专题1 认识三角形（6个知识点，12种题型）-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

三角形 专题1 认识三角形（6个知识点，12种题型） 知识点1：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 细节剖析 （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段． ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 知识点2：三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，如图，a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b 推论：三角形任意两边的之差小于第三边，如图，| a-b |＜c，| a-c |＜b，| b-c |＜a ； 只需满足：<第三边<两边之和（两边为相同两条边） 注：是“>”和“<”，不包含“=” 细节剖析 （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 知识点3：三角形的分类 1.按角分类： 细节剖析 ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形． ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类： 细节剖析 ①不等边三角形：三边都不相等的三角形． ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角． ③等边三角形：三边都相等的三角形. ④特殊三角形：等腰直角三角形，90度、45度、45度。 知识点4：三角形的三条重要线段 1.三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 图一 图二 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 特别说明：如图二 （1）三角形的高是线段；分别为AD、BE、CF。 （2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2.三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图三 图四 特别说明： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四： 3.三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 图五 图六 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线； 图七 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 知识点5：三角形的稳定性     三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 细节剖析 （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 知识点6：三角形的内角和定理与外角性质 1.三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 2.三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 类型一、三角形概念 例题1．如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出的边和角． （3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？ 【变式1】下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ） A．B．C．D． 【变式2】如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作___________，读作___________．其中，顶点A所对的边为___________还可用___________表示；顶点B所对的边为___________还可用___________表示；顶点C所对的边为___________还可用___________表示． 类型二、三角形构成的条件 例题2．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形? (1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)； (2)a+1，a+2，a+3； (3)三条线段之比为2:3:5． 【变式1】 下列各组线段不能组成三角形的是 ( ) A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cm C．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm 【变式2】已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 类型三、确定三角形第三边取值范围 例题3．在中，已知，若第三边的长为偶数，求的周长． 【变式1】 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．1 B．2 C．8 D．11 【变式2】三角形三边长分别为3，，则a的取值范围是______． 类型四、三角形三边关系的应用 例题4．已知，为的三边，化简． 【变式1】 在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 类型五、三角形的中线、角平分线、高的识别 例题5．在下列各图中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．下列各点中，始终在三角形内部的有（ ）． （1）三角形两条内角平分线交点；（2）三角形两边中垂线的交点 （3）三角形两条高的交点；（4）三角形两边中线的交点 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】．下列说法正确的是（ ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部； ③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分； ④三角形的三条高都在三角形内部． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式3】．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A．①、②都正确 B．①、②都不正确 C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确 类型六、中线与三角形面积 例题6．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】．如图，在中，，分别是，的中点，则图中与的面积相等的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．如图，为的中线，为的中线，为的中线……按此规律，为的中线．若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式3】．如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若的面积为，则四边形的面积为______． 【变式4】．如图，、是的中线，若的面积是1，则的面积为___________． 类型七、高线与三角形面积 例题7．在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ） A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11. 【变式1】．若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ） A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4 【变式2】．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】．如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ） A． B． C． D． 类型八、三角形的面积 例题8.如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E． （1）求∠ACB的度数； （2）说明：∠CEF＝∠CFE． （3）若AC＝3CE、AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝36，则S△CEF﹣S△BDF＝　　（仅填结果）． 【变式1】．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4， 则△BEF的面积是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【变式2】．下列说法正确的是（　　） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部； ③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分； ④三角形的三条高都在三角形内部． A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 【变式3】．如图，△ABC的面积等于35，AE＝ED，BD＝3DC，则图中阴影部分的面积等于 　　． 【变式4】．如图，AB∥CD，AB＝CD，若点E在直线CD上，△ABE的面积为30，则四边形ABCD的面积 　　． 【变式5】．在△ABC中，点M在BA边的延长线上，点N在BC边的延长线上，AD平分∠CAM，AD∥BC （1）如图1，求证：AB＝AC； （2）如图2，当∠ABC＝∠ADC＝60°时，连接BD，交AC于点O，过点D作DE⊥BD，交BN于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（不包括△CDE）． 类型九、三角形的稳定性及四边形的不稳定性 例题9．下列图形中哪些具有稳定性？ 【变式1】 下列图形中，不具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______． 类型十、双角平分线（两内，两外，一内一外） 例题10．如图，已知中，，是的平分线，其中，则的度数是（  ）． A． B． C． D． 【变式1】 ．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（　　   ）度． A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式2】 ．如图，在中，，与的平分线交于点，则______；与的平分线相交于点，则______；依此规律得，则______． 类型十一、三角形内角和定理 例题11．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE等于（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式1】 ．BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式2】 ．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是　 　． 【变式3】 ．如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝90°，则∠A的度数为 　 ． 【变式4】 ．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一点，过点P作PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数； （2）猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并说明理由． 类型十二：三角形的外角性质 例题12．如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 　　． 【变式1】 ．将一副三角板如图所示的位置摆放，则∠AOB的度数是（　　） A．90° B．105° C．120° D．135° 【变式2】 ．若△ABC的一个外角等于其中一个内角，则（　　） A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90° 【变式3】 ．B如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，过点B的直线FH和过点C的直线GH相交于点H，且∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为（　　） A．α+β＝120° B．α+β＝180° C．α+β＝120° D．2α+β＝120° 【变式4】 ．如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝　 　°． 【变式5】 ．如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数． 【变式6】 ．小明同学遇到这样一个问题： 如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED． 求证：∠BED＝∠B+∠D． 小亮帮助小明给出了该问的证明． 证明： 过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝∠D， ∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D． 请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题： 直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上， 猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数． 拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 专题1 认识三角形 参考答案 类型一、三角形概念 例题1．如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出的边和角． （3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？ 【答案】（1）图中有：，，，，，共5个； （2）的边：，，，角：，，； （3）是，，的边；是，，的角． 【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可； （2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出； （3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可 解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC， 以AD为边的三角形有△ADE，△ADC， 再以DE为边三角形有△DEC， 一共有5个三角形分别为，，，，； （2）的边：，，， 角：，，； （3）是，，的边； 是，，的角． 【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键． 举一反三： 【变式1】下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的定义判断即可． 解：三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 故选D． 【点拨】本题主要考查了三角形的定义考查，准确理解是解题的关键． 【变式2】如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作___________，读作___________．其中，顶点A所对的边为___________还可用___________表示；顶点B所对的边为___________还可用___________表示；顶点C所对的边为___________还可用___________表示． 【答案】 三角形ABC BC a AC b AB c 【分析】根据三角形的概念进行求解即可． 解：如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作三角形ABC．其中，顶点A所对的边为BC还可用a表示；顶点B所对的边为AC还可用b表示；顶点C所对的边为AB还可用c表示． 故答案为：△ABC；三角形ABC；BC；a；AC；b；AB；c． 【点拨】本题主要考查了三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念． 类型二、三角形构成的条件 例题2．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形? (1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)； (2)a+1，a+2，a+3； (3)三条线段之比为2:3:5． 【答案】（1）能围成三角形；（2）当-1＜a＜0时，不能围成三角形;当a＝0时，不能围成三角形;当a＞0时，能围成三角形.（3）不能围成三角形． 【分析】判断三条线段能否组成三角形，应看所给条件是否满足三角形的三边的关系“任意两边之和大于第三边”.本题中线段的长度用字母表示的则需要注意分类讨论. 解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形； (2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形． (3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形． 【点拨】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边的和大于第三边和三角形两边的差小于第三边. 举一反三： 【变式1】 下列各组线段不能组成三角形的是 ( ) A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cm C．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm 【答案】B 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解. 解：、，能组成三角形，故本选项错误； 、，不能组成三角形，故本选项正确； 、，能组成三角形，故本选项错误； 、，能组成三角形，故本选项错误. 故选：. 【点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键. 【变式2】已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 【答案】7 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴ 又∵c为奇数， ∴c=7， 故答案为7． 【点拨】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 类型三、确定三角形第三边取值范围 例题3．在中，已知，若第三边的长为偶数，求的周长． 【答案】周长为或． 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边的长为偶数求出符合条件的BC值，即可求出周长． 解：在中，， 第三边的取值范围是： 符合条件的偶数是或， 当时，的周长为：； 当时，的周长为：． 的周长为或． 【点拨】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 举一反三： 【变式1】 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．1 B．2 C．8 D．11 【答案】C 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此根据选项即可判断. 解：设第三边长为x，则有 7-3<x<7+3， 即4<x<10， 观察只有C选项符合， 故选C. 【点拨】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键. 【变式2】三角形三边长分别为3，，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围． 解：三角形的三边长分别为3，，4， ， 即， 故答案为． 【点拨】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 类型四、三角形三边关系的应用 例题4．已知，为的三边，化简． 【答案】-2a+4b-2c 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可． 解：|a-b-c|-2|b-c-a|+|a+b-c| = -（a-b-c）+2（b-c-a）+（a+b-c） = -a+b+c+2b-2c-2a+a+b-c = -2a+4b-2c． 【点拨】此题主要考查了三角形三边关系，整式的加减，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理． 举一反三： 【变式1】 在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 解：设三角形的第三边为x，则 9-4＜x＜4+9 即5＜x＜13， ∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形， 故选：C． 【点拨】本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【变式2】一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 【答案】22 【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长. 解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm． 故填22． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答. 类型五、三角形的中线、角平分线、高的识别 例题5．在下列各图中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC于某点，因此只有选项C符合条件； 故选C． 举一反三： 【变式1】．下列各点中，始终在三角形内部的有（ ）． （1）三角形两条内角平分线交点；（2）三角形两边中垂线的交点 （3）三角形两条高的交点；（4）三角形两边中线的交点 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解析】 解：三角形三条角平分线的交点在三角形的内部，故（1）符合题意； 三角形三边中垂线的交点有可能在三角形的边上，内部或外部，故（2）不符合题意； 三角形三条高线的交点可能在三角形的内部，边上或外部，故（3）不符合题意； 三角形三条边中线的交点一定在三角形的内部，故（4）符合题意； 故选：C． 【变式2】．下列说法正确的是（ ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部； ③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分； ④三角形的三条高都在三角形内部． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【解析】 解：①三角形的角平分线是线段，故①说法错误； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，故②说法正确； ③因为三角形的一条中线把该三角形分成的两个三角形等底同高，所以这两部分的面积相等，故③说法正确； ④锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故④说法错误． 故正确的有②③． 故选：B． 【变式3】．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A．①、②都正确 B．①、②都不正确 C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】C 【解析】 解：AD是三角形ABC的角平分线， 则是∠BAC的角平分线， 所以AO是△ABE的角平分线，故①正确； BE是三角形ABC的中线， 则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误． 故选：C． 类型六、中线与三角形面积 例题6．如图所示，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵已知点D，E，F分别为边的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∵是的中线，∴， ∵点E是的中点， ∴，，∴， ∵点F是的中点， ∴． 故选A． 【变式1】．如图，在中，，分别是，的中点，则图中与的面积相等的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵D点是BC的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴图中与的面积相等的三角形有、和． 故选：B． 【变式2】．如图，为的中线，为的中线，为的中线……按此规律，为的中线．若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为的中线，∴， ∵为的中线，∴， ∵为的中线 ∴，…… 按此规律，为的中线，则的面积为： 故选：C． 【变式3】．如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若的面积为，则四边形的面积为______． 【答案】 【详解】解：点D，E，F分别为，，的中点，的面积为， ， ， 四边形的面积为：， 故答案为：． 【变式4】．如图，、是的中线，若的面积是1，则的面积为___________． 【答案】6 【详解】解：连接， ， ∵、是的中线，的面积是1， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 类型七、高线与三角形面积 例题7．在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ） A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11. 【答案】B 【解析】解：如图，过点B作AC边上的高BD． ，，即，解得． 的三条高之和为，故选B． 【变式1】．若一个三角形的三边长之比为3：5：7．则这个三角形三边上的高之比为（ ） A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4 【答案】C 【解析】因为边长之比满足3：5：7，设三边分别为3x、5x、7x，设三边上的高为a，b，c， 由题意得：故这个三角形三边上的高之比为：．故选：C． 【变式2】．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】△CDE与△AED的同底，底为DE；△BCE与△ABE的底相同，为BE，△CDE与△BCE在DE、BE上高相同；△AED与△ABE在DE、BE上高相同，，解得=8 考点：三角形的面积 点评：本题考查三角形的面积公式，本题的关键是找出四个三角形的边、高的关系 【变式3】．如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得： 解得故选：A． 类型八、三角形的面积 例题8.如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E． （1）求∠ACB的度数； （2）说明：∠CEF＝∠CFE． （3）若AC＝3CE、AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝36，则S△CEF﹣S△BDF＝　3　（仅填结果）． 【思路引导】（1）由CD⊥AB得∠A+∠ACD＝90°，结合∠A＝∠BCD，从而得∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°； （2）由（1）可知∠ACB＝90°，则有∠CEF＝90°﹣∠CBE，再由CD⊥AB得∠BFD＝90°﹣∠DBF，结合BE是∠ABC的平分线，有∠CBE＝∠DBF，从而有∠CEB＝∠BFD，最后由对顶角∠CFE＝∠BFD，即可求解； （3）由已知条件可得：CE＝AC，BD＝BD，由S△ABC的面积为36，可得：CD＝，BC＝，再由S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCF﹣（S△BCD﹣S△BCF），整理得S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCD，结合三角形的面积公式即可求解． 【完整解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠BCD， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， 即∠ACB＝90°； （2）由（1）可知∠ACB＝90°， ∴∠CEF＝90°﹣∠CBE， ∵CD⊥AB， ∴∠BFD＝90°﹣∠DBF， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠CBE＝∠DBF， ∴∠CEB＝∠BFD， ∵∠CFE＝∠BFD， ∴∠CEF＝∠CFE； （3）∵AC＝3CE、AB＝4BD， ∴CE＝AC，BD＝AB， ∵S△ABC＝36，△ABC是直角三角形， ∴，得：CD＝， AC•BC＝36，得：BC＝， ∵由（1）可得△BCE，△BDF是直角三角形， ∴S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCF﹣（S△BCD﹣S△BCF）， 整理得：S△CEF﹣S△BDF＝S△BCE﹣S△BCD ＝﹣ ＝ ＝12﹣9 ＝3． 故答案为：3． 【考察注意点】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【变式1】．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4， 则△BEF的面积是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【思路引导】根据三角形面积公式由点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝2，同理得到S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝1，则S△BEC＝2，然后再由点F为EC的中点得到S△BEF＝S△BEC＝1． 【完整解答】解：∵点D为BC的中点， ∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝2， ∵点E为AD的中点， ∴S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝1， ∴S△EBC＝S△EBD+S△EDC＝2， ∵点F为EC的中点， ∴S△BEF＝S△BEC＝1． 故选：B． 【考察注意点】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． 【变式2】．下列说法正确的是（　　） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部； ③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分； ④三角形的三条高都在三角形内部． A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 【思路引导】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断④；根据三角形的中线的定义及性质判断③即可． 【完整解答】解：①三角形的角平分线是线段，故①不符合题意； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，故②符合题意； ③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故③符合题意； ④锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故④不符合题意； 故正确的有②③． 故选：A． 【考察注意点】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高的定义及性质．熟记：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解决问题的关键． 【变式3】．如图，△ABC的面积等于35，AE＝ED，BD＝3DC，则图中阴影部分的面积等于 　15　． 【思路引导】连接DF，根据AE＝ED，BD＝3DC，可得到S△AEF＝S△EFD，S△ABE＝S△BED，S△BDF＝3S△FDC.设△AEF面积为x，△BDE面积为y，根据△ABC的面积等于35cm2列出关于x、y的方程，求解即可． 【完整解答】解：连接DF． ∵AE＝ED，BD＝3DC， ∴S△AEF＝S△EFD，S△ABE＝S△BED，S△BDF＝3S△FDC． 设△AEF面积为x，△BDE面积为y， 则x+x+y+y+（x+y）＝35， 解得x+y＝15． 所以阴影部分的面积为15． 故答案为：15． 【考察注意点】本题考查的是三角形面积的计算，掌握同底等高、等底同高的三角形面积相等是解决本题的关键． 【变式4】．如图，AB∥CD，AB＝CD，若点E在直线CD上，△ABE的面积为30，则四边形ABCD的面积 　60　． 【思路引导】证四边形ABCD是平行四边形，得平行四边形ABCD的面积＝AB×h，再由三角形面积求出AB×h＝60，即可求解． 【完整解答】解：设AB与CD之间的距离为h， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD的面积＝AB×h， ∵△ABE的面积＝AB×h＝30， ∴AB×h＝60， ∴平行四边形ABCD的面积＝AB×h＝60， 故答案为：60． 【考察注意点】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式5】．在△ABC中，点M在BA边的延长线上，点N在BC边的延长线上，AD平分∠CAM，AD∥BC （1）如图1，求证：AB＝AC； （2）如图2，当∠ABC＝∠ADC＝60°时，连接BD，交AC于点O，过点D作DE⊥BD，交BN于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（不包括△CDE）． 【思路引导】（1）根据平分线的定义可得∠MAD＝∠CAD，由平行线的性质∠MAD＝∠B，∠CAD＝∠ACB，进而可得 ∠B＝∠ACB，由等腰三角形的判定可得结论； （2）根据等边三角形的判定与性质得∠DAC＝∠ACB＝60°，由菱形的判定与性质可得AC⊥BD，再根据平行四边形的性质及三角形面积公式可得答案． 【完整解答】（1）证明：∵AD平分∠CAM， ∴∠MAD＝∠CAD， ∵AD∥BC， ∴∠MAD＝∠B，∠CAD＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC． （2）解：∵∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，AB＝AC， ∴∠DAC＝∠ACB＝60°， ∴△ABC和△ADC均为等边三角形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∴四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵DE⊥BD， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴BC＝AD＝CE， ∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有：△BCD，△ABD，△ACD，△ABC． 【考察注意点】此题考查的是知识点是三角形面积、平行的性质，掌握等腰三角形、菱形、平行四边形的性质是解决此题关键． 类型九、三角形的稳定性及四边形的不稳定性 例题9．下列图形中哪些具有稳定性？ 【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性． 【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解． 解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）． 【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 举一反三： 【变式1】 下列图形中，不具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断． 解： 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， ∴ A、C、D三个选项的图形具有稳定性，B选项图形不具有稳定性 故选B． 【点拨】本题考查三角形的稳定性，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______． 【答案】三角形的稳定性 解：钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性 故答案为：三角形的稳定性 类型十、双角平分线（两内，两外，一内一外） 1．如图，已知中，，是的平分线，其中，则的度数是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，， ∴， ∵是的平分线，∴， ∵， ∴．故选：C． 2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（　　   ）度． A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【详解】解：∵CO平分∠ABC，CD平分∠ABC的外角 ∴∠ACO=∠ACB，∠ACD=∠ACF ∵∠ACB+∠ACF=180° ∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACF）=90° ∴∠BOC=∠OCD+∠D ∴∠D=110°－90°=20° 故选：B． 3．如图，在中，，与的平分线交于点，则______；与的平分线相交于点，则______；依此规律得，则______． 【答案】               【详解】解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：，，． 类型十一、三角形内角和定理 例题11如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE等于（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【思路引导】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CED的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【完整解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∵△CDE由△CDB折叠而成， ∴∠CED＝∠B＝65°， ∵∠CED是△AED的外角， ∴∠ADE＝∠CED﹣∠A＝65°﹣25°＝40°． 故选：D． 【考察注意点】此题主要考查了三角形内角和定理，翻折变换的性质，根据题意得出∠ADE＝∠CED﹣∠A是解题关键． 【变式1】BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【思路引导】根据角平分线的性质求出∠CBP与∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理即可求解． 【完整解答】解：∵CP是∠ACM的角平分线，∠ACP＝90°， ∴∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠ACB＝80°， ∵BP是∠ABC的角平分线，∠ABP＝20°， ∴∠CBP＝∠ABP＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠ACB﹣∠ACP ＝180°﹣20°﹣80°﹣50° ＝30°， 故选：A． 【考察注意点】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是　80°　． 【思路引导】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【完整解答】解：如图， 由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°， 根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D， 则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°， 则∠1﹣∠2＝80°． 故答案为80°． 【考察注意点】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 【变式3】如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝90°，则∠A的度数为 　50°　． 【思路引导】根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数． 【完整解答】解：连接BC，如图， ∵∠BDC＝130°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣130°＝50°， ∵∠BGC＝90°， ∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣90°＝90°， ∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线， ∴∠GBD+∠GCD＝∠ABD+∠ACD＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∴∠A＝180°﹣130°＝50°． 故答案为：50°． 【考察注意点】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 【变式4】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一点，过点P作PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数； （2）猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并说明理由． 【思路引导】（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数； （2）根据（1）的思路即可推导这些角之间的关系． 【完整解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°， ∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝65°， ∵PE⊥AD， ∴∠E＝90°﹣∠PDE＝25°； （2）数量关系：∠E＝（∠ACB﹣∠B）； 证明：设∠B＝x，∠ACB＝y， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠CAB＝180°﹣x﹣y． ∴∠BAD＝（180°﹣x﹣y）． ∴∠PDE＝∠B+∠BAD＝x+（180°﹣x﹣y）＝90°+（x﹣y）， ∵PE⊥AD， ∴∠PDE+∠E＝90°， ∴∠E＝90°﹣[90°+（x﹣y）]＝（y﹣x）＝（∠ACB﹣∠B）． 【考察注意点】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 类型十二、三角形的外角性质 例题12：如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 　110°　． 【思路引导】根据三角形的外角性质得出∠AEB＝∠A+∠C，∠ADB＝∠B+∠AEB，再代入求出答案即可． 【完整解答】解：∵∠A＝20°，∠C＝50°， ∴∠AEB＝∠A+∠C＝70°， ∵∠B＝40°， ∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+40°＝110°， 故答案为：110°． 【考察注意点】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和是解此题的关键． 【变式1】将一副三角板如图所示的位置摆放，则∠AOB的度数是（　　） A．90° B．105° C．120° D．135° 【思路引导】由题意可得∠D＝30°，∠A＝45°，∠ACD＝90°，从而可求∠DEC＝60°，则由对顶角相等得∠AEO＝60°，利用三角形的外角性质即可求∠AOB的度数． 【完整解答】解：如图， 由题意可得∠D＝30°，∠A＝45°，∠ACD＝90°， ∴∠DEC＝90°﹣∠D＝60°， ∴∠AEO＝∠DEC＝60°， ∵∠AOB是△AOE的外角， ∴∠AOB＝∠A+∠AEO＝105°． 故选：B． 【考察注意点】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【变式2】若△ABC的一个外角等于其中一个内角，则（　　） A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90° 【思路引导】根据三角形的外角性质、邻补角的概念计算即可． 【完整解答】解：∵三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角， ∴△ABC的一个外角等于其中一个内角时，这个外角等于它的邻补角， ∴这个三角形必有一个内角等于90°， 故选：D． 【考察注意点】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键． 【变式3】如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，过点B的直线FH和过点C的直线GH相交于点H，且∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为（　　） A．α+β＝120° B．α+β＝180° C．α+β＝120° D．2α+β＝120° 【思路引导】设∠DBF＝x，∠ECG＝y，根据三角形内角和定理分别用x、y表示出α、β，计算即可． 【完整解答】解：设∠DBF＝x，∠ECG＝y， 则∠HBC＝∠DBF＝x，∠HCB＝∠ECG＝y， ∴β＝180°﹣x﹣y， ∵∠DBF＝∠ABD，∠ECG＝∠ACE， ∴∠ABD＝3x，∠ACE＝3y， ∴∠ABC＝180°﹣3x，∠ACB＝180°﹣3y， ∴α＝180°﹣（180°﹣3x）﹣（180°﹣3y）＝3x+3y﹣180°， ∴α+β＝120°， 故选：A． 【考察注意点】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的概念，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 【变式4】如图，△ABC的内角∠ABC的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP交于点P，连接AP，若∠BPC＝46°，则∠CAP＝　44　°． 【思路引导】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，由角平分线的定义可得∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，从而可得PF＝PM，根据三角形的外角性质得∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，由三角形的内角和性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案． 【完整解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如图所示： 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝46°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°， ∴∠CAF＝88°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝44°． 故答案为：44． 【考察注意点】此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键． 【变式5】如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数． 【思路引导】根据直角三角形的性质求出∠BAD的度数，得到∠BAC的度数，根据邻补角的性质求出∠CAM的度数，根据角平分线的定义求出∠MAE的度数，根据三角形的外角的性质计算即可． 【完整解答】解：∵AD⊥BE， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝10°， ∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°， ∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC， ∴，， 又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB， ∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝＝＝＝＝40°． 【考察注意点】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【变式6】小明同学遇到这样一个问题： 如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED． 求证：∠BED＝∠B+∠D． 小亮帮助小明给出了该问的证明． 证明： 过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝∠D， ∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D． 请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题： 直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上， 猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数． 拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 【思路引导】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数； 拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系． 【完整解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH， ∵l1∥l2， ∴BD∥PH， ∴∠PBD＝∠BPH， ∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD， ∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°， ∴∠APB＝15°+40°＝55°． 拓展：①如图1，当点P在线段CD上时， 由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD； ②如图2，当点P在射线DP上时， 过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH， ∵l1∥l2， ∴BD∥PH， ∴∠PBD＝∠BPH， ∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD； ③如图3，当点P在射线CE上时， 过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH， ∵l1∥l2， ∴BD∥PH， ∴∠PBD＝∠BPH， ∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC； 综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 【考察注意点】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$