精品解析：2025届宁夏银川市、石嘴山市高三学科教学质量检测（一模）数学试题

银川市·石嘴山市2025年普通高中学科教学质量检测 数学 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 5．本试卷共5页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合．则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若函数与的图象有三个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ） A. 9 B. C. D. 7. 已知抛物线C的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过F且垂直于l的直线与C的准线交于点D．若，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 8. 现有编号为A，B，C的三盏灯和三个开关，每个开关单独控制一盏灯，每按一次开关相应的灯都按红、黄、蓝的顺序变换一次颜色．假设三盏灯初始颜色均为红色，如果三个开关总共按90次，则三盏灯的颜色不可能是（ ） A. 红、红、红 B. 红、蓝、黄 C. 红、黄、黄 D. 黄、黄、黄 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上，则（ ） A. 圆柱的轴截面为正方形 B. 过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分 C. 圆柱的表面积为 D. 若圆柱的上下底面是一个球的两个平行截面，则该球的体积是 10. 已知函数，则（ ） A. B. 函数的图象位于直线与之间 C. 若是函数的极值点，则曲线在处的切线方程为或 D. 函数在区间上单调递减 11. 双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率 C. 直线与的斜率之积是2 D. 双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学举办知识竞赛，题库中共有1000道试题，其中有500道A类题，300道B类题，200道C类题．根据以往经验，某同学答对A，B，C三类试题的概率分别为．若该同学从题库中随机选一道试题作答，则他答对的概率是________． 13. 在中，点D在边BC上，，则________． 14. 已知函数的图象与直线交于A，B两点，且在处取得极值．设，若，则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． （1）计算样本的平均数和方差； （2）判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 16. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 17. 已知函数，其中． （1）求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a的值； （3）当时，证明：当时，． 18. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，O为底面ABCD的中心，． （1）求证：平面ABCD； （2）设M为的中点，CM交于点P，点Q满足． （i）求直线AP与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求平面与平面APQ夹角的余弦值的取值范围，并说明t取何值时，平面平面APQ． 19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切． （1）求椭圆及圆的方程； （2）过作两条互相垂直的射线交椭圆于两点． （i）证明：直线与圆相切； （ii）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市·石嘴山市2025年普通高中学科教学质量检测 数学 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 5．本试卷共5页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式的性质解不等式求集合，再由交运算求集合. 【详解】由题设，则. 故选：B 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 3. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质及已知区间的解析式，结合指数函数及对数运算性质求函数值，即可得. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则 当时，，故， 所以. 故选：A 4. 已知函数，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得，再求出其单调区间即可. 【详解】， 令， 解得，所以其单调递增区间为. 故选：A. 5. 已知函数，若函数与的图象有三个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数与的图象有三个交点，得到有三个根，再分离参数得到去分析与的交点个数. 【详解】因为函数与的图象有三个交点，所以， 当时，方程必然成立， 当时，分离参数可得，则与有两个交点， 若，则，若，则，如图所示， 结合图像，要与有两个交点，需满足. 故选：C 6. 如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积的运算律，定义，结合模长计算可得. 【详解】由题意可得质点P位移为， 所以 因为，，所以， 设的夹角为，所以， 因为所以， 所以. 故选：D 7. 已知抛物线C的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过F且垂直于l的直线与C的准线交于点D．若，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】令，设，若，即，联立抛物线与直线，并应用韦达定理及已知得，进而确定坐标，结合得，即可求弦长. 【详解】令，则，可设，若，即， 联立抛物线和直线，可得，则，， 而，即，故，， 所以，则，可得，故，， 所以，则，， 由上，联立，可得，即， 所以，可得，故， 所以. 故选：B 8. 现有编号为A，B，C的三盏灯和三个开关，每个开关单独控制一盏灯，每按一次开关相应的灯都按红、黄、蓝的顺序变换一次颜色．假设三盏灯初始颜色均为红色，如果三个开关总共按90次，则三盏灯的颜色不可能是（ ） A. 红、红、红 B. 红、蓝、黄 C. 红、黄、黄 D. 黄、黄、黄 【答案】C 【解析】 【分析】依据规律可知，按、、次后灯为黄色、蓝色、红色，则可计算共按次数，通过判断其方程是否有正整数根来做出选择. 【详解】由题意可知，按次后灯为黄色，按次后灯为蓝色，按次后灯为红色，其中，设分别与A，B，C三盏灯对应， A：若最后为红、红、红，则共按次，即，故A可实现； B：若最后为红、蓝、黄，则共按次，即，故B可实现； C：若最后为红、黄、黄，则共按次，即，故C不可能实现； D：若最后为红、蓝、黄，则共按次，即，故D可实现； 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的各个顶点在圆柱的上、下底面圆周上，则（ ） A. 圆柱的轴截面为正方形 B. 过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分 C. 圆柱的表面积为 D. 若圆柱的上下底面是一个球的两个平行截面，则该球的体积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据题意求轴截面的边长即可；对于B：根据对称性分析判断；对于C：求圆柱的底面半径和母线长，进而可得表面积；对于D：可知该球的球心为，进而求球的半径和体积. 【详解】如图所示，对于正方体和圆柱，正方体的中心为， 对于选项A：由题意可知：， 所以圆柱的轴截面不为正方形，故A错误； 对于选项B：因为正方体的中心也为圆柱的中心， 根据对称性可知过正方体中心的平面将圆柱分成体积相等的两部分，故B正确； 对于选项C：可知圆柱的底面半径为，母线长为2， 所以圆柱的表面积为，故C正确； 对于选项D：可知该球的球心为， 则，即球的半径为， 所以该球的体积是，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 函数的图象位于直线与之间 C. 若是函数的极值点，则曲线在处的切线方程为或 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】代入结合正弦函数的诱导公式可得A正确；由正弦函数的值域可得B正确；由正弦函数的极值点结合导数的意义和点斜式方程可得C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由正弦函数的值域可得，即函数的图象位于直线与之间，故B正确； 对于C，若是函数的极值点，则， 又，所以， 且， 所以由点斜式可得曲线在处的切线方程为或，故C正确； 对于D，举反例，当时，；当时，，故D错误. 故选：ABC 11. 双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线l，垂足为N，l与另一条渐近线交于点M，且M，N都在x轴上方，，点在E上，则（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率 C. 直线与的斜率之积是2 D. 双曲线在点P处的切线与x轴交于点I，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由题设，且渐近线为，若垂直于，则，联立渐近线求得、，结合已知得，结合双曲线参数关系判断A、B；应用斜率的两点式判断C；设点P处的切线为并联立双曲线，由求得，即可求得，即可判断D. 【详解】由题设，且渐近线为，若垂直于，则， ，可得，同理得， 由，则，整理得，可得，B错， 所以，故渐近线方程为，A对， 在双曲线上，则，则， 所以，则，C错； 点P处的切线为，联立，得， 所以，则， 所以，则，故切线为， 令，则，故，D对. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学举办知识竞赛，题库中共有1000道试题，其中有500道A类题，300道B类题，200道C类题．根据以往经验，某同学答对A，B，C三类试题的概率分别为．若该同学从题库中随机选一道试题作答，则他答对的概率是________． 【答案】##0.68 【解析】 【分析】利用全概率公式计算可得. 【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件， 设学生答对试题为事件，则，，， ，，， 所以. 故答案为：. 13. 在中，点D在边BC上，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，利用正弦定理可得，结合余弦定理运算求解. 【详解】不妨设， 因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数的图象与直线交于A，B两点，且在处取得极值．设，若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，研究的奇偶性、单调性并确定各区间的函数值符号，画出其大致图象，根据与的平移关系，结合函数图象及极值定义求三角形面积. 【详解】令，显然定义域为， 由，故为偶函数， 由，在、上单调递减，在、上单调递增， 且、上，上， 在区间内趋向时趋向正无穷，在、内趋向时趋向负无穷， 显然在处取得极小值，为，故的大致图象如下， 根据与的平移关系，若与的交点，则，极值点， 当，结合对称性易知，，又， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1． （1）计算样本的平均数和方差； （2）判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）． 【答案】（1），； （2）达标. 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可得到答案； （2）计算两者的平方值并比较大小即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为，， 所以，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标． 16. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1） 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 17. 已知函数，其中． （1）求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a的值； （3）当时，证明：当时，． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）； （3）证明：由， 问题等价于当，时，恒成立， 令且，则， 所以， 对于且，则， 所以，，即在上单调递增， ，，即在上单调递减， 所以，即恒成立， 所以，故在上单调递减，则， 综上，恒成立，结论得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究的极值即可； （2）先求出在点处的切线，再由导数几何意义求的切点，根据共切线且切点在切线上求参数值； （3）问题化为当，时，恒成立，利用导数研究左侧的单调性及最值，即可证. 【小问1详解】 由题设且，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以有极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由，则，故切线方程为， 而，令，则， 所以切点为，且在上， 所以，可得； 【小问3详解】 略 18. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，O为底面ABCD的中心，． （1）求证：平面ABCD； （2）设M为的中点，CM交于点P，点Q满足． （i）求直线AP与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求平面与平面APQ夹角的余弦值的取值范围，并说明t取何值时，平面平面APQ． 【答案】（1） 由题设，显然， 易知为直角三角形，即， 连接，又，为公共边，则，即， 由题意为中点，则， 由且都在面内，则平面ABCD； （2）（i）；（ⅱ），时平面平面． 【解析】 【分析】（1）由题设得，利用三角形相似及等腰三角形的性质得，再应用线面垂直的判定即可证； （2）（i）构建合适的空间直角坐标系，并确定相关点的坐标，应用向量法求线面角的正弦值；（ⅱ）根据空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值范围，进而确定面面垂直对应的参数值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知平面ABCD，而且，则， 即为平行四边形，故，故面ABCD，且为正方形， 可构建如图示的空间直角坐标系，则， 由M为的中点，CM交于点P，设， 由，，则， 所以，则，可得，则， 而面的一个法向量为， 所以， 故直线AP与平面所成角的正弦值； （ⅱ）由，则，故， 又，， 若是面，即面的一个法向量， 则，取，故， 若是面APQ的一个法向量， 则，取，故， 所以， 由，则，所以， 当时，，此时平面平面APQ． 19. 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切． （1）求椭圆及圆的方程； （2）过作两条互相垂直的射线交椭圆于两点． （i）证明：直线与圆相切； （ii）求面积的取值范围． 【答案】（1）椭圆：，圆：； （2）（i）由题意，当直线的斜率不存在时，，或. 此时，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切. 当直线的斜率存在时，设直线， 由可得， 设，则 ，即， 化简得. 所以，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 综上所述，直线与圆相切. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及点在椭圆上，求出的值，得到椭圆方程；根据圆心到切线的距离为半径，求得圆的方程； （2）分类讨论当直线的斜率存在和不存在时，利用圆与直线相切的性质，结合韦达定理计算并证明结论，再利用弦长公式求弦长，即可求得的面积. 【小问1详解】 由题意，椭圆离心率，点在椭圆上，则， 解得 所以椭圆的方程为 则右顶点，上顶点，直线， 圆心到直线的距离，即圆的半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）可知，当直线的斜率不存在时， 当直线的斜率存在时， ， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $