精品解析：广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段考试数学试题

培英高级中学2024-2025学年度高一第二学期3月阶段考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接用向量加减法容易得解． 【详解】解：． 故选：． 【点睛】本题考查了向量加减法，属于基础题． 2. 已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再由三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以，解得， 所以. 故选：A. 3. 已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. A，O，C三点共线 C. A，B，C三点共线 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算判断AD，根据共线向量得三点共线判断BC． 【详解】由题意， 所以，A错误； 因为，，所以， 所以三点共线，B正确； 又，而，所以不共线，从而三点不共线，C错； ，D错误， 故选：B． 4. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，，可得且， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，利用诱导公式转化为，再利用二倍角公式求解. 【详解】因为， 所以， ， ， 故选：A 6. 已知平面上三点不共线，是不同于的任意一点，若，则是(　　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：,所以 是等腰三角形，故选A. 考点：1.向量的几何运算；2.向量数量积的几何意义. 7. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则＝（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算和数量积运算计算即可. 【详解】解：由题意可知，， 故选：B． 8. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，进而根据题意得在上单调递增，且，进而得，再解不等式即可得答案. 【详解】， 因，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即. 因为， 所以，函数在上单调增， 等价于或， 所以，解不等式得或，所以，的取值范围是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. (多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ） A. sin(－x)＝sinx B. sin＝cosx C. cos＝－sinx D. cos(x－π)＝－cosx 【答案】CD 【解析】 【分析】根据诱导公式即可判断. 【详解】解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立； sin＝－cosx，故B不成立； cos＝－sinx，故C成立； cos(x－π)＝－cosx，故D成立. 故选：CD 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，需熟记公式，属于基础题. 10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可. 【详解】对于A,所在的扇形的圆心角分别为, 所以，故A正确； 对于B，若，则，又， 则，故B错误； 对于C，若， 所以，故C正确； 对于D,若，，又， 所以， 故D正确， 故选：ACD. 11. 已知向量、、都是单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 与共线 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则， 所以，A对； 对于B选项，在等式两边平方可得， 即，则，则， 所以，故，B错； 对于C选项，因为，则， 所以，， 所以 ，故，C对； 对于D选项，， 若与共线，则存在，使得， 即，可得，即， 这与矛盾，假设不成立，D错 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的坐标运算以及模长公式可直接求得答案. 【详解】由题意得，所以， 故答案为：. 13. 函数（，）在一个周期内如图所示，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求出的值． 【详解】根据函数（，）在一个周期内的图像， 可得解得， 再根据最高点的坐标，可得, 结合的范围，可得，所以， 所以， 故选： 14. 已知，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知切化弦结合二倍角公式，化简即可得出.进而根据角的范围得出，整理推得，求解即可得出答案. 【详解】由， 可得， 即. 由于，故，则， 所以有，则， 所以有，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合向量垂直的表示及向量坐标运算公式列方程求，再由向量的模的坐标公式求结论； （2）由条件，结合向量平行的坐标表示列方程求，由此可得，再求，，，再由向量夹角坐标公式求结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，又，， 所以， 所以， 所以， 所以， 即； 【小问2详解】 因为，，， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得； （2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得. 【小问1详解】 因为， 令，解得， 则的单调递增区间是； 【小问2详解】 因为， 将的图象向右平移个单位长度， 可得． 因为，所以， 所以，则， 即在区间内的值域为． 17. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟. （1）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； （2）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （2）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（， ）， 依题意可得，， ． 依题意，， 当时，，且位于递增区间，所以可取， ． 【小问2详解】 令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 18. 在三角形中，，D线段上一点，且，F为线段上一点． （1）若，求的值； （2）求的取值范围； 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，从而可求出的值，进而可求得的值； （2）根据题意先求出，设，再由平面向量数量积运算，即可求得结果 【详解】解：（1）因为，所以， 得， 因为，所以， 所以， （2）因为在三角形中，， 所以， 所以， ，由题意得， 所以， ， 因为，所以， 所以的取值范围为 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接代入公式即可得到答案； （2）计算得，从而，再展开计算即可证明； （3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可. 【小问1详解】 因为向量 所以 所以. 【小问2详解】 因为. 所以 . . ，所以. 【小问3详解】 方法一：， ， 由（2）可得， 又因为 ，即， 可得， 且在内单调递减，， 可知， 所以. 所以 方法二:设， ， 因为， ， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是证明出，从而得到两向量夹角相等，最后再利用三角形面积公式即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培英高级中学2024-2025学年度高一第二学期3月阶段考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. A，O，C三点共线 C. A，B，C三点共线 D. 4. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面上三点不共线，是不同于任意一点，若，则是(　　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 7. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则＝（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. (多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ） A. sin(－x)＝sinx B. sin＝cosx C. cos＝－sinx D. cos(x－π)＝－cosx 10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 11. 已知向量、、都是单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 与共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则________. 13. 函数（，）在一个周期内的如图所示，则______. 14. 已知，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 16. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 17. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟. （1）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； （2）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 18. 在三角形中，，D线段上一点，且，F为线段上一点． （1）若，求的值； （2）求取值范围； 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$