黄金卷06（重庆专用，2025新题型）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷06 （全卷共三个大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1．有理数的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ）    A． B． C． D． 3．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B．5 C． D．20 4．如图，直线，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，与位似，位似中心为点，，的周长为，则的周长为（    ） A．9 B．12 C． D．18 6．按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（    ） A．25块 B．61块 C．85块 D．113块 7．估算的结果应在（    ） A．7和8之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 8．如图，一个边长为的等边三角形的高与的直径相等．与相切于点，与相交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 10．有依次排列的个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：，，，，，； ②第个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第次操作后，所有的整式的和为； ④第个整式串比第（）个整式串多个整式． 以上结论中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（本大题6个小题，每题5分，共30分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．计算： ． 12．小明在计算多边形内角和时，多加了这个多边形的一个外角，得到内角和为，则多加的这个外角的大小为 ． 13．在沙坪坝区磁器口古镇的元宵灯会上，一个青花瓷纹样的灯笼盒中放有1个红灯笼、2个白灯笼和1个黑灯笼，一名游客先随机抽取了一个灯笼不放回，摇匀剩余灯笼后再抽取第二个．则这名游客两次均抽到白灯笼的概率是 ． 14．若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 15．如图，是的直径，弦垂直平分交于点E，F为上一点，连接，，过C点作交于点G，若，，则的长度为 ；连接，，，则四边形的面积为 ． 16．对于一个四位自然数，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“附中数”并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．例如：四位数8274，满足：，则8274是一个“附中数”．记“附中数”，（，且a，b，c，d均为整数），若为完全平方数，则 ；同时，令，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为 . 三、解答题：（本大题共8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．计算： （1）； （2） . 18．某校举办“环保知识竞赛”，评估学生对垃圾分类、资源回收等环保主题的知识掌握情况．现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（得分用表示，分及以上为优秀，共分成四组：，，，）．已知部分信息如下： 七年级抽取的学生竞赛成绩中，在组中的数据为：，，，； 八年级抽取的学生竞赛成绩为：，，，，，，，，，； 七年级抽取的学生竞赛成绩统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对环保主题的知识掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有人参加了此次环保知识竞赛，估计这些学生中成绩达到优秀的总人数约为多少人？ 19．在学习了平行四边形后，小红进行了拓展性研究．她发现，如果在平行四边形一边上取一点，与对边顶点构成一个三角形，则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半．她的解决思路是：将该三角形分割后，转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据她的思路完成下面的作图与填空： 用直尺和圆规，在线段上求作一点，使得．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形为平行四边形，是线段上一点，连接，． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴① ______________． 又∵，， ∴（）， ∴②______________． 同理可得， ∴③___________ 小红再进一步研究发现，平行四边形任意一边所在直线上一点，与对边构成的三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 平行四边形任意一边所在直线上一点与对边构成的三角形，④______________． 20．酸奶因为含有丰富的蛋白质和微量元素等营养成分，日益受到人们的喜爱，某商店看准了商机，共花费 12000元采购了一批甲种酸奶和乙种酸奶进行销售，两种酸奶的采购费用相同，已知甲种酸奶每件的进价比乙种酸奶每件的进价少10元，且购进甲种酸奶的件数是乙种酸奶件数的倍． （1）求甲种酸奶和乙种酸奶每件的进价分别是多少? （2）商店开始销售这批酸奶，已知甲种酸奶的售价为44元/件，一件乙种酸奶的售价比进价多元，商店为了减轻库房压力，在甲种酸奶销售一半后，对剩余的甲种酸奶打a折进行销售，使得甲种酸奶在保质期内全部销售完毕，而乙种酸奶最后剩余10件超过了保质期，只能停止出售，若要使销售这批酸奶的总利润率不低于，求a的值至少为多少? 21．如图，在矩形中，，，点从点出发沿着方向运动，当点到达点A时停止运动．设点运动的路程为x，的面积为y． （1）直接写出y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出一条该函数图象的性质：______________． （3）根据函数图象，直接写出当的面积大于的面积时，x的取值范围：______________． 22．为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东方向，米．（参考数据：，） （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图，点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后抛物线对称轴上的一点，若，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的过程． 24．为等腰直角三角形，，， 线段绕C点旋转至线段，点A的对应点为F，连接． （1）如图1，若在外部，且，交于点N，若．求的长度； （2）如图2，若在内部，延长交于点D，延长交于点E，，将线段 绕点A逆时针旋转得到线段，H为中点，连接并延长交于M点，求证：； （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转到线段，连接 、．K为直线上一点，将 沿翻折 ，K点对应点为，，当最小时，直接写出的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷06 一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C B A C C D A C 二、填空题：（本大题6个小题，每题5分，共30分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11． 12． 13． 14．10 15．； 16．，4040 三、解答题：（本大题共8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．（1）解：； （2）.（10分） 18．（1）解：根据题意，七年级A组中有人，七年级D组中有人， 故七年级B组中有人， 即； 将七年级的竞赛成绩从大到小排列后，处在中间位置的两个数分别是81，84，故中位数为， 即； 八年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是88，共出现2次，因此众数是88， 即； 故答案为：82.5，88，30． （2）解：根据八年级对环保主题的知识掌握情况更好，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生竞赛成绩的中位数85大于七年级学生竞赛成绩的中位数82.5； ②因为八年级学生竞赛成绩的众数88大于七年级学生竞赛成绩的众数86；…… （3）解：（人）． 故这些学生成绩达到优秀的总人数约为195人．（10分） 19．解：如图，即为所求；    证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴①． 又∵，， ∴（）， ∴②． 同理可得， ③ 由此得到命题：平行四边形任意一边所在直线上一点与对边构成的三角形，④则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半．（10分） 20．（1）解：设甲种酸奶每件进价为x元，则乙种酸奶每件的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：甲种酸奶每件进价为30元，则乙种酸奶每件的进价为40元． （2）解：甲种酸奶的件数为（件）， 乙种酸奶的件数为（件）， 根据题意得：， 解得：， 答：a的值至少为8．（10分） 21．（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． 如图1，当点P位于线段上时， 由题意得． ∴， 根据三角形面积公式得； 如图2，点P位于线段上时，过点P作，分别交，于点M、N， 由题意得． ∵，, ∴四边形为矩形， ∴，分别为，的高，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解： 列表得 x 0 3 8 y 10 4 10 描点，连线， 的图象如图所示； 图象性质：当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大； （3）解：由题意得， 把代入得，解得， 把代入得，解得． 由题意得当时，或．（10分） 22．（1）解：过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交的延长线于点F，交延长线于点G，如图， 则四边形是矩形， ∴米， ∵点C位于点D的北偏东方向， ∴， ∵米， ∴，解得（米）， ∵点C正好在点B的东北方向， ∴， ∵米． ∴米． 答：步道长度为米． （2）解：在中，，解得（米）， 则米， 那么，选时，消耗热量为：（千卡）， 选时，消耗热量为：（千卡）， ∵， ∴选时，消耗的热量更多． 答：选时，消耗的热量更多．（10分） 23．（1）由题意得 ，解得：， ∴抛物线的函数解析式； （2）当时，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， 过点P作轴于点H， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴当时，的最大值为8，此时点P的坐标为； （3）∵，， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线 向下平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，设， ∴平移后抛物线的对称轴为直线，连接， ∵，， ∴， 要使，只需即可， 当点在上方时，设交y轴于G，过点F作于Q，交于N， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴点的坐标为， 同理得直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 当点在下方时，与平移后抛物线的对称轴交于， ∵，， 同理得直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或．（10分） 24．（1）解：如图所示，过点N作于点M ∵为等腰直角三角形，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 又∵线段 绕C点旋转至线段，， 则是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图所示，连接 ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∵，则， ∵将线段绕点A逆时针旋转段， ∴， ∴， ∴， ∵线段 绕点旋转至线段， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵H为中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为等腰直角三角形，，， ∴ ∵为直 线 上一点，将沿 翻 折 ，点对应点为， ∴在上，， ∵将线段绕点A逆时针旋转到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，，， ∴， ∴， 以为斜边作等边三角形，如图所示， ∵， ∴G在上运动， ∴当O，G，三点共线，且时，最小， 设交于点， ∵ ∴ ∴ 在中，，， ∴ ∴ 过点F作于点T， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 设交于点S， ∵又， ∴， 又∵T为的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∴， ∴．（10分） 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（重庆专用） 黄金卷06 （全卷共三个大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1．有理数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：， 故选：B． 2．篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示：    故选：B 3．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A． B．5 C． D．20 【答案】C． 【解析】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故选：C． 4．如图，直线，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，与位似，位似中心为点，，的周长为，则的周长为（    ） A．9 B．12 C． D．18 【答案】A． 【解析】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长为， ∴的周长为， 故选：A． 6．按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（    ） A．25块 B．61块 C．85块 D．113块 【答案】C． 【解析】∵第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， 第个图案中黑色小正方形地砖的块数， …， 第n个图案中黑色小正方形地砖的块数， ∴第7个图案中黑色小正方形地砖的块数． 故选：C． 7．估算的结果应在（    ） A．7和8之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C． 【解析】解：， ∵， ∴ ∴即， ∴的结果在10和11之间， 故选C. 8．如图，一个边长为的等边三角形的高与的直径相等．与相切于点，与相交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：如解图所示．连接，，过点作于点E，过点A作于点F， 在中，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 故选：D． 9．如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A． 【解析】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．有依次排列的个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：，，，，，； ②第个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第次操作后，所有的整式的和为； ④第个整式串比第（）个整式串多个整式． 以上结论中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解析】第一次操作后的整式串：，，， 第二次操作后的整式串：，，，， 故结论错误． 由题意得：第一个整式串：，，； 第二个整式串：，，，，； 第三个整式串：，，，，，，，，； 第四个整式串：，，，，，，，，，，，，，，，，； ...... 观察可得：第奇数个整式串，从右往左第二个整式为；第偶数个整式串，从右往左第二个整式为； 即第个整式串中，从右往左第二个整式为； 故结论正确． 第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为， ...... 依照规律可得第次操作后，所有的整式的和为； 第2024次操作后，所有的整式的和为； 故结论正确． 观察可得：第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式， ...... 依照规律可得第个整式串比第个整式串多个整式． 故结论正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每题5分，共30分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．计算： ． 【答案】． 【解析】解： 故答案为：． 12．小明在计算多边形内角和时，多加了这个多边形的一个外角，得到内角和为，则多加的这个外角的大小为 ． 【答案】． 【解析】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个外角是的余数， 即为 故答案为：． 13．在沙坪坝区磁器口古镇的元宵灯会上，一个青花瓷纹样的灯笼盒中放有1个红灯笼、2个白灯笼和1个黑灯笼，一名游客先随机抽取了一个灯笼不放回，摇匀剩余灯笼后再抽取第二个．则这名游客两次均抽到白灯笼的概率是 ． 【答案】． 【解析】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次都摸出白灯笼的结果有2种， 两次都摸出白灯笼的概率为． 故答案为：． 14．若关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 【答案】10． 【解析】解：不等式组整理得：， ∵不等式组有解且至多4个整数解， ∴， 解得：， 分式方程， 去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∵分式方程的解为整数，，， ∴或4或6， 则满足题意整数之和为． 故答案为：10． 15．如图，是的直径，弦垂直平分交于点E，F为上一点，连接，，过C点作交于点G，若，，则的长度为 ；连接，，，则四边形的面积为 ． 【答案】；． 【解析】解：连接， ∵，弦垂直平分交于点E， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴，，， 在中，， 在中，，， 过点A作于I， ∵， 设，则，， 在中，，即， 解得： 或（舍）， ∴， ， ， ∴， 故答案为：；． 16．对于一个四位自然数，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“附中数”并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．例如：四位数8274，满足：，则8274是一个“附中数”．记“附中数”，（，且a，b，c，d均为整数），若为完全平方数，则 ；同时，令，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为 . 【答案】，4040． 【解析】解：∵是“附中数”， ∴， ∴， ∵为完全平方数， ∴， ∵是完全平方数，且，且a，b，c，d均为整数， ∴或， ∵，则，不合题意，故舍去， ∴， ∴； 当时，， ∵a，b，c，d互不相同， ①当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ②当，时，，，所以，此时是整数，， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ③当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ④当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ⑤当，时，，，所以，此时是整数，， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ⑥当，时，，，所以，此时是整数，， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ⑦当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， ，，所以，此时不是整数，故舍去， 综上，最大值为，最小值为， 最大值与最小值之差为， 故答案为：，4040． 三、解答题：（本大题共8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．计算： （1）； （2） . 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）解：； （2）. 18．某校举办“环保知识竞赛”，评估学生对垃圾分类、资源回收等环保主题的知识掌握情况．现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（得分用表示，分及以上为优秀，共分成四组：，，，）．已知部分信息如下： 七年级抽取的学生竞赛成绩中，在组中的数据为：，，，； 八年级抽取的学生竞赛成绩为：，，，，，，，，，； 七年级抽取的学生竞赛成绩统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对环保主题的知识掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有人参加了此次环保知识竞赛，估计这些学生中成绩达到优秀的总人数约为多少人？ 【答案】（1）82.5，88，30；（2）答案见解析；（3）这些学生成绩达到优秀的总人数约为195人． 【解析】（1）解：根据题意，七年级A组中有人，七年级D组中有人， 故七年级B组中有人， 即； 将七年级的竞赛成绩从大到小排列后，处在中间位置的两个数分别是81，84，故中位数为， 即； 八年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是88，共出现2次，因此众数是88， 即； 故答案为：82.5，88，30． （2）解：根据八年级对环保主题的知识掌握情况更好，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生竞赛成绩的中位数85大于七年级学生竞赛成绩的中位数82.5； ②因为八年级学生竞赛成绩的众数88大于七年级学生竞赛成绩的众数86；…… （3）解：（人）． 故这些学生成绩达到优秀的总人数约为195人． 19．在学习了平行四边形后，小红进行了拓展性研究．她发现，如果在平行四边形一边上取一点，与对边顶点构成一个三角形，则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半．她的解决思路是：将该三角形分割后，转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据她的思路完成下面的作图与填空： 用直尺和圆规，在线段上求作一点，使得．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形为平行四边形，是线段上一点，连接，． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴① ______________． 又∵，， ∴（）， ∴②______________． 同理可得， ∴③___________ 小红再进一步研究发现，平行四边形任意一边所在直线上一点，与对边构成的三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 平行四边形任意一边所在直线上一点与对边构成的三角形，④______________． 【答案】见解析． 【解析】解：如图，即为所求；    证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴①． 又∵，， ∴（）， ∴②． 同理可得， ③ 由此得到命题：平行四边形任意一边所在直线上一点与对边构成的三角形，④则这个三角形的面积等于平行四边形面积的一半． 20．酸奶因为含有丰富的蛋白质和微量元素等营养成分，日益受到人们的喜爱，某商店看准了商机，共花费 12000元采购了一批甲种酸奶和乙种酸奶进行销售，两种酸奶的采购费用相同，已知甲种酸奶每件的进价比乙种酸奶每件的进价少10元，且购进甲种酸奶的件数是乙种酸奶件数的倍． （1）求甲种酸奶和乙种酸奶每件的进价分别是多少? （2）商店开始销售这批酸奶，已知甲种酸奶的售价为44元/件，一件乙种酸奶的售价比进价多元，商店为了减轻库房压力，在甲种酸奶销售一半后，对剩余的甲种酸奶打a折进行销售，使得甲种酸奶在保质期内全部销售完毕，而乙种酸奶最后剩余10件超过了保质期，只能停止出售，若要使销售这批酸奶的总利润率不低于，求a的值至少为多少? 【答案】（1）甲种酸奶每件进价为30元，则乙种酸奶每件的进价为40元；（2）a的值至少为8． 【解析】（1）解：设甲种酸奶每件进价为x元，则乙种酸奶每件的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：甲种酸奶每件进价为30元，则乙种酸奶每件的进价为40元． （2）解：甲种酸奶的件数为（件）， 乙种酸奶的件数为（件）， 根据题意得：， 解得：， 答：a的值至少为8． 21．如图，在矩形中，，，点从点出发沿着方向运动，当点到达点A时停止运动．设点运动的路程为x，的面积为y． （1）直接写出y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出一条该函数图象的性质：______________． （3）根据函数图象，直接写出当的面积大于的面积时，x的取值范围：______________． 【答案】（1）；（2）作图见解析，当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大；（3）或． 【解析】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． 如图1，当点P位于线段上时， 由题意得． ∴， 根据三角形面积公式得； 如图2，点P位于线段上时，过点P作，分别交，于点M、N， 由题意得． ∵，, ∴四边形为矩形， ∴，分别为，的高，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解： 列表得 x 0 3 8 y 10 4 10 描点，连线， 的图象如图所示； 图象性质：当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大； （3）解：由题意得， 把代入得，解得， 把代入得，解得． 由题意得当时，或． 22．为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东方向，米．（参考数据：，） （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 【答案】（1）步道长度为米；（2）选时，消耗的热量更多． 【解析】（1）解：过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交的延长线于点F，交延长线于点G，如图， 则四边形是矩形， ∴米， ∵点C位于点D的北偏东方向， ∴， ∵米， ∴，解得（米）， ∵点C正好在点B的东北方向， ∴， ∵米． ∴米． 答：步道长度为米． （2）解：在中，，解得（米）， 则米， 那么，选时，消耗热量为：（千卡）， 选时，消耗热量为：（千卡）， ∵， ∴选时，消耗的热量更多． 答：选时，消耗的热量更多． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图，点P为直线上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交于点D，过点P作交y轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，M为平移后抛物线对称轴上的一点，若，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】（1）；（2）的最大值为8，此时点P的坐标为；（3）点的坐标为或． 【解析】（1）由题意得 ，解得：， ∴抛物线的函数解析式； （2）当时，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， 过点P作轴于点H， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴当时，的最大值为8，此时点P的坐标为； （3）∵，， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线 向下平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，设， ∴平移后抛物线的对称轴为直线，连接， ∵，， ∴， 要使，只需即可， 当点在上方时，设交y轴于G，过点F作于Q，交于N， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴点的坐标为， 同理得直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 当点在下方时，与平移后抛物线的对称轴交于， ∵，， 同理得直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 24．为等腰直角三角形，，， 线段绕C点旋转至线段，点A的对应点为F，连接． （1）如图1，若在外部，且，交于点N，若．求的长度； （2）如图2，若在内部，延长交 于点D，延长交于点E，，将线段 绕点 A逆时针旋转得到线段，H为中点，连接并延长交于M点，求证：； （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转到线段，连接 、．K为直线上一点，将沿翻折 ，K点对应点为，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解析】（1）解：如图所示，过点N作于点M ∵为等腰直角三角形，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 又∵线段 绕C点旋转至线段，， 则是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图所示，连接 ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∵，则， ∵将线段绕点A逆时针旋转段， ∴， ∴， ∴， ∵线段 绕点旋转至线段， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵H为中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为等腰直角三角形，，， ∴ ∵为直 线 上一点，将沿 翻 折 ，点对应点为， ∴在上，， ∵将线段绕点A逆时针旋转到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，，， ∴， ∴， 以为斜边作等边三角形，如图所示， ∵， ∴G在上运动， ∴当O，G，三点共线，且时，最小， 设交于点， ∵ ∴ ∴ 在中，，， ∴ ∴ 过点F作于点T， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 设交于点S， ∵又， ∴， 又∵T为的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∴， ∴． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$