黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度下学期3月月考 一、单选题 1．为等差数列的前项和，已知，则为（    ） A．25 B．30 C．35 D．55 2．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．在等差数列中，前七项之和为30，最后七项之和为110，前项之和是230，则项数为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 4．数列中，，，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 5．在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．已知数列的前n项和为，满足，则=（    ） A．11 B．31 C．61 D．121 7．在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 8．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 9．已知数列的通项公式为则（   ） A． B． C． D． 10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（   ） A．直线l：与C恰有两个公共点 B．若，则的面积为 C．双曲线E：的焦点在以为直径的圆上 D．若，则的周长为28 11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前项和 三、填空题 12．已知各项为正数的数列是等比数列，且其前n项和为.若，，则公比 . 13．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 . 14．若数列的通项公式为，则数列的前项和为 ． 四、解答题 15．已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和的最大值． 16．如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 18．已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 19．某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年度下学期3月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D B D A D BC BC 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】由题意及等差数列的性质可得的值，而，代值计算即可． 【详解】由题意及等差数列的性质可得，解得， . 故选：． 2．B 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 故选：B. 3．C 【分析】由题意及等差数列的性质可得的值，再利用等差数列的前项和公式求出项数的值. 【详解】由题意易得， 两式相加得，即， 所以，所以， 故选：C. 4．D 【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，进而求得. 【详解】在数列中，， 则， 因此数列是周期数列且周期为3，由，得， 所以. 故选：D 5．B 【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比. 【详解】由题设，易知是方程的两个根， 又为递增的等比数列，所以，故公比. 故选：B 6．D 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 7．A 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【详解】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 8．D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 9．BC 【分析】计算即可判断AB选项，计算出即可判断CD选项. 【详解】因为以， ，所以A错误，B正确； ，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：BC. 10．BC 【分析】A选项，求出渐近线方程，由直线l与渐近线平行得到A正确；B选项，设，，由双曲线定义和余弦定理得到，由三角形面积公式得到B正确；C选项，求出以为直径的圆的方程，焦点坐标在圆上，C正确；D选项，由双曲线定义和得到，求出三角形周长. 【详解】对于A，双曲线C：的一条渐近线的方程为， 故直线l：与该渐近线平行，故直线l与C恰有一个公共点，A错误； 对于B，设，，由可知点M在C的右支上， 由双曲线定义得，又，故， 在中，由余弦定理得， 解得，所以的面积为，B正确； 对于C，由已知得，，以为直径的圆的方程为， E：的焦点为，很显然，在圆上，C正确； 对于D，由双曲线定义知，， 所以，又， 所以，所以的周长为，D错误． 故选：BC． 11．BCD 【分析】利用等比数列的定义可判断AB选项；求出数列的通项公式，利用分组求和法可判断C选项；利用错位相减法结合分组求和法可判断D选项. 【详解】因为数列的前项和为，且满足，，， 对于A选项，由已知等式变形可得，且， 所以，，所以，数列是首项和公比均为的等比数列， 故，A错； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以，数列是首项和公比均为的等比数列，则，B对； 对于C选项，由可得， 所以， ，C对； 对于D选项，， 记， 则， 这两个等式作差得 ， 所以，， 故 ，D对. 故选：BCD. 12．2 【分析】利用等比数列的前项和公式与通项公式即可求得结果. 【详解】若，，则， ， 所以，由，解得. 故答案为：. 13．/ 【分析】由已知可得，再由的周长为10，可得，求出，从而可求出离心率. 【详解】由椭圆方程可得，得， 因为是上一点，所以， 因为的周长为10， 所以，得， 所以的离心率为. 故答案为： 14． 【分析】利用分组求和法，结合等比数列求和公式和等差数列求和公式求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）由，解得， 而，数列是单调递减数列， 所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数， 所以时，数列前项和的最大值为. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2）易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 17．(1) (2)存在，和 【分析】（1）由在抛物线上，代入求出，即可求出抛物线的方程； （2）设，求出直线并与抛物线的方程联立，求出点坐标，将转化为，求出并检查是否符合题意即可. 【详解】（1）由在抛物线上，则，解得， 因此可得抛物线的方程为. （2） 存在点在抛物线上， 设点， 由直线的斜率为，且过， 则直线的方程为：，即， 联立，可得，解得，或， 即可得点的纵坐标为，代入，得，即， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，，解得，或，或，或， 当时，与重合，舍去， 当时，与重合，舍去， 当时，， 当时，， 综上知，抛物线上存在点，为和时，. 18．(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 19．(1)分布列见解析， (2)21 (3)单调增，证明见解析 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决； （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可； （3）该模型符合马尔科夫链，得出和之间的递推关系即可判断. 【详解】（1）（1）由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 故比赛次数不会超过5； 由比赛规则可知，若比赛共进行了n局，（）， 即随机事件“第i局比赛中甲获胜”， ， ， ， ． 于是X的分布列为： X 2 3 4 5 P 故； （2）（2）易得，，， 记，则， 由，得，即，；，， 故时，最大，所以n的估计值为21． （3）在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为，记乙在每场比赛是获胜概率为，则 由已知，所以单调增 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期3月月考 一、单选题 1．为等差数列的前项和，已知，则为（    ） A．25 B．30 C．35 D．55 2．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．在等差数列中，前七项之和为30，最后七项之和为110，前项之和是230，则项数为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 4．数列中，，，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 5．在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．已知数列的前n项和为，满足，则=（    ） A．11 B．31 C．61 D．121 7．在数列中，，（），则（   ） A． B． C． D． 8．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 9．已知数列的通项公式为则（   ） A． B． C． D． 10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（   ） A．直线l：与C恰有两个公共点 B．若，则的面积为 C．双曲线E：的焦点在以为直径的圆上 D．若，则的周长为28 11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前项和 三、填空题 12．已知各项为正数的数列是等比数列，且其前n项和为.若，，则公比 . 13．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 . 14．若数列的通项公式为，则数列的前项和为 ． 四、解答题 15．已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和的最大值． 16．如图所示，在四棱锥中，平面为上一点，且. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 18．已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 19．某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）． (3)若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年度下学期3月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D B D A D BC BC 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】由题意及等差数列的性质可得的值，而，代值计算即可． 【详解】由题意及等差数列的性质可得，解得， . 故选：． 2．B 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 故选：B. 3．C 【分析】由题意及等差数列的性质可得的值，再利用等差数列的前项和公式求出项数的值. 【详解】由题意易得， 两式相加得，即， 所以，所以， 故选：C. 4．D 【分析】根据递推关系可判断数列为周期数列，进而求得. 【详解】在数列中，， 则， 因此数列是周期数列且周期为3，由，得， 所以. 故选：D 5．B 【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比. 【详解】由题设，易知是方程的两个根， 又为递增的等比数列，所以，故公比. 故选：B 6．D 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 7．A 【分析】结合递推关系，利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项相消法求结论. 【详解】因为（，）， 所以当，时，， 则，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，所以（，）， 又，所以， 所以. 故选：A. 8．D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 9．BC 【分析】计算即可判断AB选项，计算出即可判断CD选项. 【详解】因为以， ，所以A错误，B正确； ，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：BC. 10．BC 【分析】A选项，求出渐近线方程，由直线l与渐近线平行得到A正确；B选项，设，，由双曲线定义和余弦定理得到，由三角形面积公式得到B正确；C选项，求出以为直径的圆的方程，焦点坐标在圆上，C正确；D选项，由双曲线定义和得到，求出三角形周长. 【详解】对于A，双曲线C：的一条渐近线的方程为， 故直线l：与该渐近线平行，故直线l与C恰有一个公共点，A错误； 对于B，设，，由可知点M在C的右支上， 由双曲线定义得，又，故， 在中，由余弦定理得， 解得，所以的面积为，B正确； 对于C，由已知得，，以为直径的圆的方程为， E：的焦点为，很显然，在圆上，C正确； 对于D，由双曲线定义知，， 所以，又， 所以，所以的周长为，D错误． 故选：BC． 11．BCD 【分析】利用等比数列的定义可判断AB选项；求出数列的通项公式，利用分组求和法可判断C选项；利用错位相减法结合分组求和法可判断D选项. 【详解】因为数列的前项和为，且满足，，， 对于A选项，由已知等式变形可得，且， 所以，，所以，数列是首项和公比均为的等比数列， 故，A错； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以，数列是首项和公比均为的等比数列，则，B对； 对于C选项，由可得， 所以， ，C对； 对于D选项，， 记， 则， 这两个等式作差得 ， 所以，， 故 ，D对. 故选：BCD. 12．2 【分析】利用等比数列的前项和公式与通项公式即可求得结果. 【详解】若，，则， ， 所以，由，解得. 故答案为：. 13．/ 【分析】由已知可得，再由的周长为10，可得，求出，从而可求出离心率. 【详解】由椭圆方程可得，得， 因为是上一点，所以， 因为的周长为10， 所以，得， 所以的离心率为. 故答案为： 14． 【分析】利用分组求和法，结合等比数列求和公式和等差数列求和公式求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）由，解得， 而，数列是单调递减数列， 所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数， 所以时，数列前项和的最大值为. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2）易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 17．(1) (2)存在，和 【分析】（1）由在抛物线上，代入求出，即可求出抛物线的方程； （2）设，求出直线并与抛物线的方程联立，求出点坐标，将转化为，求出并检查是否符合题意即可. 【详解】（1）由在抛物线上，则，解得， 因此可得抛物线的方程为. （2） 存在点在抛物线上， 设点， 由直线的斜率为，且过， 则直线的方程为：，即， 联立，可得，解得，或， 即可得点的纵坐标为，代入，得，即， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，，解得，或，或，或， 当时，与重合，舍去， 当时，与重合，舍去， 当时，， 当时，， 综上知，抛物线上存在点，为和时，. 18．(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 19．(1)分布列见解析， (2)21 (3)单调增，证明见解析 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决； （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可； （3）该模型符合马尔科夫链，得出和之间的递推关系即可判断. 【详解】（1）（1）由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 故比赛次数不会超过5； 由比赛规则可知，若比赛共进行了n局，（）， 即随机事件“第i局比赛中甲获胜”， ， ， ， ． 于是X的分布列为： X 2 3 4 5 P 故； （2）（2）易得，，， 记，则， 由，得，即，；，， 故时，最大，所以n的估计值为21． （3）在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为，记乙在每场比赛是获胜概率为，则 由已知，所以单调增 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$