八年级学生参加活动，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设至少需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为（60﹣x）个，由收集塑料瓶总数不少于1000个建立不等式求出其解即可． 【详解】设八年级有x名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为（60﹣x）， 根据题意，得：15（60﹣x）+20x≥1000， 故选：A． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式解实际问题运用，由收集塑料瓶总数不少于1000个建立不等式是解决本题关键． 9. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：过P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． ． 【点睛】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线． 10. 如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠AMO＝∠ANO；③OA平分∠FOE；④∠COB＝120°，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】如图先证明△ABE≌△AFC，得到BE=CF，S△ABE=S△AFC，得到AP=AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，再利用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60°，由此可以解决问题． 【详解】解：∵AB＝AF，AC＝AE，∠FAB＝∠EAC＝60°， ∴∠FAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC， 即∠FAC＝∠BAE， 在△ABE与△AFC中， ， ∴△ABE≌△AFC（SAS）， ∴BE＝FC，故①正确，∠AEB＝∠ACF， ∵∠EAN+∠ANE+∠AEB＝180°，∠CON+∠CNO+∠ACF＝180°，∠ANE＝∠CNO， ∴∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB， ∴∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°，故④正确， 连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图， ∵△ABE≌△AFC， ∴S△ABE＝S△AFC， ∴•CF•AP＝•BE•AQ，而CF＝BE， ∴AP＝AQ， ∴OA平分∠FOE，所以③正确， ∵∠AMO＝∠MOB+∠ABE＝60°+∠ABE，∠ANO＝∠CON+∠ACF＝60°+∠ACF， 显然∠ABE与∠ACF不一定相等， ∴∠AMO与∠ANO不一定相等，故②错误， 综上所述正确的有：①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键，属于中考常考题型． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，，，是上的动点，连接，若，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】当PC垂直于OB时，PC最小，根据角平分线的性质可求最小值． 【详解】解：当PC⊥OB时，PC最小， ∵，，PC⊥OB， ∴PC=PD=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能够根据垂线段最短的性质判断出点C的位置，并根据角平分线的性质得出PC=PD是根关键． 12. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分该三角形顶角为锐角和该三角形顶角为钝角两种情况，结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用以及等腰三角形的性质，即可获得答案． 【详解】解：（1）当该三角形顶角为锐角时，如下图， 由题意可知，，，且， ∴， ∴； （2）当该三角形顶角为钝角时，如下图， 由题意可知，，，且， ∴， ∴． 综上所述，这个等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 13. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是__________． 【答案】-4≤a＜-3 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出a的取值范围是-4≤a＜-3． 【详解】解：解不等式x-a＞0，得：x＞a， 解不等式3-2x＞0，得：x＜1.5， ∵不等式组的整数解有5个， ∴-4≤a＜-3． 故答案为：-4≤a＜-3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围． 14. 方程组的解满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】方程组中的两个方程相加求出x+y= ，根据方程组的解满足x+y＞-2得出不等式＞-2，求出不等式的解集即可． 【详解】 ①+②得：3x+3y=m+2， x+y=， ∵方程组的解满足x+y＞-2， ∴＞-2， 解得：m＞-8， 故答案是：m＞-8． 【点睛】考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式，能得出关于m的一元一次不等式是解此题的关键． 15. 如图，已知的周长是18，和的平分线交于点O，于点D，若，则的面积是________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点O作于点E，过点O作于点F，连接，根据角平分线的性质可得，进一步求的面积即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，周长为18， ∴的面积 ， 故答案为：27． 16. 对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，，当 时，的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴x的取值范围为， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了新定义、解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 三、解答题 17. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来. 【答案】 【解析】 【分析】当不等式有分母时，应先两边都乘6，去分母；然后去括号，移项及合并，系数化为1． 【详解】解：去分母得，3（1+x）-2（2x-1）≤6 去括号得，3+3x-4x+2≤6， 移项得，3x-4x≤6-5， 即-x≤1， ∴x≥-1． 解集在数轴上表示得： 【点睛】本题考查解不等式的一般步骤，需注意；去分母时单独的一个数也必须乘各分母的最简公分母；在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下该怎么除还怎么除． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：请你作出线段的垂直平分线，分别交边，于点D，点E（保留作图痕迹）； （2）连接，则________； （3）若，则________． 【答案】（1）见详解 （2）30 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，则，进而推出； （3）根据，得出，由此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵在线段的垂直平分线上， ， ， ， ． 故答案为：30． 【小问3详解】 解：， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟知相等垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键． 19. 如图，在四边形中，已知，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，根据含30度角的直角三角形的性质得出进而证明是直角三角形，则，进而即可求解． 【详解】解：， 在中， ， ， ， 是直角三角形． 20. 某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元； （1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？ （2）商店准备用不超过1625元购进50件这两种商品，求购进A种商品最多是多少件？ 【答案】（1）A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元；（2）购进A种商品最多是25件． 【解析】 【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件，根据总价=单价×数量结合总价不超过1625元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元， 依题意，得：， 解得：． 答：A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元． （2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件， 依题意，得：40m+25（50﹣m）≤1625， 解得：m≤25． 答：购进A种商品最多是25件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m得取值范围． （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组和方程组的方法，准确计算． （1）先解方程组得出，然后根据x为非正数，y为负数得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可； （2）先将不等式整理为，然后根据不等式的解集为，得出，求出，根据，得出不等式的解集，根据取整数，可得． 【小问1详解】 解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 为非正数，为负数， ， ， 解得， 的取值范围是． 【小问2详解】 解：将不等式整理，得， 其解集为， ， 解得， ． 结合取整数，可得， 即当时，不等式的解集为 22. 如图，根据图中信息回答下列问题： （1）关于的不等式的解集是______； （2）关于的不等式的解集是______； （3）当时，的取值范围是______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线与x轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （2）利用直线与y轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （3）结合两条直线的交点坐标为和图象来求得解集． 【小问1详解】 ∵直线与x轴的交点是，且随着x的增大而减小， ∴当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； 【小问2详解】 ∵直线与y轴的交点是，且随着x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； 【小问3详解】 由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是， 当函数的图象在的下面时，有；当时，， 所以当时，； 故答案为：； 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解答本题的关键． 23. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10． （1）求线段AE长； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）8 （2）96 【解析】 【分析】（1）利用AAS证明，即可得出CD=DE，再根据勾股定理即可求出AE的长； （2）根据全等三角形的性质及勾股定求出，，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：BD平分∠ABC， ∠C＝90°，DE⊥AB 在和中 在中，AD＝10 【小问2详解】 由（1）知 设，则 在Rt△ABC中，根据 即 解得： 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. （1）问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； 图1 （2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图2 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期八年级第一次阶段性教学质量诊断 数学试题 （考试时间：90分钟试卷满分：120分） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　） A. a﹣2＜b﹣2 B. ﹣a＞﹣b C. D. a2＜b2 2. 下列不等式中，属于一元一次不等式是（ ） A B. C. D. 3. 等腰三角形一边长为5，另一边长为2，则此三角形的周长为（ ） A. 9或12 B. 12 C. 9 D. 10 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形三个角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A B. C. D. 6. 用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设（ ） A. 至少有一个内角是直角 B. 没有一个内角是直角 C. 至多有—个内角是直角 D. 至少有两个内角是直角 7. 如图所示，在中，，分别垂直平分和，交于点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某校学生会组织七年级和八年级共60名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少名八年级学生参加活动？设需要x名八年级学生参加活动，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠AMO＝∠ANO；③OA平分∠FOE；④∠COB＝120°，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，，，是上的动点，连接，若，则的最小值为_________． 12. 若等腰三角形一腰上高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为______． 13. 已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是__________． 14. 方程组的解满足，则的取值范围是________. 15. 如图，已知的周长是18，和的平分线交于点O，于点D，若，则的面积是________． 16. 对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，，当 时，的取值范围是______________. 三、解答题 17. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来. 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：请你作出线段的垂直平分线，分别交边，于点D，点E（保留作图痕迹）； （2）连接，则________； （3）若，则________． 19. 如图，在四边形中，已知，．求的度数． 20. 某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元； （1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？ （2）商店准备用不超过1625元购进50件这两种商品，求购进A种商品最多是多少件？ 21. 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m得取值范围． （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 22. 如图，根据图中信息回答下列问题： （1）关于的不等式的解集是______； （2）关于的不等式的解集是______； （3）当时，的取值范围是______． 23 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10． （1）求线段AE的长； （2）求△ABC的面积． 24. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. （1）问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； 图1 （2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$