精品解析：四川省凉山州民族中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

凉山州民族中学3月月考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回， 一、单选题（每道题5分） 1. 已知等比数列中，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，将条件表示为的形式，计算出，再计算即可. 【详解】∵等比数列中，，， ∴ ，解得， ∴． 故选：A. 2. 已知等差数列的前n项和为，=5，则=（ ） A. 5 B. 25 C. 35 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差中项及等差数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，为等差数列， 所以 故选：B 3. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 设该女子第一天织布尺，根据题意，求得尺，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D． 4. 观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知式子分子和分母的规律归纳出结论. 【详解】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即， . 故选：C. 5. 设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用可求得答案. 【详解】，∵，则． 故选：D 6. 已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解. 【详解】由， . 故选：D 7. 已知函数，其导函数为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 求得可得的解析式，求出解析式，可得为偶函数，即可求出的值，再求，即可求得的值，即可求得答案. 【详解】，， 所以为偶函数，所以， 因为， 所以， 所以． 故选：C． 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分离变量，利用导函数应用得到函数在无零点，则有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在上单调递减，且.所以时无零点 当时，等价于，令，， 得在上单调递减，在上单调递增，，. 因为有2个零点，所以. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键. 二、多选题（每道题6分） 9. 已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ） A. B. 最大 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为，所以，即， 因为数列递减，所以，则，，故A正确； 所以最大，故B正确； 所以，故C错误； 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. B. 函数在上递增，在上递减 C. 函数的极值点为， D. 函数的极大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断. 【详解】解：由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误； 对C，函数的极值点为，，故C正确； 对D，函数的极大值为，故D错误. 故选：ABD. 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D. 【详解】, , 对于也成立， 所以，故A正确； 当时，,当n=17时,当时，, 只有最大值，没有最小值，故B错误； 因为当时，,∴，故C正确； ， 故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题. 和与项的关系,若数列的前 项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前 项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值. 三、填空题 12. 已知，则等于__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】求导，代入，求出答案. 【详解】，令得，解得. 故答案为： 13. 已知，对任意的都有，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a的取值范围. 【详解】由得或， 在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减. 又，，， ∴， 又对于任意的x∈[-2,2]恒成立， ∴，即a的取值范围是 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值. 14. 对任意都有.数列满足：，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】采用倒序相加法即可求得结果. 【详解】由题意得：，，，……， ， ， ，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题. 四、解答题 15. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由和的关系，通过作差得到，进而得到即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 因为 ①， 所以当时，，解得， 当时， ②， ①②得，， 所以， 即， 又因为为正项数列，所以，即， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以的前n项和 16. 已知数列中，， （1）证明：数列是等比数列 （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】 （1）由，知 又，∴是以为首项，3为公比的等比数列 （2） . 【解析】 【分析】（1）由可得，然后可得答案； （2）由（1）可算出，，然后用错位相减法可算出答案. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，∴， 两式相减得 ∴ 17. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为，所以. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）设，则. 当时，， 所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果. 18. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是.（2） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间； （2）由得， 将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围； 【详解】解：（1）∵ 所以 ∴当时，，当时，； 即的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由得， 将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标， 由（1）知函数在时有极大值，作出其大致图象， ∴实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于基础题. 19. 已知. （1）若函数在处取得极值，求实数的值； （2）若，求函数的单调递增区间； （3）若，存在正实数，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）， ， 令，则或， ①当时，令可得， ∴函数的单调递增区间为； ②当时，令可得或， ∴函数的单调递增区间为； ③当时，在上恒成立， ∴函数的单调递增区间为； ④当时，令可得或， ∴函数的单调递增区间为； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意结合极值的概念可得，解得后，验证即可得解； （2）求导得，按照、、、分类讨论，求得的解集即可得解； （3）转化条件得，令，，求导确定的单调性和值域即可得解. 【详解】（1）， ∵函数在处取得极值，，解得， 当时，. ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴当时，函数在处取得极小值； （2）略 （3），， ，， 整理可得， 令，， ，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，取得极小值即最小值为， 即， 解得（舍去）或， 的取值范围为. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论思想，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凉山州民族中学3月月考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回， 一、单选题（每道题5分） 1. 已知等比数列中，，，则 A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为，=5，则=（ ） A. 5 B. 25 C. 35 D. 50 3. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（ ） A. B. C. D. 5. 设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其导函数为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每道题6分） 9. 已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ） A. B. 最大 C. D. 10. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. B. 函数在上递增，在上递减 C. 函数的极值点为， D. 函数的极大值为 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 三、填空题 12. 已知，则等于__________.（用数字作答） 13. 已知，对任意的都有，则的取值范围为_______. 14. 对任意都有.数列满足：，则__________. 四、解答题 15. 已知正项数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 已知数列中，， （1）证明：数列是等比数列 （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 18. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 19. 已知. （1）若函数在处取得极值，求实数的值； （2）若，求函数的单调递增区间； （3）若，存在正实数，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $