精品解析：江苏省苏州市工业园区南京航空航天大学苏州附属中学唯亭校区2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

南航苏州附中唯亭校区2024-2025学年第二学期高一年级三月阳光测试 数学 命题人：刘金燕 审核人：夏琴 一、单选题 1. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加减法法则计算． 【详解】； ； ； ． 故选：B． 2. 如果函数的图象关于点中心对称，那么的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称中心列方程，解方程即可. 【详解】由题意得，解得， 所以的值可以是. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解. 【详解】， 故选:A． 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】由已知可得，解得， 所以，， 故. 故选：D. 5. 下列选项中，值为的是（ ） A. 2sinsin B. －cos215° C. ＋ D. cos 72°·cos 36° 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，＝＝，故C错误； 对于D，＝＝＝，故D正确. 故选：D. 6. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数周期为4，则 B. 当时，函数的对称轴为 C. 若函数在单调，则有最大值2 D. 若函数可以由先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用周期公式计算可得A错误，再由对称轴方程可判断D错误，由余弦函数单调性计算可得C正确，根据平移规则可判断D错误. 【详解】对于A，若函数周期为4，可得，解得，即A错误； 对于B，当时，函数的对称轴满足，解得，即B错误； 对于C，当时，，所以， 若函数在单调，可得，解得，即有最大值2，可得C正确； 对于D，先向右平移个单位长度可得， 再横坐标变为原来的3倍可得， 若能得到函数，可得，此时无解，即D错误. 故选：C 7. 下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案 【详解】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误. 故真命题的个数是0个. 故选：A 8. 已知函数，当时函数恰有3个零点，则正整数的取值可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】解方程得到的零点，然后列不等式求解. 【详解】， 令，即，则， 整理得， 因为时函数恰有3个零点，所以，解得， 所以正整数的取值可以是5、6. 故选：A. 二、多选题 9. 函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（ ） A. B. C. 的零点形成的集合为 D. 的单调递减区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由周期即可求解；对于B，由得，再结合且在单调递增区间内即可得解；对于C，令结合正弦函数性质即可求解；对于D，根据正弦函数单调性令并求解即可得解. 【详解】对于A，由已知得最小正周期，又， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故B正确； 对于C，由选项A和B得，令得，， 所以，故C错误； 对于D，令，解得， 所以当时，单调递减，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若．且，则 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，由分子分母同除以求解判断；对选项B，利用两角和的余弦公式求解判断；对选项C，利用二倍角的正弦公式求解判断；对选项D，利用两角和的正切公式求解判断. 【详解】对选项A，分子分母同除以得，即，故A正确； 对选项B，∵，∴， ∴， ∵，∴，∴．故B正确； 对选项C，， ，故C错误； 对选项D，， ，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出的图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误. 【详解】作出函数的图象，如图： 令，得或或， 由存在实数满足， 得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确； 由与关于对称，得，B正确； 由，得， 即，则， 整理得，C正确； ，由图象得，于是， 即，因此，A错误. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等. 三、填空题 12. 在平行四边形中，．设，请用表示_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算. 【详解】 . 故答案为：. 13. 若，则__________. 【答案】##0.28 【解析】 【分析】令，代入，利用三角公式变形计算即可. 【详解】令，则， 所以 . 故答案为：. 14. 近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为________，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为________秒． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可； （2）解不等式即得. 【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径， 风车转动一圈为秒，则角速度， 如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系， 设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设， 以为始边，为终边的角不妨取， 那么经过（秒）后，运动到点， 于是，以为始边，为终边的角为， 由三角函数定义知， 则， 所以. （2）令， 所以, 所以. 当时，， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒. 故答案为：；. 四、解答题 15. 已知，且均为锐角. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）直接由弦化切化成的方程即可得解. （2）直接由二倍角公式、平方关系化成齐次式即可得解. （3）首先由平方关系结合角的范围得，结合两角差的正切公式即可得解. 【小问1详解】 由，可得，解得. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ， 因为，所以， 又因为均为锐角，所以，而， 所以，故， 所以， 所以. 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求． （2）在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期得到，然后计算函数值即可； （2）利用五点法画图，然后写单调区间即可. 【小问1详解】 由题意得，又，所以，， 则. 【小问2详解】 因为，所以， 列表如下： 画出函数在区间上的图象如下： 所以图象在上的单调递减区间为. 17. 已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． （2）设，若恒成立，求实数c的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的性质得到，然后根据图象的平移变换得到，最后求值域即可； （2）利用换元法得到的最大值，即可得到的范围. 【小问1详解】 , 因为为奇函数，所以，解得， 又，所以， 因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，解得， 所以， 由题意得， 当时，，则， 所以的值域为. 【小问2详解】 ， 令， 则， 所以当时，取得最大值，最大值为， 因为恒成立，所以， 所以的最小值为. 18. 已知函数,的最小正周期为. (1)求的单调增区间; (2)方程在上有且只有一个解,求实数的取值范围; (3)是否存在实数满足对任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】(1);(2)或;(3)存在,. 【解析】 【分析】 （1）利用降幂公式和辅助角公式化简得，再利用周期公式求得的值，从而得到的解析式，再利用整体代入求单调区间； （2）方程;在上有且有一个解,转化为函数与函数只有一个交点； （3）由(1)可知,则；实数满足对任意,都存在,使得成立，即成立，再将问题转化为恒成立问题. 【详解】(1)函数 ∵的最小正周期为.∴,∴. 那么的解析式 令得: ∴的单调增区间为. (2)方程;在上有且有一个解, 转化为函数与函数只有一个交点. ∵,∴ 因为函数在上增,在上减, 且， ∴或,所以或. (3)由(1)可知,∴. 实数满足对任意,都存在, 使得成立. 即成立 令 设,那么 ∵,∴, 可得在上恒成立. 令,其对称轴， ∵上, ∴①当时,即,,解得; ②当,即时,,解得; ③当,即时,,解得; 综上可得,存在,可知的取值范围是. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性、三角函数的图象、不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用. 19. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数m的最大值. （3）若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象性质，求解函数的解析式； （2）首先求函数，利用函数单调性求参数的取值范围. （3）先解方程，再根据方程有4个根，再根据交点个数求参. 【小问1详解】 由条件可知，周期，所以，又，得， ，因为，所以， 即函数； 【小问2详解】 将图象上所有的点向左平移个单位长度，， 若对于任意的， 当时，恒成立， 所以，单调递减， 单调递减， 所以， 所以,m的最大值为. 【小问3详解】 因为， 可得或， 当，设， 由条件转化为与的交点， 在上的图象恰有2个不同的交点， 方程存在4个不相等的实数根， 则与必有2个交点，且，即， 即在上的值域为时，函数与有2个交点， 则或，即或； 综上，或. 【点睛】方法点睛：先解方程，再根据方程有4个根，再根据交点个数结合给定范围值域求参. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航苏州附中唯亭校区2024-2025学年第二学期高一年级三月阳光测试 数学 命题人：刘金燕 审核人：夏琴 一、单选题 1. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果函数的图象关于点中心对称，那么的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，值为的是（ ） A. 2sinsin B. －cos215° C. ＋ D. cos 72°·cos 36° 6. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若函数周期为4，则 B. 当时，函数的对称轴为 C. 若函数在单调，则有最大值2 D. 若函数可以由先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则 7. 下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数，当时函数恰有3个零点，则正整数的取值可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题 9. 函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（ ） A. B. C. 的零点形成的集合为 D. 的单调递减区间为 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若．且，则 C. D. 11. 已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 在平行四边形中，．设，请用表示_______． 13. 若，则__________. 14. 近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为________，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为________秒． 四、解答题 15. 已知，且均为锐角. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求． （2）在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 17. 已知函数为奇函数．且图象的相邻两对称轴间的距离为． （1）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． （2）设，若恒成立，求实数c的最小值． 18. 已知函数,的最小正周期为. (1)求的单调增区间; (2)方程在上有且只有一个解,求实数的取值范围; (3)是否存在实数满足对任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由. 19. 已知函数的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为，直线是的图象的一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数m的最大值. （3）若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $