第四章检测卷 三角形 单元检测 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性． 故选：C． 2．（本题3分）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【详解】解：根据“”可证第②个三角形和全等， 根据“”可证第③个三角形和全等， 故选：B． 3．（本题3分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，他带其中的一块去玻璃店，配了一块与原来一样大小的三角形玻璃．他带的是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键在于掌握判定定理．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的. 故选：B． 4．（本题3分）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 5．（本题3分）如图，小朋用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．任意一点 【答案】A 【分析】此题考查了三角形重心这一知识点，由题意可知支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故选： A． 6．（本题3分）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 7．（本题3分）如图，中边上的高、中边上的高、中边上的高分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点引对边的垂线，顶点与垂足形成的线段，叫做三角形的高，据此进行判断即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴是中边上的高，是中边上的高，是中边上的高； 故选C． 8．（本题3分）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键． 根据有一个是直角的三角形是直角三角形，找出图中的直角三角形即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以是直角三角形． 因为是边上的高， 所以， 所以都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 9．（本题3分）如图，已知，．若要使，则需再添加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，结合已知条件对每个选项进行分析即可． 【详解】解：A．  虽然有两组边，，以及，但“边边角”不能判定两个三角形全等，故该选项不符合题意； B．因为，根据两直线平行，同位角相等，可得． 在和中，，根据全等三角形判定定理“边角边”，可以判定，故该选项符合题意； C．已知，增加条件，只能得到，无法得到能判定的条件，故该选项不符合题意； D．因为，根据两直线平行，同位角相等，可得． 在和中，虽然有，和 ，但“边边角”不能判定两个三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：B． 10．（本题3分）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）下列四种说法中正确的是 （请填写正确的说法序号）． ①同位角相等 ②三角形的中线、高线、角平分线都是线段 ③三角形的外角大于它的任何一个内角 ④一个三角形中至少有两个角为锐角 【答案】②④/④② 【分析】利用平行线的性质，三角形的中线、高线、角平分线的定义，三角形的内角、外角间的关系分析即可． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故原说法错误； ②三角形的中线、高线、角平分线都是线段，故正确； ③三角形的外角大于和它不相邻的内角，故原说法错误； ④一个三角形中至少有两个角为锐角，故正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的中线、高线、角平分线的定义，平行线的性质，掌握相关定义以及性质是解题的关键． 12．（本题3分）设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【答案】13或11 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法． 先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 分两种情况： （1）当3为底边长时，腰长为5， ，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为3， ，能组成三角形． 此时三角形的周长为； 综上可知，此三角形的周长为13或11． 故答案为：13或11． 13．（本题3分）如图，，，则，应用的判定方法是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定定理，发现隐含条件（公共边相等）是解题的关键． 直接根据三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，则，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；连接，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴A、B间的距离可以是5、6、7等等； 故答案为：5（答案不唯一）． 16．（本题3分）将一副直角三角板如图放置．已知，当时，的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，对顶角的性质．证明，可得结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题8分）如下图，已知，写出该组全等三角形的对应边和剩余的对应角． 【答案】该组全等三角形的对应边为与与与，剩余的对应角为与． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可作答． 【详解】解：∵， ∴该组全等三角形的对应边为与与与，剩余的对应角为与． 18．（本题8分）完成下列说理过程： 如图，直线与相交于点O，平分，，，求的度数． 解：因为（________），（已知）． 所以________．（等量代换）． 因为OE平分（已知）． 所以________________．（角平分线的定义） 因为（________）． 所以________．（垂直的定义）． 所以________________________． 【答案】对顶角相等；；；；已知；；垂线的定义；；； 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，垂线．熟练掌握对顶角相等，角平分线，垂线是解题的关键．根据对顶角相等，角平分线的定义，垂线的定义按照步骤求解作答即可． 【详解】解：因为（对顶角相等），（已知）， 所以（等量代换）， 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）， 因为（已知）， 所以（垂线的定义） 所以 ． 故答案为：对顶角相等；；；；已知；；垂线的定义；；；． 19．（本题8分）如图，． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）直接根据已知条件判定三角形全等即可； （2）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即的长为9． 20．（本题8分）如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 【答案】这个三角形的周长为或 【分析】本题考查了三角形的三边关系，求不等式的整数解，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为， ∴， ∴， ∵x为偶数， ∴或， 当时，这个三角形的周长是：； 当时，这个三角形的周长是：； 综上，这个三角形的周长为或． 21．（本题8分）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【答案】选择的三个条件是①②③或①③④，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 22．（本题10分）如图，是的角平分线，，求证：． 【答案】见解析 【分析】在 AB 上取 AE = AC ，然后证明≌，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可． 【详解】证明：如解图，在上截取，连接， ∵ 是的角平分线， ∴ ． 在和中， ∴ ≌． ∴ ． ∵在中，， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．（本题10分）如图，已知和均为直角三角形，于点． (1)试说明：； (2)连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和角的运算，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题得关键． （1）先求出，再根据判定三角形全等即可； （2）由，得，可求得，由平分，求得，根据角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：（1）因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 在和中，， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以， 因为平分，所以， 所以， 所以． 24．（本题12分）【问题呈现】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点C，使，这样的点C有____________个，说明符合条件的三角形有____________种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形____________全等； 【拓展思考】如图2，已知，若且，那么一定是____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】[问题探究]2，2，不一定；[拓展思考]钝角 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： [问题探究]根据全等三角形的几种判定方法解答即可；[拓展思考]根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：[问题探究] 如图，这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等； [拓展思考] ∵是钝角三角形，， ∴一定是钝角三角形； 故答案为：[问题探究]2，2，不一定；[拓展思考]钝角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 2．（本题3分）如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（    ） A．①和②； B．②和③； C．①和③； D．只有②． 3．（本题3分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块，他带其中的一块去玻璃店，配了一块与原来一样大小的三角形玻璃．他带的是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 4．（本题3分）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，小朋用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．任意一点 6．（本题3分）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，中边上的高、中边上的高、中边上的高分别是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（本题3分）如图，已知，．若要使，则需再添加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）下列四种说法中正确的是 （请填写正确的说法序号）． ①同位角相等 ②三角形的中线、高线、角平分线都是线段 ③三角形的外角大于它的任何一个内角 ④一个三角形中至少有两个角为锐角 12．（本题3分）设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 13．（本题3分）如图，，，则，应用的判定方法是 ． 14．（本题3分）如图，，则的度数为 ． 15．（本题3分）如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，则池塘两岸A，间的距离可以是 （答案不唯一，写出一个即可）． 16．（本题3分）将一副直角三角板如图放置．已知，当时，的度数为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题8分）如下图，已知，写出该组全等三角形的对应边和剩余的对应角． 18．（本题8分）完成下列说理过程： 如图，直线与相交于点O，平分，，，求的度数． 解：因为（________），（已知）． 所以________．（等量代换）． 因为OE平分（已知）． 所以________________．（角平分线的定义） 因为（________）． 所以________．（垂直的定义）． 所以________________________． 19．（本题8分）如图，． (1)试说明：； (2)求的长． 20．（本题8分）如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 21．（本题8分）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 22．（本题10分）如图，是的角平分线，，求证：． 23．（本题10分）如图，已知和均为直角三角形，于点． (1)试说明：； (2)连接，若平分，求的度数． 24．（本题12分）【问题呈现】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点C，使，这样的点C有____________个，说明符合条件的三角形有____________种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形____________全等； 【拓展思考】如图2，已知，若且，那么一定是____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$