5.3 实践与探索 教案 (共3课时) 教案-2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

第五章 一元一次方程 5.3 实践与探索 第3课时 工程、行程和配套问题   一、教材分析 本节课是华东师大版初中数学七年级下册第五章第三节《实践与探索》第三课时的内容．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决实际问题．通过本课的学习，学生将学会列一元一次方程解决日常生活中的工程问题、行程问题和配套问题．   二、学情分析 到了七年级下册，学生已经具备了一定的数学基础和方程知识，对一元一次方程的基本概念有了初步的了解．然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生从实际问题中找出等量关系，列出一元一次方程可能会遇到困难．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．   三、教学目标 1.通过学习列方程解决日常生活中的工程问题、行程问题和配套问题，进一步感知数学在生活中的作用． 2.通过分析工程问题、行程问题和配套问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，进一步发展分析问题，解决问题的能力． 3.经历由实际问题抽象、建立方程模型的过程，能抓住等量关系列出方程，并能解方程． 4.进一步熟悉列方程解应用题的解题步骤，学会从实际问题中抽象出数学模型．   四、教学重难点 重点：解决日常生活中的工程问题、行程问题和配套问题． 难点：找等量关系列一元一次方程解决实际问题．   五、教学过程 · 复习回顾 1.一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少？ 2.一件工作，如果甲单独做3小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少？ 3.工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系？ 答案：1. ；2. ；3.工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率． 设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备． · 探究新知 活动一：工程问题 问题1 某工厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． （1）两人合作需几天完成？ （2）如果师傅先工作了2天，然后与徒弟合作，问还需几天完成？ （3）现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得报酬900元．如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？ 试解答这一系列问题，并和同学们一起交流各自的做法． 解：（1）设两人合作完成需要x天． 列表分析： 可列方程： 解得x＝2.4 答：两人合作完成需要2.4天． （2）设还需y天完成． 列表分析： 可列方程： 解得y＝1.2． 答：还需1.2天完成． （3）设完成这项工作总共用了z天． 列表分析： 可列方程： 解得z＝3 徒弟完成工作量的，师傅完成工作量的． 所以徒弟与师傅平分报酬，每人分得450元． · 应用新知 经典例题 例1 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天．如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？ 分析 把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据工作效率×工作时间＝工作量，列方程． 解：设要x天可以铺好这条管线，由题意得 ． 解得 x＝8 答：要8天可以铺好这条管线． 小结：工程问题 工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，它们之间的关系是：工作量＝工作效率×工作时间 若把工作量看作1，则工作效率＝1÷工作时间 (1)按工作时间，各时间段的工作量之和＝完成的工作量， (2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量＋乙的工作量＝完成的工作量． 设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决工程问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力． 活动二：行程问题 例2 小明与小红的家相距20 km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明．已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h． （1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？ 分析 由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离．即小明走的路程＋小红走的路程＝两家之间的距离(20 km)． 解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇， 则根据等量关系，得 13x＋12x＝20． 解得 x＝0.8． 答：经过0.8 h他们两人相遇． （2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？ 解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，则根据等量关系，得 13(0.5＋t)＋12t＝20． 解得 t＝0.54． 答：小红骑车走0.54 h后与小明相遇． 小结：相遇问题 (1)路程＝速度×时间， (2)甲走的路程＋乙走的路程＝甲、乙间的距离． 注意相向而行的始发时间和地点． 设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决行程问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力． 活动三：配套问题 例3 某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1 000个或者加工B部件600个．现有工人16人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？ 分析：本题中设安排x人生产A部件，相等关系是“每天生产A部件的数量＝每天生产B部件的数量”．列表如下： 解：设安排x人生产A部件，则安排（16－x）人生产B部件． 根据题意，得1000x＝600(16－x)， 解方程，得x＝6． 经检验，符合题意， 所以16－x＝16－6＝10． 答：应安排6人生产A部件，10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套． 小结：配套问题 在现实生活和生产中常见“产品配套”问题，解决这类题的基本相等关系是加工（或生产）的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比． 设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决行程问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力． · 课堂练习 1.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为________________． 答：． 2.一艘轮船在同一河道中航行，顺流而下每小时航行23 km，逆流而上每小时航行15 km，则轮船在平静的河面航行的速度是______km/h，河水的流速是_______km/h． 答：19，4． 3.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母．1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ 等量关系：每天生产的螺柱数量：生产的螺母数量＝1：2 解：设应安排x名工人生产螺柱，则(22－x)名工人生产螺母 解方程，得 x＝10 检验，x＝10符合题意，22－x＝12． 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． 师生活动：学生先独立思考再作答． 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深学生对一元一次方程的理解和应用能力．通过解决具体的工程问题、行程问题和配套问题，巩固一元一次方程的应用． 【课堂检测】 1.甲、乙两人相距280米，相向而行，甲从A地出发每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米，那么甲出发几秒后与乙相遇？ 分析：甲的行程＋乙的行程＝A、B两地间的距离 解：设甲出发t秒与乙相遇． 根据题意，得 8t＋6t＝280． 解得 t＝20． 所以，甲出发20秒后与乙相遇． 2.某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套产品，现要在45天内生产最多的成套产品，怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？最多可以生产多少套产品？ 解：设安排x天生产甲种零件，则(45－x)天生产乙种零件． 解方程，得 x＝25 45－x＝20，20×1000÷2＝1000(套) 答：安排20天生产甲种零件，安排20天生产乙种零件，共生产1000套产品． 3.整理一批数据，假设每个人单位时间内完成工作量一样，单独一个人做需要80 h完成所有任务．现在先由几个人先做2 h，再增加5人做8 h后，共完成这项工作的四分之三，问先安排参与整理数据的具体的人数是多少人？ 解：先安排参与整理数据的具体的人数是x人． 根据题意，得 解方程，得 x＝2 检验，x＝2符合题意． 答：先安排2人参与整理数据． 设计意图：通过课堂检测，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．同时，也锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 本节课你学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． · 实践作业 根据自己家到学校的距离，步行时间和骑车时间编一道利用一元一次方程解决实际问题的题.   六、板书设计   七、教学反思 本节课是第七章“一元一次方程”的第三节《实践与探索》中的第三课时《工程问题、行程问题和配套问题》，本节课是代数学习中的重要组成部分．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决日常生活中的工程问题、行程问题和配套问题．七年级的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，但注意力容易分散．因此，教师在设计教学活动时，应注重激发学生的学习兴趣，通过生动的实例和有趣的练习，引导学生积极参与课堂活动，提高教学效果． 针对学生的学情，教师在备课时应充分准备，设计多样化的教学活动，如小组讨论、动手操作、游戏竞赛等，以激发学生的学习兴趣和主动性．同时，教师还应关注学生的学习过程，及时给予指导和帮助，确保每位学生都能在课堂上有所收获． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 5.3 实践与探索 第2课时 和差倍分、销售和储蓄问题   一、教材分析 本节课是华东师大版初中数学七年级下册第五章第三节《实践与探索》第二课时的内容．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决实际问题．通过本课的学习，学生将学会列一元一次方程解决日常生活中的和差倍分、销售问题和储蓄问题．   二、学情分析 到了七年级下册，学生已经具备了一定的数学基础和方程知识，对一元一次方程的基本概念及解法有了一定的理解．然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生从实际问题中找出等量关系，列出一元一次方程可能会遇到困难．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．   三、教学目标 1.通过学习列方程解决日常生活中的和差倍分、销售问题和储蓄问题，进一步感知数学在生活中的作用． 2.通过分析和差倍分、销售问题和储蓄问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，进一步发展分析问题，解决问题的能力． 3.经历由实际问题抽象、建立方程模型的过程，能抓住等量关系列出方程，并能解方程． 4.进一步熟悉列方程解应用题的解题步骤，学会从实际问题中抽象出数学模型．   四、教学重难点 重点：解决日常生活中的和差倍分、销售问题和储蓄问题． 难点：找等量关系列一元一次方程解决实际问题．   五、教学过程 · 复习回顾 列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？ 答：步骤：审，设，列，解，检，答． ①审：通过审题找出等量关系； ②设：设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称； ③列：依据找到的等量关系，列出方程； ④解：求出方程的解； ⑤检：检验所得的解是否符合题意； ⑥答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称． 设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备． · 探究新知 活动一：和差倍分问题 问题1 新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，九年级捐款数为1964元．求七、八年级的捐款数． 思考：题目中的等量关系是什么？ 答：七年级捐款数+八年级捐款数+九年级捐款数=总捐款数． 解：设总捐款数为x元，则七年级捐款数为x元， 八年级捐款数为x元．根据题意，得 ， 解得 x＝7365， 所以，七年级七年级捐款数：×7365＝2946(元)， 八年级捐款数为×7365＝2455(元)． 活动二：销售问题 问题2 某商场将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%．已知这种商品的进价为1800元，那么这种商品的原价是多少？ 分析：利润率＝利润÷成本×100%＝(售价－成本)÷成本×100%． 在解决这类问题过程中，要抓住这个等量关系．由于本例中只提到原价、进价和利润率，这里的“进价”看作是“成本”． 解：设商品的原价是x元，根据题意，得 解这个方程，得x＝2475． 因此，这种商品的原价为2475元． 活动三：储蓄问题 问题3 某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元．小明爸爸存入银行的本金是多少元？ 分析 设小明爸爸存入银行的本金为x元，则一年后的利息为2.25%x． 等量关系：本利和＝本金＋利息 解：设小明爸爸存入银行的本金为x元，根据题意，得 x＋2.25%x＝10225 解得 x＝10000． 经检验，符合题意． 答：小明爸爸存入银行的本金为10000元． 设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决和差倍分、销售问题和储蓄问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤.体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力． · 应用新知 经典例题 例1 今年小亮11岁，小亮的爸爸39岁，多少年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍？ 分析 设x年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍． 等量关系：x年后爸爸的年龄＝x年后小亮年龄的3倍 解：设x年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍． 依题意，得 39＋x＝3(11＋x) 解得 x＝3 答：3年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍． 小结：和差倍分 倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增加率…”来体现． 多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余…”来体现． 比例问题：全部数量＝各种成分的数量之和． 设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决和差倍分问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力． 例2 一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件成本是多元？老板是亏了还是赚了？赚了多少？利润率是多少？ 分析：先用成本价表示出标价，然后根据等量关系式“标价×0.8＝售价”列方程． 利润率＝利润÷成本价×100% 解：设成本价为x元， 则标价为(1＋50%) x元，根据题意， 得 (1＋50%)x ∙80%＝60 解得 x＝50 60－50＝10(元)，利润率：10÷50×100%＝20% 答：老板赚了10元，利润率为20%． 小结：利用一元一次方程确定商品的利润 (1)确定商品的打折数 等量关系：标价×打折数－进价＝利润，利润＝进价×利润率． (2)确定商品的利润 等量关系：进价×(1＋利润率)＝售价． (3)优惠问题中的打折销售 商场中的优惠一般是购买数量超过一定的范围才打折或超过的部分打折．要分段分情况计算不同的利润． 设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决销售问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力． 例3 爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄（3年期的年利率为2.7％），3年后能取5405元，他开始存入了多少元？ 分析：5405元是什么量？要求的是什么量？等量关系是什么？ 解：设他开始存入x元，根据题意，可列方程：x(1＋2.7%×3)＝5405 解得：x＝5000． 所以他开始存入5000元． 小结：利息的计算方法 利息＝本金×利率×期数 本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) 利息税＝利息×税率 税后利息＝利息－利息税＝利息－利息×税率＝利息×(1－税率)＝本金×利率×期数×(1－税率) 设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决储蓄问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤.体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力． · 课堂练习 【教材练习】 1.填空： (1)学校图书馆原有图书a册，最近增加了20%，现在有图书________册； (2)某煤矿预计今年比去年增产15%，达到年产煤60万吨，设去年产煤x万吨，则可列方程_____________； (3)某商品按定价的八折出售，售价为14.80元，则原定价是______元． 答：（1）1.2a；(2)(1＋15%)x＝60；(3)18.5． 2.一个角的余角比这个角的补角的一半小 40°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x°． 根据题意，得 ， 解得x＝80． 答：这个角的度数为80°． 师生活动：学生先独立思考再作答． 3.小明的爸爸前年存了一个2年期存款，年利率是4.40%，今年到期后得到利息176元，小明爸爸前年存了多少钱？ 解：设小明的爸爸前年存了x元钱， 根据题意可得： x×4.40%×2＝176， 解得：x＝2000． 答：小明的爸爸前年存了2000元钱． 师生活动：学生先独立思考再作答． 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深学生对一元一次方程的理解和应用能力．通过解决具体的和差倍分、销售问题和储蓄问题，巩固一元一次方程的应用． 【课堂检测】 1.某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台赢利20%，另一台亏本20%，则本次出售中商场( )． A．不赔不赚 B．赚160元 C．赚80元 D．赔80元 答案：D 2.王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是5%，若到期后取出得到本息和共33825元，设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确的是（ ） A.x＋3×5%x＝33825 B.x＋5%x＝33825 C.3×5%x＝33825 D.3(x＋5x)＝33825 答案：A 3.现在父亲和女儿的年龄和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的三分之一，求女儿现在的年龄？ 解：设女儿今年x岁，那么爸爸今年（91－x）岁 由题意可得： 解得： x＝28． 答：女儿现在的年龄是28岁． 4.一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：①设盈利25%的衣服进价是 x 元， 依题意得 x＋0.25x＝60 解得 x＝48 ②设亏损25%的衣服进价是 y元， 依题意得 y－0.25y＝60 解得 y＝80 两件衣服总成本：48＋80＝128(元) 因为120－128＝－8(元) 所以卖这两件衣服共亏损了8元． 设计意图：通过课堂检测，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．同时，也锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 本节课你学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 实践作业 请同学们，根据自己的年龄编一道利用一元一次方程解决实际问题的题．   六、板书设计   七、教学反思 本节课是第七章“一元一次方程”的第三节《实践与探索》中的第二课时《和差倍分、销售和储蓄问题》，本节课是代数学习中的重要组成部分．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决生活中的和差倍分、销售和储蓄问题．七年级的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，但注意力容易分散．因此，教师在设计教学活动时，应注重激发学生的学习兴趣，通过生动的实例和有趣的练习，引导学生积极参与课堂活动，提高教学效果． 针对学生的学情，教师在备课时应充分准备，设计多样化的教学活动，如小组讨论、动手操作、游戏竞赛等，以激发学生的学习兴趣和主动性．同时，教师还应关注学生的学习过程，及时给予指导和帮助，确保每位学生都能在课堂上有所收获． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 5.3 实践与探索 第1课时 体积和面积问题   一、教材分析 本节课是华东师大版初中数学七年级下册第五章第三节《实践与探索》第一课时的内容．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决实际问题．通过本课的学习，学生将学会借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，建立方程，解决实际问题．   二、学情分析 到了七年级下册，学生已经具备了一定的数学基础和方程知识，对一元一次方程的基本概念及解法有了一定的理解．然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生从实际问题中找出等量关系，列出一元一次方程可能会遇到困难．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．   三、教学目标 1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，建立方程，解决实际问题 2.通过具体问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系． 3.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力． 4.通过对实际问题的探讨，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望．   四、教学重难点 重点：借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系． 难点：找等量关系列一元一次方程解决实际问题．   五、教学过程 · 复习回顾 填空： 长方形的周长=__________，面积=_______． 正方形的周长=__________，面积=_______． 长方体的体积=______，正方体的体积=____． 圆的周长=_______，面积=___________． 圆柱的体积=_______________． 预设答案： 2(a+b)；ab；4a；a2；abc；a3；2πr；πr2；πr2h． · 情境导入 从一个水杯向另一个水杯倒水 思考：在这个过程中什么没有发生变化？ 设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备.让学生观察倒水的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系． · 探究新知 活动一：与平面图形有关的实际问题 问题1 用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形． (1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽； (2)如果长方形的宽比长少4 cm，求这个长方形的面积； (3)比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？ 教师活动：在这个过程中什么没有发生变化？ 分析：由题意知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：(cm)． 解：（1）如图所示： 设此时长方形的长为x cm，则它的宽为 cm． 根据题意，得 ． 解这个方程， 得 ． ． 此时长方形的长为18 cm，宽为12 cm． （2）如图所示： 设此时长方形的长为x cm，则它的宽为 cm． 根据题意，得 ． 解这个方程，得 ． ． 此时长方形的长为17 cm，宽为13 cm， 所以，长方形的面积为17×13=221(cm2)． （3）(1)中长方形的面积为18×12=216(cm2)， ∵221＞216， ∴(2)中长方形的面积比(1)中长方形的面积大． 讨论：每小题中如何设未知数？在小题(2)中，能不能直接设长方形的面积为x cm²？若不能，该怎么办？ 答：在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数；小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积．只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算这个长方形的面积． 探索：将小题(2)中的宽比长少4 cm改为少3 cm、2 cm、1 cm、0 cm(即变为正方形)，长方形的面积有什么变化？ 答：同理，可计算当宽比长少2 cm时，S=224 cm2； 当宽比长少1 cm时，S=224.75 cm2； 当宽与长相等时，S=225 cm2； 所以，还可以围出面积更大的长方形． 小结：由此可以得到：当长与宽相差越小时，长方形的面积越大，当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大． 设计意图：鼓励学生通过独立思考发现：围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”．同时，根据计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也在发生变化．培养学生数学思考的严谨性，语言表述的准确性． 活动二：立体图形的等积变形问题 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料．经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm．那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 教师活动：想一想，什么发生了变化？什么没有发生变化？ 问题1：在这个问题中有一个怎样的等量关系？ 预设答案：旧包装的容积 = 新包装的容积 问题2：设易拉罐的高度为x cm，填写下表： 预设答案： 问题3：根据等量关系，列出方程：________． 解得x =________． 因此，易拉罐的高变成了________cm． 预设答案： π×3.32×12=π×32×x；14.52；14.52 教师活动：列方程时，关键是找出问题中的等量关系． 设计意图：通过几个问题，寻找图形问题中的等量关系，激发学生的求知欲望，培养学生的积极性.此时要注意提醒学生π的取值相关细节问题.此类题目中的π值由等式的基本性质就已约去，无须带具体值；若是题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定精确程度. · 应用新知 经典例题 例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大． 分析 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为：正方形的周长＝圆的周长． 解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)] m． 根据题意，得2πr＝4(r＋2π－4)， 解得r＝4． ∴铁丝的长为2πr＝8π(m)． ∴圆的面积是π×42＝16π(m2)， 正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)． ∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，∴圆的面积大． 答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大． 小结：等长变形 1.线段长度不变时，不管围成怎样的图形，周长不变．即C前=C后． 2.当长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大． 例2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？ 解：如果设水箱的高变为x m，填写下表： 根据旧水箱的容积 = 新水箱的容积，列方程得 π×22×4=π×1.62×x 解得x=6.25 因此，水箱的高度变成了6.25 m． 小结：等积变形 1.形状变了，体积没变；原材料的体积＝成品的体积． 2.解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方程． 【思考交流】 在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流． 预设答案：相等的量； 方程的思路：审，设，列，解，检，答． ①审：通过审题找出等量关系； ②设：设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称； ③列：依据找到的等量关系，列出方程； ④解：求出方程的解； ⑤检：检验所得的解是否符合题意； ⑥答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称． 设计意图：明确如何根据等积变形和等长变形找等量关系，以及列一元一次方程解决实际问题的步骤． · 课堂练习 【教材练习】 1.一块长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱，圆柱的高是多少？(精确到0.1 cm，π取3.14) 解：设圆柱的高是x cm． 根据题意，得 4×3×2＝π×1.5²×x， 解得x≈3.4． 答：圆柱的高是3.4 cm． 2.在一个底面直径5 cm、高18 cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6 cm、高10 cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离． 解：圆柱形瓶内的体积为π×(5÷2)²×18＝112.5π(cm³)， 圆柱形玻璃杯的体积为π×(6÷2)²×10＝90π(cm³)， 因为112.5π＞90π， 所以不能完全装下， 设将圆柱形玻璃杯装满后，圆柱形瓶内水面还有x cm高， 根据题意列方程，得112.5π－90π＝π×(5÷2)²×x， 解得x＝3.6，经检验，符合题意， 所以底面直径6 cm、高10 cm的玻璃杯完全装不下，瓶内水面还有3.6 cm高． 师生活动：学生先独立思考再作答． 3.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图虚线所示(单位：cm)．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图实线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？ 【分析】等量关系是变形前后周长相等． 解：设长方形的长是 x cm． 根据题意，得x + x + 10 + 10 =10 + 10 + 10 + 10 + 6 + 6 解得 x = 16 答：小颖所钉长方形的长为16 cm，宽为10 cm． 师生活动：学生先独立思考再作答． 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深学生对一元一次方程的理解和应用能力．通过解决具体的体积和面积问题，巩固一元一次方程的应用． 【课堂检测】 1.某工厂要制造直径长为120 mm，高为20 mm的圆钢毛坯，现有的原料是直径长为60 mm的圆钢若干米，则应取原料的长为( ) A.50 mm B.60 mm C.70 mm D.80 mm 答案：D 2. 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 【分析】等量关系是变形前后体积相等． 解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得 ． 解这个方程，得x＝25． 答：这一支牙膏能用25次． 教师活动：注意单位要统一哦！ 3.把一块长、宽、高分别为5 cm、3 cm、3 cm的长方体铁块，浸入半径为4 cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水)，水面将增高多少？(结果保留两位小数) 【分析】等量关系是水面增高体积=长方体体积． 解：设水面增高 x 厘米，则 解得 ． 因此，水面增高约为0.90厘米． 设计意图：通过课堂检测，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．同时，也锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.列方程解决实际问题的思路是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． · 实践作业 用两个等体积的橡皮泥捏两个底面不同的圆柱，测量出其中一个圆柱的高，再通过列方程解决问题求出另一个圆柱的高．   六、板书设计   七、教学反思 本节课是第七章“一元一次方程”的第三节《实践与探索》中的第一课时《体积和面积问题》，本节课是代数学习中的重要组成部分．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决生活中的实际问题．七年级的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，但注意力容易分散．因此，教师在设计教学活动时，应注重激发学生的学习兴趣，通过生动的实例和有趣的练习，引导学生积极参与课堂活动，提高教学效果． 针对学生的学情，教师在备课时应充分准备，设计多样化的教学活动，如小组讨论、动手操作、游戏竞赛等，以激发学生的学习兴趣和主动性．同时，教师还应关注学生的学习过程，及时给予指导和帮助，确保每位学生都能在课堂上有所收获． 学科网（北京）股份有限公司 $$