精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

莆田十五中2024-2025学年下学期第一次月考 高一数学试题 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 （考试用时：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：（每题5分，共40分.在四个选项中只有一项是符合题目要求.） 1. 设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面命题中，正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 4. 已知四边形是平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若在中，，且，，则的形状是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 中，角，，的对边分别是，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（ ） A. 与 B. 与 C 与 D. 与 10. 如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，，则面积最大值为3 D. ，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，，则__________ 13. 在中，若，，，则__________ 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与夹角为120°，求： （1）； （2）在上的投影； （3）与的夹角. 16. 已知. （1）当k为何值时，与共线； （2）若，且三点共线，求m的值以及. 17. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 19. 如图所示，已知在中，点是以为对称中心点的对称点，，和交于点，设，. （1）用和表示向量、； （2）若，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田十五中2024-2025学年下学期第一次月考 高一数学试题 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 （考试用时：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：（每题5分，共40分.在四个选项中只有一项是符合题目要求.） 1. 设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 2. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断 【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误. 故选：C 3. 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算求解即可. 【详解】向量，， 若与共线，则， 所以. 故选：C. 4. 已知四边形是平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为四边形是平行四边形， 故, 故选：A 5. 若在中，，且，，则的形状是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】结合平面向量数量积的运算律得，即可判断求解． 【详解】在中，，且，， 则，即，即AB⊥BC，， 则的形状是等腰直角三角形． 故选：D 6. 如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，由正弦定理即可求出BC的值. 【详解】由题意知，， 由正弦定理得， 所以. 故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为. 故选：B. 7. 中，角，，的对边分别是，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，再由正弦定理得到，即可求出，从而得解. 【详解】由有， 由正弦定理有，又， 即， 所以， 又，则. 故选：D 8. 在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，先化简得到，，再利用向量的数据的运算公式，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】在等腰梯形中，已知，且， 所以，， 因为，， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量共线分别判断各个选项即可得出基底. 【详解】选项A，假设与共线，则存在实数，使得，即， 因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底. 选项B，因为，所以与共线，不能作为基底. 选项C，假设与共线，则存在实数，使得，即， 因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底. 选项D，假设与共线，则存在实数，使得，即， 因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底. 故选：ACD. 10. 如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（ ） A 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】由可得四边形是平行四边形，从而结合平行四边形的性质对选项逐一判断即可． 【详解】对A,由，四边形是平行四边形，所以，选项A正确； 对BD,平行四边形对角线与互相平分，得，，选项B错误，选项D正确； 对C,显然与相交，他们不是相等向量，选项C错误； 故选：AD 11. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B 若，则 C. 若，，则面积最大值为3 D. ，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理和二倍角公式即可判断AB；对C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断. 【详解】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的减法，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 13. 在中，若，，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用求出，再利用正弦定理即可求解. 【详解】因为，且，所以， 由正弦定理，可得. 故答案为： 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 【答案】54m 【解析】 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故答案为：54m. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与夹角为120°，求： （1）； （2）在上的投影； （3）与的夹角. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1） 根据向量的数量积公式计算即可；（2）根据投影的定义即可求出；（3）根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】解：（1）∵，，且与夹角为120°， ∴， ∴ （2）在上的投影为， （3）∵， ∴， ∴ ∴与的夹角为. 【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的夹角公式，属于基础题. 16. 已知. （1）当k为何值时，与共线； （2）若，且三点共线，求m的值以及. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量共线的坐标表示，及模长的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 易知，所以， 即时，与共线； 【小问2详解】 易知，由三点共线得， 17. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）正三角形． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答 （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，及，得， 所以. 【小问3详解】 由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案； （2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案. 【小问1详解】 因为，，且， 则.， 由正弦定理得， 因为，所以， 可得，即 且，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，或（舍）， 所以的面积. 19. 如图所示，已知在中，点是以为对称中心的点的对称点，，和交于点，设，. （1）用和表示向量、； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形的几何性质，结合向量的线性运算，可得答案； （2）利用向量的线性运算，可用同一组基底表示向量，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由题意得：，由，则， ， . 小问2详解】 设，则， 又，所以解得，即实数的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$