5.3《正方形》小节复习题--2024-2025学年浙教版数学八年级下册

5.3《正方形》小节复习题 题型01 正方形的性质理解 1．正方形具有而菱形不具有的性质是(　　) A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，如图①，当时，测得两点间的距离为；推动四边形如图②，当时，，两点间的距离为 ． 3．如图，已知正方形，请用尺规作图法，在正方形内部找一点，使得，且．(保留作图痕迹，不写作法) 题型02 根据正方形的性质求角度 1．如图，四边形、四边形分别是菱形与正方形．若，则(    ) A． B． C． D． 2．如图，正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，且．则的度数为 ． 3．如图，点为正方形对角线上一点，且，求的度数． 题型03 根据正方形的性质求线段长 1．如图，在正方形中，，点、分别是边、的中点，连接、，点，分别是，的中点，则的长为(    ) A． B．1 C． D． 2．如图，正方形边长为6，、是边的三等分点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    3．已知：如图，正方形，连接，E是延长线上一点，，连接交于点F． (1)求的度数； (2)若，求点F到的距离． 题型04 根据正方形的性质求面积 1．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为，则(　　) A．16 B．17 C．18 D．19 2．如图所示，在中，，P为延长线上一动点，以为边在上方作正方形，连接，则的面积为 ． 3．如图，已知四边形是正方形，对角线相交于O，设E、F分别是上的点，若，，求四边形的面积． 题型05 正方形折叠问题 1．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为(   ) A．3 B．6 C． D． 2．如图，将正方形纸片折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为 ．    3．如图，在正方形中，对角线与交于点，将正方形折叠，使点落在对角线上的点处，连结，与折痕交于点，折痕交于点． 求证：． 题型06 求正方形重叠部分面积 1．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是(    ) A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 2．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为 cm2 3．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________(用含的代数式表示)． (2)当秒时，求的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围． (4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值． 题型07 根据正方形的性质证明 1．如图，以等边三角形的边向外作正方形，、交于点F，则下列结论；；；，其中正确的有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．判断四个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④对角线互相垂直且互相平分的四边形是正方形．命题成立的是(填序号) ． 3．在平面直角坐标系中，分别描出点，，，．    (1)试判断四边形的形状； (2)若两点不动，你能通过变动点的位置使四边形成为正方形吗？若能，请写出变动后的点的坐标． 题型08 正方形的判定定理理解 1．如图，点、、、分别为四边形的四边、、、的中点，则关于四边形，下列说法正确的为(　　)    A．一定不是正方形 B．一定不是中心对称图形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 2．如图所示，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ． 3．如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求正方形的边长． 题型09 添一个条件使四边形是正方形 1．如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为(    ) A． B． C． D． 2.已知菱形中对角线相交于点O，添加条件 可使菱形成为正方形． 3．已知：如图，在中，，D点是的中点，分别是的角平分线． (1)请直接写出之间的数量关系： ； (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足条件 时，四边形是正方形．(直接填空即可) 题型10 证明四边形是正方形 1．下列说法正确的是(    ) A．对角线相等的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．各边都相等的四边形是正方形 2．将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 时，这个菱形就是正方形． 3．如图，在平行四边形ABCD中，E、M分别为的中点，，延长交的延长线于点N，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由． 题型11 根据正方形的性质与判定求角度 1．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝(　　) A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为： (填“＞”，“＝”或“＜”)． 3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 题型12 根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，点E是正方形对角线上一点，过E作交于F，连接，若，，则的长为(    ) A． B． C． D． 2．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    3．如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求菱形的周长． 题型13 根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为(     ) A． B． C． D． 2．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为 ．    3．如图，，平分，直角三角板的直角顶点P在射线上移动，两直角分别与相交于点C、D． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型14 根据正方形的性质与判定证明 1．如图，、分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论： ①； ②； ③； ④中，正确的结论有(　　)    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在矩形中，，点E为射线上一点，将沿着翻折，使得点B的对应点F落在射线上，若线段，连接，则的值为 ． 3．如图，在菱形中，对角线、交于点．过作平行线，过作平行线，两平行线交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形为正方形时，请直接判断四边形的形状． 题型15 中点四边形 1．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是(   ) A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，连接，点、、、分别为、、、的中点，若，，则四边形的周长为 ．    3．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．    (1)这个中点四边形的形状一定是______； (2)若，证明四边形是菱形． 题型16 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 1．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是(    ) A．  B．   C．   D．   2．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H依次是边，，，上的点(不与各顶点重合)，且，记四边形面积为S(图中阴影)，则S的最大值为 ． 3．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型17 (特殊)平行四边形的动点问题 1．如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？(　　)    A． B． C．或 D．或 2．如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    3．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点A沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动，同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为秒． (1)在时，点坐标______，点坐标______． (2)当为何值时，四边形是矩形？ 题型18 四边形中的线段最值问题 1．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为(    ) A．2 B． C． D． 2．如图，在长方形中，是的中点，是上任意一点．若，，则的最小值为 ，最大值为 ． 3．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小(作图说明)； (2)求出△BPE周长的最小值． 题型19 四边形的其他综合问题 1．如图，在正方形中，以为边作等边三角形，连接，则下列结论：①；②；③和的面积比为；④．其中结论正确的序号有(    )    A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点(不与端点B，C重合)，N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 ．(写出所有正确结论的序号) 3．在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形，，相交于点E，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题：    (1)如图2，若，，，求的长； (2)如图3，若，求四边形的面积； (3)如图4，若，，，直接写出的长． 参考答案 题型01 正方形的性质理解 1．B 【分析】本题考查了菱形与正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形与正方形的性质． 要熟练掌握菱形对角线相互垂直平分与正方形对角线相互垂直平分相等的性质，根据各自性质进行比较即可解答． 【详解】解：A．正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故本选项不符合题意； B．正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； C．正方形和菱形的对角线都互相垂直，故本选项不符合题意； D．正方形和菱形都是四条边相等，故本选项不符合题意； 故选B． 2．1 【分析】由当时，，两点间的距离为求出，推动四边形时，是等边三角形，即可得． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 在中，,， ∴； 当推动四边形，时，如图： ∵，， ∴此时是等边三角形， ∴． 故答案为：1． 3．解：如图，点即为所作． ． 题型02 根据正方形的性质求角度 1．A 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．连接，则为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：连接，则为正方形与菱形的对角线， ，， ， ， ， ， 故答案为：A 2． 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据正方形的性质可得，再结合等腰三角形中等边对等角，即可求解． 【详解】解：正方形的两条对角线相交于点O，点E在上， ， ， ， 故答案为：． 3．解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型03 根据正方形的性质求线段长 1．D 【分析】 此题考查正方形的性质，连接，根据正方形的性质和勾股定理得出，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】 解：连接，如图： 四边形是正方形． ，， ，分别是边，中点， ． 在中，由勾股定理得：． 点、分别是、的中点， 是三角形的中位线， ． 故选：D． 2． 【分析】本题考查了的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，此时的长度即为取得最小值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶作点关于的对称点，连接，交于，连接，如下图：    则得长度即为所求． 由题可知会落在上， 、是边的三等分点， ，， ∴在中， 的最小值是． 故答案为：． 3．(1)解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 过点作， ∵∠D=90°， ∴．即：点F到的距离为2． 题型04 根据正方形的性质求面积 1．B 【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握几何面积的转换是解题的关键． 根据正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，      ∵四边形，四边形，四边形是正方形，是对角线，是对角线， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， 同理，是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， 故选：B． 2．18 【分析】 本题考查了三角形和正方形面积，设正方形的边长为x，则，根据，即可求解． 【详解】 解：设正方形的边长为x，则， ∵， ∴， 故答案为：18 3．解：∵四边形是正方形，对角线相交于O， ∴，，且，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积是8． 题型05 正方形折叠问题 1．B 【分析】本题考查正方形与折叠，含30度角的直角三角形，根据正方形的性质，折叠的性质，得到，进而得到，，设，则，，即可得到，求解即可．解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的性质． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：． 故选：B． 2． 【分析】先由正方形的性质得到，再由折叠的性质可得，则可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 3．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∵将正方形ABCD折叠，使点C落在点E处， ∴，即． 又∵， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． 题型06 求正方形重叠部分面积 1．B 【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE(ASA)， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝， 故选：B． 2．13.5 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3(cm)，长为6-1.5=4.5(cm)， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 (cm2)， 故答案为13.5cm2． 3．(1)解：当点在上时，， 当在的延长线时，， 故答案是或； (2)如图1， 作于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)当点和点重合时，点在上，此时， 当点和重合时，此时， 当点和和点重合时，此时， 当点在上时，此时， ∴当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图3， ∵， ∴，∴， 当时，如图4， 此时是五边形或三角形， ∴； (4)设点到的距离是，到的距离是， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， 此时， 当点在和之间时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当点在的左侧时， ∵，， ∴， 此时， 综上所述：或或或13． 题型07 根据正方形的性质证明 1．D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质和勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质和正方形的性质是解题的关键． 利用正三角形和正方形的性质可以得到，，，那么，利用勾股定理得到，而，． 【详解】解：是正三角形， ，， 四边形是正方形， ，，， ，，， ， ，， 四个结论都是正确的． 故选D． 2．②③ 【分析】根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：①对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题； ②对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题； ③对角线相等的菱形是正方形，是真命题； ④对角线互相垂直且相等且互相平分的四边形是正方形，原命题是假命题； 故答案为：②③． 3．(1)解：作出四个点的坐标如图所示：    由图可得：，，， 四边形是菱形； (2)解：能， 正方形也是菱形，当时，菱形是正方形， ， 变动后的点坐标为，点坐标为或点坐标为，点坐标为． 题型08 正方形的判定定理理解 1．D 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定． 连接，，由、、、分别为、、、的中点可得，，，，从而，，进而判断四边形是平行四边形．故可判断选项A，选项B．当时， ，可得是菱形，当时，，是矩形,可判断选项C，选项D． 【详解】解：连接，，      ∵、、、分别为、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，它是中心对称图形． 当时，， ∴是菱形． 当时， ∴是矩形． 综上：选项A，B，C错误，选项D正确． 故选：D． 2． 【分析】 本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，首先证明，再利用定理证明，进而得到，，然后再根据线段的和差关系可得答案，关键是推出． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：12． 3．(1)解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； (2)解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 解得(负值已舍去)， ∴正方形的边长为． 题型09 添一个条件使四边形是正方形 1．D 【分析】本题考查正方形的判定．根据菱形到现在和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、，， ， ， 四边形是菱形， ，故不能判断菱形是正方形；故A不符合题意； B、四边形是菱形， ，， 故不能判断菱形是正方形；故B不符合题意； C、四边形是菱形， ，， ， 故不能判断菱形是正方形；故C不符合题意； D、四边形是菱形， 平行于， ， ， ， 菱形是正方形，故D符合题意． 故选：D． 2．或 【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可. 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 3．(1)解：∵在中，，D点是的中点， ∴， 故答案为：； (2)证明：∵，分别是的角平分线， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形； (3)解：当满足条件 时，四边形是正方形，理由如下： ∵，分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形， 故答案为：(答案不唯一)； 题型10 证明四边形是正方形 1．A 【分析】本题考查正方形的判定，从四边形出发：有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形.从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形.从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形，依次进行分析即可答案． 【详解】解：菱形是特殊的平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线相等的菱形同时也是矩形， 对角线相等的菱形是正方形， 故A正确； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但不一定是正方形， 故B错误； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形， 故C错误； 根据菱形的判定定理，各边都相等的四边形是菱形， 故D错误， 故选：A． 2．1 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 3．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴四边形是菱形； (2)解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下：∵四边形是菱形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 题型11 根据正方形的性质与判定求角度 1．A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 2．= 【分析】如图，连接CE、CD，利用勾股定理求得AE、EC、CD、DA、AC的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：如图，连接CE、CD， AE， 同理求得EC=CD=DA，AC， ∴AE=EC=CD=DA， ∴四边形AECD是菱形， ∵， ∴， ∴∠AEC=90， ∴菱形AECD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC， 故答案为：=． 3．(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． (2)解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 题型12 根据正方形的性质与判定求线段长 1．D 【分析】过点E作于点H，证明四边形是正方形，可得，在中，由勾股定理可得，进而可求得正方形的边长，再根据勾股定理可求解． 【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴， 故选：D． 2． 【分析】判定四边形是正方形，即可得到，再根据，即可利用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示，连接，    由折叠可得，， 又， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ， 又， ， 由折叠可得，， 中，， 故答案为：． 3．(1)证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与垂直且互相平分， ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形； (2)解：∵菱形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 题型13 根据正方形的性质与判定求面积 1．B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 2．4 【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出的长，再证明出四边形是正方形，进而求出答案． 【详解】解：∵将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形，   ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵四边形，是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故答案为：4． 3．(1)证明：过P分别作于E，于F， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)解：∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型14 根据正方形的性质与判定证明 1．C 【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，根据四边形是正方形及，可证出，则得到：①；可以证出，则②一定成立,可以证出即可判断④．用反证法可证明，即可判断③． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 在∆ADE和中， ， ， (故①正确)； ∴ ∵ ∴ (故④正确)； ， ， 一定成立(故②正确)； 假设，    ， (线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)， 在中，， ，这与正方形的边长相矛盾， 假设不成立，(故③错误)； 故选：C． 2．或 【分析】 分两种情况：①如图1所示，点F落在线段上，②如图2所示，点F落在射线 上，证明四边形为正方形并求出正方形的边长，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】 解：①如图1所示，点F落在线段上， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠的性质得 ∴四边形为正方形， ∴ 在中， ②如图2所示，点F落在射线上， ∵， ∴ ∴， ∵四边形是矩形， ∴ 由①可知四边形为正方形， ∴． 在中， 综上所述，的值为或． 故答案为：或 3．(1)证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线、交于点 ∴OC⊥OB， ∴平行四边形是矩形； (2)解：四边形是正方形，理由如下： 同理可证四边形是平行四边形， ∵四边形是正方形，对角线、交于点， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形是正方形． 题型15 中点四边形 1．D 【分析】此题考查了中点四边形，以及菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．应添加的条件为，理由为：根据、、、分别为、、、的中点，利用三角形中位线定理及，等量代换得到四条边相等，确定出四边形为菱形． 【详解】解：应添加的条件是，理由为： 、、、分别为、、、的中点，且， ，，，， ， ∴四边形为菱形， 故选：D． 2． 【分析】本题考查的是中点四边形．连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理分别求出、、、，计算即可． 【详解】解：连接，   是的中点，， ， ， 点、、、分别为、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形的周长为， 故答案为：． 3．(1)解：连接、，如图所示：    ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． (2)证明：如图，连接、， E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，， ，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形．    题型16 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 1．A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 2． 【分析】利用矩形的面积减去四个直角三角形的面积就是四边形的面积，得到四边形面积的二次函数表达式，利用二次函数的性质即可求解 【详解】解：∵在矩形中，，，， 又∵， ∴，， ∴，， 设， ∴ ∴当时，有最大值， 故答案为： 3．解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 题型17 (特殊)平行四边形的动点问题 1．B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若要以四点组成的四边形为平行四边形， 则， 设运动时间为， 当时，，， ∴， ， ∴(舍去)； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：(舍去)； 综上所述，的值为时, 以为顶点的四边形是平行四边形． 故选:B． 2．6或11 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 3．(1)解：∵，， ，，， 当时，，， ， 点，； 故答案为：；； (2)解：根据题意：，， 则， 当四边形是矩形时，， ， 解得：， 时，四边形是矩形． 题型18 四边形中的线段最值问题 1．B 【分析】 首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是正方形，， ， 当最大时，最大，此时最大， 点是上的动点， 当点和点重合时，最大，即的长度， 此时， ， 的最大值为． 故选B． 2． / 【分析】本题主要考查线段的和差，线段最短，最长的计算方法，掌握两点之间线段最短，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，当时，线段的值最小；当点与点(或点)重合时，线段的值最大，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴当的值最小时，的值最小； 当的值最大时，的值最大； ∴①如图所示，当时，的值最小， ∵四边形是长方形，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：； ②如图所示，当点与点(或点)重合时，线段的值最大， ∵四边形是长方形， ∴，，且， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 故答案为：． 3．(1)解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小． 理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC， ∵AP′=AP′， ∴△ABP′≌△ADP′， ∴BP′=DP′， ∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE， 即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小； (2)解：由(1)得：B P′=DP′， ∴P′B＋P′E＝DE． ∵BE＝2，AE＝3BE， ∴AE＝6． ∴AD＝AB＝8． ∴DE＝＝10． ∴PB＋PE的最小值是10． ∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12． 题型19 四边形的其他综合问题 1．D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，故①正确；利用证明，可判断②，由三角形的面积公式可得，，可得和的面积比为，故③正确；由直角三角形的性质可得，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确；    ∵， ∴，故②正确； ∴， 过点P作于H，于G，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴和的面积比为，故③正确； 过点C作交的延长线于N，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：①②③④． 故选：D．    2．①③④ 【分析】根据正方形的性质可得，，可得四边形是平行四边形，从而判断①；根据矩形的性质可得，再由在中，，可得，从而判断②；根据三角形中位线定理可得，从而得到不平行，从而判断③；证明，可得，从而判断④，即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴点M是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故②错误； 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴点M是的中点， ∵N为的中点， ∴， ∵G为上一动点(不与端点B，C重合)， ∴点D，F，G不可能共线， ∴不平行， 即四边形不可能是正方形，故③正确； 如图，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵G为中点，点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故④正确； 故答案为：①③④ 3．(1)解：, 是等腰三角形， ， ， ∴垂直平分， ． (2)解：， ∴ ． (3)解： ∴都是直角三角形，每个直角三角形都满足勾股定理， ∴，， 得 ， 得 ， ∵上面两式左边相等，右边也相等， ∴， 将 代入上面等式， 解得，负值舍去． 学科网（北京）股份有限公司 $$