特训06 期中解答压轴题（九大题型，江苏期中最新精选）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训06 期中解答压轴题（九大题型，江苏期中最新精选） 目录： 题型1：给出条件求解（分类讨论型） 题型2：动点问题 题型3：旋转问题 题型4：折叠问题 题型5：动态问题综合+折纸活动 题型6：情景探究题 题型7：以教材为背景的探究题 题型8：综合活动题 题型9：（特殊）平行四边形的坐标应用 题型1：给出条件求解（分类讨论型） 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 题型2：动点问题 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒． (1)当点H与点D重合时，　　； (2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形的对角线与相交于点， ①当时，t的值为　　； ②当时，求出t的值． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在边长为4的正方形中，      (1)如图1，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点运动到点时停止运动，点也随之停止运动． ①求证：； ②当点运动到何处时，？请加以证明． (2)如图2，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点达到点时停止运动，点也随之停止运动． 在整个运动过程中，与的交点为，请求出的最小值． 4．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．    (1)如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； (3)当_______时，的面积S最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________． 题型3：旋转问题 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，将四边形绕点A旋转，使得点B的对应点恰好落在射线上，旋转后的四边形为，连接交于点E．    (1)如图①，若四边形为正方形，则四边形是________．（填序号） ①平行四边形；  ②矩形；  ③菱形； (2)如图②，若四边形为矩形，若，，交于点F，求的长． (3)如图③，若与互相平分，求证：． 6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 ； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ．    7．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 题型4：折叠问题 8．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 9．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）问题提出 （1）如图1，在正方形中，为边上一点（不与点，重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 问题探究 （2）在（1）的基础上，解答下列问题： ①如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接并延长，交边于点，求的度数； ②如图③，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．若正方形的边长为4，的中点为，求的最小值． 题型5：动态问题综合+折纸活动 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上一点且，点是线段上一动点（不与端点重合，可以与端点重合），将沿折叠，得到点的对称点为点，连接． (1)若点在边中点时，则的长为______； (2)若为直角三角形时，求的长； (3)若绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，连接．若为等腰三角形时，求的长． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； (2)【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 题型6：情景探究题 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至FE，作射线交的延长线于点G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ．    13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）我们在解决问题的时候，常通过全等变换将分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的． (1)【发现问题】如图1，点分别是正方形的边上的点，连接，若，则线段之间数量是 ； (2)【类比探究】如图2，为正方形内一点，，求的度数； (3)【拓展延伸】如图3，在四边形中，，．试探究之间的数量关系，并说明理由． 14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）． （1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由． （2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）． （3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长； （4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值． 题型7：以教材为背景的探究题 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【教材回顾】下图是苏科版八年级上册数学教材第86页“探索三角形中位线定理”的部分内容： 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？ （1）剪一张三角形纸片，记为； （2）分别取、的中点D、E，连接； （3）沿将剪成两部分，并将绕点E按顺时针方向旋转到的位置（如图）． （1）在上述操作中，四边形是平行四边形吗？证明你的结论； 【类比操作】怎样将一张三角形纸片剪成三部分，使这三部分能拼成一个平行四边形？ 小慧同学做了如下操作： ①剪一张三角形纸片，记为； ②分别取、的中点D、E，连接； ③在、上分别任取一点P、Q，连接； ④将四边形和四边形剪下，分别绕点D、 点E旋转至四边形和四边形的位置． 如图1，四边形即是平行四边形． （注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （2）若为等边三角形，，则小慧拼成的四边形周长的最小值为________，最大值为________； 【拓展操作】怎样将一张三角形纸片剪成四部分，使这四部分能拼成一个矩形？ 小聪受小慧同学的启发，进行了如下操作： ①剪一张三角形纸片，记为，分别取、的中点D、E； ②在上任取一点P，并在上作，连接，过点D、Q分别作、，垂足分别为点F、G． ③沿、、将剪成四块，即可拼成一个矩形． （3）若保留其中一块不动，请你借助无刻度的直尺和圆规，在图2中画出小聪拼成的矩形； （不写作法，保留作图痕迹，画出一种即可） 【深度思考】 （4）如图3，一张等腰直角三角形纸片，，仿照小聪的做法将剪拼成矩形，当的长为________时，拼成的矩形是正方形． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期中）学习了《中心对称图形》后，阿中与茜茜对平行四边形进行了再次探究：    (1)阿中发现：命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题，如何举反例说明呢？茜茜稍作思考说：“取一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，在边上取一点D（不是中点），连接，沿剪开纸片，重新拼接……”， 请你完成茜茜的举反例过程，画出相应的图形，并配以必要的说明； (2)阿中进一步探究发现：“一组对边相等且一组对角是直角的四边形是矩形”，请你完成证明过程； 已知：如图2，四边形中，，，求证：四边形是矩形． (3)茜茜发现折叠矩形可以得到菱形：如图3，将矩形折叠，使得A、C两点重合，点B落在点，折痕分别交边于E、F两点，交于O两点，则四边形是菱形．请在框图中补全茜茜的证明思路． 茜茜的证明思路 由折叠易知是的垂直平分线，可以先证① ，得到② ，又由，可得四边形是平行四边形，再由③ ，于是是菱形． (4)茜茜给阿中出了一道思考题：“如图4，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，将矩形沿着直线折叠，使点A与矩形内部的点P重合，问的最小值是多少？”请聪明的你用矩形纸片操作探究一下，直接写出的最小值． 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）【教材回顾】 （1）苏科版教材八下第九章《中心对称图形—平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点 O在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，与具有怎样的数量关系? 爱思考的小歆和小涵同学分别探究出了如下两种解题思路： 小歆：考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，即可通过证明三角形全等得到与的数量关系． 小涵：利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了三角形全等，可以得到与的数量关系． 通过他们的思路点拨，你认为与的数量关系为 ，并请选择一种思路去证明； 【类比探究】 （2） 如图2， 若将（1） 中的“正方形”改为“的菱形”， 其他条件不变，当时，判断以下结论正确的有 （填写所有正确的结论序号），并选择一个正确的结论去证明． ①；                      ②； ③四边形的周长为定值；  ④四边形的面积为定值． 【拓展应用】 （3） 如图3， 学校内有一块四边形的花圃， 满足， ，， 花圃内铺设了一条小路， 平分， 为方便学生赏花， 现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上．直接写出入口到点 A 的距离的长 ． 题型8：综合活动题 18．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．    (1)发现问题： 如图1，在和中，，，，连接，，延长BE交于点D．则与的数量关系： ， ． (2)类比探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)实践应用： 如图3，正方形中，，M点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P，则线段最大值为 ． 19．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】 （1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_________； 【解决问题】 （2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点，则_________； 【迁移应用】 （3）如图4，正方形的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，则_________； （4）如图5，在菱形中，，是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若，则_________． 题型9：（特殊）平行四边形的坐标应用 20．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t（s）． (1)如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标； (2)若直线与直线相交于点M，且时，． ①求点C的坐标； ②当时，的大小是否发生变化，请说明理由． 21．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 期中解答压轴题（九大题型，江苏期中最新精选） 目录： 题型1：给出条件求解（分类讨论型） 题型2：动点问题 题型3：旋转问题 题型4：折叠问题 题型5：动态问题综合+折纸活动 题型6：情景探究题 题型7：以教材为背景的探究题 题型8：综合活动题 题型9：（特殊）平行四边形的坐标应用 题型1：给出条件求解（分类讨论型） 1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；②正方形的边长为 (2)或 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质和矩形的性质易证，进一步可得，即可得证； ②过点作于点，易证，可得，根据已知条件可得的长，进一步可得的长； （2）分情况讨论：当，当时，根据正方形的性质以及三角形的内角和定理即可求出的度数． 【解析】（1）①证明：如图，作于，于，得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． ， ， 连接， ， ． 正方形的边长为； （2）解：分情况讨论： 当， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： ， ， ， ， ， 综上，或． 题型2：动点问题 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒． (1)当点H与点D重合时，　　； (2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形的对角线与相交于点， ①当时，t的值为　　； ②当时，求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)①4；②3 【分析】（1）由四边形是菱形，，可得，，，，，点与点重合时，，有，即得； （2）①当在边上，即时，根据三角形的面积公式即可解答；②当在边延长线上，即时，设交于，求出，即可得到答案； （3）①当时，证明是的中位线，得是中点，从而可得与重合，此时，与重合，可得到； ②当时，延长交于，证明是的中位线，从而可得，而在中，，，故，即得． 【解析】（1）解：四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 当点与点重合时，， ， ； （2）解：①当在边上，即时，如图：    矩形与菱形重叠部分图形的面积即是矩形的面积， ， ②当在边延长线上，即时， 设交于，如图：    在中，，， ，， ， 矩形与菱形重叠部分图形的面积， 综上所述，矩形与菱形重叠部分图形的面积， （3）解：①当时，如图： 过点A作，交延长线于点T， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 四边形是矩形， 是的中点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 又是中点，， 与重合，此时，与重合， ； 故答案为：4； ②当时，延长交于，如图：   ， ， 是的中点， 是的中位线， 是的中点， ， ， ， 在中，，， ，， 在中，， ，， ， ． 【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用表达出相关线段的长度，再列方程解决问题． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在边长为4的正方形中，      (1)如图1，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点运动到点时停止运动，点也随之停止运动． ①求证：； ②当点运动到何处时，？请加以证明． (2)如图2，若点从点向点运动，点从点向点运动，它们运动速度相同，当点达到点时停止运动，点也随之停止运动． 在整个运动过程中，与的交点为，请求出的最小值． 【答案】(1)①见解析；②点运动到的中点处时，，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①证明得出，由得出，最后由三角形内角和定理得出，即可得证；②连接，证明得出，证明点、、、四点共圆，得出，结合①中的，得出，再由平行线的性质得出，从而得出，即可得证； （2）连接，延长到点，使，连接交于，连接，证明，得出，从而得出，则当点在点处时，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理计算即可得出答案． 【解析】（1）证明：由题意得：， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ②当点运动到的中点处时，， 理由如下：连接，   ， 点为的中点， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 点、、、四点共圆， ， 由①得：， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，延长到点，使，连接交于，连接，   ，四边形为边长为4的正方形， ，， 由题意得：， 在和中， ， ， ， ， 当点在点处时，的值最小，即的值最小， ， ， 的值最小为． 4．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．    (1)如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______； (2)如图2，当四边形是菱形时， ①求证：； ②求S与x的函数关系式； (3)当_______时，的面积S最小； (4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________． 【答案】(1)2；5 (2)①详见解析；② (3) (4) 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）①连接，理由平行线的性质证明即可； ②如图，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，S的最大．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长． 【解析】（1）解：如图1中，   四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 过点M作于点H． 同法可证， 可得， ． 故答案为：； （2）①连接 四边形为矩形，    四边形为菱形， 即 ②， 过点M作，垂足为Q    四边形为矩形 四边形为菱形 在和中 ， ∴ ． （3）如图4中，    当点M在上时，x的值最大，的面积最小， 此时同（2）, ， ∴， ∴， ∴S的最小时，x为； 故答案为： ． （4）解：如图3中，    在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题，属于中考压轴题． 题型3：旋转问题 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，将四边形绕点A旋转，使得点B的对应点恰好落在射线上，旋转后的四边形为，连接交于点E．    (1)如图①，若四边形为正方形，则四边形是________．（填序号） ①平行四边形；  ②矩形；  ③菱形； (2)如图②，若四边形为矩形，若，，交于点F，求的长． (3)如图③，若与互相平分，求证：． 【答案】(1)① (2) (3)见解析 【分析】（1）利用正方形的性质和旋转的性质可得出，，即可判断四边形是平行四边形； （2）连接，，，与相交于点，根据矩形的性质推出，进一步证明四边形是平行四边形，可得，根据平行四边形的性质得到，，设，证明，得到，在中，利用勾股定理列出方程，解之即可； （3）连接，，连接交于点，首先证明四边形是平行四边形，得到，，进一步推理得出，可得，则，得到，从而可得，即可证明． 【解析】（1）解：由旋转可知：四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①； （2）解：连接，，，与相交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，设，则， 由旋转可知：， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：，即； （3）证明：连接，，连接交于点． ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∴，． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴，即． ∴． 又， ∴． ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形和矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，知识点较多，综合性很强，要在图形中合理利用四边形的性质，将角和边互相转化． 6．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 ； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，可得出和的数量关系，即可得出结论； （2）将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，则，，，再证明得到，从而利用勾股定理得到，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，利用，证明，，再证明是直角三角形即可． 【解析】解：（1）结论：； 理由：绕点逆时针旋转，得到，， ，， ，， ， 、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 在正方形中，， 将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，则，    ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，如图，   ， 又，， ， ，， 四边形是菱形，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是学会运用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 7．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，或；② 【分析】（1）延长交于，根据四边形是正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证； （2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时的长最大，由即可得到答案． 【解析】（1）如图，延长交于， 点是正方形两对角线的交点， ，， 四边形是正方形 在和中， ， ， ， ， ， ， 即； （2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况： 如图2，由增大到过程中， 当时， ， 在中， ， ，， ， ，即； 由增大到过程中，当时，如图 同理可求， ， 综上所述，当时，或； ②如图，连接， 四边形是正方形， ，， 正方形的边长为2， ， ， 则， 当时， 、、在一条直线上，此时的长最大， 最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型4：折叠问题 8．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【解析】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．    【点睛】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）问题提出 （1）如图1，在正方形中，为边上一点（不与点，重合），垂直于的一条直线分别交，，于点，，．判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 问题探究 （2）在（1）的基础上，解答下列问题： ①如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接并延长，交边于点，求的度数； ②如图③，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．若正方形的边长为4，的中点为，求的最小值． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①；②的最小值为． 【分析】（1）过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得出，证明得出，即可得出结论； （2）①连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论； ②连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明得出，证明得出，，由正方形的性质得出，易得出，得出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果． 【解析】解：（1）线段、、之间的数量关系为：；理由如下： 四边形是正方形， ，，， 过点作分别交、于点、，如图所示： 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）①连接，过点作，分别交、于点、，如图所示： 四边形是正方形， 四边形为矩形， ，，， 是正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形，，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即； ②连接交于点，如图所示： 则的直角顶点在上运动， 设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为， ，， ， 当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接， 点在上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折性质得：， 在和中， ， ， ，， 是正方形的对角线， ， 易得， ， ， ，故， 点在线段上运动； 过点作，垂足为， 点为的中点， ，则的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 题型5：动态问题综合+折纸活动 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上一点且，点是线段上一动点（不与端点重合，可以与端点重合），将沿折叠，得到点的对称点为点，连接． (1)若点在边中点时，则的长为______； (2)若为直角三角形时，求的长； (3)若绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点，连接．若为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）连接，勾股定理求得，进而根据等面积法求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理，证明,进而勾股定理，即可求解； （2）分，时，分别画出图形，根据勾股定理，即可求解； （3）分，时，分别画出图形，结合（2）的结论，即可求解； 【解析】（1）解：如图所示，连接 ∵四边形是矩形，，，点在边中点时，则， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴ 又 ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：如图所示，当时， ∵ ∴三点共线， ∵ ∴ ∴ 此时， 当，如图所示， ∵ ∴ 又 ∴ ∴四边形是矩形，则在上， ∵折叠， ∴ ∴ 在中，， 综上所述，的长为或 （3）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵ ∴， ∵ ∴不存在的情形 分两种情况讨论， 如图所示，当时，过点作于点， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ 由（2）可得 当时，如图所示， ∴ ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴在上， 由（2）可得． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠问题，等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________； (2)【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________，________； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，当，请直接写出的长． 【答案】(1)30 (2)①，；② (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； （2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可； （3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解 【解析】（1）解：， ， ， 如图，取的中点O，连接， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：30； （2）①四边形是正方形， ，， 由折叠性质得：，， ， ， ， ，， 同法（1）可得：， ， ， ， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， 解得：， ， 在中，， 根据勾股定理：，即， ， ， 故答案为：15，； ②，理由如下： ，， ， ； （3）当点Q在点F的下方时，如图， ，， ， ， 由（2）可知，， 设， ， 即， 解得：， ； 当点Q在点F的上方时，如图， ，， ， 由（2）可知，， 设， 即， 解得：， ， 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键 题型6：情景探究题 12．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至FE，作射线交的延长线于点G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ．    【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）①，理由见解析；② 【分析】（1）根据矩形全等，易证，得到，即可求出的度数； （2）过点作交延长线于点，根据正方形和旋转的性质，易证，进而得出，分别证明和是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①过点作，交延长线于点，根据菱形和旋转的性质，易证，得到，，，再结合等腰三角形的性质，得出，从而得出，然后根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可得出结论； ②由垂线段最短可知，当，最小，过点作延长线于点，过点作于点，证明，得到，再根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的特征，求出，即可求出的面积． 【解析】解：（1）矩形和矩形全等， ，，， ， ， ， 故答案为：90； （2）如图，过点作交延长线于点，   四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）①，理由如下： 如图，过点作，交延长线于点，   四边形是菱形，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，连接， 由垂线段最短可知，当，最小， 由①可知，，，， 如图，过点作延长线于点，过点作于点，   ， ， ， 又， ， ， 四边形是菱形，，， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形等知识，正确作辅助线，根据模型延伸结论是解题关键． 13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）我们在解决问题的时候，常通过全等变换将分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的． (1)【发现问题】如图1，点分别是正方形的边上的点，连接，若，则线段之间数量是 ； (2)【类比探究】如图2，为正方形内一点，，求的度数； (3)【拓展延伸】如图3，在四边形中，，．试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，，将绕点顺时针旋转，得到，可证明，得，因为，所以； （2）由正方形的性质得，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，，所以，，由，根据勾股定理的逆定理得，则，于是得到问题的答案； （3）以为一边在的右侧作等边三角形，连接、，由，，证明是等边三角形，则，，，所以，即可证明，由，，求得，则，而，，所以． 【解析】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将绕点顺时针旋转，得到，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）解：如图2，四边形是正方形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到，连接， ，， ，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ； （3）解：，理由如下： 如图3，以为一边在的右侧作等边三角形，连接、， ， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）． （1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由． （2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）． （3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长； （4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1）成立，证明见解析；（2）或；（3）或；（4） 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，继而得到，证明，可得；延长，二线交于点M，与交于点N，利用全等三角形的性质，对顶角性质，余角的性质，可证明． （2）画图分类计算即可． （3）连接，交于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可； （4）连接，取中点M，连接，则，利用三角形中位线定理，三角形不等式，勾股定理解答即可． 【解析】（1）且仍成立．理由如下： ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴；； 延长，二线交于点M，与交于点N， 则，， ∴， ∴， ∴． 故且． （2）如图，∵， ∴， ∴， 故； 如图，∵， ∴， ∴， ∴， 故． ． 故答案为：或 （3）当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时， 连接交于点M， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，,, ∴， ∵， ∴， ∴； ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，,, ∴， ∴； 当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时， 连接，交于点N， 同理可证，， ∴； 综上所述，的长为或； （4）如图，连接，取中点M，连接， 则， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴， , ∴， ∵， ∴三点共线时，线段长度取得最大值， 此时，． 故线段长度的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式的应用求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形不等式是解题的关键． 题型7：以教材为背景的探究题 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【教材回顾】下图是苏科版八年级上册数学教材第86页“探索三角形中位线定理”的部分内容： 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？ （1）剪一张三角形纸片，记为； （2）分别取、的中点D、E，连接； （3）沿将剪成两部分，并将绕点E按顺时针方向旋转到的位置（如图）． （1）在上述操作中，四边形是平行四边形吗？证明你的结论； 【类比操作】怎样将一张三角形纸片剪成三部分，使这三部分能拼成一个平行四边形？ 小慧同学做了如下操作： ①剪一张三角形纸片，记为； ②分别取、的中点D、E，连接； ③在、上分别任取一点P、Q，连接； ④将四边形和四边形剪下，分别绕点D、 点E旋转至四边形和四边形的位置． 如图1，四边形即是平行四边形． （注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （2）若为等边三角形，，则小慧拼成的四边形周长的最小值为________，最大值为________； 【拓展操作】怎样将一张三角形纸片剪成四部分，使这四部分能拼成一个矩形？ 小聪受小慧同学的启发，进行了如下操作： ①剪一张三角形纸片，记为，分别取、的中点D、E； ②在上任取一点P，并在上作，连接，过点D、Q分别作、，垂足分别为点F、G． ③沿、、将剪成四块，即可拼成一个矩形． （3）若保留其中一块不动，请你借助无刻度的直尺和圆规，在图2中画出小聪拼成的矩形； （不写作法，保留作图痕迹，画出一种即可） 【深度思考】 （4）如图3，一张等腰直角三角形纸片，，仿照小聪的做法将剪拼成矩形，当的长为________时，拼成的矩形是正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）；；（3）画图见解析；（4） 【分析】（1）、证明，，可得，，证明，，可得共线，可得，从而可得结论； （2）先证明，可得拼成的平行四边形的周长为，最小，平行四边形周长最小，最大，平行四边形周长最大，再进一步求解可得答案； （3）如图，延长至，使，延长至，使，以为圆心为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，，可得四边形为所求作的矩形； （4）求解，，可得：，如图，当四边形为正方形，可得，求解，证明，可得，求解，取的中点，连接，证明，可得，过作于， 证明，再进一步可得答案． 【解析】解：（1）、四边形是平行四边形，理由如下： 如图， ∵，分别为、的中点， ∴，， ∴，， 由旋转可得：，， ∴，， ∴共线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）、如图， 由旋转可得：，，， ∴， ∴， 如图，当为边长为的等边三角形， ∴，， ∴拼成的平行四边形的周长为， ∴最小，平行四边形周长最小，最大，平行四边形周长最大， ∴当时，最小，过作与交于， ∴， ∴， ∵分别为中点， ∴，， ∴， 此时平行四边形周长最小值为：； 当重合，重合时，最大，如图中的， 此时， 同理可得：， ∴， ∴此时平行四边形周长的最大值为：； （3）如图，延长至，使，延长至，使，以为圆心为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧交于，连接，，，，，， 由，，， ∴， ∴，， ∴共线， 同理可得：， ∴四边形四边形；， ∴， 同理可得：四边形四边形，， ∴共线， 同理可得：， ∴矩形即为所求作的矩形； （4）∵，， ∴，， 由中位线的性质可得：， 如图，当四边形为正方形， ∴， ∴， 结合（3）可得：， ∴， 由（3）可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作于，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，全等三角形的综合问题，矩形的判定与性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，本题难度很大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16．（23-24八年级下·江苏南京·期中）学习了《中心对称图形》后，阿中与茜茜对平行四边形进行了再次探究：    (1)阿中发现：命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题，如何举反例说明呢？茜茜稍作思考说：“取一张如图1所示的等腰三角形纸片，其中，在边上取一点D（不是中点），连接，沿剪开纸片，重新拼接……”， 请你完成茜茜的举反例过程，画出相应的图形，并配以必要的说明； (2)阿中进一步探究发现：“一组对边相等且一组对角是直角的四边形是矩形”，请你完成证明过程； 已知：如图2，四边形中，，，求证：四边形是矩形． (3)茜茜发现折叠矩形可以得到菱形：如图3，将矩形折叠，使得A、C两点重合，点B落在点，折痕分别交边于E、F两点，交于O两点，则四边形是菱形．请在框图中补全茜茜的证明思路． 茜茜的证明思路 由折叠易知是的垂直平分线，可以先证① ，得到② ，又由，可得四边形是平行四边形，再由③ ，于是是菱形． (4)茜茜给阿中出了一道思考题：“如图4，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，将矩形沿着直线折叠，使点A与矩形内部的点P重合，问的最小值是多少？”请聪明的你用矩形纸片操作探究一下，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；； (4)的最小值是． 【分析】（1）重新拼接如图所示，即可证明四边形不是平行四边形； （2）连接，证明，推出，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是矩形； （3）由折叠的性质得是的垂直平分线，证明，推出，证明四边形是平行四边形，据此即可证明结论成立； （4）当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，即可求得的最小值． 【解析】（1）解：等腰三角形纸片，其中，在边上取一点D（不是中点），连接，沿剪开纸片，重新拼接如图所示，    ∴，，而， ∴四边形不是平行四边形， ∴命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题； （2）证明：连接，    ∵，，且， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）证明：由折叠知是的垂直平分线， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， 故答案为：；；； （4）解：如图，连接，．    ，， ，此时的最小值， ， ， 当与重合时，的值最小，由折叠得：，    由勾股定理得：， ， 当，，共线时，有最小值， ， 则的最小值是． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，注意运用数形结合的思想． 17．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）【教材回顾】 （1）苏科版教材八下第九章《中心对称图形—平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点 O在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，与具有怎样的数量关系? 爱思考的小歆和小涵同学分别探究出了如下两种解题思路： 小歆：考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，即可通过证明三角形全等得到与的数量关系． 小涵：利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了三角形全等，可以得到与的数量关系． 通过他们的思路点拨，你认为与的数量关系为 ，并请选择一种思路去证明； 【类比探究】 （2） 如图2， 若将（1） 中的“正方形”改为“的菱形”， 其他条件不变，当时，判断以下结论正确的有 （填写所有正确的结论序号），并选择一个正确的结论去证明． ①；                      ②； ③四边形的周长为定值；  ④四边形的面积为定值． 【拓展应用】 （3） 如图3， 学校内有一块四边形的花圃， 满足， ，， 花圃内铺设了一条小路， 平分， 为方便学生赏花， 现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上．直接写出入口到点 A 的距离的长 ． 【答案】（1）；（2）①④；（3） 【分析】（1）根据四边形是正方形，，可证，故； （2）将绕点O逆时针旋转交于点G，则，证明，则，，故①符合题意； 而，故②不符合题意； 而，点G为中点，故面积不变，故④符合题意；而，由于点E是动点，∴是变量，故周长不是定值，故③不符合题意； （3）连接，在上截取，使，连接，可证，，，四点共圆，是等边三角形，故，，而，，有是等边三角形，即可证明，故，，在 中可得，从而． 【解析】解：（1）如图： 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）正确的有①④， 将绕点O逆时针旋转交于点G，则，如图： 四边形是菱形，， ，，而， ∴， ∴为等边三角形，∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①符合题意； ∴，故②不符合题意； 而，点G为中点，故面积不变，故④符合题意； 而，由于点E是动点，∴是变量，故周长不是定值，故③不符合题意， 故答案为：①④． （3）连接，在上截取，使，连接，如图： ，平分， ， ，， ， ，，，四点共圆， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，菱形的性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型8：综合活动题 18．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．    (1)发现问题： 如图1，在和中，，，，连接，，延长BE交于点D．则与的数量关系： ， ． (2)类比探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)实践应用： 如图3，正方形中，，M点为线段中点．将正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形．连接、，直线交直线于点P，则线段最大值为 ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据得到得到，证明即可得证； （2）根据全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰直角三角形的性质，结合图形解答． （3）先证明点P，C，D，B四点共圆，得到，连接，确定点P在以为直径的圆上，设的中点为点O，连接，计算，，结合，得到点M，O，P三点共线时，取得最大值，计算最大值为． 【解析】（1）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，    ∴，， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）线段，，之间的数量关系是，理由如下： 如图，设、的交点为N，    ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， 为中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵正方形，且正方形绕点A顺时针旋转，形成正方形． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∴， 连接， ∴点P在以为直径的圆上， 设的中点为点O，连接， ∵，M点为线段中点， ∴，， ∴， ∵， ∴点M，O，P三点共线时，取得最大值， 且最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，正方形的性质，三角形不等式等知识，熟练掌握全等三角形的判定，勾股定理，中位线定理是解题的关键． 19．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】 （1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_________； 【解决问题】 （2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点，则_________； 【迁移应用】 （3）如图4，正方形的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，则_________； （4）如图5，在菱形中，，是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若，则_________． 【答案】（1）45；（2）①详见解析；②4；（3）5；（4）2 【分析】（1）由题意得，，继而得到是等腰直角三角形，即可得到本题答案； （2）①根据矩形性质可得，继而得到，再利用等腰三角形性质即可得到本题答案；②过点作交于点，利用角平分线判定即可得到，再证明，即可得到本题答案； （3）在上截取一点，使得，利用旋转性质证明，继而得到，即可得到本题答案； （4）过点作，与延长线交于点，利用菱形性质得，，证明，再得到是直角三角形，继而利用边关系即可得到本题答案． 【解析】解：（1）由题意得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）①∵矩形绕点顺时针转动， ∴为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②过点作交于点， ， ∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴设， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， 故答案为：； （3）在上截取一点，使得， ， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为5， ∴， 故答案为：； （4）过点作，与延长线交于点， ， ∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴ ∵， ∴，即， 故答案为：2． 【点睛】本题考查矩形性质，等腰直角三角形判定及性质，旋转性质，全等三角形判定及性质，菱形性质，三角形内角和定理等．正确作出辅助线是解决本题的关键． 题型9：（特殊）平行四边形的坐标应用 20．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t（s）． (1)如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标； (2)若直线与直线相交于点M，且时，． ①求点C的坐标； ②当时，的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不会改变，见解析 【分析】（1）过点作于点Q，设，则，由勾股定理解求出，再利用面积法求出，利用待定系数法求出的函数表达式，即可求解； （2）①连接，根据和对称，可得，结合，得出，再证，推出，即可求解； ②分和两种情况，利用折叠的性质及全等三角形的性质分别证明即可． 【解析】（1）解：如图，过点作于点Q， ∵矩形OABC中，，， ∴，， ∴， 由对称得，，则， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴点的横坐标为， 设的函数表达式为， 将代入得：， ∴的函数表达式为， 将代入得：， ∴； （2）解：①连接， ∵，， ∴，， ∵和对称， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②（Ⅰ）当时， ∵，， ∴， （Ⅱ）当时，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵，，， ∴，即． 综上：不会改变． 【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正比例函数、矩形的性质等知识点，利用折叠的性质找出全等三角形是解题的关键． 21．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． 【答案】(1)①；②直线的函数表达式为； (2)点的坐标为或或； (3)． 【分析】（1）先求得的坐标，根据勾股定理即可求出AB的长度，根据轴对称的性质求得的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据直线和直线关于y轴对称求出直线的解析式，根据点R在直线上，可设点的坐标为，然后分类讨论，结合平行四边形的性质和平移的性质，可用含有m的式子表示点T的坐标，再根据点T在直线上求出m的值，即可求出点的坐标； （3）求出点，进而求出的长度，然后再结合点求出直线和直线的解析式，进而求出点和，即可得到与的长度，最后再代入计算即可． 【解析】（1）解：①∵直线交x轴于A，交y轴于B， 令，． ∴，． ∴，． ∴，． ∴，． ∵， ∴； ②∵点与点C关于轴对称， ∴． ∵直线经过点C． ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵．， ∴设直线． ∴． 解得：． ∴直线． ∵点R在直线上， ∴设点的坐标为． ①如下图所示，当点R在线段上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ②如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ③如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：由题意得， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线与x轴交于点Q， ∴． ∴． 解得：． ∴． ∴． 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴． 解得：和（舍去）． ∴直线的解析式为． ∵直线与直线交于点M． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及坐标与长度的关系，勾股定理，轴对称和平移的性质，平行四边形的性质和判定定理，代数式求值，应用一次函数的性质正确求出点的坐标是解题关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$