第十九章 一次函数（单元重难点题型归纳与训练）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂（人教版）

第十九章 一次函数 单元重难点题型归纳与训练 题型归纳 题型讲解 一求函数自变量的取值范围 【题型解读】此种题主要是根据函数式子有意义求自变量的取值范围. 例1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围，根据求解即可． 【详解】解：， ∴， 故函数的自变量的取值范围是， 故选：C． 对应练习： 1. （24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，解答时注意通过二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围．由二次根式的被开方数大于等于0问题可解． 【详解】解∶根据题意，得， 解得， 故选∶C． 2．（24-25八年级下·重庆万州·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了零次幂，二次根式有意义，分式有意义，根据零次幂的底数不能为0、分母不能为0，被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 解得且， 故选：C 3．（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据求解函数自变量的取值范围的方法求解即可． 【详解】解：．，解得，故该选项不符合题意； ．，解得，故该选项符合题意； ．，解得，故该选项不符合题意； ．且 ，解得，故该选项不符合题意； 故选：B． 【解法提炼】 (1)自变量的取值范围：使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围. (2) ①整式型：等号右边是整式，自变量的取值范围是全体实数. ②分式型：等号右边的自变量在分母的位置上，自变量的取值范围是使分母不为0的实数. ③根式型：等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数. ④零次型：等号右边的自变量的零次幂或负整数次幂，自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数. 二. 利用函数图象获取信息解决问题 【题型解读】此种题型主要考查利用图象根据数形结合解决问题 例1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）某周六下午，小林从家骑自行车去“西北书城”， 途中他在东方红广场停留了一段时间，在整个过程中小林离“西北书城”的距离s（米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．小林家距离西北书城1600米 B．小林在东方红广场玩了10分钟 C．小林从家到东方红广场的速度比从东方红广场到西北书城的速度大 D．小林离开东方红广场后的速度为320米/分钟 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示两个变量的关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图象中的数据的实际意义判断各项即可． 【详解】解：A、当时，，则小林家距离西北书城2400米，故A选项不符合题意； B、小林在东方红广场玩了分钟，故B选项不符合题意； C、小林从家到东方红广场的速度为（米/分钟），从东方红广场到西北书城的速度为（米/分钟），，故C选项不符合题意； D、小林离开东方红广场后的速度为320米/分钟，故D选项符合题意； 故选：D． 例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（   ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据容器的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析是解题的关键． 根据容器“上大下小”的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析即可得出答案． 【详解】解：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项符合该特点， 故选：． 对应练习： 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 【答案】D 【分析】本题考查函数图象的实际应用．观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【详解】解：观察图象得：期间，时间增加，但路程没有增加，此时小王处于停止状态， 因此实际骑行时间为，故A选项错误，不符合题意； 内，小王派送快递的平均速度是，故B选项错误，不符合题意； 小王派送快递的平均速度是， 小王派送快递的平均速度是， 因为， 所以小王骑行的平均速度比快，故C选项错误，不符合题意； 点表示小王出发，共骑行，故D选项正确，符合题意； 故选D． 2．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（   ） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 【答案】D 【分析】本题考查函数图象的实际应用，结合图象得出从家直接去体育场，故第一段函数图象所对应的y轴最高点即为体育场离张强家的距离，进而得出锻炼时间以及整个过程所用的时间，由第三段函数图象可得体育场离开早餐店的距离，根据第五段函数图象求得张强从早餐店回家的距离及时间，再利用平均速度等于总路程除以总时间即可求张强从早餐店回家的平均速度． 【详解】解：由函数图象可得，体育场离张强家2.5千米，故A不符合题意； 由图象可得，张强在体育场锻炼了（分钟），故B不符合题意； 由图象可得，体育场离早餐店的距离为：（千米），故C不符合题意； 由图可得，张强从早餐店回家的距离是1.5千米，所需用的时间为（分）， 所以张强从早餐店回家的平均速度是（千米/小时），故D符合题意； 故选：D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）以下是长沙某日气温变化情况的折线图，下列描述正确的是（   ） A．最低温度是 B．最高温度是 C．从0时到14时温度在持续上升 D．这一天的最大温差是 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图像，准确理解图像中的信息是解题的关键．根据图像获取信息进行判断即可． 【详解】解：最低温度是，故选项A错误； 最高温度是，故选项B正确； 从时到14时温度在持续上升，故选项C错误； 这一天的最大温差是，故选项D错误； 故选B． 4．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案． 【详解】解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动， 即高度h先越来越大，再越来越小， 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图是反映两个变量的关系图，下面的四个实际情况中，哪个比较适合这幅图？（　　） A．在罚球点上被踢出的球的速度与时间之间的关系 B．一杯开水放在桌上，它的水温与时间的关系 C．匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系 D．一架战斗机正以的速度匀速飞行，它飞行的速度与时间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了两个变量的关系图，熟练掌握变量之间的关系是解题关键． 图像中有一个物理量始终保持不变，不会因为另一个量的变化而变化． 【详解】解：A.踢出的球的速度是随着时间的增加而减少的，故A不符合题意； B.开水的水温先是随时间的增加而减少的，最后保持不变，故B不符合题意； C.汽车在匀速行驶中，速度保持不变，即路程与时间成正比，故C不符合题意； D.飞速飞行的战斗机的速度始终保持不变，不会随时间的变化而变化，故D符合题意； 故选D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度与水平距离的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，熟练掌握用图象表示变量之间的关系是解题关键．运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面，由此即可得． 【详解】解：因为运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面， 所以铅球的高度先随着水平距离的增大而增大，在取得最大值后，再随着水平距离的增大而减小， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 【解法提炼】利用图象表示变量之间的关系，从图象中获取信息，重要的利用拐点发现变化趋势解决问题 三.根据一次函数的定义求字母的取值 【题型解读】1.利用一次函数的定义求字母的取值，属于考试种的简单题型，但是学生易忽略对自变量系数不为1的考虑 例1.（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知函数是正比例函数，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 根据正比例函数的定义列出方程求解即可． 【详解】解： 是正比例函数， 且， 解得：； 故答案为：． 例2.（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若 是一次函数，则a的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如，、是常数），一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数． 根据形如，、是常数）的函数，叫做一次函数可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案是：． 对应练习： 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，正确理解一次函数的定义是解题的关键． 根据函数是一次函数，则，然后求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）已知函数是正比例函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．根据正比例函数的定义，可得，且，由此即可求出的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ，且， 解得：， 故答案为：． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）若x，y是变量，且是正比例函数，则k值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：是常数，k≠0，是正数也可以是负数． 根据正比例函数的定义，可得：，，从而求出k值． 【详解】解：∵根据正比例函数的定义，可得：，， ∴． 故答案为0． 5．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如果正比例函数的图象在二、四象限，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义和性质，首先根据正比例函数的定义可得，且，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得，进而确定m． 【详解】解：由题意得：，且． 解得：． ∵图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【解法提炼】解题关键自变量的次数为1，自变量系数不为0. 四. 利用一次函数图象与性质解题 【题型解读】1.利用一次函数图象与性质解决问题 2.一般涉及两条直线，主要考查k,b的正负性与直线所经过的象限之间的关系 例1. （23-24八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数，下列说法正确的是(　　) A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．随增大而增大 D．点在函数的图象上 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，分别利用正比例函数的性质分析得出即可． 【详解】解：A、正比例函数，图象经过第二，四象限，不正确，不合题意； B、正比例函数，图象经过原点，正确，符合题意 C、正比例函数，随增大而减小，故此选项错误，不合题意； D、当时，，故点在函数的图象上不正确，不合题意； 故选：B． 例2. （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．先根据题意得出m的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限． 故选：A． 例3.（安徽省宣城市皖东南联盟2023—2024学年下学期期末检测八年级数学试题卷）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：A、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； C、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，，即；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 例4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着的值的增大而增大； ②当，时，该函数图象经过第一、二、三象限； ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到，则； ④当时，无论取何值，直线一定过定点． 其中正确的是 ． （填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质，增减性，平移的规律等知识是解题的关键． 根据一次函数中比例系数与常数项的符号确定函数图象经过象限，增减性可判定①，②；根据函数平移规律“左加右减，上加下减”判定③；根据得，由此可判定④；由此即可求解． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴一次函数图象从左往右，呈上升趋势，即的值随着的值的增大而增大，故①正确； 当时，， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故②正确； 将该函数图象向下平移2个单位长度后得到， ∴， 解得，，故③正确； 当时，， ∴时，，函数值与的取值无关， ∴当时，无论取何值，直线一定过定点，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ ． 例5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：一次函数， (1)函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围； (2)函数图象与y轴的交点于x轴下方，求m的取值范围； (3)函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围； (4)当时，求该直线与两坐标轴所围成的面积． 【答案】(1) (2)且 (3) (4)2 【分析】本题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系和三角形的面积，熟练掌握一次函数图象的性质是解决此题的关键． (1)要使该函数中随的增大而减小，只需一次项系数为负数； (2)要使该函数图象与轴的交点于下方，只需一次项系数不为零且常数项为负数； (3)要使该函数图象经过第二、三、四象限，只需一次项系数与常数项均为负数； (4)根据坐标轴上点的坐标特点求出所围成的直角三角形的两条直角边长，结合面积公式解答即可． 【详解】（1）解：函数值随自变量的增大而减小， ， 解得：； （2）解：函数图象与轴交于轴下方， 且， 解得：且； （3）解：函数图象经过第二、三、四象限， 且， 解得：； （4）解：当时，该函数的解析式为 当时， 当时， 该直线与两坐标轴所围成的三角形面积是． 对应练习： 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象是一条线段 B．随增大而减小 C．函数图象过一、二、三象限 D．点在函数图象上 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵函数， ∴函数图象是一条直线，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴随增大而增大，该选项错误，不合题意； 、∵，， ∴函数的图象经过一、二、三象限，该选项正确，符合题意； 、∵当时，， ∴点不在函数的图象上，该选项错误，不合题意； 故选：C． 2．（22-23九年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数，那么一次函数的图象不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】根据的符号来求确定一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：∵， ∴同号， ∵， ∴都小于0，即一次函数中，， ∴一次函数图象经过二、三、四象限， ∴不经过第一象限， 故选A． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数，则下列判断错误的是（　　） A．直线在轴上的截距为 B．直线不经过第二象限 C．直线在轴上方的点的横坐标的取值范围是 D．该一次函数的函数值随自变量的值增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的值可判断选项A、B、D；令，求得，则可判断选项C． 【详解】解：A、当时，，直线在轴上的截距为，故原说法正确， B、直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故原说法正确， C、直线在轴上方的点，即，则横坐标的取值范围是，故原说法错误， D、，该一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，故原说法正确， 故选：C． 4．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，先根据一次函数的图象不经过第三象限可得一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限，分两种情况进行计算即可得到答案．解题的关键是掌握：一次函数（、为常数，，当，时，图象经过一、二、三象限；当，时，图象经过一、三、四象限；当，时，图象经过一、二、四象限；当，时，图象经过二、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限， 当一次函数的图象经过第二、四象限时， 得：，解得：； 当一次函数的图象经过第一、二、四象限时， 得：，解得：； 综上所述，的取值范围是：． 故选：B． 5．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的直线与坐标轴围成的三角形面积为（　　） A．6 B．4 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，根据上加下减，左减右加的平移规律得到平移后的直线解析式，再求出平移后的直线与坐标轴的两个交点坐标即可得到答案． 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的直线解析式为， 在中，当，，当时，， ∴平移后的直线与坐标轴的两个交点坐标为，， ∴平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为， 故选：B． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若函数的图象上有两点，当时，，则的值可以是（    ） A．8 B． C．0.5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，判断出y随x的增大而减小是解题的关键． 根据题意得y随x的增大而减小，可知系数小于零，即可求得答案． 【详解】解：∵正比例函数图象上有两点，，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， 结合选项只有在的范围内． 故选：B． 7．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）直线的图象如图：试化简： ． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，一次函数的图象与性质，确定绝对值符号里的数的正负性即可将绝对值化简．由题意求得，，推出，，再对原式化简，合并即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一次函数为，下列说法中正确的是 ． ①若函数图象经过原点，则；②若，则函数图象经过第一、二、三象限； ③函数图象与y轴交于点；④函数的图象总经过点． 【答案】①④ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①一次函数为图象过原点，则有，解得，故①说法正确，符合题意； ②若，则函数解析式为，，， 图象经过第一三四象限，故②说法错误，不符合题意； ③当时，，函数图象与y轴交于点，故③说法错误，不符合题意； ④函数， 当时，，故函数的图象总经过点说法正确，符合题意， 故答案为：①④． 9．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数（和是常数）与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质； 首先求出交点的横坐标为1，排除D选项；然后根据A选项中函数图象的增减性，与y轴的交点位置推出矛盾，可得A错误；根据B选项中交点在x轴上，可得，则两函数图象的陡峭程度应该相同，故B错误；根据C选项中函数图象的增减性，交点位置进行验证，可知C选项符合题意． 【详解】解：联立，解得：， ∴交点的横坐标为1，D排除； 由A选项中函数图象的增减性可得，，则两函数图象都应与y轴正半轴相交，不符合题意； B选项中交点在x轴上，则， 所以和互为相反数， 所以两函数图象的陡峭程度应该相同，不符合题意； 由C选项中函数图象的增减性可得，， 所以， 所以交点位于第四象限，符合题意； 故选：C． 10．（20-21八年级上·陕西西安·期中）在同一直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象的位置可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据图象的分布，确定k的符号，交点的位置，一致的就是正确的，解答即可． 本题考查了图象的分布，熟练掌握图形分布是解题的关键． 【详解】解：A.根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于负半轴， 故该选项错误； B. 根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于负半轴， 故该选项错误； C. 根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于负半轴， 故该选项正确；     D. 根据图象分布，得，于是一次函数的图象与y轴交点位于正半轴， 故该选项错误； 故选：C． 11．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）一次函数（k为常数，）与正比例函数的图象可能是（　　） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】分、两种情况找出函数及函数的图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：当时，正比例函数的图象经过第二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 当时，正比例函数的图象经过第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象及一次函数的图象，分、两种情况找出两函数图象经过的象限是解题的关键． 【解法提炼】1.根据k,b的值判断一次函数图象所经过的象限 2.利用一条直线所经过的象限判断k,b的正负，再利用正负判断另一条直线所经过的象限 五. 待定系数法求一次函数解析式 【题型解读】主要考查根据一次函数的概念建立方程，解二元一次方程组 例1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）将直线向左平移个单位长度，所得直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握直线平移的规律是解题的关键． 根据“左加右减”的规律写出函数解析式即可． 【详解】解：∵直线向左平移个单位长度， ∴所得直线的解析式为， 故答案为：． 例2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，求此函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，时，根据一次函数的增减性得到当时，，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【详解】解： 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 故答案为： ． 对应练习： 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，且当时，；时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)见详解 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数． （1）设一次函数的表达式为，把当时，；时，代入利用待定系数法求解即可． （2）先求出时x的值，再根据一次函数的图像和性质得出当时，，然后画出的一次函数图像即可． 【详解】（1）解：由题知，设一次函数的表达式为， 则， 解得： 所以一次函数的表达式为． （2）解：当， 解得：， ∵， ∴当时，， 函数图象如图所示， 2.（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，先求出直线l的解析式，再根据一次函数平移规律即可解答． 【详解】解：设直线l的解析式为， ∵直线l经过和，则， 解得：， ∴直线l的解析式为， 把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线， 则直线的解析式为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知函数的图像过点且与坐标轴围成的三角形的面积为，求此函数的解析式． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，数形结合根据三角形的面积公式求出值是解题的关键． 先根据一次函数的图象过点，求出与的关系，再用表示出函数与轴的交点，根据三角形的面积公式及绝对值的性质求出的值即可求解． 【详解】解：一次函数的图象过点， ，， 可化为， 令，则， 函数图象与坐标轴围成的三角形面积为， ，解得， 此函数的解析式为：或． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可得一次函数y随x的增大而减小，可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，解二元一次方程组求解即可； （3）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第一象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵当时，该一次函数的最大值为6， ∴当时，， ∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意：，即， ∴， ∵一次函数的图象经过第一象限，且， ∴， ∴， ∴． 【解法提炼】 (1)如果图象平移求直线解析式应先确定k的值，再代入一个点即可 (2)两点法求直线解析式，重点是找到两点坐标，代入函数解析式，建立二元一次方程组求解即可 六.一次函数与方程、不等式之间的关系 【题型解读】一次函数与一元一次方程：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值等于的自变量的取值；从函数图象的角度看，就是确定直线与轴的交点 一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合 例1（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像，结合一次函数的性质和图象，逐一判断即可解答，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势， 所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确； ②由函数图象可知，一次函数一次函数与 的图象交点坐标为， 所以方程组的解为，故②正确； ③由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为， 所以方程的解为，故③正确； ④由函数图象可知，直线过点， 所以当时，，故④正确； 故选：D． 例2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是数形结合．先求出直线与轴的交点坐标，再结合直线与直线相交于点，即可求解． 【详解】解：在直线中，令，则， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线与直线相交于点， 的解集为， 故答案为：． 例3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是___________ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 对应练习： 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A. 关于x不等式的解集是，原说法错误； B. 关于x的不等式的解集是，原说法正确； C. 关于x的方程的解是，原说法错误； D. 当时，一次函数值y的取值范围是； 故选B． 3．（21-22八年级下·福建泉州·期末）一次函数为常数且的图象如图所示，则使成立的的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以得到使成立的的取值范围． 【详解】解：由图象可知， 一次函数与轴交于点，随的增大而减小， 故使成立的的取值范围为是， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（21-22八年级下·甘肃张掖·期中）如图，一次函数＝x+b与一次函数＝kx+4的图象交于点P（1，3），在关于x的不等式x+b≤kx+4的解集是（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤1 【答案】D 【分析】找出一次函数=x+b的图象在一次函数=kx+4图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由函数图象得当x≤1时，≤， 即x+b≤kx+4， 所以关于x的不等式x+b≤kx+4的解集为x≤1． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能够根据图象得到与的关系是解题的关键． 5．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：把代入，得： ， 解得：， ∴， 当时，则， 故答案为：． 6．（2024·甘肃天水·一模）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．由点在正比例函数上可求出，由图象可知当时，一次函数的图象在正比例函数图象的下方，即可得到答案． 【详解】解：点在正比例函数上， 当时，， 解得：， ， 由图象可得，关的不等式的解集为， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】不等式的解集就是图象的图象在的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】直线与直线相交于点， 不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式，正确理解不等式的解集与对应的函数图象的关系是解题的关键． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意、求出点的坐标是解题的关键．先求出点的坐标，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴则方程组的解为． 故答案为：． 【解法提炼】一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合. 七.与一次函数相关的动点问题 【题型解读】本种题主要考查了函数图像与几何综合等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．主要抓住拐点是解题的关键． 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图像、菱形的性质、勾股定理等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．首先根据函数图像可知，当时，，当点运动到点时，，再由菱形的性质可得，然后由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， 当点运动到点时，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 例2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图2所示，则四边形的周长是___________ 【分析】本题主要考查了动点图象问题，等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解决此题的关键，从图2看，，，过点作交于点，在中，利用勾股定理得到，当点在点处时，，解出，进而代入四边形的周长计算即可得解． 【详解】解：从图2来看， ，， 如图，过点作交于点，则， ，， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 在中， ， 当点在点处时， 解得（负值已舍）， 则四边形的周长是 ， 例3．（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为_____________ 【分析】当l落在位置时，与菱形交于D，M，，当|l落在位置时，，得，得，得，解得，即得． 【详解】解：如图所示，当l落在位置时，与菱形交于D，M， 此时， 当l落在位置时，与菱形交于N，B， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴点C到y距离为， ∴． 【点睛】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点函数图象，分类讨论，是解题的关键． 对应练习： 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，是半径为1的圆O上的两点，且．点P从点A出发，在圆O上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为t（单位：s），的长为y，那么图②中可能表示y与t之间的关系的图象是（    ） A．a B．a或c C．b或d D．c 【答案】B 【分析】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是c，当点P逆时针旋转时，图象是a，由此即可解决问题． 【详解】解：当点P顺时针旋转，到达顶点时，运动过程中逐渐增大，从增大到2，据此可以判断，y与x函数图象是c， 当点P逆时针旋转，到达B点时，运动过程中逐渐减小，从减小到0，据此可以判断，y与x函数图象是a， 故ac正确， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，为斜边的中点，动点从点出发，沿运动，如图1所示，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图2所示，则的最大值为___________ 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．根据已知条件和图象可以得到、的长度，当时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值． 【详解】解：根据函数图象可得，当时，点P与点C重合， 则，， ∵，点D为的中点， ∴当时，， 此时函数有最大值，则y 的最大值为3， 3．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为_________ 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作交于点，根据图象可得，当点运动到点时，面积最大，为，求出，根据当点运动到点时，停止运动，此时面积为，求出，再根据，即可． 【详解】解：设菱形的边长为：，过点作交于点， 由图可得，当点运动到点时，面积最大，为， ∴， 解得：； 当点运动到点时，停止运动，此时面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中__________ 【分析】本题考查用图象表示变量的关系．根据题意，先求出当点在上运动时的面积即的值，再根据点沿运动到时的路程来求的值即可． 【详解】解：当点在上运动时， 由图知，点沿运动到时，路程为． ∴ ．． 5．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图（）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间（单位：）的函数关系如图（）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了_________． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据图（）判断出的长度，过点作于点，然后求出梯形的高，再根据时的面积求出的长度，过点作于点，然后求出的长度，利用勾股定理列式求出的长度，然后求出的和，再根据时间路程速度计算即可得解． 【详解】解：由图（）可知，在到秒时，的面积不发生变化， ∴在上运动的时间是秒，在上运动的时间是（秒）， ∵动点的运动速度是， ∴，， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴动点运动的总路程为， ∵动点的运动速度是， ∴点从开始移动到停止移动一共用了(秒)， 6．（2025·河南郑州·一模）如图()，点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设)，图()是点运动时随变化的关系图象，则____________ A． B． C． D． 【分析】本题考查了函数动点问题，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，点沿直线运动时，又，点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：设点为点运动的转折点，如图， 结合题图可知，，，，点沿直线运动时，， ∴故点在的平分线上， ∴， 过点作于点，则，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， 【解法提炼】 1 动点问题主要考查分类讨论； 2 这种问题从图像中获取信息，应注意拐点临界值，这是解题的突破口； 八.一次函数与方案选择 【题型解读】学有用的数学所以实际应用为常考类型，也是中考重点. 1.已知方案，对比两种方案做出最优选； 2.通过列不等式组，确定方案种类，从而确定最优选. 例1.（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2)选B套餐，理由见解析 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 例2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【分析】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【详解】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 对应练习： 1.（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜． 2．（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 【答案】(1) (2)1400元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出两种“冬季唤醒计划”活动方案． 方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元． 方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元． 设王彬一年内来此健身中心健身的次数为（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）． (1)分别写出，与之间的函数关系式； (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象； (3)预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)他选择方案二比较合算，理由见解析 【分析】（1）本题主要考查了列函数关系式，根据两种方案分别列出函数关系式即可，理解题意是解题的关键； （2）本题主要考查了画函数图像，分别确定两个函数图像上的两个点，然后连接即可；理解函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键； （2）本题主要考查了不等式的应用，解不等式，即可确定来此健身中心12次费用较小的方案．正确求解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，； 所以与x之间的函数表达式分别为，． （2）解：当时，，；当时，，． 据此描点、连线画出函数图像如下： （3）解：王斌择方案二比较合算，理由如下： 解不等式，解得：， 所以当时，方案二优惠， 因为，王斌择方案二比较合算． 4．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）现从，向甲、乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜市场各有蔬菜吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从到甲地运费元/吨，到乙地元/吨；从地到甲运费元/吨，到乙地元/吨． (1)设地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表： 运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨) (2)设总运费为元，请写出与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了列代数式、一次函数的应用，理解题意是解此题的关键． （1）根据题意填写表格即可； （2）根据题意表示出总费用即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：设地到甲地运送蔬菜吨， 运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨) （2）解：由题意可得： ． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说题比赛，购买，两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是元和元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的． (1)问至少购买种笔记本多少本？ (2)当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少的费用是多少元？ 【答案】(1)本 (2)当购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少的费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的，可以列出相应的不等式，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出总费用与购买种笔记本数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以得到总费用的最小值． 【详解】（1）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本， 由题意可得，解得． 答：至少购买种笔记本8本． （2）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本， 设购买，两种笔记本的总费用为元， ， ， 的值随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值是， ， 答：当购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少的费用是元． 【解法提炼】 1 对于方案选择问题解题关键为分类讨论求最优选择 ②对于方案设计问题，主要根据列出不等式找出所有方案的可能性，然后利用一次函数找出最优方案. 九.一次函数与几何综合应用 【题型解读】此种题型主要考查学生的综合能力，常常涉及到面积，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形和特殊四边形存在性问题 例1．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点D，与直线交于点C，且点C的横坐标是． (1)求k的值及点A，D的坐标． (2)若点E的坐标是（），过点E作x轴的垂线交直线于点F，交直线于点G． ①当时，求点E的坐标； ②当时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，点A的坐标是，点D的坐标是 (2)①点E的坐标是；② 【分析】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴的交点以及与坐标轴围成的面积， 把代入求得点C的坐标，进一步代入求得的k值，令求得点A的坐标，令，求得点D的坐标； ①由题意得点F的坐标是，点G的坐标是，即可求得，．结合题意列出方程求得a，即可知点E的坐标； ②由题意得点E的坐标为．可得，进一步求得点F的坐标和点G的坐标，即可得和，利用分割法即可求得． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴点C的坐标是． 把点代入，得，解得． ． 对于，令，得，解得， 点A的坐标是． 对于，令，得，解得． 点D的坐标是． （2）①∵点E的坐标是（）， ∴点E在点C的右侧． 轴， ∴点F的坐标是，点G的坐标是． ，． ， ，解得． ∴点E的坐标是． ②当时，点E的坐标为． ∵点D的坐标为， ． 把代入，得． ∴点F的坐标为． 把代入，得． ∴点G的坐标为． ，． ． 例2． 95．（22-23八年级下·江西南昌·期末）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)若在x轴上有一点P，使，求的面积． 【答案】(1)， (2)或12 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标； （2）由点A，B的坐标可得出的长，结合可得出点P的坐标，进而可得出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积． 【详解】（1）在中，当时，；当时，． ∴，． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴． 当时，， ∴． 当时，， ∴． 综上所述，或12 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式；（2）利用三角形的面积计算公式，求出的面积． 例3．（22-23八年级下·上海·单元测试）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线：经过点，，与直线交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)设点的坐标为，求最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，以及轴对称最短线路问题， （1）利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）先求出点E坐标，再根据，求出即可； （3）根据将军饮马模型，作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最小，由坐标系中两点的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把，代入得：， 解得：， 则直线解析式为； （2）对于直线， 令，得到，令，得到，即，， ，， ， 联立得：， 解得：，即，， ， 则； （3）作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最小， 由对称可知得， ， 即最小值是． 对应练习： 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC． (1)分别求点A，B，C的坐标； (2)设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式； (3)以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）分别求当时，当时，即可求解； （2）①当时，由三角形面积分别求出 ， ，由可求出，代入，求出，从而可求出的坐标，即可求解； ②当时，同理可求解； （3）作轴交于，由三角形中位线定理得，，可得 ，取最小值时，取得最小值，当时，取最小值，由勾股定理及等腰三角形的性质得， ，由即可求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， 当时，， 解得：， ，， 对于直线 ， 当时，， 解得：， ， 故，，； （2）解： ， ， ①当时， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是方程的解， ， 解得：， ， ， 解得：， 直线的函数表达式为； ②当时， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是方程的解， ， 解得：， ， ， 解得：， 直线的函数表达式为； 综上所述：直线的函数表达式为或； （3）解：如图，作轴交于， 由（1）得 ， 四边形是平行四边形， ， 是的中点， 是的中点， ， ， ， 取最小值时，取得最小值， 当时，取最小值， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，求一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理等；掌握相关的判定方法及性质，能根据点的不同位置进行分类讨论，利用垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点． ①求的面积； ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的2倍，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)好奇心强的小陈同学深入思考后发现，直线上存在一点M．使为等腰直角三角形，富有热心肠的你帮小陈同学直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)①6；②存在，或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数的图像和性质． （1）把，代入，求出k和b的值，即可得出直线l的表达式； （2）①把代入求出，则，根据的面积即可解答；②∵的面积是面积的2倍，②先得出面积为12，则，得出或，把和代入求出x的值，即可得出点P的坐标； （3）根据题意进行分类讨论①当时，②当时，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴直线l的表达式为； （2）解：①把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积； ②∵的面积是面积的2倍， ∴面积， ∴， 解得：， ∴或， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 综上：或； （3）解：①当时，， 把代入得：， 解得：， ∴； ②当时，， ∴点M在的垂直平分线上， ∴点M的横坐标为， 把代入得：， ∴， 综上：或． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知经过点的直线（，为常数，且）分别与轴、轴交于、两点．    (1)求该直线的函数解析式和点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该直线的函数解析式为； (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了解析式的求解、勾股定理等知识点，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点、代入即可求解； （2）由题意得，分类讨论当点为直角顶点时和当点为直角顶点时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：直线经过点、， ， 解得， 该直线的函数解析式为． 在中，令，得， ． （2）解：点在轴上， ， 点不能成为直角顶点． ①当点为直角顶点时，点在的位置，如图．   点在轴上，点在轴上， ， 点与点重合， 点的坐标为； ②当点为直角顶点时，点在的位置，如图． 设， 则，，，， ，，． ， ， 解得， ． 综上可知，在轴上存在点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，直线的解析式为，与轴交于点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，若点为线段上一点，，求出点的坐标； (3)向下平移直线得直线，如图，点、在直线上，直线、交于点，求点的横坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质等知识点； （1）的解析式为，分别令，求得，点坐标；将点坐标代入求得解析式，令即可得到点坐标； （2）过作交延长线于点，过作轴于点，如图，证得，得到，设直线的解析式为 ，将，代入求得直线的解析式为 ，联立直线的解析式为 ，得到点的坐标； （3）设直线的解析式为：，代入，坐标解得；设直线的解析式为，代入，坐标得；设直线的解析式为 ，代入，坐标，得到直线的解析式为 ；联立得：，解得：，进而得到． 【详解】（1）解：直线的解析式为，与轴交于点， 当时，，当时，， ，点的坐标为，； 将点坐标代入直线得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为； （2）过作交延长线于点，过作轴于点，如图， 则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为 ， 将，代入得： ， 解得 ， 直线的解析式为 ， 直线的解析式为 ， 联立得：， 解得， 点的坐标； （3）设直线的解析式为：， 将点，代入得： ， 解得， ，， 设直线的解析式为，则： ， 解得， 直线的解析式为 ； ，， 设直线的解析式为，则： ， 解得， 直线的解析式为 ； 直线、交于点， 联立得：， 解得：， ， ， ， 即点的横坐标为． 【解法提炼】 1 对于面积问题，通常是画出图形，判断是否规则，用含字母的式子表示面积 2 对于等腰三角形存在问题主要考查两点之间距离公式和分类讨论 3 直角三角形存在问题主要考查两点之间距离公式，勾股定理和分类讨论 4 等腰直角三角形存在性问题主要考查一线三垂直 十.一次函数有关规律问题 【题型解读】此种题型主要考查学生的观察图形，从图形中归纳出它的一般规律，并能用此规律解题的能力，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般的猜想方法，是考试中一种常考题型. 例1．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点…依次进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查是函数坐标与找规律，此类题型要对观察坐标的特征，根据坐标的变化来找出变化的规律． 分别写出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，每四个点符号为一个周期，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时； ∴点的坐标为，即； 同理可得：… 观察可得到规律为， 的坐标为，， 的坐标为，， 的坐标为，， 的坐标为 ， … 以此类推，可以发现以4个点为一周期． 则，可以发现与的符号相同， （第一圈），的坐标为，， （第二圈），， … （第圈），得得出， 故选：C． 例2．（22-23七年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(－1，1)，第二次点A1向右跳到A2(2，1)，第三次点A2跳到A3(－2，2)，第四次点A3向右跳动至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，则点A2 019与点A2 020之间的距离是(   ) A．2021 B．2020 C．2019 D．2 018 【答案】A 【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点与点的坐标，进而可求出点与点之间的距离． 【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， 则第2020次跳动至点的坐标是， 第2019次跳动至点的坐标是． 点与点的纵坐标相等， 点与点之间的距离， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键． 对应练习： 1．（22-23七年级下·湖南湘西·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，，，，……，.若点的坐标为，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“幸运点”的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：∵的坐标为， ∴，，，， …， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为． 故选：C． 【点睛】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“幸运点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键． 2．（22-23七年级下·河北廊坊·期中）如图，，，，，，…．按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】经观察分析所有点，除外，其它所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标=循环次数+余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点在第二象限；第二象限的点，，，观察易得到第二象限点的坐标的坐标为（n为正整数），进而求解即可． 【详解】解：由题可知 第一象限的点：…角标除以4余数为2； 第二象限的点：…角标除以4余数为3； 第三象限的点：…角标除以4余数为0； 第四象限的点：…角标除以4余数为1； 由上规律可知：， ∴在第二象限． 观察可得，，，， ∴可推导一般性规律：第二象限点的坐标为（n为正整数）， ∴点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据点坐标的特点推导出一般性规律． 3．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ）    A． B． C． 【分析】根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次从原点运动到点， 第5次接着运动到点， 第6次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， ， 第2023次接着运动到点， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 4．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图，点A(O，1)、点A1(2，0)、点A2(3，2)、点A3(5，1)、…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为 (          ) A．(2022，2021) B．(3032，1010) C．(3033， 1011) D．(2021，1012) 【分析】观察图形得到奇数点的规律为：，由2021是奇数，且2021＝2n−1，则可求A2n−1（3032，1010）． 【详解】解：由图像可得： ∵ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键． 5．（21-22七年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点、、、，…，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】先探究规律，然后利用规律解决问题即可． 【详解】解：根据题意和图的坐标可知：动点从原点出发，每次移动一个单位，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，依次得到点的坐标如下： 、、、，，，，，，…… ∴坐标变化的规律：每移动4次，前两次的纵坐标都为1，而横坐标向右移动了2个单位长度， ∵， ∴点的纵坐标是的纵坐标1，点的横坐标是， ∴点的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化规律，解答本题的关键是结合图形找出坐标的移动规律，从移动规律中计算其纵坐标和横坐标的变化，从而计算点的坐标． 6．（2020九年级·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A的坐标为(2，0)，过点A作AA1⊥OB，垂足为点A1，过A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的横坐标为(　　) A． •()2015 B． •()2016 C． •()2017 D． •()2018 【分析】根据含角的直角三角形的性质，结合图形即可得到规律，依此规律即可解决问题． 【详解】∵∠AOB=30°，点A坐标为(2，0)， ∴OA=2， ∴OA1=OA=，OA2=OA1=2×，OA3=OA2=2×……， ∴OAn=()nOA=2()n． ∴OA2018=2×()2018=•()2016 故选：B 【点睛】此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般的猜想方法． 7．（22-23七年级下·河南许昌·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，……，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据题意可知，第次运动后，动点的横坐标为；动点的纵坐标按，，，的规律循环出现，每个点为一个循环． 【详解】根据题意可知，第次运动后，动点的横坐标为， 所以，经过第次运动后，动点的横坐标为． 根据题意可知，动点的纵坐标按，，，的规律循环出现，每个点为一个循环，， 所以，经过第次运动后，动点的纵坐标为． 所以，经过第次运动后，动点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的规律，能根据题意找到横坐标和纵坐标的规律是解题的关键． 8．（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B．） C． D． 【分析】根据题意发现规律：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半；当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半的相反数，据此即可得到答案． 【详解】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形， 各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半， ，，，，，，……， 当下标为偶数时的点的坐标规律如下： 当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半， 当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半的相反数， 每四个字母为一组， ， ∴点A2022在第一象限，横坐标为1，纵坐标是， 的坐标为为， 故选：A． 【解法提炼】 1 此种题应先读懂题意，根据题意画出图形，至少写出前面五个点的坐标 2 再根据坐标特点，从而总结出规律 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 一次函数 单元重难点题型归纳与训练 题型归纳 题型讲解 一求函数自变量的取值范围 【题型解读】此种题主要是根据函数式子有意义求自变量的取值范围. 例1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 对应练习： 1. （24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆万州·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．（24-25八年级下·全国·期中）自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 【解法提炼】 (1)自变量的取值范围：使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围. (2) ①整式型：等号右边是整式，自变量的取值范围是全体实数. ②分式型：等号右边的自变量在分母的位置上，自变量的取值范围是使分母不为0的实数. ③根式型：等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数. ④零次型：等号右边的自变量的零次幂或负整数次幂，自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数. 二. 利用函数图象获取信息解决问题 【题型解读】此种题型主要考查利用图象根据数形结合解决问题 例1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）某周六下午，小林从家骑自行车去“西北书城”， 途中他在东方红广场停留了一段时间，在整个过程中小林离“西北书城”的距离s（米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．小林家距离西北书城1600米 B．小林在东方红广场玩了10分钟 C．小林从家到东方红广场的速度比从东方红广场到西北书城的速度大 D．小林离开东方红广场后的速度为320米/分钟 例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（   ） A． B．C．D． 对应练习： 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 2．（23-24八年级下·上海·期末）如图所示的图像中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中表示时间，表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（   ） A．体育场离张强家2.5千米 B．张强在体育场锻炼了15分钟 C．体育场离早餐店1千米 D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）以下是长沙某日气温变化情况的折线图，下列描述正确的是（   ） A．最低温度是 B．最高温度是 C．从0时到14时温度在持续上升 D．这一天的最大温差是 4．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图是反映两个变量的关系图，下面的四个实际情况中，哪个比较适合这幅图？（　　） A．在罚球点上被踢出的球的速度与时间之间的关系 B．一杯开水放在桌上，它的水温与时间的关系 C．匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系 D．一架战斗机正以的速度匀速飞行，它飞行的速度与时间的关系 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度与水平距离的关系的是（    ） A． B． C． D． 【解法提炼】利用图象表示变量之间的关系，从图象中获取信息，重要的利用拐点发现变化趋势解决问题 三.根据一次函数的定义求字母的取值 【题型解读】1.利用一次函数的定义求字母的取值，属于考试种的简单题型，但是学生易忽略对自变量系数不为1的考虑 例1.（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知函数是正比例函数，则_____________． 例2.（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若 是一次函数，则a的值是 ． 对应练习： 1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）当 时，函数是一次函数． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）已知函数是正比例函数，那么的值是 ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）若x，y是变量，且是正比例函数，则k值为 ． 5．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如果正比例函数的图象在二、四象限，那么m的值是 ． 【解法提炼】解题关键自变量的次数为1，自变量系数不为0. 四. 利用一次函数图象与性质解题 【题型解读】1.利用一次函数图象与性质解决问题 2.一般涉及两条直线，主要考查k,b的正负性与直线所经过的象限之间的关系 例1. （23-24八年级下·湖北宜昌·期末）关于正比例函数，下列说法正确的是(　　) A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．随增大而增大 D．点在函数的图象上 例2. （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 例3.（安徽省宣城市皖东南联盟2023—2024学年下学期期末检测八年级数学试题卷）两个一次函数与 ，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（        ） A．B． C． D． 例4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着的值的增大而增大； ②当，时，该函数图象经过第一、二、三象限； ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到，则； ④当时，无论取何值，直线一定过定点． 其中正确的是 ． （填写序号） 例5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：一次函数， (1)函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围； (2)函数图象与y轴的交点于x轴下方，求m的取值范围； (3)函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围； (4)当时，求该直线与两坐标轴所围成的面积． 对应练习： 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象是一条线段 B．随增大而减小 C．函数图象过一、二、三象限 D．点在函数图象上 2．（22-23九年级下·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数，那么一次函数的图象不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数，则下列判断错误的是（　　） A．直线在轴上的截距为 B．直线不经过第二象限 C．直线在轴上方的点的横坐标的取值范围是 D．该一次函数的函数值随自变量的值增大而增大 4．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的直线与坐标轴围成的三角形面积为（　　） A．6 B．4 C．9 D．8 6．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若函数的图象上有两点，当时，，则的值可以是（    ） A．8 B． C．0.5 D．1 7．（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）直线的图象如图：试化简： ． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一次函数为，下列说法中正确的是 ． ①若函数图象经过原点，则；②若，则函数图象经过第一、二、三象限； ③函数图象与y轴交于点；④函数的图象总经过点． 9．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数（和是常数）与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 10．（20-21八年级上·陕西西安·期中）在同一直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象的位置可能是（    ） A．B．C．D． 11．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）一次函数（k为常数，）与正比例函数的图象可能是（　　） A．  B．  C．  D．   【解法提炼】1.根据k,b的值判断一次函数图象所经过的象限 2.利用一条直线所经过的象限判断k,b的正负，再利用正负判断另一条直线所经过的象限 五. 待定系数法求一次函数解析式 【题型解读】主要考查根据一次函数的概念建立方程，解二元一次方程组 例1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）将直线向左平移个单位长度，所得直线的解析式为 ． 例2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，求此函数的解析式． 对应练习： 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，且当时，；时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 2.（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知直线l经过和，把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ． 3.函数的图像过点且与坐标轴围成的三角形的面积为，求此函数的解析式． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)当时，该一次函数的最大值为6，求k的值． (3)若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围． 【解法提炼】 (1)如果图象平移求直线解析式应先确定k的值，再代入一个点即可 (2)两点法求直线解析式，重点是找到两点坐标，代入函数解析式，建立二元一次方程组求解即可 六.一次函数与方程、不等式之间的关系 【题型解读】一次函数与一元一次方程：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值等于的自变量的取值；从函数图象的角度看，就是确定直线与轴的交点 一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合 例1（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 例3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是___________ 对应练习： 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（    ） A．关于x不等式的解集是 B．关于x的不等式的解集是 C．关于x的方程的解是 D．当时，一次函数值y的取值范围是 3．（21-22八年级下·福建泉州·期末）一次函数为常数且的图象如图所示，则使成立的的取值范围为(    ) A． B． C． D． 4．（21-22八年级下·甘肃张掖·期中）如图，一次函数＝x+b与一次函数＝kx+4的图象交于点P（1，3），在关于x的不等式x+b≤kx+4的解集是（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤1 5．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 6．（2024·甘肃天水·一模）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ．    7．（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ．    8．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 【解法提炼】一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合. 七.与一次函数相关的动点问题 【题型解读】本种题主要考查了函数图像与几何综合等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．主要抓住拐点是解题的关键． 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图1，动点从菱形的顶点出发，沿边匀速运动，运动到顶点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图像如图2所示，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．2 例2．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图2所示，则四边形的周长是___________ 例3．（2025·河南安阳·模拟预测）如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为_____________ 对应练习： 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，是半径为1的圆O上的两点，且．点P从点A出发，在圆O上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为t（单位：s），的长为y，那么图②中可能表示y与t之间的关系的图象是（    ） A．a B．a或c C．b或d D．c 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，为斜边的中点，动点从点出发，沿运动，如图1所示，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图2所示，则的最大值为___________ 3．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为_________ 4．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中__________ 5．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图（）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间（单位：）的函数关系如图（）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了_________． 6．（2025·河南郑州·一模）如图()，点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设)，图()是点运动时随变化的关系图象，则____________ A． B． C． D． 【解法提炼】 1 动点问题主要考查分类讨论； 2 这种问题从图像中获取信息，应注意拐点临界值，这是解题的突破口； 八.一次函数与方案选择 【题型解读】学有用的数学所以实际应用为常考类型，也是中考重点. 1.已知方案，对比两种方案做出最优选； 2.通过列不等式组，确定方案种类，从而确定最优选. 例1.（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 例2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 对应练习： 1.（2024·山东临沂·模拟预测）某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 2．（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出两种“冬季唤醒计划”活动方案． 方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元． 方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元． 设王彬一年内来此健身中心健身的次数为（次），选择方案1的费用为（元），选择方案2的费用为（元）． (1)分别写出，与之间的函数关系式； (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象； (3)预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由． 4．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）现从，向甲、乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜市场各有蔬菜吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从到甲地运费元/吨，到乙地元/吨；从地到甲运费元/吨，到乙地元/吨． (1)设地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表： 运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨) (2)设总运费为元，请写出与的函数关系式． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说题比赛，购买，两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是元和元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的． (1)问至少购买种笔记本多少本？ (2)当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少的费用是多少元？ 【解法提炼】 1 对于方案选择问题解题关键为分类讨论求最优选择 ②对于方案设计问题，主要根据列出不等式找出所有方案的可能性，然后利用一次函数找出最优方案. 九.一次函数与几何综合应用 【题型解读】此种题型主要考查学生的综合能力，常常涉及到面积，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形和特殊四边形存在性问题 例1．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点D，与直线交于点C，且点C的横坐标是． (1)求k的值及点A，D的坐标． (2)若点E的坐标是（），过点E作x轴的垂线交直线于点F，交直线于点G． ①当时，求点E的坐标； ②当时，直接写出四边形的面积． 例2．（22-23八年级下·江西南昌·期末）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)若在x轴上有一点P，使，求的面积． 例3．（22-23八年级下·上海·单元测试）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线：经过点，，与直线交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)设点的坐标为，求最小值． 对应练习： 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线 与x轴相交于点C，与直线相交于点D，连接BC． (1)分别求点A，B，C的坐标； (2)设的面积为，的面积为，若，求直线的函数表达式； (3)以，为边，连接，交于点F，分别取的中点M，的中点N，连接，，当取得最小值时，求此时的面积． 2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点． ①求的面积； ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的2倍，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)好奇心强的小陈同学深入思考后发现，直线上存在一点M．使为等腰直角三角形，富有热心肠的你帮小陈同学直接写出点M的坐标． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知经过点的直线（，为常数，且）分别与轴、轴交于、两点．    (1)求该直线的函数解析式和点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，直线的解析式为，与轴交于点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，若点为线段上一点，，求出点的坐标； (3)向下平移直线得直线，如图，点、在直线上，直线、交于点，求点的横坐标． 【解法提炼】 1 对于面积问题，通常是画出图形，判断是否规则，用含字母的式子表示面积 2 对于等腰三角形存在问题主要考查两点之间距离公式和分类讨论 3 直角三角形存在问题主要考查两点之间距离公式，勾股定理和分类讨论 4 等腰直角三角形存在性问题主要考查一线三垂直 十.一次函数有关规律问题 【题型解读】此种题型主要考查学生的观察图形，从图形中归纳出它的一般规律，并能用此规律解题的能力，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般的猜想方法，是考试中一种常考题型. 例1．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点…依次进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 例2．（22-23七年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(－1，1)，第二次点A1向右跳到A2(2，1)，第三次点A2跳到A3(－2，2)，第四次点A3向右跳动至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，则点A2 019与点A2 020之间的距离是(   ) A．2021 B．2020 C．2019 D．2 018 对应练习： 1．（22-23七年级下·湖南湘西·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的幸运点，已知点的幸运点为，点的幸运点为，点的幸运点为，……，这样依次得到，，，，……，.若点的坐标为，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·河北廊坊·期中）如图，，，，，，…．按此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ）    A． B． C． 4．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图，点A(O，1)、点A1(2，0)、点A2(3，2)、点A3(5，1)、…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为 (          ) A．(2022，2021) B．(3032，1010) C．(3033， 1011) D．(2021，1012) 5．（21-22七年级下·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点、、、，…，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2020九年级·河南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A的坐标为(2，0)，过点A作AA1⊥OB，垂足为点A1，过A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的横坐标为(　　) A． •()2015 B． •()2016 C． •()2017 D． •()2018 7．（22-23七年级下·河南许昌·期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，……，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 8．（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（    ） A． B．） C． D． 【解法提炼】 1 此种题应先读懂题意，根据题意画出图形，至少写出前面五个点的坐标 2 再根据坐标特点，从而总结出规律 学科网（北京）股份有限公司 $$