中考数学模拟卷（四川自贡专用）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

2025年中考数学模拟卷（自贡专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考试务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码是否粘贴正确。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值为（   ） A． B． C． D． 2．“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生．”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，杨絮、柳絮除了带给人们春天的讯息外，也会让人们不堪其扰．据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到△ABC，则的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D． 5．如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，△ABC是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 7．如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（   ） A． B． C．3 D．4 8．下列命题是真命题的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 9．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 12．关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④当时，一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②③ D．①③④ 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13．在实数范围内分解因式： ． 14．已知代数式的值是，则代数式的值是 ． 15．若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 16．在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是 ． 17．如图，点A，B，C是上的点，将点C沿着所在直线折叠，刚好与点O重合．若四边形的面积为，则阴影部分的面积为 （结果保留π） 18．如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（8分）计算：； 20．（8分）如图，在中，点E、F在上，，． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 21．（10分）某中学将在九年级开展社会实践活动，为了解学生在本市参加社会实践活动的选择意向，在九年级的每个班中随机抽取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图． 调查问卷在下面四个纪念馆中，你最想去的是（    ）（单选） A．秋收起义文家市会师纪念馆 B．湖南红色档案馆 C．中国共产党长沙历史馆 D．湖南辛亥革命人物纪念馆 纪念馆 人数 A 16 B m C 24 D 20 参加社会实践活动意向问卷调查扇形统计图 根据图表中提供的信息回答下列问题： (1)统计图表中的________， ； (2)如果该校九年级学生共有人，估计九年级学生最想去“野玉海”的有多少人？ (3)学校根据调查结果选出一个地点作为社会实践活动点．为方便管理，从甲、乙、丙、丁名学生中随机抽取名学生作为此次社会实践活动带队老师的助手，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、丁名学生的概率． 22．（10分）武夷山可以说是红茶和乌龙茶的发源地．茶业经过采成和制作后成为我们的饮品．某茶庄主要经营的茶类有红茶和乌龙茶，其中红茶卖的比较好的是A规格的茶，乌龙茶卖的比较好的是B规格的茶，它们的进价和售价如下表： 种类 A规格 B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格的进货量不低于B规格的3倍．如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，的外心为点，反比例函数的图象过点A． (1)求反比例函数和直线l的解析式； (2)在函数的图象上取异于点A的一点B，作轴于点C，连接OB交直线l于点P．若的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 24．（10分）如图，是的直径，为上一点，延长到点，过点作切于点，连接，，于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 25．（10分）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2） 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为米，半径为米，该团队分成三组分别乘坐号、号和号轿厢，当号轿厢运动到摩天轮最高点时，二组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，请连接、，则______°； （2）求出号轿厢运动到最高点时，号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） （4）根据号和号轿厢的测量数据，则号轿厢的测量数据x的值为______．（结果保留根号） 26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学模拟卷（自贡专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考试务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码是否粘贴正确。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故选：C 2．“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生．”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，杨絮、柳絮除了带给人们春天的讯息外，也会让人们不堪其扰．据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确． 故选：C． 3．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通砖的三倍以上．如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：其左视图是一个矩形，且中间有两条虚线，即 故选：D． 4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到△ABC，则的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D． 【答案】D 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， 作垂足为点， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 5．如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得， 所以，， ， 所以，点N的坐标为， 所以，点N在第四象限． 故选：D． 6．如图，△ABC是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴． 根据翻折可得：， 设， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 解得：． 在直角三角形中，由勾股定理可得： ． 故选A． 7．如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ， 过圆心且，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 8．下列命题是真命题的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【详解】解：A. 对角线相等且平分的四边形是矩形，原说法是假命题； B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法是假命题； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法是假命题； D. 对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题； 故选：D． 9．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得． 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵， ∴一元二次方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， ∴函数的图象与轴有2个交点，即． ①当，且中有一个数等于0时，则，， ∴函数的解析式为，其图象与轴有1个交点，即， ∴此时； ②当，且均不等于0时，则， 一元二次方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， ∴函数的图象与轴有2个交点，即， ∴此时； 综上，或， 故选：C． 11．如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点，设， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 由作图可知平分， ， 是等边三角形， ，， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，，， ， ， 解得：， ， 故选：C． 12．关于二次函数，有下列四个结论： ①对任意实数，都有与对应的函数值相等； ②若时，对应的的整数值有4个，则或； ③若抛物线与x轴交于A、B两点，且，则或； ④当时，一元二次方程一定有两个实数根． 以上结论，正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：二次函数的对称轴为， ，，则以为横坐标的两个点关于对称轴对称，故对应的函数值相等，故①正确； 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，对应的整数值有4个，分别是， ∴， ∴， 当时，，对应的整数值有4个，分别是， ∴， ∴， 综上，时，对应的的整数值有4个，则或；故②正确； 当时，，则， 当时，抛物线与轴交于两点，， ∴，当时，， ∴， 解得：， 当时，抛物线与轴交于两点，， ∴，当时，， ∴， 解得： ∴若抛物线与轴交于两点，且，则或，故③正确； 对于一元二次方程，， 若一元二次方程一定有两个实数根，则 当时，，即； 当时，，即；故④错误． 综上，正确的有①②③， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 14．已知代数式的值是，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵代数式的值是， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 15．若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 【答案】/度 【详解】解：依题意，六边形的内角和：， 则其余五个内角之和， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是 ． 【答案】/0.4 【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，， 其中，在第一象限，共2个点， ∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是． 故答案为：． 17．如图，点A，B，C是上的点，将点C沿着所在直线折叠，刚好与点O重合．若四边形的面积为，则阴影部分的面积为 （结果保留π） 【答案】 【详解】解：由折叠的性质知是半径的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴和都是等边三角形，四边形是菱形， 设与相交于点，， 则，， ∴， 由题意得，即， 解得（负值已舍）， ∴扇形的面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 18．如图，在正方形中，，点在边上，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 【答案】5或 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆， ∴当与相切时，最大 如图1，当点P在左侧时， 根据题意得，，， ∵ 过点P作，交的延长线于点H， ∴ ∴， 又∵ ，即 ，， ∴在中，； 如图2，当点P在右侧时， 同理，可得，， ∴ ∴在中，． 综上所述，的长为5或． 故答案为：5或． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（8分）计算：； 【答案】6 【详解】解：原式 ． 20．（8分）如图，在中，点E、F在上，，． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 21．（10分）某中学将在九年级开展社会实践活动，为了解学生在本市参加社会实践活动的选择意向，在九年级的每个班中随机抽取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图． 调查问卷在下面四个纪念馆中，你最想去的是（    ）（单选） A．秋收起义文家市会师纪念馆 B．湖南红色档案馆 C．中国共产党长沙历史馆 D．湖南辛亥革命人物纪念馆 纪念馆 人数 A 16 B m C 24 D 20 参加社会实践活动意向问卷调查扇形统计图 根据图表中提供的信息回答下列问题： (1)统计图表中的________， ； (2)如果该校九年级学生共有人，估计九年级学生最想去“野玉海”的有多少人？ (3)学校根据调查结果选出一个地点作为社会实践活动点．为方便管理，从甲、乙、丙、丁名学生中随机抽取名学生作为此次社会实践活动带队老师的助手，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、丁名学生的概率． 【答案】(1)； (2)估计九年级学生最想去“野玉海”的有人(3) 【详解】（1）解：由题可得调查总人数为（人）， 则（人）， ， 则， 故答案为：；； （2）解：估计九年级学生最想去“野玉海”的有（人）， 答：估计九年级学生最想去“野玉海”的有人； （3）解：根据题意画树状图，得： 共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、丁名学生的有种， 则恰好选中甲、丁名学生概率为． 22．（10分）武夷山可以说是红茶和乌龙茶的发源地．茶业经过采成和制作后成为我们的饮品．某茶庄主要经营的茶类有红茶和乌龙茶，其中红茶卖的比较好的是A规格的茶，乌龙茶卖的比较好的是B规格的茶，它们的进价和售价如下表： 种类 A规格 B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格的进货量不低于B规格的3倍．如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； (2)当购进A规格茶75斤，购进B规格茶25斤时，本次购进的茶全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【详解】（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，则购进B规格的茶斤， 由题意可得， 解得， ∴， 答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； （2）解：设该茶庄购进A规格的红茶x斤，则购进B规格的红茶斤， 依题意得，解得． 设本次购进的红茶全部销售完获得的利润为元， 则． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时． 答：当购进A规格茶75斤，购进B规格茶25斤时，本次购进的茶全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，的外心为点，反比例函数的图象过点A． (1)求反比例函数和直线l的解析式； (2)在函数的图象上取异于点A的一点B，作轴于点C，连接OB交直线l于点P．若的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，直线l的解析式为 (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； ∵的外心为点， ∴A为中点，即，， 设直线l解析式为， 将，代入得： ， 解得：，， 则直线l解析式为； （2）解：∵B为反比例函数图象上的点，且轴， ∴， ∵的面积是面积的3倍，， ∴， 设P横坐标为， ∴， ∴， 把代入，得． 则P坐标为． 24．（10分）如图，是的直径，为上一点，延长到点，过点作切于点，连接，，于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴∠ABD=90°， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 25．（10分）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2） 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为米，半径为米，该团队分成三组分别乘坐号、号和号轿厢，当号轿厢运动到摩天轮最高点时，二组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，请连接、，则______°； （2）求出号轿厢运动到最高点时，号轿厢所在位置点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） （4）根据号和号轿厢的测量数据，则号轿厢的测量数据x的值为______．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）米；（3）写字楼的实际高度约为米；（4） 【详解】解：（1）连接、，如下图所示： “海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢， ， 故答案为：． （2）过点作于点， 点此时的高度为最高为米，半径为米， 点高度为米， ，， ， 点的高度为米， 答：点的高度为米． （3）连接，，， 由素材1，素材3可得，， 则，过点作于点， 令，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得：， ∴，， ，即， 点的高度为：（米）， 答：写字楼的实际高度约为米． （4）如图，过点作于点， ∵点此时的高度为最高为米， ∴ 由（3）可得到的距离为 ∴，即 解得： 1号轿厢的测量数据x的值为：． 26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)，周长的最小值 (3)或 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ； （2）解：过点作轴于，交直线于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 故的最大值，； 如图，过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小， 周长为 （3）解：，， ，， ， ， 设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线， 原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位， ， 经过， ， 整理得：， 解得：，， ， 联立， 解得：或， ， ①当在直线的上方， 如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当在直线的下方， 如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于， 由①同理可求：， ， 同理可求直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 不合题意舍去， 当时， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； 综上所述：点的坐标为或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$