专题06正方形压轴题（6大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（浙教版）

专题06 正方形压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、正方形的性质和判定 2 类型二、正方形中半角模型 4 类型三、正方形中k字模型 7 类型四、正方形中之弦图 9 类型五、正方形中最值问题 11 类型六、与正方形有关的折叠 13 压轴能力测评 14 1、 正方形的性质 1、 正方形具有平行四边形的所有性质，以及矩形和菱形性质的结合体； 2、 正方形特有的性质：对角线垂直且相等，四边形相等，四个角是直角； 3、 对角线平分对内角，含有45度的等腰直角三角形，以及K字图的全等； 2、 正方形判定 总结：矩形的一个特殊条件+菱形或者菱形的一个特殊条件+矩形就可以证明是正方形； 三、正方形与弦图 1、 弦图包含四个全等的直角三角形，以及两个一大一小的正方形； 2、 弦图中有勾股定理的验证，边长面积之间的关系； 3、 正方形常用的构造K字图全等，尤其有相等的边或者45度角； 类型一、正方形的性质和判定 例1．如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，上，连结，，当，时，的长　　 A． B． C． D． 变式1-1．如图①正方形中，点是对角线上任意一点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 变式1-2．如图，在正方形中，点，分别在边和的延长线上（点不与点，点重合），且，连接，，．过点作于，连接． （1）求证：点是线段的中点． （2）若，，求． （3）求证：点始终在正方形的对角线上． 例2．如图，正方形中，点为延长线上任一点，连结，过点作，交的延长线于点，过点作于点．下列结论：（1）； （2）；（3）； （4）若，则． 其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1．如图，将两个等腰直角三角形和拼接在正方形内部，其中，下列结论：①四边形是平行四边形；②是直角三角形；③若，则．其中正确结论的编号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 变式2-2．如图1，点是正方形内一点，． （1）填表： 的度数 的度数 　　 　　 （2）若，求的值； （3）如图2，作于，交延长线于点，已知，，求的长． 类型二、正方形中半角模型 例3．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于　　 A． B． C． D． 变式3-1．如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，，交各边于，，，，连接，，．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，，． （1）若，，求的值； （2）若，求证：． 变式3-2．如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交边于点，过点作，垂足为，交于点． （1）求的度数； （2）当，时，求的长； （3）若点是的中点，求证：． 例4．如图，已知正方形的边长为2，点是边上的一动点，平分交边于点． （1）①当点恰好是边的中点时，求线段长；②当点恰好是边的中点时，求线段长； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）求出与面积和的最大值． 变式4-1．如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点． （1）如图1，当， ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，当，边长，，则的长为 　　（直接写出结果）． 类型三、正方形之k字模型 例5．如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 变式5-1． 如图，在正方形中，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以，为邻边构造平行四边形，连结，则的最小值为　　 A． B． C． D． 变式5-2．如图，在正方形中，点、分别在、上，连接，过点作交于点，连接．若，，则一定等于　　 A． B． C． D． 例6．如图，正方形纸片的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，，，若，，则正方形的面积等于　　 A．34 B．89 C．74 D．109 变式6-1．如图1，正方形的边长为4，点在上（不与、重合），点在上（不与、重合）且满足，连结、并交于点． （1）请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长． （3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积． 变式6-2．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图1，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 类型四、正方形之弦图 例7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形△，△，△，△和一个小正方形拼成的大正方形．若点是的中点，连接并延长交于点，若，则线段的长为　　 A．4 B．5 C． D． 变式7-1．已知，分别以，为边，在的上侧作正方形和正方形． （1）如图1，若点在边上，判断的形状，并说明理由． （2）如图2，当点在边上时，设，． ①求证：． ②如图3，再以为边，也在的上侧作正方形，且在边上，当点，，三点共线时，求，所满足的数量关系式． 例8．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．作的平分线交于点，的平分线交于点，若点，，在同一直线上，则的值为 　　． 变式8-1．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为．若，，，则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 变式8-2．综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： （1）若，，求的面积． “武林小组”从与关系的特殊化提出问题： （2）若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： （3）如图2，连接，延长到点，使，作矩形．设矩形的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 类型五、正方形中最值问题 例9．如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是　　 A．5 B．7 C． D． 变式9-1．如图，在正方形中，，是边上的动点可以和，重合），连接，，过点作的垂线交线段于点，现以，为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值是 　　． 变式9-2．如图，正方形的边长为4，点在线段上，以为边构造正方形，使在的延长线上，连结，取中点，连结．当为中点时，的面积为 　2　，当点在边上运动（不含，时，的最小值为 　　． 例10．如图，正方形的边长为3，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连结，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 变式10-1．已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． （1）当点在对角线上时． ①如图1，连结，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． （2）如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 变式10-2．如图1，四边形是边长为10的正方形，点是射线上一点（点不与点和点重合），连结，过作的垂线，垂足为，在线段上取点，使得，连结． （1）当点在线段上时，求证：； （2）当的面积为20时，求的值； （3）如图2，连结，在点的运动过程中，求线段，，，所围成图形面积的最小值． 类型六、与正方形有关折叠 例11．将正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点与点重合，折痕交于点，交折痕于点，已知正方形的边长为4，则的长度为 　　． 变式11-1． 如图，点，分别是正方形的边，上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）问四边形是什么特殊四边形？请说明理由． （3）①若，，三点在一条直线上，求证：． ②若为的中点，求的值． 1．如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则　　 A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为4，点，分别在，上，且，与交于点，若四边形的面积为3，则　　． 4．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，则的长为　　 A． B． C． D．3 5．如图，为正方形对角线的中点，将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部，连接，，，，若，．则点到直线的距离为 　　，的长为 　　． 6．如图，在△中，，分别以△的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，． （1）比较，的大小： 　　； （2）若，则的值为 　　． 7．如图，有一种正方形地砖，它的图案是由四个全等的三角形和一个四边形构成，经测量，中间四边形较小的锐角为．设四边形面积为，正方形的面积为，则　　． 8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点为对角线的中点，过点，分别交，于点，，若，，连，则的值为　　 A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，是对角线上的一动点（包括点、点，点在直线上，且． （1）求证：； （2）连接，求证：为等腰直角三角形； （3）若，点在上运动过程中，求出面积的最大值和最小值． 10．如图，正方形的边长为2，点在边上，的中垂线分别交，于点，，延长至点，使，连结，，． （1）求证：． （2）设，四边形的面积． ①用含的代数式表示． ②当为等腰三角形时，求的值． 11．如图，在正方形中，点，，分别在，，边上，交对角线于点，于点，且点是的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 12．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 13．如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点，分别在边和上，且． （1）如图1，若点是中点． ①当点和点重合时，画出图形，求的长，并说明理由； ②设，．请探究，之间的关系； （2）如图2，，连接，，若，，求的长； （3）如图3，若点是中点，连接，．请直接写出所有情形下的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 正方形压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、正方形的性质和判定 2 类型二、正方形中半角模型 10 类型三、正方形中k字模型 16 类型四、正方形中之弦图 22 类型五、正方形中最值问题 27 类型六、与正方形有关的折叠 34 压轴能力测评 36 1、 正方形的性质 1、 正方形具有平行四边形的所有性质，以及矩形和菱形性质的结合体； 2、 正方形特有的性质：对角线垂直且相等，四边形相等，四个角是直角； 3、 对角线平分对内角，含有45度的等腰直角三角形，以及K字图的全等； 2、 正方形判定 总结：矩形的一个特殊条件+菱形或者菱形的一个特殊条件+矩形就可以证明是正方形； 三、正方形与弦图 1、 弦图包含四个全等的直角三角形，以及两个一大一小的正方形； 2、 弦图中有勾股定理的验证，边长面积之间的关系； 3、 正方形常用的构造K字图全等，尤其有相等的边或者45度角； 类型一、正方形的性质和判定 例1．如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，上，连结，，当，时，的长　　 A． B． C． D． 【答案】：B ； 【解析】：解：如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ，，， 又，， ，， ，，， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，，是等腰直角三角形，， ，，解得， ，， 选：． 变式1-1．如图①正方形中，点是对角线上任意一点，连接，． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长． 【答案】：（1）；（2）；（3）； 【解析】：（1）证明：四边形是正方形，，， ，， ； （2）四边形是正方形，， 由（1）知：，， ； （3）如图②，过作， 四边形是正方形，，， ，， ， ，， ，， 在四边形中，，， ，，， ，是等边三角形， ， 设，则，， 四边形是正方形，， ， ，，解得，， ， ． 变式1-2．如图，在正方形中，点，分别在边和的延长线上（点不与点，点重合），且，连接，，．过点作于，连接． （1）求证：点是线段的中点． （2）若，，求． （3）求证：点始终在正方形的对角线上． 【答案】：（1）见解析；（2）；（3）见解析； 【解析】：（1）证明：四边形为正方形， ，，， 在△和△中，，△△，， 于，， 即点是线段的中点； （2）解：过点向左于，如图1所示： ，，，， ，， 于，，， 点是线段的中点，是△的中位线， ，，， 在△中，由勾股定理得：； （3）证明：连接，过点作于，于，如图2所示： 则四边形为矩形， ，，，， 设，，则，， 点是线段的中点，，是△的中位线， ，，， ，， ，，， △为等腰直角三角形，， ，， △为等等腰直角三角形，， ， ，，在同一条直线上， 点始终在正方形的对角线上． 例2．如图，正方形中，点为延长线上任一点，连结，过点作，交的延长线于点，过点作于点．下列结论：（1）； （2）；（3）； （4）若，则． 其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：D; 【解析】：解：如图1，在上取一点，使，连接、， ，， 四边形是正方形，，， 在和中，，， ，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形，，；故（1）正确； 连接，由（1）知：，， ，，，， 四边形是平行四边形，，， ，，即， ，；故（3）正确； 连接交于，如图 四边形是正方形，， ，， ，， ，，即，故（2）正确； 设，，则， ，， ，，， 若，则， 即，故（4）正确， 正确的有：（1）（2）（3）（4），故4个， 选：． 变式2-1．如图，将两个等腰直角三角形和拼接在正方形内部，其中，下列结论：①四边形是平行四边形；②是直角三角形；③若，则．其中正确结论的编号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】：D; 【解析】：解：结论①：四边形是平行四边形， ，都是等腰直角三角形，， ，，，， 四边形是平行四边形，故结论①正确； 结论②：是直角三角形， 如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，， 四边形是正方形，， 是等腰直角三角形，， ， 将绕点逆时针旋转得，点与点重合，， ，即， 在，中，，，， ，且， 是等腰直角三角形，即点，，在的斜边上，即点，，三点共线， ，都是等腰直角三角形，， ， 四边形是正方形，，， ， 在四边形中，， ，， ，，， ， 由结论①正确可知，四边形是平行四边形，， 在，中，，，， 将绕点逆时针旋转得，， ，，，， ，，且， 是等腰直角三角形，， ， ，，且， 是等腰直角三角形，， ，， ， 是直角三角形，故结论②正确； 结论③：若，则， 由结论②正确，可知是等腰直角三角形， ，， ，都是等腰直角三角形，即， 设，则，， 在等腰直角中，， 在中，，即，解得，， ，故结论③正确； 综上所述，正确的有①②③， 选：． 变式2-2．如图1，点是正方形内一点，． （1）填表： 的度数 的度数 　　 　　 （2）若，求的值； （3）如图2，作于，交延长线于点，已知，，求的长． 【答案】：（1）；；（2）；（3）1； 【解析】：解：（1）正方形，，，， ，， 为等边三角形，，； ，，，为等腰三角形， ， ； 答案：；； （2）如图，过点作于点， 在正方形中，，， ，， ，， ，， ，，， ． （3）如图，连接，交于点，连结，， 由（1）可知，， 在正方形中， ，， 又，，， 为等腰直角三角形，， 为直角三角形， 设，则，， ，， 解得，，， ，，，， 又， ． 类型二、正方形中半角模型 例3．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于　　 A． B． C． D． 【答案】：A; 【解析】：解：延长到，使，连结． 正方形，，， ，，， ，， ，， ，，．， ，，， ，． 选：． 变式3-1．如图，已知是边长为的正方形内的一点（不含边界），过点分别作，，交各边于，，，，连接，，．记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，，． （1）若，，求的值； （2）若，求证：． 【答案】：（1）；（2）见解析； 【解析】：（1）解：在正方形中，，， ，， ，，，， ，，， ，， ； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图： 在正方形中，，， ，， 在和中，，， ， 在和中，，， ，， ，化简得：， ， ． 变式3-2．如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且，连接交边于点，过点作，垂足为，交于点． （1）求的度数； （2）当，时，求的长； （3）若点是的中点，求证：． 【答案】：（1）450；（2）3；（3）见解析； 【解析】：（1）解：连接， 在正方形中，，， ，， 在和中，，， ，， ，， ； （2）解：为等腰直角三角形，， ，，， ，，， ． 在和中．，，， ，， ； （3）证明：是的中点，， 设，，则，，， ，， ， ， 连接，垂直平分，， ，， ， ， ． 例4．如图，已知正方形的边长为2，点是边上的一动点，平分交边于点． （1）①当点恰好是边的中点时，求线段长；②当点恰好是边的中点时，求线段长； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）求出与面积和的最大值． 【答案】：（1）①；②；（2）；（3）； 【解析】：解：（1）①如图1，延长、交于点， 四边形是正方形，边长为2， ，，，， 点恰好是边的中点，， 又，，， 设，则，， 平分，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，； ②设，点恰好是边的中点，， 由①可知，， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值已舍去），， 如图2，延长、交于点，连接， 设，， ，解得：， ； （2），理由如下： 如图3，延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ，， ，， 即，； （3）如图4，连接， 四边形是正方形，边长为2，，， ， 由（2）可知，，， 为定值不变，当最大时面积最大， 当点与点重合时，最大， 的最大值． 变式4-1．如图正方形，点、、分别在、、上，与相交于点． （1）如图1，当， ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，当，边长，，则的长为 　　（直接写出结果）． 【答案】：（1）①见解析；②见解析；（2）； 【解析】：证明：（1）①作平行四边形，则，，， ，， ，， 在和中，，， ； ②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，． ，， ，，， ，， ，即． （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 作，交延长线于， 在和中，，， ，，， ，，， ， 在和中，，，， 即，设．则， 在中，，解得， ． 类型三、正方形之k字模型 例5．如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】：C; 【解析】：解：过点作于，于， 四边形是正方形，，， 四边形是矩形，， ，四边形是正方形，， ，， 在和中，，， ，， ，， ， 在和中，，，，， ， ． 选：． 变式5-1． 如图，在正方形中，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以，为邻边构造平行四边形，连结，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】：B ; 【解析】：解：如图，过点作，交的延长线于点，延长，交于点， 四边形是平行四边形，，，， ， 四边形是正方形，，， ，， ，△△， ，， ，，， ，， 又，△△， ，，，， ，点在的角平分线上运动， ，，， 当点运动到点时，有最小值为， 即的最小值为， 选：． 变式5-2．如图，在正方形中，点、分别在、上，连接，过点作交于点，连接．若，，则一定等于　　 A． B． C． D． 【答案】：B ; 【解析】：解：过点作交于点，连接，如图所示： 四边形是正方形，，，， ， ，，， ，， 在△和△中，，△△， ，，， ，， ，， ，，四边形是平行四边形， ，， 在△和△中，，△△， ，，， ，，， ， ，， ． 选：． 例6．如图，正方形纸片的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，，，若，，则正方形的面积等于　　 A．34 B．89 C．74 D．109 【答案】：C; 【解析】：证明：如图，过点作分别交、于点、，过点作分别交、于点、，四边形是正方形，， ，， ，， ，同理可得，， ， ， 在△和△中，，△△，，即， 四边形是正方形，， ，， △△△△，且两直角边长分别为、， 四边形是边长为的正方形， 正方形的面积， ，，． 选：． 变式6-1．如图1，正方形的边长为4，点在上（不与、重合），点在上（不与、重合）且满足，连结、并交于点． （1）请问：线段与满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）如图2，连结，若点为的中点，求的周长． （3）如图3，延长至点使，连结，．若，求的面积． 【答案】：（1）；（2）；（3）的面积； 【解析】：解：（1）线段与的数量关系是、位置关系是，理由如下： 在正方形中，，， ，，，， ，， ，； （2）如图2，过点作于点，交于点，得矩形， 正方形的边长为4， ，且， 由（1）知， 在中，，， 点为的中点，， 根据勾股定理得， 在中，由等面积法可知：， ，， 在中，，， 在中，由等面积法可知：， ，， ， 在中，，， ，， 在中，，由勾股定理得， 在中，，由勾股定理得， 的周长； （3）如图3，连接，过点作， 由（1）知，， 是线段的垂直平分线，， ，， ， 过点作，延长，过作延长线于点， 在中，由等面积法得，，， 在中，，，由勾股定理得， 梯形的面积， 的面积，的面积， 的面积梯形的面积的面积的面积． 即的面积． 变式6-2．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图1，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】：（1）见解析；（2）；（3）或； 【解析】：（1）证明：如图1，作于，于， ，， ，，， 在和中，，，， 矩形是正方形； （2）解：四边形是正方形，， ，，， ，， 四边形是正方形，，， ，， ； （3）解：①当与的夹角为时， 如图2，，，， ， ； ②当与的夹角为时， 如图3 ， 点，点，点，点四点共圆， ， 综上所述：或． 类型四、正方形之弦图 例7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形△，△，△，△和一个小正方形拼成的大正方形．若点是的中点，连接并延长交于点，若，则线段的长为　　 A．4 B．5 C． D． 【答案】：B; 【解析】：解：点是的中点，， 四个直角三角形全等，，，，， 四边形是正方形，，， ， ， ，，， 设，，， ，， 或（不合题意舍去）， ， 选：． 变式7-1．已知，分别以，为边，在的上侧作正方形和正方形． （1）如图1，若点在边上，判断的形状，并说明理由． （2）如图2，当点在边上时，设，． ①求证：． ②如图3，再以为边，也在的上侧作正方形，且在边上，当点，，三点共线时，求，所满足的数量关系式． 【答案】：（1）是直角三角形；（2）见解析；（3）； 【解析】：（1）解：是直角三角形，理由如下： 四边形和都是正方形， ，，， ，， ，是直角三角形； （2）①证明：如图2，过点作于点，延长交于点， 四边形和都是正方形， ，，， ，， 四边形是矩形，， ，，， ，，是等腰直角三角形， ； ②如图3，过点作于点， 由①知：，是等腰直角三角形， ，．， ， ， 四边形和和都是正方形， ，，，，是等腰直角三角形， ，， ，，， 是等腰直角三角形，， 在中，根据勾股定理得：， ，整理得：， ， （不符合题意舍去）或（负值已经舍去）， ，所满足的数量关系式为． 例8．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．作的平分线交于点，的平分线交于点，若点，，在同一直线上，则的值为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：作的平分线交于点，， 的平分线交于点，， ，， 是等腰直角三角形，； 由题意知：四个直角三角形全等， ，而， ，，， 点是中点， 在中，，，，， ，， 设，则，， 在中，，，， 在中，， ； 答案：． 变式8-1．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为．若，，，则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】：B; 【解析】：解：连接，，，如图所示： 依题意得，，，， 四边形为正方形，， ， 即， 在和中，，，， 同理：，， 四边形为菱形，， 又，，，在同一条直线上， ， ，菱形为正方形，， 同理：，，在同一条直线上，，，在同一条直线上，，，在同一条直线上， 设，则， ，， ，，， 整理得：，解得：，（不合题意，舍去）， ，． 选：． 变式8-2．综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： （1）若，，求的面积． “武林小组”从与关系的特殊化提出问题： （2）若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： （3）如图2，连接，延长到点，使，作矩形．设矩形的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 【答案】：（1）6；（2）见解析；（3）见解析； 【解析】：（1）解：设，则， ，， ，在中，， 即，解得（负值舍去）， ，， ． （2）证明：， ，， 四边形是正方形，， ，，， ， ，， ． （3）证明：设，正方形的边长为，， 如图，过分别作，的垂线，垂足分别为、， ， 平分，， ，， ，，， ． ． 类型五、正方形中最值问题 例9．如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是　　 A．5 B．7 C． D． 【答案】：D; 【解析】：解：如图将绕点顺时针旋转得到． 由旋转不变性可知：，．， 是等腰直角三角形，， 当的值最大时，的值最大， ，， 的最大值为7， 的最大值为， 选：． 变式9-1．如图，在正方形中，，是边上的动点可以和，重合），连接，，过点作的垂线交线段于点，现以，为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值是 　　． 【答案】：； 【解析】：解：当不与重合时， 正方形中，，， ， ，， ，，， 平行四边形中，，且， ，，是等腰直角三角形， 如图，当点 分别与，重合时，是等腰直角三角形， 当点， 分别与，重合时，是等腰直角三角形， 点在边上运动，点在上运动， 当 时，取最小值， ，，，， △ 是直角边为1的等腰直角三角形，， 答案：． 变式9-2．如图，正方形的边长为4，点在线段上，以为边构造正方形，使在的延长线上，连结，取中点，连结．当为中点时，的面积为 　2　，当点在边上运动（不含，时，的最小值为 　　． 【答案】：2，； 【解析】：解：当为中点时，过点作于点，如图1， 正方形的边长为4，， ， 四边形是正方形，，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线，， ； 如图2，连接，，，，与交于点，延长到点，使，连接，， 四边形是正方形，，， ，， 是等腰直角三角形，， 四边形是正方形， ，， 点、、、在一条直线上， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线，， 当最小时，最小，即当时，最小， ，点与点重合时，最小， 正方形的边长为4，，，， 由勾股定理得， ，， 四边形是正方形，， 点是的中点，，点在的垂直平分线上， 四边形是正方形，点也在的垂直平分线上， ，， 即的最小值为； 答案：2，． 例10．如图，正方形的边长为3，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连结，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】：B; 【解析】：解：如图，过点作与，则，， ， ，，， ，即， 四边形是正方形，，， ，，，， 过点作，并使，连接、，则，， ，，， ，四边形是平行四边形， ，， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， ，，， ， 的最小值为， 选：． 变式10-1．已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． （1）当点在对角线上时． ①如图1，连结，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． （2）如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 【答案】：（1）①见解析；②或或7；（2）； 【解析】：（1）①证明：四边形是正方形，，， ，，； ②解：如图1，作于，作于， 四边形是正方形，， ，， 在中，， ，， 或4， 当时，时， ，，故舍去， 当点在上时，， ， 当点在上时，由（1）知，点在点处，此时， 当点在上时，此时，， 当时，点在上时，，，， 点在上时，，故舍去， 当点在上时，点仍在点处，， 当点在上时，，故舍去， 综上所述：或或7； （2）解：如图2， 在上取一点，使，连接， ，， ，， ， 当、、共线时，最小，最小值是， 在中，，， ， 的最小值为． 变式10-2．如图1，四边形是边长为10的正方形，点是射线上一点（点不与点和点重合），连结，过作的垂线，垂足为，在线段上取点，使得，连结． （1）当点在线段上时，求证：； （2）当的面积为20时，求的值； （3）如图2，连结，在点的运动过程中，求线段，，，所围成图形面积的最小值． 【答案】：（1）见解析；（2）或；（3）； 【解析】：（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，，， 在和中，，，， ，， ； （2）解：，， 设，，， 在中，，，， 整理得，即，解得或， 经检验，或都是方程的解， 的值为或； （3）解：①当点在线段上时，连接和交于点， 四边形是正方形， ，， 又，， ， ，，， ，， ，，且， 线段，，，所围成图形面积是； ②当点在线段的延长线上时，延长与交于点， 四边形是正方形， ，， 又，， ， ，，， ， ，， ，且， 线段，，，所围成图形面积是， 要求线段，，，所围成图形面积的最小值，只要求得的最小值即可， 取的中点，连接和， ，当、、共线时，有最小值，最小值为的长， 四边形是边长为10的正方形，点为的中点，且， ，， 有最小值为， 线段，，，所围成图形面积的最小值为． 类型六、与正方形有关折叠 例11．将正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点与点重合，折痕交于点，交折痕于点，已知正方形的边长为4，则的长度为 　　． 【答案】：； 【解析】：解：四边形是边长为4的正方形，， 由折叠得点与点关于直线对称，， 垂直平分，，， ，， ，，， ，， ，解得， ，答案：． 变式11-1． 如图，点，分别是正方形的边，上的点，将正方形沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，交于点，作于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）问四边形是什么特殊四边形？请说明理由． （3）①若，，三点在一条直线上，求证：． ②若为的中点，求的值． 【答案】：（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）①见解析；②2； 【解析】：（1）证明：四边形为正方形，， 由折叠可知，， ，， ； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 由折叠知，，，， ，， ，， 又，，， 四边形为菱形； （3）解：①连结，， 四边形为菱形，， ，， 在与中，，， ，， ，， ，， ，， ，，三点在同一直线上，，， ； ②设，，则，，， ，， 在中，， 即，解得， ． 1．如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则　　 A． B． C． D． 【答案】：B; 【解析】：解：四边形是正方形，，， ，， ，， ，， ，， ，， ，，， ，， ，选：． 2．如图，在正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，连接．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：A; 【解析】：解：四边形是正方形， ，，， ， 、分别是、的中点，，， 在和中，，， ， ，， ． 如图：延长交的延长线于， ，， 在和中， ，， ，点是的中点， ，，， ， ． 选：． 3．如图，正方形的边长为4，点，分别在，上，且，与交于点，若四边形的面积为3，则　　． 【答案】：2； 【解析】：解：正方形的边长为4， ，， ，， ，， ，， 四边形的面积为3， ．． 在中，， ． ． ，， ， 答案：2． 4．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，则的长为　　 A． B． C． D．3 【答案】：A; 【解析】：解：在正方形中，和为对角线， ，，， ，； ，， ，， ，是等腰直角三角形； 过点作，如图，， ，是等腰直角三角形， ， ，，， ，． 选：． 5．如图，为正方形对角线的中点，将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部，连接，，，，若，．则点到直线的距离为 　　，的长为 　　． 【答案】：2；2； 【解析】：解：如图所示，在上截取，过点作交的延长线于点， 将沿着过点的直线翻折，使点的对应点落在正方形的内部， 垂直平分，， 设，则，， 又，，， 又在的垂直平分线上，， ，是等腰直角三角形， ，， 即点到直线的距离为2，，，， 答案：2；2． 6．如图，在△中，，分别以△的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，． （1）比较，的大小： 　　； （2）若，则的值为 　　． 【答案】：（1）=；（2）； 【解析】：解：（1）为正方形，，， 为正方形，，， ， 在△和△中，，△△， ， 答案：； （2）作交的延长线于点，则， 设，，则，， ，，，， ，△△， ，， ，， ，， ， 答案：． 7．如图，有一种正方形地砖，它的图案是由四个全等的三角形和一个四边形构成，经测量，中间四边形较小的锐角为．设四边形面积为，正方形的面积为，则　　． 【答案】：； 【解析】：解：如图所示，四边形是正方形，△，，，连接、，交于点， 四边形是正方形，， ．， 点、在线段的垂直平分线上， 同理，点、在线段的垂直平分线上， 点、、、四点共线， 线段是正方形的对角线，则点是对角线的交点， ，， ，， 四边形是菱形， ，，，设，， ，且，， 在中，， ，即． ，且， 在中，， 四边形的面积， 正方形的面积， ，且， ， ． 答案：． 8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点为对角线的中点，过点，分别交，于点，，若，，连，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】：A; 【解析】：解：如图，连接，过作交于， ，，， ，四边形是平行四边形，，互相平分； 正方形，，，，， 在和中，，， ，，四边形是平行四边形，，， ，，设， ，，，， ，， 正方形，，，， 由题意可设， 由等面积法可得：， 解得：，（负根舍去），，，选：． 9．如图，在正方形中，是对角线上的一动点（包括点、点，点在直线上，且． （1）求证：； （2）连接，求证：为等腰直角三角形； （3）若，点在上运动过程中，求出面积的最大值和最小值． 【答案】：（1）见解析；（2）见解析；（3）4；2； 【解析】：（1）证明：在正方形中，，， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形； （3）解：为等腰直角三角形， 面积， 点与点或重合时，面积最大，点与正方形的中心重合是面积最小， ， 面积的最大值， 最小值． 10．如图，正方形的边长为2，点在边上，的中垂线分别交，于点，，延长至点，使，连结，，． （1）求证：． （2）设，四边形的面积． ①用含的代数式表示． ②当为等腰三角形时，求的值． 【答案】：（1）见解析；（2）①；②或； 【解析】：（1）证明：连结． 垂直平分，， 又为正方形对角线上一点， 由正方形的轴对称性得：， ； （2）解：①如图，作于点， 垂直平分， ， 又为正方形对角线上一点， 平分， ， ， ； ②，为等腰三角形分两种情况： 当时，即，，解得：， ， 当时，即， ， 化简得：，解得：， ，， ， 综上可得：或． 11．如图，在正方形中，点，，分别在，，边上，交对角线于点，于点，且点是的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】：（1）见解析；（2）见解析；（3）； 【解析】：（1）证明：四边形是正方形，， 于点，， ， ． （2）证明：连接， 四边形是正方形， ，， 点是的中点，，， 设，，， ，， ，， ， ， ，， ． （3）解：于点，且点是的中 点， 是的线段垂直平分线，，， ，， ，，， ，， ，，， ，，连接， 则是等腰直角三角形， ． 12．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】：（1）见解析；（2）见解析；（3）； 【解析】：（1）证明：四边形为正方形，，， 在和中，，， ； （2）①证明：如图，作于，于， 得矩形，， 点是正方形对角线上的点，， ，， ， 在和中，， ，， 四边形是矩形，矩形是正方形； ②解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中，，， ，， ，， ，． ，， 连接，， ． 正方形的边长为． 13．如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点，分别在边和上，且． （1）如图1，若点是中点． ①当点和点重合时，画出图形，求的长，并说明理由； ②设，．请探究，之间的关系； （2）如图2，，连接，，若，，求的长； （3）如图3，若点是中点，连接，．请直接写出所有情形下的最小值． 【答案】：（1）①2；②或；（2）；（3）； 【解析】：解：（1）①如图， 四边形是正方形， ，， ，△△， ， 是中点，， ． ②当时，如图，过点作于点， ，四边形是矩形， ，，， 四边形是正方形， ，， ，△△， ，， 当时，如图， 同理可得， 或． （2）如图，过作 四边形是正方形， ， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ，（不符合题意）． 类比（1）②得，， 即． （3）将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点， 则四边形为平行四边形， 则，， ， 当，，三点共线时， 的值最小， 由（1）②可知：， ，，， 为的中点，， ， ， 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$