压轴题1 二次函数综合题-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·辽宁数学 　 　 　 　 　 　 　 　 四、辽宁中考培优———突破双压轴解答题 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 压轴题一　 二次函数综合题 题型解读:编者深研辽宁各地市近 5 年真题,在关注全国新中考考改发达省市命题的同时, 立足辽宁中考,精选全国各地优质好题供考生练习备考,现结合 2024 辽宁中考真题及 2024 辽宁省模考卷、省样卷对函数综合题划分为以下 4 个类型:函数的实际应用(多考查二次函 数的实际应用)、新定义函数综合(如:2024 辽宁 23 题,省模考卷 23 题)、函数综合探究题 (如:2024 省样卷 22 题)、二次函数与几何综合题(2023 年各地市压轴题) . 类型 1　 二次函数的实际应用(真卷 19 题) 1. [2024 兰州]在校园科技节期间,科普员为同学们进行了水火箭的发射表演,图①是某型号 水火箭的实物图,水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线. 为了解水火箭的相 关性能,同学们进一步展开研究. 如图②建立直角坐标系. 水火箭发射后落在水平地面 A 处. 科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时,从发射到着陆过程中,水火箭距离 地面 OA 的竖直高度 y(m)与离发射点 O 的水平距离 x(m)的几组关系数据如下: 水平距离 x(m) 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 y(m) 0 3. 24 4. 16 8 9 8 7. 04 3. 24 (1)根据上表,请确定抛物线的表达式; (2)请计算当水火箭飞行至离发射点 O 的水平距离为 5 m 时,水火箭距离地面的竖直 高度. 第 1 题图 (2)由题意,结合(1)中 y=- 1 25 (x-15) 2+9, 令 x=5,则 y=- 1 25 (5-15) 2+9=5. ∴水火箭距离地面的竖直高度为 5 m. 83 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 2. [2024 铁岭月考]根据以下素材,完成探索任务. 【问题提出】根据以下提供的素材,在总费用(新墙的建筑费用与门的价格之和)不高于 5 900 元的情况下,如何设计最大饲养室面积的方案? 素材一　 如图是某农场拟建两间矩形饲养室,饲养室的一面靠现有 16 m 长的墙,中间用 一道墙隔开,计划中建筑材料可建围墙的总长为 22 m,开两个门,且门宽均为 1 m. 素材二　 每个门的价格为 250 元. 素材三　 与现有墙平行方向的墙建筑费用为 300 元 /米,与现有墙垂直方向的墙建筑费 用为 200 元 /米. 【问题解决】 任务 1　 设 AB= x m,矩形 ABCD 的面积为 S,求 S 关于 x 的函数表达式; 任务 2　 探究自变量 x 的取值范围; 任务 3　 确定设计方案. 当 AB = 　 　 　 　 m,BC = 　 　 　 　 m 时,S 的最大值为　 　 　 　 m2 . (直接填写结果) 第 2 题图 解:任务 1:根据题意,得 BC=22+2-3x=(24-3x) m, ∴S=AB·BC=x(24-3x)= -3x2+24x; 任务 2:由题意,得 1<BC≤16, 即 1<24-3x≤16,解得 8 3 ≤x<23 3 , 根据题意可得:新墙建筑费用为 200(3x-1)+300(24-3x-1)= (6 700-300x)元, 则总费用为 6 700-300x+250×2=(7 200-300x)元. ∵总费用不高于 5 900 元,∴7 200-300x≤5 900, 解得 x≥13 3 ,∴13 3 ≤x<23 3 ; 任务 3:13 3 ,11,47 2 3 . 【解法提示】由任务 1 知 S=-3x2+24x=-3(x-4) 2+48, ∵-3<0,∴图象开口向下,且 4<13 3 <23 3 , ∴当 x=13 3 时,面积 S 有最大值,最大值为 47 2 3 , 此时 BC=24-3×13 3 =11(m), ∴设计方案是 AB=13 3 m,BC=11 m,S 的最大值为 47 2 3 m2 . 93 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 3. [2024 盐城]请根据以下素材,完成探究任务. 制定加工方案 生产 背景 背景 1 ◆某民族服装厂安排70 名工人加工一批夏季服装,有“风”“雅”“正”三种样式 . ◆因工艺需要,每位工人每天可加工且只能加工“风”服装 2 件,或“雅”服装1 件, 或“正”服装1 件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10 件,“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景 2 每天加工的服装都能销售出去,扣除各种成本,服装厂的获利情况为: ①“风”服装:24 元 / 件; ②“正”服装:48 元 / 件; ③“雅”服装:当每天加工 10 件时,每件获利 100 元;如果每天多加工 1 件, 那么平均每件获利将减少 2 元. 信息整理 现安排 x 名工人加工“雅”服装,y 名工人加工“风”服装,列表如下: 服装种类 加工人数(人) 每人每天加工量(件) 平均每件获利(元) 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究 任务 任务 1 探寻变量关系 求 x,y 之间的数量关系. 任务 2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为 w 元,求 w 关于 x 的函数表达式. 任务 3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案. 解:任务 1:根据题意,安排 70 名工人加工一批夏季服装, ∵安排 x 名工人加工“雅”服装,y 名工人加工“风”服装, ∴加工“正”服装的有(70-x-y)人, ∵每天加工“正”服装总件数和“风”服装相等,∴ (70-x-y)×1=2y,整理得 y=- 1 3 x+70 3 ; 任务 2:根据题意,得“雅”服装每天获利 x[100-2(x-10)]元, ∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)], 整理得 w=(-16x+1 120)+(-32x+2 240)+(-2x2+120x)= -2x2+72x+3 360(x≥10); 任务 3:由任务 2 得 w=-2x2+72x+3 360=-2(x-18) 2+4 008(x≥10), ∴当 x=18 时,y=- 1 3 ×18+70 3 = 52 3 ,不符合题意,∴ x≠18, ∵图象开口向下,∴取 x=17 或 x=19, 当 x=17 时,y=53 3 ,不符合题意;当 x=19 时,y=51 3 =17,符合题意;∴70-x-y=34. 综上,安排 19 名工人加工“雅”服装,17 名工人加工“风”服装,34 名工人加工“正”服装,即可使每天 利润最大. 二次函数的实际应用 加练见分层作业本目录首页二维码免费下载 04 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 类型 2　 新定义函数综合题(真卷 23 题) 4. 名师原创 在平面直角坐标系中,若某函数的图象与矩形 ABCD 对角线的两个端点相交,则 定义该函数为矩形 ABCD 的“友好函数” . (1)如图,在矩形 ABCD 中,AB∥x 轴,经过点 A( -1,1)和点 C(3,3)的一次函数 y1 = kx+b 是矩形 ABCD 的“友好函数”,求一次函数 y1 = kx+b 的解析式; (2)已知第一象限内矩形 ABCD 的两条边的长分别为 2 和 4,且它的两条边分别平行 x 轴 和 y 轴,经过点 D 和点 B 的反比例函数 y2 = 6 x 是矩形 ABCD 的“友好函数”,求矩形距 原点最近的顶点坐标; (3)①若 y3 =ax2 +bx+c(a≠0)是矩形 ABCD 的“友好函数”且经过 A,C 两点,点 B 的坐标 为(1,-3),点 D 的坐标为( -3,5),AB∥y 轴,若 y3 = ax2 +bx+c(a≠0)的图象与矩形 ABCD 有且只有两个交点,求 a 的取值范围; ②在①的条件下,若点 P( xP,yP)是 y3 = ax2 +bx+c(a≠0)图象上一点,且 a-1 2a ≤xP ≤ 3a-1 2a ,当 a>0 时,yP 的最大值和最小值的差是 3,求 a 的值. 第 4 题图 解:(1)将 A(-1,1)和 C(3,3)代入 y1 =kx+b, 得 1=-k+b, 3=3k+b,{ 解得 k= 1 2 , b= 3 2 , ì î í ï ï ï ï ∴ y1 = 1 2 x+ 3 2 ; (2)矩形距原点最近的顶点坐标为(1,2)或(2,1); (3)①a 的取值范围为 0<a≤ 1 2 或- 1 2 ≤a<0; ②a 的值为 1 2 . 【详解详析见参考答案 P】 14 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 5. [2024 辽宁 23 题 13 分]已知 y1 是自变量 x 的函数,当 y2 = xy1 时,称函数 y2 为函数 y1 的“升 幂函数” . 在平面直角坐标系中,对于函数 y1 图象上任意一点 A(m,n),称点 B(m,mn)为 点 A“关于 y1 的升幂点”,点 B 在函数 y1 的“升幂函数”y2 的图象上. 例如:函数 y1 = 2x,当 y2 =xy1 =x·2x= 2x2 时,则函数 y2 = 2x2 是函数 y1 = 2x 的“升幂函数” . 在平面直角坐标系中,函数 y1 = 2x 的图象上任意一点 A(m,2m),点 B(m,2m2)为点 A“关 于 y1 的升幂点”,点 B 在函数 y1 = 2x 的“升幂函数”y2 = 2x2 的图象上. (1)求函数 y1 = 1 2 x 的“升幂函数”y2 的函数表达式; (2)如图,点 A 在函数 y1 = 3 x (x>0)的图象上,点 A“关于 y1 的升幂点”B 在点 A 上方,当 AB= 2 时,求点 A 的坐标; (3)点 A 在函数 y1 = -x+4 的图象上,点 A“关于 y1 的升幂点”为点 B,设点 A 的横坐标 为 m. ①若点 B 与点 A 重合,求 m 的值; ②若点 B 在点 A 的上方,过点 B 作 x 轴的平行线,与函数 y1 的“升幂函数”y2 的图象 相交于点 C,以 AB,BC 为邻边构造矩形 ABCD,设矩形 ABCD 的周长为 y,求 y 关于 m 的函数表达式; ③在②的条件下,当直线 y = t1 与函数 y 的图象的交点有 3 个时,从左到右依次记为 E,F,G,当直线 y= t2 与函数 y 的图象的交点有 2 个时,从左到右依次记为 M,N,若 EF=MN,请直接写出 ∙∙∙∙ t2 -t1 的值. 第 5 题图 　 　 　 　 备用图 解:(1)y2 =xy1 =x× 1 2 x= 1 2 x2; (2)如解图,∵ y2 =xy1 =x× 3 x =3, 设 A(m, 3 m ),B(m,3) . ∵点 B 在点 A 的上方, 当 AB=2 时,即 3- 3 m =2,解得 m=3. ∴A(3,1); (3)①m 的值为 1 或 4; ②y= -2m2+6m(1<m<2), -2m2+14m-16(2<m<4);{ ③t2-t1 的值为 4 或 3-2 2 . 【详解详析见参考答案 P】 24 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 6. [2024 丹东二模]定义:在平面直角坐标系中,函数 R 的图象经过 Rt△ABC 的两个顶点,则 函数 R 是 Rt△ABC 的“勾股函数”,函数 R 的图象经过的直角三角形的两个顶点的坐标 分别为(x1,y1),(x2,y2),且 x1 <x2,当自变量 x 满足 x1≤x≤x2 时,此时函数 R 的最大值记 为 ymax,最小值记为 ymin,h= ymax -ymin 2 ,则 h 是 Rt△ABC 的“DX”值. 已知:在平面直角坐标系中,有 Rt△ABC,∠ACB= 90°,BC∥y 轴. (1)如图,若点 C 坐标为(1,1),AC=BC= 4. ①一次函数 y1 = - x + 6 是 Rt △ABC 的“勾股函数” 吗? 若是,请说明理由,并求出 Rt△ABC 的“DX”值;若不是,请说明理由; ②是否存在反比例函数 y2 = k x (k≠0)是 Rt△ABC 的“勾股函数”? 若存在,求出 k 值; 若不存在,请说明理由. (2)若点 A 的坐标为(2,2),点 B 的坐标为(1,m),二次函数 y3 = x2 +bx+c 是 Rt△ABC 的 “勾股函数” . ①若二次函数 y3 = x2 +bx+c 经过 A,C 两点,则 Rt△ABC 的“DX”值 h= 　 　 　 　 ; ②若二次函数 y3 = x2 +bx+c 经过 A,B 两点,且与 Rt△ABC 的边有第三个交点,求 m 的 取值范围; ③若二次函数 y3 =x2+bx+c 经过 A,B 两点,且 Rt△ABC 的“DX”值 h= 1 16 m2,求m的值. 第 6 题图 解:(1)①一次函数 y1 =-x+6 是 Rt△ABC 的“勾股函数”,理由如下: 由∠ACB=90°,BC∥y 轴,点 C 坐标为(1,1),AC=BC=4, 可得点 A 的坐标为(5,1),点 B 的坐标为(1,5), ∵ (5,1)和(1,5)这两点都在直线 y1 =-x+6 上, ∴一次函数 y1 =-x+6 是 Rt△ABC 的“勾股函数”, ∵-1<0,∴一次函数 y1 =-x+6 的函数值 y 随 x 的增大而减小, ∴当 1≤x≤5 时,ymax =5,ymin =1,∴h= 5-1 2 =2, ∴Rt△ABC 的“DX”值为 2; ②存在,理由如下: ∵点 A 的坐标为(5,1),点 B 的坐标为(1,5),∴1×5=5×1=5, ∴点 A 和点 B 在同一个反比例函数 y2 = 5 x 的图象上, ∴反比例函数 y2 = 5 x 是 Rt△ABC 的“勾股函数”,且 k=5; (2)① 1 8 ;②m 的取值范围为 2<m<3;③m 的值为 4 或-4-4 2或 6-3 2 . 【详解详析见参考答案 P】 新定义函数综合题 加练见分层作业本目录首页二维码免费下载 34 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 类型 3　 二次函数综合探究题(省样卷 22 题) 7. [2024 辽宁省样卷]【发现问题】 “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动,杯子的叠放方式如图①所示:每层都是杯口朝下 排成一行,自下向上逐层递减一个杯子,直至顶层只有一个杯子. 爱思考的小丽发现叠放 所需杯子的总数随着第一层(最底层)杯子的个数变化而变化. 【提出问题】 叠放所需杯子的总数 y 与第一层杯子的个数 x 之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据: 第一层杯子的个数 x 1 2 3 4 5 … 杯子的总数 y 1 3 6 10 15 … 然后在平面直角坐标系中,描出上面表格中各对数值所对应的点,得到图②,小丽根据 图②中点的分布情况,猜想其图象是二次函数图象的一部分. 为了验证自己的猜想,小丽从“形”的角度出发,将要计算总数的杯子用黑色圆表示(如 图③),再借助“补”的思想,补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出 y 与 x 的关系式. 【解决问题】 (1)直接写出 y 与 x 的关系式; (2)现有 36 个杯子,按【发现问题】中的方式叠放,求第一层杯子的个数; (3)杯子的侧面展开图如图④所示,ND,MA 分别为上、下底面圆的半径,AB ( 所对的圆心 角∠AOB= 60°,OA= 24 cm,OD= 15 cm. 将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方 式叠放,但受桌面长度限制,第一层摆放杯子的总长度不超过 80 cm,求杯子叠放达到 的最大高度和此时杯子的总数. (提示:杯子下底面圆周长与 AB ( 的长度相等) 图① 　 图② 　 图③ 　 图④ 第 7 题图 解:(1)y= 1 2 x2+ 1 2 x(x≥1,且 x 为正整数); (2)第一层杯子的个数为 8; (3)杯子叠放达到的最大高度为 15 35 cm,此时杯子的总数为 55 个. 【详解详析见参考答案 P】 44 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 8. [2024 沈阳于洪区期末] 【问题背景】 综合与实践课上,数学王老师分发给每位同学若干张相同的长方形纸片王老师取出三张 纸片演示操作,如图,依次将纸片沿事先画出的竖直和水平方向的实线裁剪成若干个完 全相同的小长方形. 【分析问题】 纸片序号 n 1 2 3 4 5 裁剪得到的小长方形个数 m 2 6 12 20 30 (1)请根据裁剪规律,补全上面表格,并在图①所示的平面直角坐标系中描出表中各对数 值所对应的点(n,m),再用平滑曲线连接. 根据绘制的图象猜想,裁剪得到的小长方 形个数 m 与纸片序号 n 可能存在的函数关系(写出类型) . 【猜想验证】 为了验证这一猜想,爱研究的同学从“形”的角度出发,发现裁剪得到的小长方形个数可 以用“行数×列数”的方法得到. (2)请直接写出裁剪得到的小长方形个数 m 与纸片序号 n 之间的函数关系式. 【解决问题】 某农科研究所有一块矩形的耕地 ABCD(如图②),AB = 40 m,BC = 35 m,现需要将其分成 若干小长方形耕地,进行不同种子的育种实验. 按照【问题背景】中的分割方式,爱思考的 同学提出以下 2 个问题. (3)若将此耕地分成 56 个完全相同的小长方形耕地,求竖直方向分割用的实线数量. (4)为了方便科研人员观察并收集实验数据,将竖直和水平方向的实线换成 1 米宽的小 路,若小路的面积之和占此耕地面积的 36%,求小长方形耕地的总数量. 　 …　 图① 　 　 图② 第 8 题图 解:(1)20,30; 描点,连线,如解图, 猜想:裁剪得到的小长方形个数 m 与纸片序号 n 可能存在的函数关系为二次函数. (2)m=n2+n; (3)竖直方向分割用的实线数量为 7 条; (4)小长方形耕地的总数量为 72 块. 【详解详析见参考答案 P】 54 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 9. 名师原创 【发现问题】 中国结寓意着美满团圆、万事如意. 中国结的绳结之间互相缠绕着,宛若一条盘旋在天空 中的龙,是中华民族的象征. “结”字可以引申为“吉”字,体现了人们对美好生活的追求和 向往,同时凝聚了中华民族的人文情怀,如图①,观察下图中的中国结,发现图中的部分 图形可以从几何图形角度来看,如图②. 【提出问题】 若每个圆的半径都相等,同一种颜色且相邻的圆相切,相同颜色的两列圆相互垂直,则圆 的总数和层数之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 数学小组通过计算和观察得到以下数据(第 1 题是 1 个圆,从第 2 层开始的每一层呈 V 字排列,如图②中铺灰部分为第 2 层): 层数(n) 1 2 3 4 5 … 前 n 层圆的总个数(m) 1 6 15 28 45 … 如图③,在平面直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点,并连线. 【解决问题】 (1)猜想层数 n 和前 n 层图的总个数 m 符合哪种函数关系? 并求出函数解析式; (2)若圆的半径为 2 cm, ①现有编织图②中中国结特制的部分彩线 12 m,则最多可以编织图②中的中国结多 少层?(π 取 3. 14) ②数学小组准备把这个中国结挂在教室的黑板上方,经测量黑板上方距教室顶棚的 距离大约为 100 cm,中国结的流苏穗子大约为 20 cm,为了不遮挡黑板,则这个中国 结最多可以编织多少层? ( 2 ≈1. 4,结果保留整数)(注:每个小圆的编织耗材忽 略不计) 图① 　 　 　 　 图② 　 　 　 　 图③ 第 9 题图 解:(1)符合二次函数关系,设函数解析式为 m=an2+bn+c(a≠0),代入点(1,1),(2,6),(3,15), 则 a+b+c=1, 4a+2b+c=6, 9a+3b+c=15, ì î í ïï ïï 解得 a=2, b=-1, c=0, ì î í ïï ïï ∴函数解析式为m=2n2-n; (2)①最多可以编织中国结 7 层; ②这个中国结最多可以编织 14 层. 【详解详析见参考答案 P】 64 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 10. [2024 鞍山立山区月考]【发现问题】蜂巢的结构非常精美,每个巢室都由多个正六边形组 成(如图①),某数学兴趣小组的同学用若干个形状、大小均相同的正六边形模具,模仿 蜂巢结构拼成如图②所示的若干个图案,同学们发现:在每个拼接成的图案中,所需正 六边形模具的总个数随着第一层(最下面一层)正六边形模具个数的变化而变化. 【提出问题】在拼接成的图案中,所需正六边形模具的总个数 y 与第一层正六边形模具 的个数 x 之间有怎样的函数关系? 【分析问题】同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据: 第一层正六边形模具的个数 x 1 2 3 4 … 拼接图案中所需正六边形模具的总个数 y 1 7 19 37 … 然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图③,同学们根据 图③中点的分布情况,猜想其图象是二次函数图象的一部分. 为了验证猜想,同学们从“形”的角度出发,借助“割补”的方法,把某一拼接图案中上半 部分的正六边形模具(虚线部分)移到下面,并把第一层缺少的正六边形模具(阴影部 分)补全,再拼接到一起(如图④),使每一层正六边形模具的数量相同,借此图求出正六 边形模具的总个数,再减去用于补全图形的正六边形模具的个数,即可求出 y 与 x 之间 的关系式. 【解决问题】 (1)直接写出 y 与 x 的关系式; (2)若同学们按图②的方式拼接图案,共用了 169 个正六边形模具,求拼接成的图案中 第一层正六边形模具的个数; (3)如图⑤,作正六边形模具的外接圆,圆心为 O,A,B 为正六边形模具相邻的两个顶点,AB ( 的长为 2 3 π cm,现有一张长 100 cm,宽 80 cm 的长方形桌子,若按图②的拼接方式拼接图 案(模具间的接缝忽略不计),最多可以放下多少个正六边形模具? ( 3≈1. 732) 第 10 题图 (2)拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数为 8; (3)最多可以放下 469 个正六边形模具. 【详解详析见参考答案 P】 二次函数综合探究题 加练见分层作业本目录首页二维码免费下载 74 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 类型 4　 二次函数与几何综合题(省模考 15 题) 11. [2023 沈阳 25 题 12 分]如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y = 1 3 x2 +bx+c 的图象经过点 A(0,2),与 x 轴的交点为点 B( 3 ,0)和点 C. (1)求这个二次函数的表达式; (2)点E,G 在 y 轴正半轴上,OG=2OE,点D在线段OC 上,OD= 3OE.以线段OD,OE 为邻边 作矩形 ODFE,连接 GD,设 OE=a. ①连接 FC,当△GOD 与△FDC 相似时,求 a 的值; ②当点 D 与点 C 重合时,将线段 GD 绕点 G 按逆时针方向旋转 60°后得到线段 GH, 连接 FH,FG,将 △GFH 绕点 F 按顺时针方向旋转 α ( 0° < α≤ 180°) 后得到 △G′FH′,点 G,H 的对应点分别为 G′,H′,连接 DE. 当△G′FH′的边与线段 DE 垂直 时,请直接写出点 H′的横坐标. 第 11 题图 　 　 　 　 　 备用图 解:(1)∵二次函数 y= 1 3 x2+bx+c 的图象经过点 A(0,2),与 x 轴的交点为点 B( 3 ,0), ∴ c=2, 1+ 3 b+c=0,{ 解得 b=- 3 , c=2,{ ∴该二次函数的表达式为 y= 1 3 x2- 3 x+2; (2)①由(1)知 y= 1 3 x2- 3 x+2, 令 y=0,则 1 3 x2- 3 x+2=0, 解得 x= 3或 x=2 3 , ∴C(2 3 ,0),∴OC=2 3 . ∵OE=a,OG=2OE,OD= 3OE, ∴OG=2a,OD= 3 a. ∵四边形 ODFE 为矩形, ∴EF=OD= 3 a,∴FD=OE=a,∴E(0,a),D( 3 a,0),F( 3 a,a),G(0,2a), ∴CD=OC-OD=2 3 - 3 a. Ⅰ.当△GOD∽△FDC 时,有OG OD =FD CD ,∴ 2a 3 a = a 2 3 - 3 a ,∴ a= 4 3 ; Ⅱ.当△GOD∽△CDF 时,有OG OD =CD FD ,∴ 2a 3 a =2 3 - 3 a a ,∴ a= 6 5 . 综上,当△GOD 与△FDC 相似时,a 的值为 4 3 或 6 5 ; ②点 H′的横坐标为 2 3 +3 或 2 3 +3 7 7 或 3 . 84 专项培优练·辽宁数学 突 破 双 压 轴 解 答 题 二 次 函 数 综 合 题 12. [2024 广元]在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 F:y= -x2 +bx+c 经过点 A( -3,-1),与 y 轴交于点 B(0,2) . (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图①,在直线 AB 上方抛物线上有一动点 C,连接 OC 交 AB 于点 D,求CD OD 的最大值及此 时点 C 的坐标; (3)如图②,作抛物线 F 关于直线 y= -1 上一点的对称图象 F′,抛物线 F 与 F′只有一个 公共点 E(点 E 在 y 轴右侧),G 为直线 AB 上一点,H 为抛物线 F′对称轴上一点,若 以 B,E,G,H 为顶点的四边形是平行四边形,求 G 点坐标. 图① 　 图② 　 　 　 　 　 　 第 12 题图 解:(1)将点 A(-3,-1),B(0,2)代入 y=-x2+bx+c, 则 -9-3b+c=-1, c=2,{ 解得 b=-2, c=2,{ ∴抛物线的函数表达式为 y=-x 2-2x+2; (2)如解图①,过点 C 作 x 轴的垂线交 AB 于点 M,则 CM∥y 轴, ∴△CDM∽△ODB,∴CD OD =CM OB =CM 2 , 设直线 AB 的表达式为 y=mx+n(m≠0), 把 A(-3,-1),B(0,2)代入表达式,得 -3m+n=-1, n=2,{ 解得 m=1, n=2,{ ∴直线 AB 的表达式为 y=x+2,∵点 C 在抛物线 y=-x2-2x+2 上, 设 C( t,-t2-2t+2),则 M( t,t+2),∴CM=-t2-2t+2-t-2=-t2-3t=-( t+ 3 2 ) 2+ 9 4 , ∵-3<t<0,∴当 t=- 3 2 时,CM 有最大值为 9 4 ,此时CD OD 的最大值为 9 8 ,将 t = - 3 2 代入 y = -x2-2x+2 中,得 y=11 4 ,∴此时点 C 的坐标为(- 3 2 ,11 4 ); (3)由中心对称可知,抛物线 F 与 F′的公共点 E 为直线 y=-1 与抛物线 F 的右交点, 当-x2-2x+2=-1 时,解得 x=-3(舍)或 x=1,∴E(1,-1), ∵抛物线 F:y=-x2-2x+2 的顶点坐标为(-1,3),∴抛物线 F′的顶点坐标为(3,-5), 设 G(x,x+2),∵B(0,2),E(1,-1),H 点的横坐标为 3, ∴当 BE 为平行四边形的对角线时,如解图②,x+3=1,解得 x=-2,∴G(-2,0); 当 BG 为平行四边形的对角线时,如解图③,x=3+1=4,∴G(4,6); 当 BH 为平行四边形的对角线时,如解图④,x+1=3,解得 x=2,∴G(2,4); 综上所述,G 点的坐标为(-2,0)或(4,6)或(2,4) . 二次函数与几何综合题 加练见分层作业本目录首页二维码免费下载 94 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 ∴ PC= 1 2 DE= 2,∵ CF CP = 1 4 , CP CB = 1 4 ,∴ CF CP = CP CB ,∵ ∠PCF = ∠BCP, ∴ △PCF ∽ △BCP, ∴ PF PB = CF CP = 1 4 , ∴ PF = 1 4 PB,∴ PA+ 1 4 PB = PA+PF≥AF,∴ 当 F,P,A 三点共线 时,PA+ 1 4 PB 的值最小,在 Rt△ACF 中,AF = CF2 +AC2 = ( 1 2 ) 2 +62 = 145 2 ,∴ PA+ 1 4 PB 的最小值为 145 2 . 第 7 题解图 8. 17 　 【解析】如解图,在 AB 上截取 AQ= 1,连接 AP,PQ, CQ,∵ 点 E,F 分别是边 AB,AC 的中点,点 P 是以点 A 为 圆心、以 AE 长为半径的圆弧上的动点,∴ AP AB = 2 4 = 1 2 , ∴ AQ AP = 1 2 ,∵ ∠PAQ = ∠BAP,∴ △APQ∽△ABP,∴ PQ = 1 2 PB,∴ 1 2 PB+PC=PQ+PC≥CQ,∴ 当 Q,P,C 三点共线 时, 1 2 PB+PC 的值最小. 在 Rt△ACQ 中,AC= 4,AQ= 1,∴ QC= AC2 +AQ2 = 16+1 = 17 ,∴ 1 2 PB+PC 的最小值 为 17 . 第 8 题解图 例 5　 3 +1　 【解析】如解图,过点 D 作 DM⊥EF 于点 M,在 △DEF 内部过 E, F 分别作 ∠MEP = ∠MFP = 30°, 则 ∠EPF= ∠FPD = ∠EPD = 120°,点 P 就是费马点,在等腰 Rt△DEF 中,DE=DF = 2 ,DM⊥EF,∴ EF = 2 DE = 2,∴ EM=DM= 1,∴ PE = EM cos30° = 2 3 3 ,PM = EM·tan30° = 3 3 , 故 DP= 1 - 3 3 ,同法可得 PF = 2 3 3 ,则 PD+PE+PF = 2 × 2 3 3 +1- 3 3 = 3 +1. 例 5 题解图 【针对训练】 9. B　 【解析】如解图,将 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 AG,连接 CG,EG,∴ ∠GAC = 90°,∵ 等边△ABC 的边长为 1,AF 为 BC 边上的高,∴ CB = AC = AG = 1,∠BAC = ∠BCD = 60°,AF 平分∠BAC, ∴ ∠CAF = 30°, ∠GAE = ∠GAC - ∠CAF= 60°, ∴ ∠BCD = ∠GAE,在△BCD 和△GAE 中, CB=AG, ∠BCD= ∠GAE, CD=AE, ì î í ïï ï ∴ △BCD≌△GAE,∴ BD = GE,∴ BD+ CE=GE+CE≥CG,∴ 当点 C,E,G 在同一直线上时,GE+ CE 的值最小,在 Rt△ACG 中,CG = AC2 +AG2 = 2 ,∴ BD+CE 的最小值为 2 . 第 9 题解图 10. (1)60°;(2)5　 【解析】如解图,以 BD 为边向外作等边 三角形 BDE,连接 CE,∵ △BDE,△ABC 均为等边三角 形,∴ BE=BD,AB=BC,∠ABC= ∠DBE= 60°,∴ ∠ABD = ∠CBE, 在 △ABD 和 △CBE 中, AB=CB, ∠ABD= ∠CBE, BD=BE, ì î í ïï ï ∴ △ABD≌△CBE,∴ CE = AD,∵ BE = BD = DE = 8,CD = 3, ∴ 当 C,D,E 三点共线时,CE 有最小值,∴ CE = DE-CD = 8-3 = 5,∴ AD 的最小值为 5,此时∠BDC= 60°. 第 10 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 四、辽宁中考培优———突破双压轴解答题 压轴题一　 二次函数综合题 1. 解:(1)由题意可得,抛物线的对称轴是直线 x = 10+20 2 = 15, ∴ 抛物线的顶点坐标为(15,9) . ∴ 可设抛物线的表达式为 y=a(x-15) 2 +9(a≠0), 又∵ 抛物线过点(10,8), ∴ 25a= -1, ∴ a= - 1 25 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 56 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 25 (x-15) 2 +9; (2)由题意,结合(1)中 y= - 1 25 (x-15) 2 +9, 令 x= 5,则 y= - 1 25 (5-15) 2 +9 = 5, ∴ 水火箭距离地面的竖直高度为 5 m. 2. 解:任务 1:根据题意,得 BC= 22+2-3x= (24-3x) m, ∴ S=AB·BC= x(24-3x)= -3x2 +24x; 任务 2:由题意,得 1<BC≤16, 即 1<24-3x≤16,解得 8 3 ≤x< 23 3 , 根据题意,得新墙建筑费用为 200(3x-1) + 300(24- 3x- 1)= (6 700-300x)元, 则总费用为 6 700-300x+250×2 = (7 200-300x)元, ∵ 总费用不高于 5 900 元, ∴ 7 200-300x≤5 900,解得 x≥ 13 3 ,∴ 13 3 ≤x< 23 3 ; 任务 3: 13 3 ,11,47 2 3 . 【解法提示】由任务 1 知 S = -3x2 + 24x= -3(x-4) 2 +48,∵ -3<0,∴ 图象开口向下,且 4< 13 3 < 23 3 ,∴ 当 x = 13 3 时,面积 S 有最大值,最大值为 47 2 3 ,此 时 BC= 24-3× 13 3 = 11 (m),∴ 设计方案是 AB = 13 3 m,BC = 11 m,S 的最大值为 47 2 3 m2 . 3. 解:任务 1:根据题意,安排 70 名工人加工一批夏季服装, ∵ 安排 x 名工人加工“雅”服装,y 名工人加工“风”服装, ∴ 加工“正”服装的有(70-x-y)人, ∵ 每天加工“正”服装总件数和“风”服装相等, ∴ (70-x-y) ×1 = 2y, 整理得 y= - 1 3 x+ 70 3 ; 任务 2:根据题意,得“雅” 服装每天获利 x[ 100 - 2( x- 10)]元, ∴ w= 2y×24+(70-x-y) ×48+x[100-2(x-10)], 整理得 w= -2x2 +72x+3 360(x≥10); 任务 3:由任务 2 得 w = - 2x2 + 72x+ 3 360 = - 2( x- 18) 2 + 4 008(x≥10), ∴ 当 x= 18,总利润最大, 此时 y= - 1 3 ×18+ 70 3 = 52 3 ,不符合题意,∴ x≠18, ∵ 图象开口向下,∴ 取 x= 17 或 x= 19, 当 x= 17 时,y= 53 3 ,不符合题意; 当 x= 19 时,y= 51 3 = 17,符合题意; ∴ 70-x-y= 34. 综上,安排 19 名工人加工“雅”服装,17 名工人加工“风” 服装,34 名工人加工“正”服装,即可使每天总利润最大. 4. 解:(1)将 A( -1,1)和 C(3,3)代入 y1 = kx+b, 得 1 = -k+b, 3 = 3k+b,{ 解得 k= 1 2 , b= 3 2 , ì î í ï ï ï ï ∴ y1 = 1 2 x+ 3 2 ; (2)分两种情况讨论:①当 AD = 2 时,如解图①,设点 D 的坐标为( t, 6 t ), 则点 B 的坐标为( t+2, 6 t -4), 把点 B 的坐标代入 y2 = 6 x 中, 得 6 t -4 = 6 t+2 , 解得 t= 1 或 t= -3(舍去),∴ t= 1, ∴ 点 D 的坐标为(1,6),点 B 的坐标为(3,2), ∴ 点 C 的坐标为(1,2), 即矩形距原点最近的顶点坐标为(1,2); ②当 AD= 4 时,如解图②,设点 D 的坐标为( t, 6 t ), 则点 B 的坐标为( t+4, 6 t -2), 把点 B 的坐标代入 y2 = 6 x 中, 得 6 t -2 = 6 t+4 , 解得 t= 2 或 t= -6(舍去),∴ t= 2, ∴ 点 D 的坐标为(2,3),点 B 的坐标为(6,1), ∴ 点 C 的坐标为(2,1), 即矩形距原点最近的顶点坐标为(2,1) . 综上所述,矩形距原点最近的顶点坐标为(1,2)或(2,1); 图① 　 图② 第 4 题解图 (3)∵ 点 B 的坐标为(1,-3),点 D 的坐标为( -3,5), ∴ 点 A 的坐标为(1,5),点 C 的坐标为( -3,-3), 将 A(1,5)和 C( -3,-3)代入 y3 =ax2 +bx+c 中, 得 a+b+c= 5, 9a-3b+c= -3,{ ∴ b= 2a+2, c= -3a+3,{ ∴ y3 =ax2 +(2a+2)x-3a+3, ∴ 抛物线 y3 =ax2 +(2a+ 2) x- 3a+ 3 的对称轴为直线 x = -2a +2 2a = -a +1 a . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 66 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 ①如解图③,当 a>0 时,- a+1 a ≤-3,解得 a≤ 1 2 , ∴ a 的取值范围为 0<a≤ 1 2 ; 如解图④,当 a<0 时,- a+1 a ≥1,解得 a≥- 1 2 , ∴ a 的取值范围为- 1 2 ≤a<0. 综上所述,a 的取值范围为 0<a≤ 1 2 或- 1 2 ≤a<0; 图③ 　 图④ 第 4 题解图 ②∵ 抛物线 y3 的对称轴为直线 x= - a+1 a ,且 a>0, ∴ a-1 2a >- a+1 a 恒成立,即 xP 在对称轴的右侧, 当 xP = a-1 2a 时, yP 取最小值为 a·( a-1 2a ) 2 +(2a+2)· a-1 2a -3a+3, 当 xP = 3a-1 2a 时, yP 取最大值为 a·( 3a-1 2a ) 2 +(2a+2)· 3a-1 2a -3a+3, ∴ a·( 3a-1 2a )2 +(2a+2)· 3a-1 2a -3a+3-[a·( a-1 2a )2 +(2a+ 2)· a-1 2a -3a+3] =3,解得 a= 1 2 . 5. 解:(1)y2 = xy1 = x× 1 2 x= 1 2 x2 ; (2)如解图①,∵ y2 = xy1 = x× 3 x = 3, 设 A(m, 3 m ),B(m,3) . ∵ 点 B 在点 A 的上方, 当 AB= 2 时,即 3- 3 m = 2,解得 m= 3. ∴ A(3,1); (3)①∵ y2 = xy1 = x( -x+4)= -x2 +4x, ∴ A(m,-m+4),B(m,-m2 +4m) . 如果点 B 与点 A 重合,那么-m+4 = -m2 +4m. 整理得 m2 -5m+4 = 0. 解得 m= 1 或 m= 4; ②由①可知,直线 y= -x+4 与抛物线 y= -x2 +4x 有两个交 点(1,3)和(4,0), ∴ 函数 y2 = -x2 +4x 的图象是开口向下的抛物线,对称轴 是直线 x= 2. ∵ BC∥x 轴,∴ B、C 两点关于直线 x= 2 对称. 如解图②,当点 B 在点 C 右侧时, 2<m<4,BC= 2(m-2)= 2m-4, 如解图③,当点 B 在点 C 左侧时, 1<m<2,BC= 2(2-m)= 4-2m, 由点 B 在点 A 的上方, 得 BA= ( -m2 +4m) -( -m+4)= -m2 +5m-4, ∴ 当 2<m<4 时, y= 2[(2m-4) +( -m2 +5m-4)] = -2m2 +14m-16, 当 1<m<2 时, y= 2[(4-2m) +( -m2 +5m-4)] = -2m2 +6m. 综上,y= -2m2 +6m(1<m<2), -2m2 +14m-16(2<m<4);{ 图① 　 　 图② 图③ 第 5 题解图 ③t2 -t1 = 4 或 3-2 2 . 【解法提示】情形一:如解图④,如果 EF 和 MN 平行且相等,那这两条平行线间的距离等于两 个顶点之间的竖直高度,或者等于 P、Q 两点间的竖直 高度. 当 m= 2 时,y= -2m2 +6m= 4,∴ P(2,4) . 当 m= 4 时,y= -2m2 +14m-16 = 8,∴ Q(4,8) . ∴ t2 -t1 = 8-4 = 4. 情形 2,如解图⑤(局部,变形处理), 点 M 是抛物线 y= -2m2 +6m 的顶点. 由 M( 3 2 , 9 2 ),得 N( 7-2 2 2 , 9 2 ), ∴ MN=EF= 7-2 2 2 - 3 2 = 2- 2 , ∴ 点 F 的横坐标 xF = 3 2 +2 - 2 2 = 5 - 2 2 , 于是可得 yF = 3+4 2 2 , ∴ t2 -t1 = yN-yF = 9 2 -3 +4 2 2 = 3-2 2 . 综上,t2 -t1 的值为 4 或 3-2 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 76 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 图④ 图⑤ 第 5 题解图 6. 解:(1)①一次函数 y1 = -x+6 是 Rt△ABC 的“勾股函数”, 理由如下: 由∠ACB= 90°,BC∥y 轴,点 C 坐标为(1,1),AC =BC = 4, 可得点 A 的坐标为(5,1),点 B 的坐标为(1,5), ∵ (5,1)和(1,5)这两点都在直线 y1 = -x+6 的图象上, ∴ 一次函数 y1 = -x+6 是 Rt△ABC 的“勾股函数”, ∵ -1<0, ∴ 一次函数 y1 = -x+6 的函数值 y 随 x 的增大而减小, ∴ 当 1≤x≤5 时,y max = 5,ymin = 1, ∴ h= 5-1 2 = 2, ∴ Rt△ABC 的“DX”值为 2; ②存在,理由如下: ∵ 点 A 的坐标为(5,1),点 B 的坐标为(1,5), ∴ 1×5 = 5×1 = 5, ∴ 点 A 和点 B 在同一个反比例函数 y2 = 5 x 的图象上, ∴ 反比例函数 y2 = 5 x 是 Rt△ABC 的“勾股函数”, 且 k= 5; (2)① 1 8 ;【解法提示】∵ 点 A 的坐标为(2,2),点 B 的坐 标为(1,m),∠ACB= 90°,BC∥y 轴,∴ C(1,2),∵ 二次函 数 y3 = x2 + bx + c 经过 A, C 两点, ∴ 4+2b+c= 2, 1+b+c= 2,{ 解得 b= -3, c= 4,{ ∴ y3 = x 2 -3x+4 = (x- 3 2 ) 2 + 7 4 ,∴ 当 1≤x≤2 时, 函数 y3 的最大值 y max = 2,最小值 ymin = 7 4 ,∴ h = y max -ymin 2 = 2- 7 4 2 = 1 8 ,即 Rt△ABC 的“DX”值为 1 8 . ②∵ 二次函数 y3 = x2 +bx+c 经过 A,B 两点, ∴ 将 A(2,2),B(1,m)代入 y3 = x2 +bx+c, 得 2 = 4+2b+c, m= 1+b+c,{ 解得 b= -m-1, c= 2m,{ ∴ y3 = x2 -(m+1)x+2m, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= - -(m+1) 2 =m +1 2 , ∵ 二次函数 y3 = x2 +bx+c 与 Rt△ABC 的边有第三个交点, ∴ 点 B 在 AC 上方,对称轴在点 A、C 之间, ∴ m>2, 1< m+1 2 <2,{ ∴ 2<m<3; ③由②知 y3 = x2 -(m+1)x+2m, 可得其顶点坐标为( m+1 2 , -m2 +6m-1 4 ), 第一种情况:点 B 在点 A 上方,即 m>2, (i)当点 B 和点 A 在对称轴左侧, 即 m+1 2 ≥2 时,解得 m≥3, 此时 y3 随 x 的增大而减小, ∴ y max = yB =m,ymin = yA = 2, ∴ h= m-2 2 ,∴ 1 16 m2 = m-2 2 ,解得 m1 =m2 = 4; (ii)当对称轴在点 A 和点 C 之间,即 2<m<3 时, 此时 yB 最大,顶点 y 值最小, ∴ h= m- -m2 +6m-1 4 2 , ∴ 1 16 m2 = m- -m2 +6m-1 4 2 , 解得 m1 = 2+ 2 (舍去),m2 = 2- 2 (舍去); 第二种情况:点 B 在点 A 下方,即 m<2, (i)当点 B 和点 A 在对称轴右侧, 即 m+1 2 ≤1 时,解得 m≤1, 此时 y3 随 x 的增大而增大, ∴ ymax = yA = 2,ymin = yB =m, ∴ h= 2-m 2 ,∴ 1 16 m2 = 2-m 2 , 解得 m1 = -4+4 2 (舍去),m2 = -4-4 2 ; (ii)当对称轴在点 A 和点 C 之间,即 1<m<2 时, 此时 yA 最大,顶点 y 值最小, ∴ h= 2- -m2 +6m-1 4 2 ,∴ 1 16 m2 = 2- -m2 +6m-1 4 2 , 解得 m1 = 6+3 2 (舍去),m2 = 6-3 2 , 综上所述,m 的值为 4 或-4-4 2或 6-3 2 . 7. 解:(1)y= 1 2 x2 + 1 2 x(x≥1,且 x 为正整数); (2)∵ 共有 36 个杯子叠放, ∴ 36 = 1 2 x2 + 1 2 x,解得 x= 8(负值已舍去), ∴ 第一层杯子的个数为 8; (3)∵ OA= 24 cm,∠AOB= 60°,∴ AB ( = 60 180 π·OA= 8π, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 86 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 由题意得 2π·MA=AB ( ,解得 MA= 4 cm, ∴ 每个杯口的直径为 4×2 = 8 (cm), ∵ 第一层摆放杯子的总长度不超过 80 cm, ∴ 第一层的杯子数量不超过 10 个, 则杯子总数不超过 1 2 ×102 + 1 2 ×10 = 55(个), 由【发现问题】中杯子的叠放规律,每层减少 1 个杯子,则 最高可以叠放 10 层, 在题图④中,OA= 24 cm,OD= 15 cm, ∵ DN∥AM,∴ △ODN∽△OAM, ∴ OD OA =DN AM ,即 15 24 =DN 4 ,解得 DN= 2. 5 cm, 如解图,过点 D 作 DP⊥AM 于点 P, 第 7 题解图 ∴ MP=ND= 2. 5 cm,AM= 4 cm, ∴ AP=AM-MP= 4-2. 5 = 1. 5 (cm), AD=OA-OD= 24-15 = 9 (cm), 在 Rt△APD 中, PD= AD2 -AP2 = 92 -1. 52 = 3 35 2 (cm), ∴ MN=PD= 3 35 2 cm, 叠放 10 层时杯子总高度为 10MN= 15 35 cm. ∴ 杯子叠放达到的最大高度为 15 35 cm,此时杯子的总 数为 55 个. 8. 解:(1)20,30; 描点,连线,如解图, 第 8 题解图 猜想:裁剪得到的小长方形个数 m 与纸片序号 n 可能存 在的函数关系为二次函数. (2)m=n2 +n;【解法提示】小长方形个数 m 与纸片序号 n 之间的函数关系式为 m=n(n+1),验证:由图例知,当 n = 1 时,m= 2 = 1×2,当 n = 2 时,m = 6 = 2×3,当 n = 3 时,m = 12 = 3×4,当 n= 4 时,m = 20 = 4×5,当 n = 5 时,m = 30 = 5× 6,…,∴ m=n(n+1)= n2 +n. (3)由题意得,n2 +n= 56,解得 n= 7 或 n= -8, ∵ n 为正整数,∴ n= 7, ∴ 竖直方向分割用的实线数量为 7 条; (4)设水平方向有 n 条小路,竖直方向有(n+1)条小路, 由题意得 1 × 40n+ 1 × 35 ( n + 1) - 1 × 1n( n + 1) = 40 × 35 ×36%, 整理得 n2 -74n+469 = 0,解得 n= 7 或 n= 67(舍去), ∵ n 是水平方向小路的数量,∴ 水平方向耕地数量为 8 块,竖直方向耕地数量为 9 块, ∴ 小长方形耕地的总数量为 8×9 = 72(块) . 9. 解:(1)符合二次函数关系,设函数解析式为 m= an2 +bn+ c(a≠0), 代入点(1,1),(2,6),(3,15), 得 a+b+c= 1, 4a+2b+c= 6, 9a+3b+c= 15, ì î í ïï ï 解得 a= 2, b= -1, c= 0, ì î í ïï ï ∴ 函数解析式为 m=2n2 -n; (2)①∵ 彩线长 12 m = 1200 cm, 每个小圆周长为 2πr≈2×3. 14×2 = 12. 56(cm), ∴ 可编织 1200÷12. 56≈95. 54(个),即 95 个小圆, 由(1)知 m= 2n2 -n, 令 2n2 -n= 95, 解得 n= 1+ 761 4 ≈7. 15(负值已舍去),即最多可以编织 中国结 7 层; ②由题意可知,黑板上方空余高度为 100-20 = 80(cm), ∵ n 层圆最下层(相同颜色的两列圆垂直) 的单侧共有 (2n-1)个小圆,它们彼此相切,小圆的半径为 2 cm, ∴ 可得圆心所在线段的长度为 ( 2n - 1) × 2 × 2 - 4 = 8(n-1), 由题图知,圆心所在线段的长度为等腰直角三角形的斜边, ∴ 8(n-1) × 2 2 ≤80-4, 可得 n≤14. 57, ∴ 这个中国结最多可以编织 14 层. 10. 解:(1)y= 3x2 -3x+1;【解法提示】根据“割补”的方法可 得,当 x= 1 时,y= 1,当 x= 2 时,y= (2+3) ×2-3 = 7,当x= 3 时,y= (3+5) ×3-5 = 19,当 x = 4 时,y = (4+7) ×4-7 = 37……以此类推,当第一层正六边形模具的个数为 x 时,拼接图案中所需正六边形模具的总个数为 y = ( x+2x -1)x-(2x-1)= 3x2 -3x+1. (2)由(1)知,y= 3x2 -3x+1, 将 y= 169 代入得 169 = 3x2 -3x+1, 解得 x1 = 8,x2 = -7(不合题意,舍去), ∴ 拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数为 8; (3)如解图,设正六边形其他顶点分别为 C,D,E,F,连 接 AD,BD, 第 10 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 96 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 由正六边形及外接圆的性质得, AD 为 ☉O 的直径, ∠BAD= 60°,线段 BD 的长即为边 AB,DE 间的距离, ∴ ∠ABD= 90°,∴ ∠ADB= 30°, ∵ AB ( 的长为 2 3 π cm, ∴ ☉O 的周长为 6× 2 3 π = 4π (cm), ∴ ☉O 的直径为 4π π = 4 (cm),即 AD= 4 cm, 在△ABD 中,∠ABD= 90°,∠ADB= 30°, ∴ AB= sin30°·AD= 1 2 AD= 1 2 ×4 = 2 (cm), BD= cos30°·AD= 3 2 AD= 3 2 ×4 = 2 3 (cm), 设第一层有 x 个正六边形模具, ∴ 第 x 层的正六边形模具个数最多,有(2x-1)个,拼接 成的图案共有(2x-1)层,其中有 x 层的高度按☉O 的直 径计算,(x-1)层的高度按正六边形的边长计算, ∴ 拼接图案的宽度为 2 3 (2x-1) cm, 高度为 4x+2(x-1)= (6x-2) cm, ①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时, 2 3 (2x-1)≤80, 6x-2≤100,{ 解得 x≤ 40 3 +3 6 , ∵ x 为整数,∴ x 最大取 12; ②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时, 2 3 (2x-1)≤100 6x-2≤80{ ,解得 x≤ 41 3 , ∵ x 为整数,∴ x 最大取 13; 将 x= 12 代入 y= 3x2 -3x+1,得 y= 397; 将 x= 13 代入 y= 3x2 -3x+1,得 y= 469, ∵ 469>397, ∴ 最多可以放下 469 个正六边形模具. 11. 解:(1)∵ 二次函数 y= 1 3 x2 +bx+c 的图象经过 点 A(0,2),与 x 轴的交点为点 B( 3 ,0), ∴ c= 2, 1+ 3 b+c= 0,{ 解得 b= - 3 , c= 2,{ ∴ 该二次函数的表达式为 y= 1 3 x2 - 3 x+2; (2)①由(1)知 y= 1 3 x2 - 3 x+2, 令 y= 0,则 1 3 x2 - 3 x+2 = 0, 解得 x= 3或 x= 2 3 , ∴ C(2 3 ,0),∴ OC= 2 3 . ∵ OE=a,OG= 2OE,OD= 3OE, ∴ OG= 2a,OD= 3 a. ∵ 四边形 ODFE 为矩形, ∴ EF=OD= 3 a,FD=OE=a, ∴ E(0,a),D( 3 a,0),F( 3 a,a),G(0,2a), ∴ CD=OC-OD= 2 3 - 3 a. Ⅰ. 当△GOD∽△FDC 时,有 OG OD =FD CD , ∴ 2a 3 a = a 2 3 - 3 a ,∴ a= 4 3 ; Ⅱ. 当△GOD∽△CDF 时,有 OG OD =CD FD , ∴ 2a 3 a = 2 3 - 3 a a ,∴ a= 6 5 . 综上,当△GOD 与△FDC 相似时,a 的值为 4 3 或 6 5 ; ②点 H′的横坐标为 2 3 +3 或 2 3 + 3 7 7 或 3 . 【解法提示】∵ 点 D 与点 C 重合,∴ OD =OC = 2 3 . 如解 图①,易知在△EOD 中,∠EDO= 30°, 第 11 题解图① ∴ OE= 2,OG = 2OE = 4,EF = OD = 2 3 ,DF=OE= 2, ∴ EG=OE= 2,∴ EG=DF= 2. ∵ EG∥DF, ∴ 四边形 GEDF 为平行四边形, 在 Rt△EOD 中,DE= OE2 +OD2 = 22 +(2 3 ) 2 = 4, ∴ FG=DE= 4, ∴ GO=GF,∠GFE= 30°,∴ ∠EGF= 60°, ∵ ∠DGH= 60°,∴ ∠EGF= ∠DGH, ∴ ∠OGD= ∠FGH. ∵ GH 是由 GD 旋转得到的,∴ GD=GH, 在△GOD 和△GFH 中, GO=GF, ∠OGD= ∠FGH, GD=GH, ì î í ïï ï ∴ △GOD≌△GFH(SAS), ∴ FH=OD= 2 3 ,∠GFH= ∠GOD= 90°, ∴ GH= GF2 +FH2 = 42 +(2 3 ) 2 = 2 7 . 第 11 题解图② Ⅰ. 当 G′F 所在直线与 DE 垂直 时,如解图②, ∵ ∠GFH= 90°,GF∥DE, ∴ ∠G′FH′= 90°, ∴ G,F,H′三点在一条直线上, ∴ GH′=GF+FH′=FG+FH= 4+2 3 . 过点 H′作 H′K⊥y 轴于点 K,则 H′K∥FE, ∴ ∠KH′G= ∠EFG= 30°, ∴ H′K=H′G·cos30° = 3 2 ×(4+2 3 )= 2 3 +3, ∴ 此时点 H′的横坐标为 2 3 +3; Ⅱ. 当 G′H′所在直线与 DE 垂直时,如解图③, ∵ GF∥DE,∴ G′H′⊥GF, 设 GF 的延长线交 G′H′于点 M,过点 M 作 MP⊥EF,交 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 07 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 第 11 题解图③ EF 的延长线于点 P,过点 H′作 H′ N⊥MP,交 PM 的延长线于点 N, 则 H′N∥PF∥x 轴,∠PFM = ∠EFG = 30°,∴ ∠H′MN= 30°. 由旋转得 G′H′ = GH = 2 7 ,FH′ = FH= 2 3 ,FG′= FG = 4,∵ S△FG′H′ = 1 2 G′H′·FM = 1 2 FH′ ·FG′, ∴ 2 7FM= 2 3 ×4,∴ FM= 4 21 7 . 在 Rt△FPM 中,∠PFM= 30°, ∴ FP=FM·cos30° = 4 21 7 × 3 2 = 6 7 7 , ∴ PE=EF+PF= 2 3 + 6 7 7 . ∵ H′M= FH′2 -FM2 = (2 3 ) 2 -( 4 21 7 ) 2 = 6 7 7 , ∴ H′N=H′M·sin30° = 6 7 7 × 1 2 = 3 7 7 , ∴ 此时点 H′的横坐标为 PE-H′N = 2 3 + 6 7 7 - 3 7 7 = 2 3 + 3 7 7 ; Ⅲ. 当 FH′所在直线与 DE 垂直时,如解图④, 第 11 题解图④ ∵ ∠H′FG′= 90°,GF∥DE, ∴ ∠GFH′= 90°, ∴ H,F,H′三点在一条直线上,则 ∠H′FD= 30°, 过点 H′作 H′L⊥DF,交 FD 的延长 线于点 L, 在 Rt△FH′L 中,∠H′FD= 30°, 由旋转得 FH′=FH= 2 3 , ∴ H′L=H′F·sin30° = 2 3 × 1 2 = 3 , ∴ 此时点 H′的横坐标为 EF-H′L= 2 3 - 3 = 3 . 综上,当△G′FH′的边与线段 DE 垂直时,点 H′的横坐标 为 2 3 +3 或 2 3 + 3 7 7 或 3 . 12. 解:(1)将点 A( -3,-1),B(0,2)代入 y= -x2 +bx+c, 则 -9-3b+c= -1, c= 2,{ 解得 b= -2, c= 2,{ ∴ 抛物线的函数表达式为 y= -x2 -2x+2; (2)如解图①,过点 C 作 x 轴的垂线交 AB 于点 M,则 CM∥y 轴, ∴ △CDM∽△ODB, ∴ CD OD =CM OB =CM 2 , 设直线 AB 的表达式为 y=mx+n(m≠0), 把 A( -3,-1),B(0,2)代入表达式,得 -3m+n= -1, n= 2,{ 解得 m= 1, n= 2,{ ∴ 直线 AB 的表达式为 y= x+2, ∵ 点 C 在抛物线 y= -x2 -2x+2 上, 设 C( t,-t2 -2t+2),则 M( t,t+2), ∴ CM= -t2 -2t+2-t-2 = -t2 -3t= -( t+ 3 2 ) 2 + 9 4 , ∵ -3<t<0, ∴ 当 t= - 3 2 时,CM 有最大值为 9 4 , 此时 CD OD 的最大值为 9 8 , 将 t= - 3 2 代入 y= -x2 -2x+2 中,得 y= 11 4 , ∴ 此时点 C 的坐标为( - 3 2 , 11 4 ); (3)由中心对称可知,抛物线 F 与 F′的公共点 E 为直线 y= -1 与抛物线 F 的右交点, 当-x2 -2x+2 = -1 时,解得 x= -3(舍)或 x= 1, ∴ E(1,-1), ∵ 抛物线 F:y= -x2 -2x+2 的顶点坐标为( -1,3), ∴ 抛物线 F′的顶点坐标为(3,-5), ∵ 直线 AB 的解析式为 y= x+2,∴ 设 G (x,x+2), ∵ B(0,2),E(1,-1),H 点的横坐标为 3, ∴ 当 BE 为平行四边形的对角线时,如解图②, x+3 = 1,解得 x= -2,∴ G( -2,0); 当 BG 为平行四边形的对角线时,如解图③, x= 3+1 = 4,∴ G(4,6); 当 BH 为平行四边形的对角线时,如解图④, x+1 = 3,解得 x= 2,∴ G(2,4); 综上所述:G 点的坐标为( -2,0)或(4,6)或(2,4) . 图① 　 　 图② 图③ 　 　 图④ 第 12 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17