精品解析：广东省江门市第二中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

江门二中2024—2025学年第二学期第一次月考 八年级数学试题（120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 使二次根式有意义的的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 7，12，13 B. 3，3，4 C. 0.3，0.4，0.5 D. 18，24，30 4. 若中，则（ ） A. 1 B. C. D. 或 5. 下列说法错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A B. C. D. 8. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，菱形对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A 72 B. 24 C. 48 D. 96 10. 已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________．（用、或连接） 12. 如图，在正方形外侧作等边，连接，，则为__________度． 13. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 14. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则______． 15. 如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若＝，则线段的最小值是______． 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与子涵的距离米．（绳子一直是直的） （1）此时，牵狗绳的长为_________米； （2）子涵将手上的小球扔至3.2米远的处，若她站着不动，将牵狗绳放长至3.5米，则小狗能否将小球捡回来?请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来） 18. 如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 请你选择一位同学的说法，并进行证明． 四、解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 20. 阅读下列解题过程 例：若代数式的值是，求的取值范围． 解：原式= 当时，原式，解得 (舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： 当时，化简： 若等式成立，则的取值范围是 若，求的取值． 21. 如图，边长为4的菱形的对角线与相交于点O，若． （1）求证：四边形是正方形． （2）E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长． 五、解答题三（共2小题，第22题13分，第23题14分） 22. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则将变成，即变成，从而使得以化简． （1）例如，因为，所以______，请仿照上面的例子完成问题． （2）化简； （3）设，，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为矩形的边的中点，点在第一象限，为边上一点． （1）如图，当时． 分别求出，值； 连接，将沿翻折，点恰好落在上的点，与轴交于点，连接，，求出的度数； （2）如图，在上取点，使，若，，，则请直接写出的值____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江门二中2024—2025学年第二学期第一次月考 八年级数学试题（120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 使二次根式有意义的的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知： 解得： 故选B． 【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0是解决此题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的化简的法则，二次根式的加法的法则，二次根式的除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与被开方数不同，不可以进行加法运算，故A不符合题意； B、与被开方数不同，不可以进行减法运算，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 3. 下列各组数为勾股数的是（ ） A. 7，12，13 B. 3，3，4 C. 0.3，0.4，0.5 D. 18，24，30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数、、满足，那么这三个正整数、、就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、，， ， 、、不一组勾股数， 故A选项不符合题意； B、，， ， 、、不是一组勾股数， 故B选项不符合题意； C、、、不是正整数， 、、不是一组勾股数， 故C选项不符合题意； D、，， ， 、、是一组勾股数， 故D选项符合题意． 故选：D ． 4. 若中，则（ ） A. 1 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，分类讨论是解题的关键．分为直角边和斜边两种情形讨论，根据勾股定理作答即可． 【详解】①当为直角边时， ， ②当为斜边时， ， 或． 故选：D． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的判定方法以及菱形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质分别判断得出答案． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意； B、两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故原说法错误，符合题意； C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，不合题意； D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查平行四边形的判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，正确掌握相关判定方法是解题关键． 6. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及等边三角形的判定及性质，过点作于点，可知在中，，取中点，连接，可证得为等边三角形，可知，则．熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底， ∴平行四边形的高是矩形宽的一半． 在中，， 取中点，连接，则， ∴，则为等边三角形， ∴，则． 故选：A． 7. 如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 8. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为；结合题意可得，，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意，中间小正方形的边长为，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式． 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. 72 B. 24 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得BD． 10. 已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理可得，即可证得，延长至，使得，连接，，过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，，可证，得，则，则，由，知，可知，则，得，可证，在上取，可知，得，，则，过点作交于，则为等腰直角三角形，易证，再结合，，得，可证得，可得，类比此法，在取，则为等腰直角三角形，可证得，进而可得． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，则，故①正确； 延长至，使得，连接，， 过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，则， ∴为等腰直角三角，则， 又∵， ∴， ∴，则， 即：， ∴，故③正确； 由上可知，则， 在上取，可知， ∴，，则， 过点作交于，则为等腰直角三角形， ∴，，则， 又∵，， ∴， ∴，则， ∴，故②正确； 在取，则为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________．（用、或连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，即， 故答案为：． 12. 如图，在正方形外侧作等边，连接，，则为__________度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质及等边三角形的性质，由正方形的性质可得，，，由等边三角形的性质得，，进而求得，的度数即可．掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， 则， 在等边中，，， 则，， ∴， ∴， 故答案为：30． 13. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得： ． 故答案为：． 14. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则______． 【答案】41 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值． 【详解】解：， ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， ，， ． 故答案为：41． 15. 如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若＝，则线段的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据已知得，然后证明，得出，然后证明，取中点O，则=2为定值，根据两点之间线段最短得当P、C、O三点共线时，最小，然后根据勾股定理求解． 【详解】解：动点，分别从两点同时出发，以相同的速度在边，上移动， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取中点，连接，如下图， 则， 根据两点之间线段最短，得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，确定点P到中点的距离是解此题的关键． 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答． 【详解】解： ． 17. 傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与子涵的距离米．（绳子一直是直的） （1）此时，牵狗绳的长为_________米； （2）子涵将手上的小球扔至3.2米远的处，若她站着不动，将牵狗绳放长至3.5米，则小狗能否将小球捡回来?请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来） 【答案】（1）2.6 （2）小狗能将小球捡回来，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的判定及性质，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点作，由题意可知四边形是矩形，得米，米，则米，在中，由勾股定理即可求解； （2）当小狗跑至时，米，过点作，由题意可知四边形是矩形，得米，米，则米，在Rt△BNF中，BN=√11.24米，比较于3.5的大小即可． 【小问1详解】 解：过点作，由题意可知四边形是矩形， ∴米，米，则米， 在中，米， 故答案为：2.6； 【小问2详解】 小狗能将小球捡回来，理由如下： 当小狗跑至时，米，过点作，由题意可知四边形是矩形， ∴米，米，则米， 在中，米， 而， ∵ ∴小狗能将小球捡回来． 18. 如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 请你选择一位同学的说法，并进行证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】选择小星的说法，先证四边形是平行四边形，推出，再证明四边形是矩形，即可得出；选择小红的说法，根据四边形是矩形，可得，根据四边形是平行四边形，可得，即可证明， 本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题的关键是：掌握平行四边形和矩形的判定方法． 【详解】证明：①选择小星说法，证明如下： 如图，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，点D在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ； ②选择小红的说法，证明如下： 如图，连接，， 由①可知四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ． 四、解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先证明△ABC和△DEC全等，从而得出∠BAC=∠EDC，根据∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF，从而得出∠AEF+∠BAC=90°，即垂直； （2）根据，然后将各线段的长度代入即可得出答案. 【详解】解：（1）∵△ABC≌△DEC， ∴∠BAC=∠EDC， ∵∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF， ∴∠AEF+∠BAC=90°， ∴∠AFE=90°， ∴DF⊥AB． （2）∵S△BCE+S△ACD=S△ABD﹣S△ABE， ∴a2+b2=•c•DF﹣•c•EF=•c•（DF﹣EF）=•c•DE=c2， ∴a2+b2=c2 【点睛】本题主要考查的就是全等三角形的判定、角度之间的关系和阴影部分面积的两种不同的求法.解决这个问题的关键就是根据全等得出角度之间的关系以及对顶角的性质的应用，在利用面积求等量关系的时候，我们经常会利用面积相等的法则，运用两种不同的计算方法得出等量关系． 20. 阅读下列解题过程 例：若代数式的值是，求的取值范围． 解：原式= 当时，原式，解得 (舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： 当时，化简： 若等式成立，则的取值范围是 若，求的取值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据，得出；再将原式化去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a值． 【详解】（1）解：当时， 原式=== （2）原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； （3）原式= 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，次方程无解，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，运用了数形结合的思想，在解答此类问题时要注意进行分类讨论． 21. 如图，边长为4的菱形的对角线与相交于点O，若． （1）求证：四边形是正方形． （2）E是上一点，，且，垂足为H，与相交于点F，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的对角线平分每组对角即可证明； （2）根据正方形的性质求得，证得，推出，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴, ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴． ∵，垂足为H， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵, ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知正方形的性质与全等三角形的判定与性质． 五、解答题三（共2小题，第22题13分，第23题14分） 22. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则将变成，即变成，从而使得以化简． （1）例如，因为，所以______，请仿照上面的例子完成问题． （2）化简； （3）设，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的基本性质即可得解； （2）将变形为，再根据二次根式的性质计算可得； （3）先根据题意将A和B的值化简成最简形式，再计算的值即可． 详解】解：（1）∵当时，， ∴， 故答案为：； （2）， ； （3）， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质和化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为矩形的边的中点，点在第一象限，为边上一点． （1）如图，当时． 分别求出，的值； 连接，将沿翻折，点恰好落在上的点，与轴交于点，连接，，求出的度数； （2）如图，在上取点，使，若，，，则请直接写出的值____________． 【答案】（1），；； （2）． 【解析】 【分析】（）由得，再根据，，则，从而求出的值即可； 过作于点，根据折叠和矩形的性质证明是的平分线，再证明和即可求解； （）延长交的延长线分别于点，作，，过作交的延长线于点，再根据全等三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 由，要使有意义则， ∵，， 则， ∴，解得， ∴； 如图，过作于点， 由折叠性质可知：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，延长交的延长线分别于点，作，，过作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴，， ∴，， 在和中，由勾股定理得：，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，全等三角形的判定与性质，矩形与折叠的性质，角平分线的性质和角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$