特训06 期中解答压轴题（历年期中精选，含辅助线的构造策略）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训06 期中解答压轴题（历年期中精选，含辅助线的构造策略） 目录： 题型1：常用连接、作垂直等辅助线作法 题型2：作平行线构造平行四边形 题型3：作垂直线构造矩形 题型4：作垂直线构造全等三角形，寻求中间转化量 题型5：多延长线交于一点形成多种构造 题型6：分类讨论 题型7：分类讨论、动态问题结合 题型1：常用连接、作垂直等辅助线作法 1．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）已知：如图，在矩形中，，点E在的延长线上，且，连接，取的中点F，连接． (1)求证：； (2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 2．（21-22八年级下·上海杨浦·期中）已知：如图菱形ABCD，点E，F分别为边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=∠B=60°． (1)求证：AE=AF； (2)如果AB=8，设BE=x，AE=y，求y与x的函数关系式和定义域； (3)在（2）的基础上，当x取何值时，与面积比值为7． 3．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，在正方形中，，点E是边上的任意一点（不与C、D重合），将沿翻折至，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)若设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)连接，若，求的长． 4．（23-24八年级下·上海浦东部分学校·期中）已知等边△ABC中，AB＝8，点D为边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF//BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．    (1)求证：四边形BCEF是平行四边形； (2)设BD＝，FG＝，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当AD的长为7时，求线段FG的长． 5．（21-22八年级下·上海徐汇·期中）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 题型2：作平行线构造平行四边形 6．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，对角线，过点作，交延长线于点，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式（不需要写定义域）； (3)当是等腰三角形时，求的长． 7．（20-21八年级下·上海·期中）正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H． (1)如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE； (2)在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y； (3)如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长． 题型3：作垂直线构造矩形 8．（22-23八年级下·上海普陀·期中）如图，现有矩形和一个含内角的直角三角形按图所示位置放置和重合，其中，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，直线与边交于点，如图所示．    (1)求证：； (2)连接、，当时，求出此时的度数； (3)如图，以为边的矩形内部作正方形，直角边所在直线交线段于点，交于点设，，写出关于的函数解析式． 题型4：作垂直线构造全等三角形，寻求中间转化量 9．（2025八年级下·上海·名校期中新编）图，正方形ABCD的一边在直线AM上，点P在对角线AC上，点E是射线AB上一动点，联结PE，射线交直线AM于点F，已知正方形边长为8，． (1)如图1，当点E在线段AB上时，求证． (2)联结CE，当时，请在图2中画出相应的图形，并求线段AF的长． (3)如果的角平分线交射线AB于点N，设，，直接写出y关于x的函数解析式，并写出定义域． 题型5：多延长线交于一点形成多种构造 10．（21-22八年级下·上海杨浦·期中）如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F． (1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______． (2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数． 题型6：分类讨论 11．（21-22八年级下·上海奉贤·期中）已知：如图1．四边形是菱形，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点．    (1)当点在线段上时，求证：； (2)设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系式，写出函数的定义域； (3)连接，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长． 12．（23-24八年级下·上海浦东部分学校·期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 　 　．（请将答案直接填写在空格内） 13．（2025八年级下·上海·统考期中新编）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合）， ，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域； （3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长． 题型7：分类讨论、动态问题结合 14．（23-24八年级下·上海普陀·期中）小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿指它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，可以得到． (1)如图1，如果与相交于点O，求证； (2)如图2，如果，当为顶点的四边形是矩形时，求出的长； (3)如图3，如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 15．（20-21八年级下·上海徐汇·期中）已知矩形纸片ABCD的边AB=1，AD=2，点M在边AD上（点M不与点A重合），联结BM，将△ABM沿BM翻折，点A落在E处，射线ME交射线BC于点P． (1)如图1，当点M与点D重合时，请求出PC的长； (2)当点P在边BC上时，设AM=x，BP=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)联结CE，△PCE是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有相应的AM的长度；如果不可能，试说明理由． 16．（2025八年级下·上海·名校期中新编）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形BFEP为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动； ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．    ( 第 3 页 共 8 页 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∴∠EAF=∠BAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF， 在△BAE和△CAF中， ， ∴（ASA）， ∴AE=AF； （2）解：如图2，过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB=8=BC， ∴BH=CH=4，∠BAH=30°， ∴AH=， ∵， ∴， ∴y=（0＜x＜8）； （3）解：由（1）可知：， ∴BE=CF=x，， ∵， ∴， ∵与面积比值为7， ∴， ∴， ∴， ∴当时，与面积比值为7． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，函数关系式，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，在正方形中，，点E是边上的任意一点（不与C、D重合），将沿翻折至，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)若设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再根据折叠的性质得到，，根据三角形全等的判定方法，即可证得结论； （2）由（1）的结论得到，由折叠的性质可得，，则，，，在中，利用勾股定理得到，整理求解即可； （3）由，根据平行线的性质得，，又由得到，则，于是有，即，解得，然后把代入（2）中，即可求出x的值 【解析】（1）证明：四边形是正方形， ，， 将沿翻折至， ． ，． 又， ； （2）解：， ， ， ． ， ，， 在中， ， ； （3）解：如图： ， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验：是原方程的解， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解分式方程，勾股定理以及折叠的性质，解题时注意对基本图形的寻找． 4．（23-24八年级下·上海浦东部分学校·期中）已知等边△ABC中，AB＝8，点D为边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF//BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．    (1)求证：四边形BCEF是平行四边形； (2)设BD＝，FG＝，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当AD的长为7时，求线段FG的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3或5 【分析】（1）由三角形ABC与三角形ADE都为等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ABC=60°，进而确定出同旁内角互补，得到CE与FB平行，再由EF与BC平行，即可得到四边形BCEF为平行四边形； （2）由三角形ABD与三角形ACE全等，得到BD=CE，再由四边形BCEF为平行四边形得到BF=CE，等量代换得到BF=BD=x，由FG与BC平行，由平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围得到定义域； （3）过A作AH⊥BC交BC于M，可得H为BC的中点，即BH=CH=4，在直角三角形ABH中，利用勾股定理求出AH的长，而HD=4-x，在直角三角形ADH中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，代入（2）的解析式中求出y的值，即为FG的长． 【解析】（1）∵△ABC是等边三角形    ∴ AB＝AC ∴ ∵△ADE是等边三角形     ∴AD＝AE ∴    即 ∴ （SAS）   ∴ BD＝EC ∴ ∴     ∴      ∴AB//EC   ∵EF//BC     ∴四边形BCEF是平行四边形 （2）∵EF//BC   ∴ ∴      ∴GE＝EC ∴GE＝EC ＝BD＝x   ∵             ∴ （3）作AH⊥BC，垂足为H    在中， ∴      ∴ 在中， ∴      即，解得或； ∴ ∴FG的长为3或5 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 5．（21-22八年级下·上海徐汇·期中）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，得到BC=CD，，，根据全等三角形的判定得到△EBC≌△FCD，从而得出结论； （2）根据勾股定理，可得，再根据△EBC≌△FCD和正方形的性质，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：①当点E在线段DB上，②当点E在线段DB延长线上；根据正方形的性质，得到∠CEF=45°，根据三角形的内角和，得到的度数，再跟你讲三角形外角定理和等腰三角形的判定，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，BD平分∠ABC， ∴， 由题意得EC=FC，∠ECF=90°， ∴， 即， ∴△EBC≌△FCD， ∴； （2）∵∠BCD=90°，BC=CD=6， ∴， ∵△EBC≌△FCD，DF =y， ∴BE=DF= y， ∵DE=x， ∴， 函数定义域为； （3）联结AE，联结AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC， ∴AE=EC，∴∠AEB=∠CEB， ∵EC=FC，∠ECF=90° ，∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ①当点E在线段DB上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠BAE=180°－∠AEB－∠ABE=67.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6，∴， ②当点E在线段DB延长线上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠EAB=∠ABD－∠AED=22.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了动点问题，包含了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、正方形的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的判定等，能够正确画图并综合运用所学相关知识是解题的关键． 题型2：作平行线构造平行四边形 6．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，对角线，过点作，交延长线于点，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式（不需要写定义域）； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点C作交延长线于点O， 根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质求解即可． （2）由（1）可得，根据勾股定理得到，代入数据求解即可． （3）分情况讨论，①当时，可得，②当时，由（1）可得，③当时，由（1）可得，根据勾股定理可得，代入数据计算求解即可． 【解析】（1）解：过点C作交延长线于点O， ， ∴四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得， ， ， 解得：． （3）解：当是等腰三角形时， ①当时， ． ②当时， ， ， 由（1）可得：． ③当时， 由（1）可得， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 综上所述：的长为或或． 7．（20-21八年级下·上海·期中）正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H． (1)如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE； (2)在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y； (3)如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长． 【答案】(1)见解析 (2)y=x2-3x+18（0＜x＜6） (3) 【分析】（1）如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．只要证明四边形CMGF是平行四边形，△ADE≌△DCM即可解决问题； （2）根据S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB计算即可解决问题； （3）如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，联结EN．由△NDE≌△NDM（SAS），推出EN=NM，由AB=6，BE=2AE，推出AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，根据EN2=EB2+BN2，构建方程求出x，再在Rt△DCN中，求出DN即可解决问题． 【解析】（1）证明：如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠ADC=90°， ∵CM∥FG，DE⊥FG， ∴四边形CMGF是平行四边形，CM⊥DE， ∴CM=FG，∠CKD=90° ∴∠CDE+∠DCM=90°，∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠ADE=∠DCM， ∴△ADE≌△DCM（ASA）， ∴CM=DE， ∴DE=FG． （2）如图2中， ∵AF=DE，AD=AB，∠DAE=∠B=90°， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴AE=BF， ∵AB=BC， ∴BE=CF=x， ∴y=S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB =×（x+6）×6-×6×x-×x（6-x） =3x+18-3x+x2-3x =x2-3x+18（0＜x＜6）． （3）如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，联结EN． 则四边形DGFN是平行四边形， ∴∠EDN=∠GHD=45°， ∵∠ADC=90°， ∴∠NDC+∠ADE=∠NDC+∠CDM=45°， ∴∠NDE=∠NDM， ∵DN=DN，DE=DM， ∴△NDE≌△NDM（SAS）， ∴EN=NM， ∵AB=6，BE=2AE， ∴AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x， 在Rt△ENB中，∵EN2=EB2+BN2， ∴（x+2）2=（6-x）2+42， ∴x=3， 在Rt△DCN中，DN=， ∴FG=DN=． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 题型3：作垂直线构造矩形 8．（22-23八年级下·上海普陀·期中）如图，现有矩形和一个含内角的直角三角形按图所示位置放置和重合，其中，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，直线与边交于点，如图所示．    (1)求证：； (2)连接、，当时，求出此时的度数； (3)如图，以为边的矩形内部作正方形，直角边所在直线交线段于点，交于点设，，写出关于的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据矩形的性质与旋转的性质得出，即可得证； （2）当时，可知点在的垂直平分线上，过点作于点，于点， 可得四边形是矩形，根据等腰三角形的性质得出，根据矩形的性质得出，取的中点，则，，即是等边三角形，得出是等边三角形，进而得出，，即可求解； （3）连接，证明，得出，在中，勾股定理得出，进而即可求解． 【解析】（1）解：连接，   四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ； （2）当时，可知点在的垂直平分线上， 过点作于点，于点，   ， 四边形是矩形， ， ，， ∴， ， 在中，，， 取的中点，则， ∴ 即是等边三角形， ∴， ， ； 此时旋转角为. （3）连接，    四边形是正方形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 整理得 【点睛】本题考查了矩形的性质于判定，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，求函数解析式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 题型4：作垂直线构造全等三角形，寻求中间转化量 9．（2025八年级下·上海·名校期中新编）图，正方形ABCD的一边在直线AM上，点P在对角线AC上，点E是射线AB上一动点，联结PE，射线交直线AM于点F，已知正方形边长为8，． (1)如图1，当点E在线段AB上时，求证． (2)联结CE，当时，请在图2中画出相应的图形，并求线段AF的长． (3)如果的角平分线交射线AB于点N，设，，直接写出y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，4 (3)，． 【分析】（1）过点P作，，先证明矩形PGAH为正方形，进而判断出，，得到即可； （2）过点P作，，由可得，由三线合一可得，根据勾股定理求出AC的长，进而求出AP的长长，根据勾股定理求出，进而根据AF=FH-AH求解即可； （3）联结NF，过P作，，根据（1）（2）的结论表示出AF，证明，得到，在中，根据可求出y关于x的函数解析式． 【解析】（1）证明：过点P作，，垂足为G，H， ∵四边形ABCD为正方形，∴，， ∵，，∴， ∴四边形PGAH为矩形， 又，， ∴，∴， ∴矩形PGAH为正方形， ∴，，即． 又∵，∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴； （2）解：过点P作，，垂足分别为G、H， 由（1）知，∴， ∵，又，∴， 又∵在中： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． （3）解：如图3，联结NF，过P作，，垂足分别为G，H， 由（1）知， 由（2）知：在中：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵PN平分，∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴， 在中：， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴x的取值范围为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，以及函数解析式等知识，解本题的关键是熟练掌握图形的判定与性质． 题型5：多延长线交于一点形成多种构造 10．（21-22八年级下·上海杨浦·期中）如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F． (1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______． (2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数． 【答案】(1)45° (2)60° 【分析】（1）联结CG，BG，证△DCG≌△BEG（SAS），得到BG=DG，∠CDG=∠EBG，再证△BGD是直角三角形，即得△BGD是等腰直角三角形，即可由等腰直角三角形的性质求解； （2）延长AB、FG相交于H，联结DH，先证四边形ADFH是平行四边形，再证平行四边形ADFH是菱形，得∠HDF=∠ADF=60°，△DGF≌△DBH（SAS），得∠GDF=∠BDH，即可得∠BDG=∠HDF，可求解． 【解析】（1）解：∵平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD， ∴∠ECF=90°， 联结CG，BG，如图2， ∵G是EF的中点， ∴CG=EG=GF， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45°， ∴∠BAE=∠BEA=45°， ∴BE=AB， ∴BE=CD， ∴∠FEC=∠BEA=45°， ∴∠BEG=135°， ∴∠EFC=∠FEC=45°， ∴∠GCF=∠EFC=45°， ∴∠DCG=135°， ∴∠DCG=∠BEF， 在△DCG和△BEG中， ， ∴△DCG≌△BEG（SAS）， ∴BG=DG，∠CDG=∠EBG， ∵∠CDG+∠GDB+∠CBD=90°， ∴∠EBG+∠GDB+∠CBD=90°， ∴∠BGD=90°， ∴△BGD是等腰直角三角形， ∴∠BDG=45°； 故答案为：45°； （2）解：延长AB、FG相交于H，联结DH，如图， ∵FGCE， ∴ADHF， ∵AHDF， ∴四边形ADFH是平行四边形， ∵∠ABC=120°， ∴∠DAB=60°，∠ADC=∠ABC=120°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF=∠DAF=30°， ∵AHDF， ∴∠DFA=∠BAF=∠DAF=30°， ∴DA=DF，∠AEB=∠FEC=30°， ∴平行四边形ADFH是菱形，CE=CF， ∴∠HDF=∠ADF=60°， ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH， ∴FG=HB， 在△DGF和△DBH中， ， ∴△DGF≌△DBH（SAS）， ∴∠GDF=∠BDH， ∴∠BDG=∠HDF=60°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键． 题型6：分类讨论 11．（21-22八年级下·上海奉贤·期中）已知：如图1．四边形是菱形，，．绕顶点逆时针旋转，边与射线相交于点（点与点不重合），边与射线相交于点．    (1)当点在线段上时，求证：； (2)设，的面积为．当点在线段上时，求与之间的函数关系式，写出函数的定义域； (3)连接，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，通过证明即可得出； （2）过点作，垂足为，先根据勾股定理求出的长，又，，根据三角形的面积公式即可列出函数关系式； （3）根据题意画出图形，并连接，先根据四边形是平行四边形，证出为直角，在中，，，，继而即可求出的长． 【解析】（1）解：连接（如图1）．    由四边形是菱形，， 得：，，． 是等边三角形． ． 又，， ． 在和中， ，，， ． ． （2）解：过点作，垂足为（如图2）    在中，，， ． 又，， ， ， 即． （3）解：①当点在的延长线上时， 如图3，连接，   四边形是菱形， ． 当四边形是平行四边形时，． ． ，． 在中，，，． ， 根据直角三角形中对应的边等于斜边的一半， ； ②当点与重合时，此时点与点重合（不合题意舍去）． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，是一道综合题，有一定难度，解题的关键是对这些知识的熟练掌握以便灵活运用． 12．（23-24八年级下·上海浦东部分学校·期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CE＝CF，AE＝AF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AE＝5，点P在直线AF上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么△ABP的底边长为 　 　．（请将答案直接填写在空格内） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）8或或6 【分析】（1）连结，证明，得到相等的角，再由平行线的性质证明，从而得，由菱形的定义判定四边形是菱形； （2）连结，交于点，作于点，由菱形的面积及边长求出菱形的高，再求的长，由勾股定理列出关于、的等式，整理得到关于的函数解析式； （3）以为腰的等腰三角形分三种情况，其中有两种情况是等腰三角形与或全等，另一种情况可由（2）中求得的菱形的高求出的长，再求等腰三角形的底边长． 【解析】解：（1）证明：如图1，连结， ，，， ， ， 即； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形 （2）如图2，连结，交于点，作于点，则， 由（1）得，四边形是菱形， ， ， ，， ， ， ， 由，且，得， 解得； ， ， 由，且，得， 点在边上且不与点、重合， ， 关于的函数解析式为， （3）如图3，，且点在的延长线上， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即等腰三角形的底边长为8； 如图4，，作于点，于点，则， ， ， ， ， ， 由（2）得，， ， ， 即等腰三角形的底边长为； 如图5，，点与点重合，连结， ，，， ， ， 即， 等腰三角形的底边长为6． 综上所述，以为腰的等腰三角形的底边长为8或或6， 故答案为：8或或6． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、求与几何图形有关的函数关系式等知识与方法，在解第（3）题时，需要进行分类讨论，求出所有符合条件的值，以免丢解． 13．（2025八年级下·上海·统考期中新编）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点（点不与、重合）， ，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形． （1）求证：； （2）连接、，设，的面积为．求关于的函数关系式并写出定义域； （3）设、相交于点如果是等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)或 【分析】（1）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，得到EN＝EM，通过证明△DEM≌△FEM，即可得到答案； （2）通过“SAS”可证△ADE≌△CDG，可得AE＝CG，证明∠ACG＝90°即可解决问题． （3）分两种情形：如图1中，当ED＝EH时，如图2中，当HD＝HE时，分别求解即可． 【解析】解：（1）如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE． （2）∵四边形DEFG是矩形，EF＝DE， ∴矩形DEFG是正方形； ∵四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∵AD＝DC＝2，∠ADC＝90°， ∴AC＝， ∴y＝EC•CG＝•x•（﹣x）＝﹣x2+x（0＜x＜）； （3）如图1中，当ED＝EH时， ∵ED＝EH， ∴∠EDH＝∠EHD， ∵∠EHD＝∠HEC+∠ECH＝45°+∠CEH，∠CED＝∠CEH+∠DEG＝∠CEH+45°， ∴∠CDE＝∠CEH+45°， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝2， ∴AE＝AC﹣EC＝． 如图2中，当HD＝HE时，点C与F重合，此时AE＝EC＝， 综上所述， AE的值为或2． 【点睛】本题考查了四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 题型7：分类讨论、动态问题结合 14．（23-24八年级下·上海普陀·期中）小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿指它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，可以得到． (1)如图1，如果与相交于点O，求证； (2)如图2，如果，当为顶点的四边形是矩形时，求出的长； (3)如图3，如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)或2 (3)或或 【分析】（1）由平行四边形的定义可得，，，由折叠的性质可得，，于是可得、是等腰三角形，利用对顶角相等求得和即可证明； （2）分类讨论：①当四边形为矩形时和②当四边形为矩形时求解即可； （3）分类讨论：①当时， ②当时和③当时，根据含直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可． 【解析】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． 由折叠可知，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：①当四边形为矩形时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴； ②当四边形为矩形时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上可知当为顶点的四边形是矩形时，的长为或2； （3）解：如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 解：分类讨论：①当时，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴； ③当时，如图，作于点H， 由折叠可知， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴．　 综上可知的长为或或． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出图形并利用分类讨论的思想是解题关键． 15．（20-21八年级下·上海徐汇·期中）已知矩形纸片ABCD的边AB=1，AD=2，点M在边AD上（点M不与点A重合），联结BM，将△ABM沿BM翻折，点A落在E处，射线ME交射线BC于点P． (1)如图1，当点M与点D重合时，请求出PC的长； (2)当点P在边BC上时，设AM=x，BP=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)联结CE，△PCE是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有相应的AM的长度；如果不可能，试说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)0.5或2或 【分析】（1）根据AAS证明△CPD≌△EPB，设PC=a，则DP=2-a，由勾股定理PC2+ DC2 =PD2,即可求出PC的长； （2）过点M作MQ⊥BC，根据AAS证明△MPQ≌△BPE,即可得出关系式 （3）分情况讨论：P在BC延长线上CP=CE和P在BC上PC=PE 【解析】（1）解：在矩形ABCD 中  AB= CD =1，AD= CB =2，∠A=∠C=90° 由翻折可知 ED= AD=2 ∠E=∠A=90° 又∠DPC=∠BPE ∴△CPD≌△EPB ∴BP=DP，PC=PE 设PC=a， 则DP=2-a 由勾股定理PC2+ DC2 =PD2,得PC2+12 =（2-PC）2 解得PC= （2） 过点M作MQ⊥BC 易证△MPQ≌△BPE ∴BP=MP=y，PQ=PE=x-y 由勾股定理PQ2+ MQ2 =PM2,得(x-y)2+ 12 = y 2 解得 （3）能，理由如下： 当PC=PE时AM=0.5 过点M作MN⊥BC 由勾股定理MN2+ NP2 =MP2,得12+（-x）2=（2-+x）2 解得  x1=0.5 x2=-2（舍去） 同理可得：当PC=PE时AM=2 当CP=CE时AM= 综上可知，AM的长为5或2或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，借助勾股定理进行计算． 16．（2025八年级下·上海·名校期中新编）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形BFEP为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动； ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．    【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论； （2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案． 【解析】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ， ∴点B与点E关于PQ对称， ∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 又∵EFAB， ∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∴EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四边形BFEP为菱形； （2）解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°， ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝5cm， 在RtCDE中，DE＝＝4cm， ∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm； 在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE， ∴EP2＝12+（3﹣EP）2， 解得：EP＝cm， ∴菱形BFEP的边长为cm； ②当点Q与点C重合时，如图2： 点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm； 当点P与点A重合时，如图3所示： 点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm， ∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．       【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$