清单01 三角形（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

清单01 三角形（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 等腰三角形 1、等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一” 2、等腰三角形的判定：①定义法；②等角对等边；③角平分线与高线、中线与高线重合时，利用全等证等腰； 3、等边三角形的性质：三边相等、三个角都等于60°、三边均存在“三线合一”； 4、等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 清单02 等腰三角形常见模型 手拉手全等： 条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点 结论：有SAS类三角形全等； 双平等腰： 清单03 直角三角形性质与判定 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半 2、直角三角形的判定： ①有一个角是90°的三角形时直角三角形 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 ③勾股定理的逆定理 清单04 勾股定理 勾股定理及其逆定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数 常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数 ☆：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想。 清单05 垂直平分线的性质与判定 1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2、判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上； 清单06 角平分线的性质与判定 1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（做题必要时考虑作“垂线”巧妙解题） 2、判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上； 【考点题型一】等腰三角形的性质（） 【例1】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是上的高，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在台风“摩馤”灾后的电力抢修重建中，为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（   ） A． B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一”的性质 D．垂直平分 【变式1-2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，为中线，，则 ． 【变式1-4】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，若，则的长度为 ． 【考点题型二】等腰三角形的性质与判定（） 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的角平分线，且，过点D作，交于E点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式2-1】（24-25八年级上·甘肃金昌·期中）已知，如图，，的平分线交于，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【变式2-3】（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知中，，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若轴，垂足为点，点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出：______；_____；点的坐标为_____． (2)如图②，若点在轴上滑动，点在轴上滑动，且轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【考点题型三】等边三角形的性质（） 【例3】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【变式3-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 【考点题型四】等边三角形的性质与判定（） 【例4】（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，为等边三角形，相交于点于点． (1)求证：； (2)求的长． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【变式4-2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【变式4-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．    (1)求证：． (2)由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？ 【考点题型五】等腰三角形常见的模型（） 【例5-1】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，平分，，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【例5-2】（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【变式5-1】（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【变式5-2】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【变式5-3】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证： (2)求证：为等边三角形 【考点题型六】直角三角形的性质与判定（） 【例6】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【变式6-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式6-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 【变式6-3】（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【考点题型七】勾股定理的有关运算（） 【例7】（山西省朔州市多校2024-2025学年八年级下学期第一次阶段评估（3月月考）数学试题）如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【变式7-2】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，． (1)如图1，，，连接，求证：； (2)如图2，，，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值． 【考点题型八】勾股定理的逆定理（） 【例8】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【变式8-1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用． 【变式8-2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【考点题型九】垂直平分线的性质（） 【例9】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【变式9-2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．22 D．25 【变式9-4】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为 ． 【考点题型十】垂直平分线的性质与判定（） 【例10】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 【变式10-1】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点． (1)请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【变式10-2】（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F． (1)求证：AD是线段CE的垂直平分线； (2)若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的长． 【变式10-3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，连接为是上一点且． (1)求证：垂直平分． (2)已知求的面积． 【考点题型十一】角平分线的性质（） 【例11】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，于点D，平分交于点E．若则的长为（      ） A．10 B．7 C．5 D．4 【变式11-1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，于，，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【变式11-2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【变式11-3】（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【变式11-4】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，中，的平分线交于点，若，则点到的距离是 ． 【变式11-5】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若在中，，，求的长． 【考点题型十二】角平分线的性质与判定（） 【例12】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式12-1】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【变式12-2】（24-25八年级上·重庆·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是45，求的长． 【考点题型十三】尺规作图-角平分线与垂直平分线（） 【例13】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在中，． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 【变式13-1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，如图在中，利用尺规作图． (1)画出的角平分线，线段的垂直平分线，保留作图痕迹； (2)在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是多少？ 【变式13-2】（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【变式13-3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米． (1)求小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 三角形（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 等腰三角形 1、等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一” 2、等腰三角形的判定：①定义法；②等角对等边；③角平分线与高线、中线与高线重合时，利用全等证等腰； 3、等边三角形的性质：三边相等、三个角都等于60°、三边均存在“三线合一”； 4、等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 清单02 等腰三角形常见模型 手拉手全等： 条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点 结论：有SAS类三角形全等； 双平等腰： 清单03 直角三角形性质与判定 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半 2、直角三角形的判定： ①有一个角是90°的三角形时直角三角形 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 ③勾股定理的逆定理 清单04 勾股定理 勾股定理及其逆定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数 常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数 ☆：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想。 清单05 垂直平分线的性质与判定 1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2、判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上； 清单06 角平分线的性质与判定 1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（做题必要时考虑作“垂线”巧妙解题） 2、判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上； 【考点题型一】等腰三角形的性质（） 【例1】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是上的高，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是上的高， ∴， 故选：． 【变式1-1】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在台风“摩馤”灾后的电力抢修重建中，为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（   ） A． B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一”的性质 D．垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质； 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的中线，点在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．由等腰三角形中三线合一，可得是的角平分线，再根据得出，结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】解： 中，， 是的中线， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选D． 【变式1-3】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，为中线，，则 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，理解等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形的性质得，，再结合三角形内角和定理解得，从而求解． 【详解】解：∵，，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：14． 【变式1-4】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，若，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和定义．掌握等角对等边是解题关键．根据题意证明和是等腰三角形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 【考点题型二】等腰三角形的性质与判定（） 【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的角平分线，且，过点D作，交于E点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，平分， ∴，， 在中，， ∴． 【变式2-1】（24-25八年级上·甘肃金昌·期中）已知，如图，，的平分线交于，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)27 【分析】本题主要考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是等腰三角形是解题关键． （1）结合角平分线的定义和平行线的性质证明均为等腰三角形，即有，，即可证明结论； （2）结合，，可得的周长，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，即； （2）解：由（1）可知，，， ∵，， ∴的周长． 【变式2-2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定： （1）根据，，即可求得答案； （2）根据，可得，进而可求得． 【详解】（1）∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴，． ∴． ∴． 【变式2-3】（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知中，，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若轴，垂足为点，点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出：______；_____；点的坐标为_____． (2)如图②，若点在轴上滑动，点在轴上滑动，且轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；； (2)，证明见解析 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、非负数性质，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键． （1）根据算术平方根和平方的非负数性质可得出，，根据同角的余角相等得出，利用可证明，即可得出，，进而求出，即可得答案； （2）延长和交于点，同（1）的方法可证明，得出，利用三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，即可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为 （2）解：，理由如下： 延长和交于点， ， ， ， 轴， ， ， ， 在和中，， ， ， 轴平分， ， ∵， ， ， ， ． 【考点题型三】等边三角形的性质（） 【例3】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质．先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【变式3-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到， ，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：B． 【变式3-4】（22-23八年级上·河北承德·期中）如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过做的平行线至于，通过求证和全等，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度． 【详解】解：过做的平行线至于， ， 等边， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为1． 【考点题型四】等边三角形的性质与判定（） 【例4】（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，为等边三角形，相交于点于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解答； (2)14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等求出，求出，根据含角的直角三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 又∵， ∴． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由角所对直角边是斜边的一半得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，则，最后等边三角形的判定即可求证； （）由是等边三角形，则，从而得出，，由角所对直角边是斜边的一半得，然后根据等腰三角形的判定得，则，再由是等腰直角三角形，且，则，求出即可； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，． 【分析】（1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M，    ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式4-3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且．    (1)求证：． (2)由（1）可得伞圈在伞圈上滑动．如图1，伞打开时，；当伞缩拢到图2状态时，时，伞圈下滑的距离长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，，，根据“”证明，则； （2）首先证明是等边三角形，则，结合证明是等边三角形，所以，设交于点，则，，利用勾股定理解得的值，易知，即可求得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图2，设交于点，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：伞圈下滑的距离长是． 【考点题型五】等腰三角形常见的模型（） 【例5-1】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，平分，，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义结合平行线的性质得出，再由等角对等边得出，即可得证； （2）由平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴的度数为． 【例5-2】（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则 ，所以，． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3）解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 【变式5-1】（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，再利用角平分线的定义求得，即可解答； （2）根据平行线的性质，证明，为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 的周长为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，看到平行线之间有角平分线应想到能得到等腰三角形是解题的关键． 【变式5-2】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 【变式5-3】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证： (2)求证：为等边三角形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； （2）证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵、是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形． 【考点题型六】直角三角形的性质与判定（） 【例6】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)1.5． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握和证明三角形全等是解题的关键： （1）先证明，再根据证明； （2）先证明，从而证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明： 即 在和中 （2）解： ， 又 在和中 ， ． 【变式6-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，在中，于点D，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据即可证明三角形全等； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴． 【变式6-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，图和理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形得，再由，得，即可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ； （2）解：，理由如下： 延长与交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-3】（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，是等边三角形，求得，易得，得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：于点，于点， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由（1）知，是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【考点题型七】勾股定理的有关运算（） 【例7】（山西省朔州市多校2024-2025学年八年级下学期第一次阶段评估（3月月考）数学试题）如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用；由勾股定理可得．根据翻折可得；设，根据图形翻折可得，在直角三角形中，根据勾股定理可得，求解再进一步解答即可． 【详解】解：， ∴． 根据翻折可得：， 设， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 解得：． 在直角三角形中，由勾股定理可得： ． 故选A． 【变式7-1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】(1) (2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【变式7-2】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，． (1)如图1，，，连接，求证：； (2)如图2，，，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理． 根据垂直定义可知，所以可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得，所以可得，从而可证结论成立； 由可知，，因为点是的中点，所以，根据垂线段最短可知当时的长度最小，此时是等腰直角三角形的，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 由可知， 又，点是的中点， ， 在中，当时的长度最小， 又， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 【考点题型八】勾股定理的逆定理（） 【例8】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形，四边形的面积为 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形的面积为． 【变式8-1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）某单位计划对一块四边形空地进行绿化，如图，在四边形中，，米，米，米，米，若每平方米绿化的费用为90元，请预计绿化的费用． 【答案】元 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是证明．先求出米，再证明，则四边形的空地转化为两个三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，米，米， ∴米 ∵米，米， ∴， ∴， ∴（米） 所以需费用（元）． 【变式8-2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1)能，理由见详解 (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论 【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号 （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答∶有秒可以接收到信号 【考点题型九】垂直平分线的性质（） 【例9】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，根据作图过程可得是的垂直平分线，可得，然后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：，， ， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 【变式9-1】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：3名同学站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 【变式9-2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 【变式9-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（    ） A．18 B．19 C．22 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了作垂线（尺规作图），线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据题意可得，垂直平分，于是可得，再根据的周长，即可得解． 【详解】解：根据题意可得，垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长， 故选：C． 【变式9-4】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 【考点题型十】垂直平分线的性质与判定（） 【例10】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明， ，进而得， 由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解。 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质 【详解】（1）证明：如图，连接，，． 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， （2）解： 垂直平分，垂直平分， ，，， ， ，， ， ， ，， ，， 【变式10-1】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点． (1)请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)24 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、四边形的面积等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的关键． （1）先说明点B、点D都在线段的垂直平分线上即可证明结论； （2）根据以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ． （2）解：由（1）得，， ． 【变式10-2】（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F． (1)求证：AD是线段CE的垂直平分线； (2)若∠BAC＝60°，AD＝16，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形： （1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答； （2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4． 【变式10-3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，连接为是上一点且． (1)求证：垂直平分． (2)已知求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，三角形面积公式 （1）根据线段垂直平分线的判定即可证的结论； （2）过点作于，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，由含30度直角三角形的性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：，， ∴点A在垂直平分线上，点E在垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：中， ，， ， ， 过点作于， ， 的面积． 【考点题型十一】角平分线的性质（） 【例11】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，于点D，平分交于点E．若则的长为（      ） A．10 B．7 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质．由面积公式求出边上的高，再根据角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角的两端距离相等，得到即可． 【详解】解：如图，作于F， ∵， 解得：； ∵于点D，平分交于点E．， ∴； 故答案为：D． 【变式11-1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，于，，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 先根据角平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴的周长． 故选：C． 【变式11-2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 故选A． 【变式11-3】（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到 ，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 【变式11-4】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，中，的平分线交于点，若，则点到的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先作，根据角平分线的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点E， ∵平分，，， ∴， 所以点D到的距离是5． 故答案为：5． 【变式11-5】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别是、． (1)求证：； (2)若在中，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点题型十二】角平分线的性质与判定（） 【例12】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式12-1】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于，于，由题意可得平分，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）设，由（1）得：，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于，于，如图： ， 平分， 又，， ， 平分的平分线，，， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【变式12-2】（24-25八年级上·重庆·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是45，求的长． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质； （1）利用三边对应相等证明，得到即可； （2）根据角平分线的性质可知点P到的距离等于，求出，进而计算出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：是的平分线； 理由：在和中，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解： ∵平分，， ∴点P到的距离等于， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【考点题型十三】尺规作图-角平分线与垂直平分线（） 【例13】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在中，． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法及其性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可； （）由三线合一可得，即得，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：，为的平分线， ， ∴， ∴，， 点在的垂直平分线上， ， ． 【变式13-1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，如图在中，利用尺规作图． (1)画出的角平分线，线段的垂直平分线，保留作图痕迹； (2)在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作角的平分线、作线段的垂直平分线的方法，作出的平分线、线段的垂直平分线即可； （2）先证明，由∠，根据三角形内角和定理得，即可求得． 【详解】（1）解：如图，射线是的平分线，直线是线段的垂直平分线． （2）解：如图，与交于点F， ∵平分， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查尺规作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键． 【变式13-2】（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．先作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，则与的交点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求作的点． 【变式13-3】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在一条笔直的马路同侧有两个小区，小区到马路的垂直距离为10千米，小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米． (1)求小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站的位置．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】(1)17千米 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线间间距线段，线段垂直平分线的尺规作图和线段垂直平分线的性质． （）过点作于，由平行线间间距相等得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （2）如图所示，作线段的垂直平分线交于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交于P，点P即为所求． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$