专题02 实践与探索（一元一次方程的实际应用）同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（华东师大版）

专题02 实践与探索（一元一次方程的应用） （3知识点+13题型+过关检测） 【题型1 配套问题】 3 【题型2 工程问题】 5 【题型3 销售盈亏】 7 【题型4 比赛积分】 10 【题型5 方案选择】 12 【题型6 数字问题】 16 【题型7 几何问题】 19 【题型8 动点问题】 23 【题型9 电费和水费问题】 29 【题型10 比例分配】 33 【题型11 日历问题】 36 【题型12 古代问题】 40 【题型13 其他问题】 42 1. 理解一元一次方程在实际问题中的应用价值，掌握列一元一次方程解决实际问题的基本步骤，能准确找到题目中的等量关系。 2. 能熟练运用一元一次方程，解决配套、工程、销售盈亏、比赛积分等13类常见实际问题，做到审题准确、列方程规范、求解正确、检验合理。 3. 掌握各类实际问题的解题规律和技巧，能区分不同题型的等量关系特点，提升分析问题、转化问题、解决问题的能力。03 知识•梳理 知识点1：列一元一次方程解决实际问题的基本步骤 1. 审题：仔细阅读题目，明确题目中的已知量、未知量，找出题目所求的问题。 2. 找等量关系：这是解题的关键，根据题目中的关键词、数量关系，提炼出等量关系（可借助文字、图表辅助分析）。 3. 设未知数：根据未知量的特点，设合适的未知数（直接设未知数或间接设未知数），注明单位。 4. 列方程：根据等量关系，将已知量、未知量代入，列出一元一次方程（方程两边的单位要统一）。 5. 解方程：按照一元一次方程的解法，求出未知数的值，注意解题步骤规范。 6. 检验：检验所求的值是否符合方程，是否符合实际意义（如人数、长度、数量不能为负数），舍去不合题意的解。 7. 作答：根据检验结果，完整回答题目所求的问题，注明单位。 简单记为：审题→找等量→设未知数→列方程→解方程→检验→作答。 知识点2：核心等量关系总结 1. 基本等量关系：总量=各部分量的和；较大量=较小量+多余量；倍数关系：大数=小数×倍数±差量。 2. 配套问题：总配套数=某种部件的数量÷该部件的配套比例（如1个桌面配4条桌腿，则桌腿数量=桌面数量×4）。 3. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总工作量（通常将总工作量看作单位“1”）。 4. 销售盈亏：利润=售价-进价；利润率=（利润÷进价）×100%；售价=进价×（1+利润率）；售价=标价×折扣（折扣为小数，如8折=0.8）。 5. 比赛积分：总积分=胜场积分×胜场数+平场积分×平场数-负场扣分×负场数（根据题目规则调整，注意扣分情况）。 6. 几何问题：周长、面积、体积公式（如长方形周长=2×(长+宽)，三角形面积=½×底×高）；图形拼接、折叠中，对应边相等、对应角相等。 7. 日历问题：日历中，同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7；三个相邻数（横、竖、斜）的和=中间数×3。 8. 水电费问题：总费用=基础费用+超额部分费用；分段计费中，总费用=各段费用之和（注意分段节点）。 9. 比例分配：各部分量=总数量×（该部分所占比例）；若比例为a:b:c，则设各部分量为ax、bx、cx，再根据总量列方程。 10. 数字问题：若一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数=10a+b；三位数=100a+10b+c（a、b、c为0-9的整数，a≠0）。 知识点3：常见易错点辨析（必记） 1. 错误1：审题不清，遗漏题目中的关键条件（如折扣、扣分、分段计费的节点），导致等量关系找错。 2. 错误2：设未知数时，未注明单位；或方程两边单位不统一，导致计算错误。 3. 错误3：解方程步骤不规范，出现移项不变号、去分母漏乘等错误；求解后未检验，导致答案不符合实际意义。 4. 错误4：工程问题中，未将总工作量看作单位“1”，或混淆工作效率与工作时间的关系。 5. 错误5：销售问题中，混淆“进价”“标价”“售价”的概念，利润率计算时误用售价作为分母。 6. 错误6：动点问题中，未明确动点的运动方向、速度和时间，导致线段长度表示错误。 高频易错提示：1. 所有实际问题的解，都必须符合实际意义，如人数、物品数量、长度等不能为负数，时间不能为负数；2. 列方程时，等量关系要准确，避免出现“漏项”“错项”；3. 复杂题型（如方案选择、动点），可先梳理题干信息，分步分析，必要时借助图表辅助；4. 古代问题要先理解题意，将文言表述转化为数学语言，再找等量关系。 04 题型•汇总 【题型1 配套问题】 解题思路： 核心：找准“配套比例”，明确两种（或多种）部件的数量关系，根据“配套时，各部件数量符合比例”列等量关系。 【典例1】．茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做50个茶壶或200个茶杯．该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ 跟随训练1．近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 跟随训练2．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 惠州某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决 任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：惠州某店家以每副80元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ 任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【题型2 工程问题】 解题思路： 核心：将总工作量看作单位“1”，明确工作效率（单位时间内完成的工作量），利用“工作总量=工作效率×工作时间”“各部分工作量之和=总工作量”列方程。 【典例2】．整理一批图书，若由一人单独做需要62小时完成．现计划由一部分人先做5小时，再增加3人一起做6小时，完成这项工作．假设这些人效率相同，应先安排多少人工作？ 跟随训练1．某市新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，此工程共用时20天．求A，B两个工程队各工作了多少天？ (1)若设A工程队工作了x天，则B工程队工作了 天（用含x的代数式表示）； (2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题． 跟随训练2．某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 【题型3 销售盈亏】 解题思路： 核心：区分“进价、标价、售价、利润、利润率”的概念，牢记核心等量关系：利润=售价-进价，利润率=（利润÷进价）×100%，根据题目已知条件，选择合适的等量关系列方程。 【典例3】．某果农通过直播平台销售自家种植的水蜜桃．已知5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，求6月份销售额相对5月份销售额的增长率．（注：销售额＝售价×销售量） 跟随训练1．为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 跟随训练2．“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 【题型4 比赛积分】 解题思路： 核心：明确比赛的积分规则（胜场得分、平场得分、负场扣分或得分），根据“总积分=胜场积分×胜场数+平场积分×平场数+负场积分×负场数”列方程。 【典例4】．我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 跟随训练1．某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 跟随训练2．在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ 【题型5 方案选择】 解题思路： 核心：根据题目中的不同方案，分别列出每种方案的总费用（或总收益）的表达式，再根据题目要求（如费用最低、收益最高、两种方案费用相等）列方程或比较大小。 【典例5】．小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 跟随训练1．国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝——山西隰县小西天．某单位在月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则选择甲旅行社的费用为 元；选择乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示） (2)①这个单位现组织包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； ②若包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 跟随训练2．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 【题型6 数字问题】 解题思路： 核心：掌握数字的表示方法（两位数=10×十位数字+个位数字，三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字），根据题目中的数字关系（如数字和、数字差、倍数关系、倒序数字等）列等量关系。 【典例6】．观察下面有一定规律的三组数： ①，，，，， ②，，，，， ③，，，，， (1)每组的第个数分别是________，________，________； (2)第二组和第三组的第个数分别是________和________；（用含的式子来表示） (3)取每组的第个数，若这三个数的和为，求的值． 跟随训练1．已知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数字，得到一个新的两位数．则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值． 跟随训练2．定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；1940：，则称1940为“倍数”；2548：．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． (1)直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； (2)若一个三位数x为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； (3)若一个四位数x既为“2倍数”又是“倍数”，直接写出这样的四位数x的最大值和最小值； 【题型7 几何问题】 解题思路： 核心：牢记常见几何图形的周长、面积、体积公式，结合图形的拼接、折叠、平移等特点，找出等量关系（如拼接后周长不变、面积不变，折叠后对应边相等、对应角相等）。 【典例7】．如图所示，同一平面中有点A，B，C，D，已知点C在线段上，请按照要求用无刻度直尺和圆规作图并解决问题（不要求写作图过程，保留作图痕迹）． (1)尺规作图：①作直线，射线； ②延长线段至点E，使得点D为线段的中点； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长度． 跟随训练1．已知点是直线上一点，射线平分． (1)如图①所示，射线在内部，，若．求的度数； (2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数． 跟随训练2．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，若，，是的内半角，则________． (2)如图②，若，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【题型8 动点问题】 解题思路： 核心：明确动点的运动方向、运动速度、运动时间，用“路程=速度×时间”表示出动点运动的路程，再结合图形特点，找出线段长度之间的等量关系。 【典例8】．如图，在数轴上点A表示的数为、点B表示的数为，、满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，线段的长为________． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，求点C在数轴上表示的数． (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，当点P移动到O点时，此时点Q从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q运动到点A时立即以原速返回向左运动，且当点P到达A点时，点P、Q都停止移动．设点P移动的时间为t秒，直接写出当t为多少时，P、Q两点相距2个单位长度？ 跟随训练1．如图，点在数轴上表示的数分别是和，两动点同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿往返运动，回到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为． (1)当点到达点时，求点所表示的数是 ； (2)当时，求线段的长； (3)为何值时，两点重合； (4)当点从点向点运动时，用含的式子表示点之间的距离． 跟随训练2．定义：对于数轴上一点和一个非零常数，若存在点，使得点到原点的距离是点到原点距离的倍，且两点在原点两侧，我们就称点是点的“倍对称点”．特别地，我们规定原点的“倍对称点”为原点．例如，数轴上表示的点的“倍对称点”为表示的点，表示的点的“倍对称点”为表示的点． 已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点的“倍对称点”表示的数是___________；点的“倍对称点”和点之间的距离是___________． (2)①点表示的数是___________（用含的代数式表示）． ②当为何值时，点的“倍对称点”到点的距离是个单位长度． (3)已知点为点的“倍对称点”，点为点的“倍对称点”，那么在点运动过程中，是否存在某个或的值，使得点到原点的距离恰好等于它到点的距离？若存在，求或的值；若不存在，请说明理由． 【题型9 电费和水费问题】 解题思路： 核心：这类问题多为“分段计费”，明确分段节点和各段的计费标准，根据“总费用=各段费用之和”列方程。 【典例9】．某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ 跟随训练1．居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 跟随训练2．根据以下素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2025年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 素材3 如某用户2025年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2025年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2025年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 【题型10 比例分配】 解题思路： 核心：根据题目中的比例关系，设各部分量为含相同未知数的代数式，再结合“各部分量之和=总数量”列方程。 【典例10】．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 跟随训练1．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 跟随训练2．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【题型11 日历问题】 解题思路： 核心：掌握日历的排列规律（同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，斜向相邻数相差6或8），利用“三个相邻数的和=中间数×3”或“相邻数的和差关系”列方程。 【典例11】．如图是2026年1月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，a，，． (1)若，则 ；若，则   （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为111，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，，b，，，且，则代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 跟随训练1．如图1，是2026年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为_________；（用含的式子表示） ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为_________．（用含的式子表示） (2)①用图2框出图1中的3个数，则这3个数的和最大为_________； ②能否用图3框出图1中的5个数，使这5个数的和是90，若能，求这5个数分别是多少？若不能，请说明理由． 跟随训练2．如图1是某年7月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住4个数． (1)若框住4个数的和为74，求出框住4个数中最大数； (2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不能，说明理由． (3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数式的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值． 【题型12 古代问题】 解题思路： 核心：先将文言表述的题目转化为现代汉语，理解题意，再找出题目中的已知量、未知量和等量关系，转化为一元一次方程问题。 【典例12】．《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“现在有若干人乘车，若每3个人坐一辆车，会空出2辆车；若每2个人坐一辆车，会有9个人没有车坐，只能步行．请问总人数和车辆数各是多少？” 跟随训练1．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 跟随训练2．《九章算术》“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数，鸡价各几何？” 题目大意：几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出钱；若每人出6钱，则还少了钱．合伙人数、鸡价各是多少？ 以下是智慧小组的部分分析过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 先寻找问题中涉及到的量和等量关系，然后设未知数，设合伙人数为人，再表示其他未知量，根据等量关系：________，列出方程． 发现两次的合伙人数是不变的，所以可以设鸡价为y钱，列出方程________． 任务： (1)请你将上述分析过程的空白补充完整； (2)选择其中一种方法解决以上“盈不足”问题． 【题型13 其他问题】 解题思路： 核心：这类问题不局限于上述12类，多为生活中的实际场景（如行程问题、浓度问题、年龄问题等），核心是找准等量关系，按照列一元一次方程解决实际问题的基本步骤解题。 【典例13】．编织大、小两种中国结共个．已知编织个大号中国结需用绳，编织个小号中国结需用绳．设编织了大中国结个． (1)编织大中国结共需用绳______，编织小中国结共需用绳______．（用含的式子表示） (2)若编织大、小两种中国结总计用绳，求的值． 跟随训练1．如图所示，用棋子摆成的“上”字： 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： (1)第四、第五个“上”字分别需用__________和__________枚棋子． (2)第n个“上”字需用__________枚棋子． (3)如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？ 跟随训练2．某活动小组需要准备A，B两种材料（均为整千克数），其中A材料每千克80元，B材料每千克120元．小组共有活动经费20000元，其中用来购买这两种材料的经费占，经过研究：需要A，B两种材料共20千克，且用来购买这两种材料的经费需要全部用完． (1)请你帮助设计购买方案（枚举法）． A/千克 B/千克 总费用/元 1 1 19 2360 2 2 18 2320 3 4 （表格不够可以添加） 通过列表，选择第 种方案符合要求． (2)小组在小结反思时，觉得通过列表枚举的方法设计购买方案太烦琐，小组成员经过研究，建立了一个方程模型，并供其他小组参考： ①设购买材料总费用是n元，材料总量为m千克，购买A材料x千克．则有方程： ； ②利用（1）中表格的数据，请选择一些n，m的具体数值，验证方程模型是否正确． 05 过关•检测 1．某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 2．春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品，副春联和个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸张，一张红纸能制作幅春联或制作个福字，应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？若设分配张红纸制作春联，则依题意可列方程为（   ）． A． B． C． D． 3．为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．有这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多三尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长、井深各几何？”题意：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳三尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设绳子长为x尺，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 5．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文a，b，c对应的密文，，．例如：明文1，2，3，对应的密文为2，7，11．如果接收方收到密文7，21，17，那么解密得到的明文为（   ） A．6，5，9 B．6，9，5 C．6，7，5 D．6，7，8 6．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为46，则这9个数的和为（   ） A．69 B．84 C．126 D．207 7．某商品按原价提高后标价，又以9折卖出，售价为216元．设原价为x元，可列方程：_______． 8．若一个角的余角比这个角的补角的还小，则这个角的度数是______． 9．在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为7，若C为线段上的一点，P从C出发，以每秒3个单位长度的速度，先向A运动，到达A之后再以原速向右运动．若在运动过程中，当运动时间为时，满足，则C在数轴上表示的数为______． 10．西汉丞相张苍是阳武县（今河南省原阳县）人，由他和耿寿昌所编著的《九章算术》对中国乃至世界数学的发展做出了重大的贡献．其中卷七记载：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，有以为法．以善行者之一百步，乘不善行者先行一百步，为实．实如法得一步．译文：现有走路快的人走步，走路不快的人走步（同时出发），现在让走路不快的人先走步后，走路快的人去追．设走路快的人走步才能够追到，根据题意列方程为______． 11．对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 12．如图，根据图中的信息，可列方程为______________________________． 13．甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，共用20天完成任务，求两人合作的天数． 14．在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． (1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 15．某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 16．自“苏超”足球比赛开赛以来，带动了当地城市旅游热，某市对来该市观看足球比赛的球迷推出如下优惠措施： 景点A 景点B 景点C 平时 8折 比赛周 8折 免费 6折 (1)若A，B，C三处景点门票原价分别为a元，b元和c元，某球迷在比赛周游览三处景点门票共花费多少元？相比平时游览A，B，C三处景点门票共优惠多少元？（用代数式表示） (2)若比赛周该球迷游览景点B和景点C门票共花费72元，比平时节省104元，求b，c的值． 17．小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实践与探索（一元一次方程的应用） （3知识点+13题型+过关检测） 【题型1 配套问题】 3 【题型2 工程问题】 5 【题型3 销售盈亏】 7 【题型4 比赛积分】 10 【题型5 方案选择】 12 【题型6 数字问题】 16 【题型7 几何问题】 19 【题型8 动点问题】 23 【题型9 电费和水费问题】 29 【题型10 比例分配】 33 【题型11 日历问题】 36 【题型12 古代问题】 40 【题型13 其他问题】 42 1. 理解一元一次方程在实际问题中的应用价值，掌握列一元一次方程解决实际问题的基本步骤，能准确找到题目中的等量关系。 2. 能熟练运用一元一次方程，解决配套、工程、销售盈亏、比赛积分等13类常见实际问题，做到审题准确、列方程规范、求解正确、检验合理。 3. 掌握各类实际问题的解题规律和技巧，能区分不同题型的等量关系特点，提升分析问题、转化问题、解决问题的能力。03 知识•梳理 知识点1：列一元一次方程解决实际问题的基本步骤 1. 审题：仔细阅读题目，明确题目中的已知量、未知量，找出题目所求的问题。 2. 找等量关系：这是解题的关键，根据题目中的关键词、数量关系，提炼出等量关系（可借助文字、图表辅助分析）。 3. 设未知数：根据未知量的特点，设合适的未知数（直接设未知数或间接设未知数），注明单位。 4. 列方程：根据等量关系，将已知量、未知量代入，列出一元一次方程（方程两边的单位要统一）。 5. 解方程：按照一元一次方程的解法，求出未知数的值，注意解题步骤规范。 6. 检验：检验所求的值是否符合方程，是否符合实际意义（如人数、长度、数量不能为负数），舍去不合题意的解。 7. 作答：根据检验结果，完整回答题目所求的问题，注明单位。 简单记为：审题→找等量→设未知数→列方程→解方程→检验→作答。 知识点2：核心等量关系总结 1. 基本等量关系：总量=各部分量的和；较大量=较小量+多余量；倍数关系：大数=小数×倍数±差量。 2. 配套问题：总配套数=某种部件的数量÷该部件的配套比例（如1个桌面配4条桌腿，则桌腿数量=桌面数量×4）。 3. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总工作量（通常将总工作量看作单位“1”）。 4. 销售盈亏：利润=售价-进价；利润率=（利润÷进价）×100%；售价=进价×（1+利润率）；售价=标价×折扣（折扣为小数，如8折=0.8）。 5. 比赛积分：总积分=胜场积分×胜场数+平场积分×平场数-负场扣分×负场数（根据题目规则调整，注意扣分情况）。 6. 几何问题：周长、面积、体积公式（如长方形周长=2×(长+宽)，三角形面积=½×底×高）；图形拼接、折叠中，对应边相等、对应角相等。 7. 日历问题：日历中，同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7；三个相邻数（横、竖、斜）的和=中间数×3。 8. 水电费问题：总费用=基础费用+超额部分费用；分段计费中，总费用=各段费用之和（注意分段节点）。 9. 比例分配：各部分量=总数量×（该部分所占比例）；若比例为a:b:c，则设各部分量为ax、bx、cx，再根据总量列方程。 10. 数字问题：若一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数=10a+b；三位数=100a+10b+c（a、b、c为0-9的整数，a≠0）。 知识点3：常见易错点辨析（必记） 1. 错误1：审题不清，遗漏题目中的关键条件（如折扣、扣分、分段计费的节点），导致等量关系找错。 2. 错误2：设未知数时，未注明单位；或方程两边单位不统一，导致计算错误。 3. 错误3：解方程步骤不规范，出现移项不变号、去分母漏乘等错误；求解后未检验，导致答案不符合实际意义。 4. 错误4：工程问题中，未将总工作量看作单位“1”，或混淆工作效率与工作时间的关系。 5. 错误5：销售问题中，混淆“进价”“标价”“售价”的概念，利润率计算时误用售价作为分母。 6. 错误6：动点问题中，未明确动点的运动方向、速度和时间，导致线段长度表示错误。 高频易错提示：1. 所有实际问题的解，都必须符合实际意义，如人数、物品数量、长度等不能为负数，时间不能为负数；2. 列方程时，等量关系要准确，避免出现“漏项”“错项”；3. 复杂题型（如方案选择、动点），可先梳理题干信息，分步分析，必要时借助图表辅助；4. 古代问题要先理解题意，将文言表述转化为数学语言，再找等量关系。 04 题型•汇总 【题型1 配套问题】 解题思路： 核心：找准“配套比例”，明确两种（或多种）部件的数量关系，根据“配套时，各部件数量符合比例”列等量关系。 【典例1】．茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做50个茶壶或200个茶杯．该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ 【答案】安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 【分析】设安排名工人生产茶壶，根据每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排名工人生产茶壶，则安排名工人生产茶杯，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 跟随训练1．近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 【答案】安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 【分析】先设出制作簪杆的匠人人数，用总匠人人数表示出制作绒花的匠人人数，再根据配套关系（每天生产的绒花数量是簪杆数量的3倍）列出一元一次方程，最后通过解方程得到结果． 【详解】解：设手工坊安排名匠人制作簪杆，则安排名匠人制作绒花． 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 则制作绒花的匠人人数为(名)． 答：手工坊应该安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 跟随训练2．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 惠州某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决 任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：惠州某店家以每副80元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ 任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】任务一：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；任务二：；任务三：九折 【分析】任务一：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； 任务二：根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； 任务三：设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】解：任务一：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； 任务二：根据题意得： ， 答：售出的每一副镜架的利润率是； 任务三：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 【题型2 工程问题】 解题思路： 核心：将总工作量看作单位“1”，明确工作效率（单位时间内完成的工作量），利用“工作总量=工作效率×工作时间”“各部分工作量之和=总工作量”列方程。 【典例2】．整理一批图书，若由一人单独做需要62小时完成．现计划由一部分人先做5小时，再增加3人一起做6小时，完成这项工作．假设这些人效率相同，应先安排多少人工作？ 【答案】先安排4人工作 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设先安排人工作， 由题意得，， ​， ， 解得． 答：先安排 4 人工作． 跟随训练1．某市新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，此工程共用时20天．求A，B两个工程队各工作了多少天？ (1)若设A工程队工作了x天，则B工程队工作了 天（用含x的代数式表示）； (2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由工程共用时20天，列出代数式即可； （2）根据180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，结合（1）所设的未知数与结果，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵A工程队工作了x天，工程共用时20天， ∴B工程队工作了天． （2）解：由题意得：， ， ， ， ， ∴． 答：A工程队工作了5天，B工程队工作了15天． 跟随训练2．某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 【答案】(1)20天 (2)万 【分析】（1）设乙队完成此项工程的天数为x天，可知甲队完成此项工程的天数为天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求解即可； （2）设甲，乙两队合作y天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求出y的值，根据“甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元”计算即可． 【详解】（1）解：设乙队完成此项工程的天数为x天， 由题意可得：， 解得， 答：乙队完成此项工程的天数为20天； （2）解：设甲，乙两队合作y天， 由题意可得：， 解得， ∴（万）， 答：完成该工程需付工程款万． 【题型3 销售盈亏】 解题思路： 核心：区分“进价、标价、售价、利润、利润率”的概念，牢记核心等量关系：利润=售价-进价，利润率=（利润÷进价）×100%，根据题目已知条件，选择合适的等量关系列方程。 【典例3】．某果农通过直播平台销售自家种植的水蜜桃．已知5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，求6月份销售额相对5月份销售额的增长率．（注：销售额＝售价×销售量） 【答案】6月份销售额相对5月份销售额的增长率为 【分析】设5月份销售量为千克，6月份销售额相对5月份销售额的增长率为．5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：设5月份销售量为千克，6月份销售额相对5月份销售额的增长率为． 由题意得：． 解得， 答：6月份销售额相对5月份销售额的增长率为35%． 跟随训练1．为响应国家号召，帮助农副产品走出大山，“村头”电商平台将咸蛋和豆腐乳进行网上销售．咸蛋售价为4元/袋，豆腐乳售价为5元/袋，5月份咸蛋的销量比豆腐乳的销量多1200袋，五月份咸蛋的总销售额为豆腐乳总销售额的两倍． (1)5月份咸蛋和豆腐乳的销售量分别为多少袋？ (2)6月份咸蛋售价比5月份降低了，销量比5月份增加了．豆腐乳的销量比5月份增加了，售价保持不变，结果咸蛋和豆腐乳6月份的总销售额比5月份增加，求a的值． 【答案】(1)5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确掌握题中的等量关系是解题的关键． （1）设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为，根据等量关系列出一元一次方程进行计算即可； （2）根据题意得到6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为，列出计算式即可得到答案． 【详解】（1）解：设5月份豆腐乳的销售量为袋，则咸蛋的销售量为， 由题意得：， 解得， 咸蛋的销售量为袋， 答：5月份咸蛋的销售量为2000袋，豆腐乳的销售量为800袋； （2）解：6月份咸蛋售价为，销量为：， 豆腐乳的销量为， 由题意可得：， 解得． 跟随训练2．“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 【答案】(1)这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷 (2)a的值是20 【分析】（1）设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷，根据含油率和总产油量的变化情况，列一元一次方程求解即可； （2）先求出去年和今年该村所产油菜籽的总产油量，以及去年和今年每千克盈利，再结合今年比去年多盈利63900元，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷， 由题意得，， 解得：， 则今年种植面积为：（公顷）， 答：这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷． （2）解：由题意可知，去年该村所产油菜籽的总产油量为， 今年该村所产油菜籽的总产油量为， 批发商去年每千克盈利（元）， 批发商今年每千克盈利（元）， 则， 解得： ∴a的值是20． 【题型4 比赛积分】 解题思路： 核心：明确比赛的积分规则（胜场得分、平场得分、负场扣分或得分），根据“总积分=胜场积分×胜场数+平场积分×平场数+负场积分×负场数”列方程。 【典例4】．我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 【答案】(1)5， (2)参赛者答对13题 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，比赛积分(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）由参赛者A可求得答对一题得分，由参赛者B可求得答错一题得分； （2）设参赛者答对题，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由参赛者A可得，答对一题得分， 由参赛者B可得，答错一题得分， 故答案为：5，； （2）解：设参赛者答对题， 依题意得：． 解得：． 答：参赛者答对13题． 跟随训练1．某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 【答案】(1)，； (2)道 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是先通过已知数据确定答对和答错的分值，再利用方程求解未知量． （1）首先利用参赛者的满分情况直接计算答对一题的得分，再结合其他参赛者的得分求出答错一题的分值； （2）设同学答对题数为未知数，根据“总得分答对题得分答错题得分”的等量关系建立一元一次方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵参赛者答对题得分， ∴每答对一题得分； 设每答错一题得分，由参赛者的得分情况可得：， 解得； 故答案为：；； （2）解：设参赛者答对了道题，则答错了道题， 根据题意列方程：， 解得：； 答：参赛者答对了道题． 跟随训练2．在某次足球联赛中，A组共有6支队伍进行比赛，根据赛程，每队在小组赛中共计进行15场比赛，如表是小组赛第二轮积分榜： 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 火焰 逐梦者 未来巨人 飞人联盟 超音速 飞翔之鹰 （说明：积分胜场积分平场积分负场积分） (1)本次比赛中胜一场积_____分，平一场积_____分，负一场积_____分； (2)已知火焰队在剩余的场比赛中一共输了场，最终以场比赛总积分分获得出线资格．那么火焰队在剩余的13场比赛中一共赢了几场？ 【答案】(1)，， (2)场 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用． （1）借助表格中各队伍的比赛场次、胜平负场数与积分的对应关系，通过计算推导胜、平、负一场的积分值； （2）根据总积分的构成，设未知数建立一元一次方程，求解火焰队剩余比赛的胜场数． 【详解】（1）解：由未来巨人队场平积分，可得平一场积分． 由火焰队胜平积分，可得胜一场积分． 由超音速队平负积分，可得负一场积分． 故答案为：，，． （2）解：设火焰队在剩余的场比赛中赢了场剩余场输了场，所以平的场次为场 已知火焰队前场积分，总积分分． 根据积分规则列方程： 解得 答：火焰队在剩余的场比赛中一共赢了场． 【题型5 方案选择】 解题思路： 核心：根据题目中的不同方案，分别列出每种方案的总费用（或总收益）的表达式，再根据题目要求（如费用最低、收益最高、两种方案费用相等）列方程或比较大小。 【典例5】．小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠： 方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额． 方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折． (1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元； (2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值； (3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？ 【答案】(1)100 (2)6 (3)方式二 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）设游乐项目折扣为a折，用方式二付款160元，据此列出方程并解方程即可； （3）分别计算出两种方式的费用，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，用方式一实际付款（元） 故答案为：100 （2）解：设游乐项目折扣为a折， 根据题意得，， 解得，， 答：a的值为6． （3）解：方式一：设花费220元能体验原价y元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价240元游乐项目， 方式二：设花费220元能体验原价z元游乐项目， 由题意得，， 解得，， 即花费220元能体验原价300元游乐项目， 所以，方式二能体验更多金额的游乐项目． 跟随训练1．国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝——山西隰县小西天．某单位在月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则选择甲旅行社的费用为 元；选择乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示） (2)①这个单位现组织包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； ②若包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 【答案】(1)； (2)①选择乙旅行社，理由见解析；②选择甲旅行社，理由见解析 (3)当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 【分析】（1）根据题意中的优惠方案，列出代数式； （2）把人数、分别代入（1）中的代数式计算，比较后得出结论； （3）先列方程求出两家旅行社费用一样时的人数，再结合（2）的解答写出建议即可． 【详解】（1）解：甲旅行社的费用为：（元）； 乙旅行社的费用为：元． 故答案为：； （2）解：①选择乙旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择乙旅行社； ②选择甲旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择甲旅行社； （3）解：当两家旅行社费用一样时，可列方程， 解得， 答：当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 跟随训练2．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)按“套餐一”计费需要101元 (2)该月小宁通话时间为300分钟 (3)存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用按“套餐一”计费所需费用（通话时间）（上网流量），即可求出结论； （2）设该月小宁通话时间为x分钟，根据11月小宁按“套餐二”计费需付128元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为 ，根据按套餐一和套餐二计费相等，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）； 答：按“套餐一”计费需要101元； （2）解：设该月小宁通话时间为分钟， 根据题意得：， 解得：； 答：该月小宁通话时间为300分钟； （3）解：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为， 根据题意得：， 解得：． 答：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24． 【题型6 数字问题】 解题思路： 核心：掌握数字的表示方法（两位数=10×十位数字+个位数字，三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字），根据题目中的数字关系（如数字和、数字差、倍数关系、倒序数字等）列等量关系。 【典例6】．观察下面有一定规律的三组数： ①，，，，， ②，，，，， ③，，，，， (1)每组的第个数分别是________，________，________； (2)第二组和第三组的第个数分别是________和________；（用含的式子来表示） (3)取每组的第个数，若这三个数的和为，求的值． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了数字的规律，一元一次方程的应用，解题的关键是仔细观察题目，归纳出每组数据的一般规律，并用代数式表示． （1）分别找出每组数的规律，写出每组数的第个即可； （2）根据（1）中找出的规律，即可进行解答； （3）将表示三组数据规律的代数式相加等于，求解即可． 【详解】（1）解：可得第一组数据第个为， 可得第二组数据第个为， 可得第三组数据第个为， ∴第一组数据第个为， 第二组数据第个为， 第三组数据第个为， 故答案为：；；； （2）由（1）可知：第二组和第三组的第个数分别是，； （3）设第一组的第个数为，则第二组的第个数为，第三组第个数为， 列方程得：， 解得：， ， ． 跟随训练1．已知一个两位数，十位上的数字是个位的2倍，调换十位与个位数字，得到一个新的两位数．则新两位数与原两位数的和一定能被某个整数整除，求这个整数的最大值． 【答案】33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．通过设个位数字为未知数，利用两位数的数位表示方法写出原两位数与新两位数，计算两数之和后分析其因数，找到能整除该和的最大整数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：设原两位数的个位数字为x， 则十位数字为，x为正整数，且，即， 故x可取， 原两位数为 ， 新两位数为 ， 两数之和为， 即两数之和为，故该和一定能被33整除，所有可能的和（当分别取时）的最大公因数为33， ∴这个整数的最大值是33． 跟随训练2．定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；1940：，则称1940为“倍数”；2548：．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”． (1)直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值； (2)若一个三位数x为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由； (3)若一个四位数x既为“2倍数”又是“倍数”，直接写出这样的四位数x的最大值和最小值； 【答案】(1)3274不是“m倍数”，2961是“m倍数”，m为 (2)能，理由见解析 (3)最大值：9999；最小值：1010 【分析】（1）根据列方程求解，再判断是不是整数即可； （2）由题意得，再根据“倍数”列方程求解即可； （3）设，由四位数x既为“2倍数”又是“倍数”得到，，整理得到，，据此求最大值和最小值． 【详解】（1）解：∵，解得，不是整数， ∴不是“倍数”； ∵，解得， ∴是“倍数“，为 （2）解：为三位数，个位为， ∵一个三位数x为“倍数”， ∴ 整理得： 这个三位数为：． 是整数． 这三位数能被整除． （3）解：设， ∵四位数x既为“2倍数”又是“倍数” ∴，， ∴， ∴，， ∴四位数x最大值：9999；最小值：1010． 【题型7 几何问题】 解题思路： 核心：牢记常见几何图形的周长、面积、体积公式，结合图形的拼接、折叠、平移等特点，找出等量关系（如拼接后周长不变、面积不变，折叠后对应边相等、对应角相等）。 【典例7】．如图所示，同一平面中有点A，B，C，D，已知点C在线段上，请按照要求用无刻度直尺和圆规作图并解决问题（不要求写作图过程，保留作图痕迹）． (1)尺规作图：①作直线，射线； ②延长线段至点E，使得点D为线段的中点； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长度． 【答案】(1)①作图见详解；②作图见详解 (2)10 【分析】本题主要考查线段、射线、直线的定义，线段中点的计算， （1）根据线段、射线、直线的定义作图，线段中点的定义作图即可； （2）根据线段和差，设，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示， ②如图所示，点E即为所求； （2）解：∵， ∴设，则， ∵点D为线段的中点， ∴， ∵ ∴， 解得，， ∴， ∴． 跟随训练1．已知点是直线上一点，射线平分． (1)如图①所示，射线在内部，，若．求的度数； (2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义及平角的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设，则，利用列出方程，求解得到，据此求解即可； （2）由题意设，，，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， 设，，， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 跟随训练2．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，若，，是的内半角，则________． (2)如图②，若，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当旋转的角度α为时，是的内半角 (3)秒；22.5秒；67.5秒 【分析】（1）先根据内半角的定义求出，从而可根据，利用求解； （2）先根据旋转的性质得出，从而可得，，再根据内半角的定义得出关于的方程求解即可； （3）分射线在内、射线在外部（有以下两种情况）三种情况讨论，分别求得旋转的时间． 【详解】（1）解：∵，是的内半角， ∴， ∵， ∴． （2）解：由旋转可知，， ∴， ， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：， 当旋转的角度α为时，是的内半角； （3）解：能，理由如下， 由旋转可知，；根据题意可分以下三种情况： ①当射线在内，如图④， 此时，，， 则是的内半角， ∴，即， 解得：（秒）； ②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，，， 则是的内半角， ∴，即， 解得：（秒）； 如图6，此时，，， 则是的内半角， ∴，即， 解得：（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；22.5秒；67.5秒． 【题型8 动点问题】 解题思路： 核心：明确动点的运动方向、运动速度、运动时间，用“路程=速度×时间”表示出动点运动的路程，再结合图形特点，找出线段长度之间的等量关系。 【典例8】．如图，在数轴上点A表示的数为、点B表示的数为，、满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为________，点B表示的数为________，线段的长为________． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，求点C在数轴上表示的数． (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，当点P移动到O点时，此时点Q从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q运动到点A时立即以原速返回向左运动，且当点P到达A点时，点P、Q都停止移动．设点P移动的时间为t秒，直接写出当t为多少时，P、Q两点相距2个单位长度？ 【答案】(1)40；；48 (2)或4 (3)为1秒或10秒或14秒或秒或22秒 【分析】本题考查整式的加减、一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程、掌握分类讨论思想方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，从而得到点A、点B表示的数； （2）设点C表示的数为，则、，根据列方程解答即可； （3）设经过秒后，点P表示的数为，点到达点A前表示的数为，点到达点A后向左运动表示的数为，分情况讨论，根据P、Q两点相距2个单位长度列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：、满足， ， 解得， 点A表示的数为40，点B表示的数为，线段的长为； （2）解：设点C表示的数为， 、， ， ， 或， 解得或， 因此，点C在数轴上表示的数为或4； （3）解：由题意得：点P从点B运动到点A需要的时间为秒，点P从点B运动到原点O需要的时间为秒，点Q从点B运动到点A需要的时间为秒，当点Q运动到点A时，秒， 设经过秒后，点P表示的数为，点到达点A前表示的数为，点到达点A后向左运动表示的数为， 当点、第一次相遇时，，解得秒， 点、第二次相遇时，解得秒， 分情况讨论： ①当时， 此时点表示的数为，点表示的数为， 由题意得：， 解得； ②当点、第一次相遇前，此时， 点表示的数为， 由题意得：， 解得； ③当点、第一次相遇后，第二次相遇前，此时， 由题意得：， 解得； ④当点到达点开始向左运动且与点第二次相遇前，此时， 点表示的数为， 由题意得：， 解得； ⑤当点到达点开始向左运动且与点第二次相遇后，此时， 由题意得：， 解得； 综上所述，当为1秒或10秒或14秒或秒或22秒时，P、Q两点相距2个单位长度． 跟随训练1．如图，点在数轴上表示的数分别是和，两动点同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿往返运动，回到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为． (1)当点到达点时，求点所表示的数是 ； (2)当时，求线段的长； (3)为何值时，两点重合； (4)当点从点向点运动时，用含的式子表示点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)或秒 (4)当时，距离为；当时，距离为． 【分析】（）根据两点之间的距离公式，两动点同时出发，根据时间路程速度，路程速度时间，列式计算即可求解； （）求出时，点的坐标，再根据两点间的距离公式可求线段的长； （）分两种情况讨论可求解； （）分两种情况讨论可求线段的长. 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵点在数轴上表示的数是， ∴， 故点所表示的数是； （2）解：时，的位置：，的位置：， ∴线段的长：； （3）解：分情况讨论：     ①从运动（）：位置，位置，     重合时，解得秒．         ②从运动（）：位置， 位置（到达的时间为秒，故）， 重合时，解得秒．   综上，或秒． （4）解：当从运动（），位置，位置， 距离．                当时，距离为；                 当时，距离为． 跟随训练2．定义：对于数轴上一点和一个非零常数，若存在点，使得点到原点的距离是点到原点距离的倍，且两点在原点两侧，我们就称点是点的“倍对称点”．特别地，我们规定原点的“倍对称点”为原点．例如，数轴上表示的点的“倍对称点”为表示的点，表示的点的“倍对称点”为表示的点． 已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点的“倍对称点”表示的数是___________；点的“倍对称点”和点之间的距离是___________． (2)①点表示的数是___________（用含的代数式表示）． ②当为何值时，点的“倍对称点”到点的距离是个单位长度． (3)已知点为点的“倍对称点”，点为点的“倍对称点”，那么在点运动过程中，是否存在某个或的值，使得点到原点的距离恰好等于它到点的距离？若存在，求或的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）根据“k倍对称点”的定义，先确定点A的“1倍对称点”表示的数，再利用数轴上两点间距离公式计算其与点B的距离． （2）①根据点的运动规律，用起始点表示的数加上运动速度乘以时间得到点M表示的数；②先求出点M的“2倍对称点”表示的数，再根据两点间距离为6列方程求解． （3）先根据定义分别表示出点、点表示的数，再根据点到原点的距离等于到点的距离列方程，分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，根据“1倍对称点”的定义，点A的“1倍对称点”到原点的距离是，且与点A在原点的两侧， ∴点的“1倍对称点”表示的数是． ∵点B表示的数为， ∴点A的“1倍对称点”和点B之间的距离是． （2）解：①∵点M从点A（表示的数为）出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒， ∴点M表示的数是． ②设点M的“2倍对称点”为点． 点M表示的数是，则点M到原点的距离为． ∵点是点M的“2倍对称点”，且、在原点两侧， ∴点表示的数为． ∵点到点A的距离是， ∴，即． 当时，，， 解得； 当时，，， 解得． ∴当为或时，点的“2倍对称点”到点的距离是6个单位长度； （3）解：由题意可得点表示的数为． ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为； ∵与在原点两侧，的绝对值为， ∴的绝对值为， ∵点为点的“倍对称点”， ∴表示的数为， ∴点到原点的距离为，点到点的距离为． 由， 分情况讨论： 当时，两边同时除以，得． （无解）或，解得． 当时，即，解得，此时点在原点，点也在原点，点也在原点，点到原点的距离为，到点的距离也为，符合条件． 综上，或． 【题型9 电费和水费问题】 解题思路： 核心：这类问题多为“分段计费”，明确分段节点和各段的计费标准，根据“总费用=各段费用之和”列方程。 【典例9】．某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)（5.4a－63） (3)6月份用水15吨，7月份用水25吨 【分析】（1）根据第一阶梯每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，第二阶梯10吨以上至20吨的部分收费标准是2.7元/吨列式计算即可； （2）根据三个阶梯的收费标准，列式化简即可； （3）设小华家6月份用水x吨， 7月份用水吨， 7月份用水量超过6月份，得，则,根据两月共交纳水费103.5元，分当时， 当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由表可知，每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，10吨以上至20吨的部分的收费标准为2.7元/吨， 小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费 （元）； 故答案为：31.5； （2）解：∵小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费， 第三阶梯20吨以上的部分收费标准为5.4元/吨， ∴ 故答案为：； （3）解：设小华家6月份用水x吨，则7月份用水吨， ∵7月份用水量超过6月份， ∴， 解得，则, 当时，， 解得，舍去； 当时，， 解得，符合题意， ∴， 答：小华家6月份，7月份各用水15吨、25吨． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用——阶梯收费，熟练掌握阶梯收费标准，列式计算，列一元一次方程计算，分类讨论，是解决本题的关键． 跟随训练1．居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（） 收费标准（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家年的年用水量为，水费为元，求的值； (3)若该城市某户居民年的年用水量为，这户居民的水费是多少元?（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)这户居民的水费为： 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用（分段计费问题），以及列代数式表示数． （1）根据小明家的年用水量所处的阶段，分段计费并计算费用总和． （2）根据小颖家的年用水量所处的阶段，分段计费并根据费用总和列一元一次方程，得到的值． （3）根据年用水量的范围分情况讨论，得到不同用水量阶段的用表达水费的代数式． 【详解】（1）解：∵小明家年用水量为，处于第二阶梯， ∴水费为：元​； 故答案为：； （2）解：小颖家年用水量为，跨越三个阶梯： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 第三阶梯：元， ∵总水费为元， ∴可列方程为， 解得：； ∴的值为； （3）解：根据年用水量的范围分情况讨论： 当时， 水费为， 当时， 水费​为， 当时，代入， 水费​为， ∴这户居民的水费为：． 跟随训练2．根据以下素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2025年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 素材3 如某用户2025年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2025年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2025年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 【答案】任务1：该用户12月份的污水处理费为17.1元；任务2：当时，应缴水费为4.3a元；当时，应缴水费为元；当时，应缴水费为元 【分析】本题考查了分段计费问题，需要根据不同用水量对应的收费标准，通过列方程来求解相关费用和用水量． 任务1：根据自来水费判断用水量所在区间，进而求出污水处理费； 任务2：根据不同的用水量范围列出相应的水费表达式． 【详解】解：任务1：∵， ∴12月份用水量超过14吨不超过21吨， 设该用户12月份的用水量为x吨， ， 解得， ∴（元）， 即该用户12月份需缴污水处理费17.1元； 任务2：当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元． 【题型10 比例分配】 解题思路： 核心：根据题目中的比例关系，设各部分量为含相同未知数的代数式，再结合“各部分量之和=总数量”列方程。 【典例10】．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 跟随训练1．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 【答案】(1)1200千米 (2)两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时 (3)小张出发了3或小时 【分析】（1）设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米，根据题意，列出方程，求解即可； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时，根据题意，列出方程，求解即可； （3）设小张出发了m小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米， 依题意得：， 解得， 所以A，B两地的距离为千米； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时， 依题意可得：， 解得， ，， 所以两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时； （3）设小张出发了m小时， 由题意可得：， 整理得， 则或， 解得或， 所以小张出发了3或小时． 跟随训练2．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【答案】(1)有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐 (2)①；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找出等量关系是解题的关键． （1）设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，根据采摘的数量等于分拣装筐的数量列方程即可； （2）①根据题意列代数式并化简即可； ②根据两种购买方案的费用一样建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，由题意得 解得， ， 答：有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐； （2）①方案一：（元）， 方案二：（元）； ②由题意得 解得． 【题型11 日历问题】 解题思路： 核心：掌握日历的排列规律（同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，斜向相邻数相差6或8），利用“三个相邻数的和=中间数×3”或“相邻数的和差关系”列方程。 【典例11】．如图是2026年1月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为，，a，，． (1)若，则 ；若，则   （用含x的式子表示）； (2)在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为111，你同意他的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为，，b，，，且，则代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)9， (2)小胖的说法不正确；理由见解析 (3)代数式的值是定值，18． 【分析】（1）利用及，即可求出的值及用含x的代数式表示出的值； （2）不同意小胖的说法，假设被框住的5个数字之和能为111，根据5个数字之和为111，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再结合图形可得出不符合题意，进而可得出假设不成立，即小胖的说法不正确； （3）代数式的值是定值，根据各数之间的关系，用含a的代数式表示出b，，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：若，则； 若，则． （2）解：不同意小胖的说法，理由如下： 假设被框住的5个数字之和能为111， 根据题意得， 解得：， 由图知，25在最后一行的最左边， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即小胖的说法不正确； （3）解：代数式的值是定值，理由： 根据题意得：，，， ∴， ∴代数式的值是定值，该定值为18． 跟随训练1．如图1，是2026年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为_________；（用含的式子表示） ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为_________．（用含的式子表示） (2)①用图2框出图1中的3个数，则这3个数的和最大为_________； ②能否用图3框出图1中的5个数，使这5个数的和是90，若能，求这5个数分别是多少？若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①72；②不能；理由见解析 【分析】（1）①利用右边的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出右边的数； ②利用下面的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出下面的数； （2）①设中间的数为，则另外两个数分别为，，将个数相加，可得出这3个数的和为3a，对照图1，可得出a的最大值为24，将其代入3a中，即可求出结论； ②设中间的数为b，则另外4个数分别为，，，，根据题意可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合图1，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：①若中间的数为，那么右边的数为； ②若中间的数为，那么下面的数为． （2）解：①设中间的数为a，则另外两个数分别为，， ∴个数的和为， 观察图可知，的最大值为， ∴， ∴这个数的和最大为； ②设中间的数为b，则另外4个数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 观察图可知，18在边上， ∴无法框出这样的5个数，使这5个数的和为90． 跟随训练2．如图1是某年7月的日历，用一平行四边形框在表中任意框住4个数． (1)若框住4个数的和为74，求出框住4个数中最大数； (2)能否用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数，它们的和等于94？若能，则求框出的最小数，若不能，说明理由． (3)如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d，平行四边形在不同的位置时，代数式的值是否发生变化，若变化说明变化规律，若不变化求出该值． 【答案】(1)框住4个数中最大数为 (2)不能，理由见解析 (3)代数式的值不发生变化，始终为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及整式加减的应用； （1）观察图形，根据各数之间的关系，设框出的4个数中最小的数为x，用含x的代数式表示出另外三个数，得出方程，进而解方程即可； （2）设框出的4个数中最小的数为x，用含的代数式表示出另外三个数，得出方程，进而解方程即可； （3）先求出，代入代数式求出结果，即可得出结论． 【详解】（1）解：设框出的4个数中最小的数为x，则另外三个数分别为， ， 解得：， 则框住4个数中最大数为． （2）解：假设框出的4个数中最小的数为x，则另外三个数分别为， ， 解得：， ∵数20已经在该行的最左边， 则它的左下角不存在数， 故不能框出这样的4个数，它们的和等于94； （3）解：代数式的值不发生变化，始终为，理由如下： 如图2，用平行四边形框在该日历中框出这样的4个数为a、b、c、d， 则， ， 则代数式的值不发生变化，始终为． 【题型12 古代问题】 解题思路： 核心：先将文言表述的题目转化为现代汉语，理解题意，再找出题目中的已知量、未知量和等量关系，转化为一元一次方程问题。 【典例12】．《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“现在有若干人乘车，若每3个人坐一辆车，会空出2辆车；若每2个人坐一辆车，会有9个人没有车坐，只能步行．请问总人数和车辆数各是多少？” 【答案】总人数为39人，车辆数为15辆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．是一个典型的古代数学应用题，可通过设未知数，根据两种乘车方式下人数不变的关系来建立方程求解． 【详解】解：设车辆数为辆， 则， 解得， 总人数为（人）， 答：总人数为39人，车辆数为15辆． 跟随训练1．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 【答案】 井深8尺，绳长36尺 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是抓住绳长固定不变这一等量关系列出方程求解． 【详解】解：设井深为尺， ∴， 解得，， ∴井深为尺，绳长为（尺）， 答：井深8尺，绳长36尺． 跟随训练2．《九章算术》“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数，鸡价各几何？” 题目大意：几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出钱；若每人出6钱，则还少了钱．合伙人数、鸡价各是多少？ 以下是智慧小组的部分分析过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 先寻找问题中涉及到的量和等量关系，然后设未知数，设合伙人数为人，再表示其他未知量，根据等量关系：________，列出方程． 发现两次的合伙人数是不变的，所以可以设鸡价为y钱，列出方程________． 任务： (1)请你将上述分析过程的空白补充完整； (2)选择其中一种方法解决以上“盈不足”问题． 【答案】(1)鸡价相等； (2)合伙人数为9人，鸡价为钱 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． （1）根据和表示的含义，即可求解；根据鸡的价格为y钱，用含有y的式子将两次的人数分别表示出来，即可求解； （2）根据（1）中的方程，解方程，求出人数和鸡价，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知和都表示的是鸡的价格， 等量关系为鸡价相等， 根据鸡的价格为y钱，根据题意可得． （2）解：方法一，， 解得， ， 故合伙人数为9人，鸡价为钱； 方法二，， 解这个方程，得， ， 故合伙人数为9人，鸡价为钱． 答：合伙人数为9人，鸡价为钱． 【题型13 其他问题】 解题思路： 核心：这类问题不局限于上述12类，多为生活中的实际场景（如行程问题、浓度问题、年龄问题等），核心是找准等量关系，按照列一元一次方程解决实际问题的基本步骤解题。 【典例13】．编织大、小两种中国结共个．已知编织个大号中国结需用绳，编织个小号中国结需用绳．设编织了大中国结个． (1)编织大中国结共需用绳______，编织小中国结共需用绳______．（用含的式子表示） (2)若编织大、小两种中国结总计用绳，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（）根据编织个大号中国结需用绳，进而得出个大中国结需用绳子的总长，再表示出小中国结的个数为，进而得出小中国结需用的绳子长； （）根据绳子长的和为列出一元一次方程，求出解即可. 【详解】（1）解：大中国结共需用绳， 小中国结共需用绳； （2）解：根据题意，得， 解得． 答：的值为． 跟随训练1．如图所示，用棋子摆成的“上”字： 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： (1)第四、第五个“上”字分别需用__________和__________枚棋子． (2)第n个“上”字需用__________枚棋子． (3)如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？ 【答案】(1)18，22 (2) (3)第25个上字共有102枚棋子 【分析】（1）根据图形即可求解； （2）找出规律求解即可； （3）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵第一个“上”字需用棋子枚； 第二个“上”字需用棋子枚； 第三个“上”字需用棋子枚； ∴第四个“上”字需用棋子枚， 第五个“上”字需用棋子枚； （2）解：由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子枚； （3）解：根据题意，得：， 解得：， 答：第25个上字共有102枚棋子． 跟随训练2．某活动小组需要准备A，B两种材料（均为整千克数），其中A材料每千克80元，B材料每千克120元．小组共有活动经费20000元，其中用来购买这两种材料的经费占，经过研究：需要A，B两种材料共20千克，且用来购买这两种材料的经费需要全部用完． (1)请你帮助设计购买方案（枚举法）． A/千克 B/千克 总费用/元 1 1 19 2360 2 2 18 2320 3 4 （表格不够可以添加） 通过列表，选择第 种方案符合要求． (2)小组在小结反思时，觉得通过列表枚举的方法设计购买方案太烦琐，小组成员经过研究，建立了一个方程模型，并供其他小组参考： ①设购买材料总费用是n元，材料总量为m千克，购买A材料x千克．则有方程： ； ②利用（1）中表格的数据，请选择一些n，m的具体数值，验证方程模型是否正确． 【答案】(1)列表见解析；10 (2)①；②见解析；方程模型正确 【分析】（1）根据题意列出表格，计算即可得出结果； （2）①购买B材料千克．再结合购买材料总费用是n元，A材料每千克80元，B材料每千克120元，即可得出结果；②分两种情况：设材料总费用，材料总质量千克；设材料总费用，材料总质量千克，分别代入①中的方程计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得： A/千克 B/千克 总费用/元 1 1 19 2360 2 2 18 2320 3 3 17 2280 4 4 16 2240 5 5 15 2200 6 6 14 2160 7 7 13 2120 8 8 12 2080 9 9 11 2040 10 10 10 2000 ∵， ∴第10种方案符合要求； （2）解：①∵材料总量为m千克，购买A材料x千克， ∴购买B材料千克． ∵购买材料总费用是n元，A材料每千克80元，B材料每千克120元． ∴． 故答案为：； ②设材料总费用，材料总质量千克，代入①中的方程得： ， 解得：． ∴．符合第9种方案． 设材料总费用，材料总质量千克，代入①中的方程得： ， 解得：， ∴，符合第3种方案． ∴方程模型正确． 05 过关•检测 1．某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 【详解】解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 2．春节将至，某工艺品店用红纸制作春联和福字两种装饰品，副春联和个福字配成一套销售，该工艺品店共有红纸张，一张红纸能制作幅春联或制作个福字，应该怎样分配红纸才能使制作的春联和福字刚好配套？若设分配张红纸制作春联，则依题意可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分配张红纸制作春联，则剩下张红纸用于制作福字，一共能制作幅春联，个福字，根据题意可得，化简得到所求方程． 【详解】解：根据题意，可列方程． 3．为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．工作效率 = 总工作量÷单独完成时间，因此把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲、乙两组合作了2小时后，剩下的任务由乙组单独完成，”列出方程并解答． 【详解】 解：设乙单独完成剩下的任务还需要小时，由题意得 ， 故选：D ． 4．有这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多三尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长、井深各几何？”题意：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳三尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设绳子长为x尺，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设绳长为尺，根据井深长度保持不变的等量关系，即可列出一元一次方程． 【详解】解：∵设绳子长为尺，将绳子折成三等份时，每等份长度为，每等份井外余绳尺， ∴井深可表示为， 同理，将绳子折成四等份时，每等份长度为，每等份井外余绳尺， ∴井深可表示为， ∵井深固定不变， ∴． 5．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文a，b，c对应的密文，，．例如：明文1，2，3，对应的密文为2，7，11．如果接收方收到密文7，21，17，那么解密得到的明文为（   ） A．6，5，9 B．6，9，5 C．6，7，5 D．6，7，8 【答案】B 【分析】根据给定加密规则，结合接收的密文建立一元一次方程，依次求解即可得到明文，用到一元一次方程求解的知识点． 【详解】解：∵已知加密规则为：明文a，b，c对应的密文为，，，接收密文为7，21，17． ∴，解得． ，移项得，解得． ，移项得，解得． ∴解密得到的明文为6，9，5， 故选：B． 6．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为46，则这9个数的和为（   ） A．69 B．84 C．126 D．207 【答案】D 【分析】设最小的数是x，根据图中规律可知最大数与最小数的差是16，利用最大数与最小数的和是46列方程即可求出最小的数，即可求出这9个数的和． 【详解】设最小的数是x，则最大的数是， 所以， 解得：， 所以这9个数的和是207． 7．某商品按原价提高后标价，又以9折卖出，售价为216元．设原价为x元，可列方程：_______． 【答案】 【分析】先理解题意找出题中存在的等量关系：原价售价元，根据此列方程即可． 【详解】解：设该商品的原价为元，原价提高后的标价为，再以折销售表示为，又因售价为元， 故列方程为：． 8．若一个角的余角比这个角的补角的还小，则这个角的度数是______． 【答案】 【详解】解：设这个角为，依题意得， 解得： 9．在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为7，若C为线段上的一点，P从C出发，以每秒3个单位长度的速度，先向A运动，到达A之后再以原速向右运动．若在运动过程中，当运动时间为时，满足，则C在数轴上表示的数为______． 【答案】6或2 【分析】设C表示的数为c，且，则，当点P未到达A时，点P表示的数为，易得，易得求解即可；当点P到达A之后再以原速向右运动时，根据运动关系可得点P表示的数为：，再表示出，易得，再分两种情况可求得,进而完成解答． 【详解】解：设C表示的数为c，且，则， 当点P未到达A时，点P表示的数为， ∴， ∵， ∴，解得：，符合题意； 当点P到达A之后再以原速向右运动时，点P表示的数为：， ∴， 当，即时，有，该方程无解； 当，即时，有，解得：，符合题意； 综上，点C表示的数为6或2． 10．西汉丞相张苍是阳武县（今河南省原阳县）人，由他和耿寿昌所编著的《九章算术》对中国乃至世界数学的发展做出了重大的贡献．其中卷七记载：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，有以为法．以善行者之一百步，乘不善行者先行一百步，为实．实如法得一步．译文：现有走路快的人走步，走路不快的人走步（同时出发），现在让走路不快的人先走步后，走路快的人去追．设走路快的人走步才能够追到，根据题意列方程为______． 【答案】 【分析】利用追及时两人运动时间相等，结合题目给出的相同时间内两人的步数关系得到速度关系，即可列出方程． 【详解】解：由题意得，相同时间内走路快的人与走路不快的人所走步数比为， 即两人的速度比为， 设走路快的人走步追上走路不快的人， 追及过程中两人运动时间相等， 走路快的人走步，走路不快的人在追及过程中一共走了步， 可得方程：． 11．对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 【答案】 【分析】本题考查新定义题型． 根据“博文数”的定义列出关于和的等式，由“博文数”的定义可得∶ 十位数字是千位数字的倍， 即，个位数字比百位数字多， 即，由此求出，的值， 验证条件后即可得到所求四位数． 【详解】解∶ 根据题意， 四位自然数是“博文数”， ，， 解得， ， 因此这个数是，符合“博文数”的定义． 12．如图，根据图中的信息，可列方程为______________________________． 【答案】 【分析】根据体积相等，结合圆柱体积公式列出方程． 【详解】解：根据圆柱体积公式，容器内原来有水，加入小球后总体积为， 由体积相等，可列方程：． 13．甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，共用20天完成任务，求两人合作的天数． 【答案】两人合作的天数为15天 【分析】设乙每天加工x个零件，则甲每天加工个零件，根据题意列方程求出x，再设两人合作的天数为y天，则乙单独完成的天数为天，进而根据题意列出方程，求解即可得到解答． 【详解】解：设乙每天加工x个零件，则甲每天加工个零件， 由题意得， 解得， ∴乙每天加工15个，甲每天加工个， 设两人合作的天数为y天，则乙单独完成的天数为天． ∵两人合作每天加工35个， ∴y天共加工个 ∵乙单独每天加工15个， ∴天共加工个 由题意得， 解得， ∴两人合作的天数为15天． 14．在综合实践活动课上老师要求用长方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个正方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）： A方法：剪6个侧面 B方法：剪3个侧面和5个底面 现有21张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． (1)用含的代数式分别表示：裁剪出的侧面的个数是___________，裁剪出的底面的个数是___________．（要求：代数式要化为最简形式） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)， (2)30 【分析】（1）由张用方法，有张用方法，分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解． 【详解】（1）解：裁剪时张用方法，则裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； （2）解：由题意得：， 解得：， 盒子的个数为：， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 15．某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 【答案】(1)540件 (2)21天 (3)选方案三 【分析】（1）设这批智能手表共有x件，根据“A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天”列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列一元一次方程，解方程即可求解； （3）应分为三种情况讨论：①由A厂单独完成；②由B厂单独完成；③按（2）问方式完成，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出既省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：设这批智能手表共有x件，根据题意列方程得， ， 解得：． 答：这批智能手表共有540件； （2）解：设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列方程得， ， 解得：． 所以，（天）． 答：B厂共生产智能手表21天； （3）解：方案一：A厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案二：B厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案三：A厂工作9天，B厂工作21天，时间为21天，费用为元． 比较时间：；比较费用：． 所以，方案三既省时又省钱． 16．自“苏超”足球比赛开赛以来，带动了当地城市旅游热，某市对来该市观看足球比赛的球迷推出如下优惠措施： 景点A 景点B 景点C 平时 8折 比赛周 8折 免费 6折 (1)若A，B，C三处景点门票原价分别为a元，b元和c元，某球迷在比赛周游览三处景点门票共花费多少元？相比平时游览A，B，C三处景点门票共优惠多少元？（用代数式表示） (2)若比赛周该球迷游览景点B和景点C门票共花费72元，比平时节省104元，求b，c的值． 【答案】(1)元，元 (2) 【分析】（1）根据价格优惠分别计算平时的费用以及比赛周的费用，由此计算即可； （2）根据已知条件列式求解即可． 【详解】（1）解：门票原价总共为元，平时实际支付费用为元， 比赛周支付费用为元， 比平时游览优惠了元． （2）解：∵游览景点B和景点C门票共花费72元， ∴，解得元， ∵平时游览B、C两景点的费用为元， ∴节省费用为元， ∵比平时节省104元， ∴，即， 解得元， 综上，． 17．小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 【答案】(1)170元 (2)“分档”计算电费：，“分档+分时”计算电费： (3)倍 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意，分和两种情况“分档”计算电费分别列出代数式即可，由峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，根据“分档+分时”计算电费列出代数式即可； （3）根据电费为元，利用计费方式一确定用电量，设峰时段用电量为y，由采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，即峰时段增加的电费谷时段减少的电费，列出方程求解y的值，进而求出该月峰时段的用电量和谷时段的用电量，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： （元）， 答：1月份应缴电费170元； （2）解：， 当时，则“分档”计算电费：； 当时，则“分档”计算电费：， “分档”计算电费：， 峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是， 当时，则“分档+分时”计算电费：； 当时，则“分档+分时”计算电费：， “分档+分时”计算电费：； （3）解：（元），（元），（元），， （度）， 小阳同学家在这个月的用电量为：（度）， 设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度， 由题意得：， 解得：， 则（度）， ， 答：该月峰时段的用电量是谷时段的倍． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $