精品解析：山西省太原市志达中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

太原市志达中学校2024-2025学年八年级3月学业诊断 数学 注意事项： 1．本试卷为笔试．全卷共4页，满分100分，考试时间60分钟． 2、考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（　　） A. 每100克内含钙150毫克 B. 每100克内含钙不低于150毫克 C. 每100克内含钙高于150毫克 D. 每100克内含钙不超过150毫克 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等号的含义，进行判断即可． 【详解】解：根据的含义，“每100克内含钙150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”， 故选：B． 【点睛】本题考查不等号的意义，熟练掌握不等号的意义，是解题的关键． 2. 如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置应建在（ ） A. ，两边垂直平分线的交点处 B. ，两边高线的交点处 C. ，两边中线的交点处 D. ，两内角的平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直接根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴油库的位置应建在，两内角平分线的交点处． 故选：D． 3. 如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE等于（　　） A. 40° B. 70° C. 60° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，推出∠A=∠ACE=30°，代入∠BCE=∠ACB-∠ACE求出即可． 【详解】∵DE垂直平分AC交AB于E， ∴AE=CE， ∴∠A=∠ACE， ∵∠A=30°， ∴∠ACE=30°， ∵∠ACB=80°， ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=50°， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，过两把直尺的交点作，，由题意得出，从而得出平分，即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A． 5. 用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（ ） A. 可以有一个角是直角 B. 可以有两个角是直角 C. 三个角都是直角 D. 三个角都不是直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用反证法证明命题的方法．熟记反证法的步骤，然后进行判断． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应先假设这个三角形中可以有两个角是直角． 故选：B． 6. 如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：，，， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意， ，， ， 是直角三角形，且， 故选项C不符合题意； 故选：D 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据30°直角三角形的性质，求出∠ABC的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CBD=30°，再根据30°角所对的直角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求解即可． 【详解】如图 ∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=90°-30°=60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°， ∵CD=1，∠CDB=30° ∴BD=2 根据勾股定理可得BC= ∵∠A=30° ∴AB=2 故选B． 【点睛】此题主要考查了30°角直角三角形的性质的应用，关键是根据题意画出图形，再利用30°角所对直角边等于斜边的一半求解． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接BE，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=DC=3，证明∠BEC=90°，根据勾股定理计算即可． 【详解】连接BE， 平分， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的定义求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∵DE∥AB， ∴∠EDB＝∠ABD＝36°， ∴∠EDC＝72°﹣36°＝36°， ∴∠DEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠A＝∠ABD，∠DBE＝∠BDE，∠DEC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠ABC＝∠C， ∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是解题的关键． 10. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________． 【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据逆命题的定义写出即可． 【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”． 故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12. 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为__________． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题关键．由线段垂直平分线的性质得，从而，由三角形内角和求出即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有  ____个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：第一图：由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确； 第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误； 第三图：由作图可知BA=BD，又∠BAC=90°，∠C=30°， ∴∠B=60°，AB=BC， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=CD=AD， ∴△ADC是等腰三角形，故正确； 第四图：由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确． 故答案为：3． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息． 14. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可． 【详解】解：解：如图，连接BF， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠DBF=∠DBE=30°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠CBF=60°， ∴即射线BF的位置是固定的， ∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°， ∴BF=BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12，BC=， ∴BF=， 设BD=2x，则DF=x， ∴，即，解得x=3 ∴BD=6 ∴的周长为18． 故填：18． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键． 15. 如图、、、四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，，再结合等式的基本性质与不等式的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：由题意可得，，． ， ， 代入中，得， ，， ， ． ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解本题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 16. 若，根据不等式的基本性质，用不等号填空： （1）_______； （2）_______； （3）_______ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质． （1）根据不等式的性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，即可得出答案； （2）先根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变，再根据不等式的性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变，即可得出答案； （3）据不等式的性质：不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变，特殊的情况，当乘以0时，则原不等式相等，即可得出答案； 【小问1详解】 解：两边同时加2，即可得到； 故答案为：； 【小问2详解】 解：两边同时乘以得， 两边加1得； 故答案为：； 【小问3详解】 解：两边同时乘以，而为非负数， ∴； 故答案为：． 17. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴上表示如图： ； 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及不等式解的数轴表示，掌握解不等式的基本步骤，是解题的关键． 根据移项，合并同类项，未知数系数化为1，求出不等式的解，再画出数轴表示，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， 18. 如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 19. （1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ． ， ， ， ，（等角对等边） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）证明：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）根据推理过程即可补全； （2）由题意得：，推出即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 20. 在中，，以为顶点作等腰直角三角形．连接，射线交线段于点． （1）如图1，，点在一条直线上，直接写出线段和线段的数量关系和位置关系； （2）如图2，点在一条直线上时，． ①求证：： ②若，直接写出的长为_________： ③若，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中射线交直线于点，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） ①证明：如图，过点作，交于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； ②； ③1或2 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，，再求出，进而求出，即可得出结论； （2）①过点作，交于点，由等腰直角三角形的性质可求，，即可证，，根据“”可证，可得，根据等腰直角三角形的性质可得，即可证；②由题意可求出，进而求出，最后由勾股定理即可求出答案；③分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质可求的长． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ， ， ， ，， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 如图，过点作，交于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； ，，， ， ， 在中，根据勾股定理得：； 在，， ， 当时，如图，此时点与点重合， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 当时，如图， ， ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为1或2． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市志达中学校2024-2025学年八年级3月学业诊断 数学 注意事项： 1．本试卷为笔试．全卷共4页，满分100分，考试时间60分钟． 2、考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（　　） A. 每100克内含钙150毫克 B. 每100克内含钙不低于150毫克 C. 每100克内含钙高于150毫克 D. 每100克内含钙不超过150毫克 2. 如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置应建在（ ） A. ，两边垂直平分线的交点处 B. ，两边高线的交点处 C. ，两边中线的交点处 D. ，两内角的平分线的交点处 3. 如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE等于（　　） A. 40° B. 70° C. 60° D. 50° 4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 5. 用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（ ） A. 可以有一个角是直角 B. 可以有两个角是直角 C. 三个角都是直角 D. 三个角都不是直角 6. 如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（　　） A. 2 B. C. D. 4 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 10. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________． 12. 如图，在中，边的垂直平分线交于点M，交于点P，边的垂直平分线交于点N，交于点Q．若，则的度数为__________． 13. 在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有  ____个． 14. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 15. 如图、、、四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为___． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 16. 若，根据不等式的基本性质，用不等号填空： （1）_______； （2）_______； （3）_______ 17. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 18. 如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 19. （1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 20. 在中，，以为顶点作等腰直角三角形．连接，射线交线段于点． （1）如图1，，点在一条直线上，直接写出线段和线段的数量关系和位置关系； （2）如图2，点在一条直线上时，． ①求证：： ②若，直接写出的长为_________： ③若，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中射线交直线于点，当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $