模型9 几何图形最值模型-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 56°,∵ △ADE 沿 DE 折 叠 得 到 △A′ DE, ∴ ∠ADE = 1 2 ∠ADA′= 28°. 综上所述,∠ADE 的度数为 45°或 28°. 图① 　 　 图② 第 5 题解图 6. 12 或 3 2 　 【解析】①当∠BDE = 90°时,如解图①,此时 四边形 ACDE 是正方形,则 CD =DE = AC = 6,∵ △BDE 是 等腰直角三角形,∴ BD=DE= 6,∴ BC=CD+BD= 12; 图① 　 　 图② 第 6 题解图 ②当∠DBE= 90°时,如解图②,设 BD = x,则 BE = x,DE = 2 x,由折叠可知,CD = DE = 2 x,由题意可知,∠BDE = ∠DEB= 45°,∴ ∠CDE = 135°,∴ ∠CAE = 45°,延长 AE, CB 交于点 F,则△ACF 是等腰直角三角形,∴ CF = AC = 6,∠F= 45°,∴ BE = BF = x,∴ 2 x+x+x = 6,解得 x = 6 - 3 2 ,∴ BC = 2 x+ x = 3 2 . 综上所述,BC 的长为 12 或 3 2 . 7. 3 2 　 【解析】设 BE = 3m,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ OA = OC= 1 2 AC,OB = OD = 1 2 BD,AC = BD,∠ABC = 90°,∴ OC =OB,∴ ∠ACB= ∠DBC,由折叠得 FE =BE = 3m,∠AFE = ∠ABE= 90°,∴ ∠EFC = 180° -∠AFE = 90°,∴ AB BC = FE FC = tan∠ACB= tan∠DBC= 3 4 ,∴ 4AB= 3BC,FC = 4 3 FE = 4 3 × 3m= 4m,∴ OA=OC=OF+FC= 1 2 +4m,CE = FE2 +FC2 = (3m) 2 +(4m) 2 = 5m,∴ AB = AF = OA+OF = 1 2 + 4m+ 1 2 = 1+4m,BC=BE+CE= 3m+5m= 8m,∴ 4(1+4m) = 3×8m, 解得 m= 1 2 ,∴ BE= 3× 1 2 = 3 2 . 模型九　 几何图形最值模型 例 1　 C　 【解析】如解图,连接 BN,BM,∵ 四边形 ABCD 是 正方形,∴ 对角线 AC 所在直线是正方形的一条对称轴, ∴ BN=DN,∴ DN+MN = BN+MN≥BM,∴ DN+MN 的最小 值为 BM 的长,∵ 在 Rt△BCM 中,BC = 8,CM =CD-DM = 8 -2 = 6,∴ BM = BC2 +CM2 = 82 +62 = 10,即 DN+MN 的 最小值为 10. 例 1 题解图 【针对训练】 1. 80°　 【解析】如解图,作点 P 关于 OB 的对称点 E,连接 EO,EM,∴ EM = MP,∠MPO = ∠OEM,∠EOM = ∠MOP, 作点 P 关于 OA 的对称点 F,连接 NF,OF,∴ PN = FN, ∠OPN = ∠OFN,∠PON = ∠NOF,∴ PM+PN+MN = EM+ NF+MN≥EF,∴ 当 E,M,N,F 四点共线时,△PMN 周长 最小, 又 ∵ ∠EOF = ∠EOM + ∠MOP + ∠PON + ∠NOF, ∠AOB= ∠MOP+∠PON,∴ ∠EOF = 2∠AOB,又∵ ∠AOB = 50°,∴ ∠EOF = 100°,∵ 在△EOF 中,∠OEM+∠OFN+ ∠EOF= 180°, ∴ ∠OEM + ∠OFN = 180° - 100° = 80°, ∵ ∠MPO = ∠OEM, ∠OPN = ∠OFN, ∴ ∠MPO + ∠OPN = 80°,即∠MPN= 80°. 第 1 题解图 2. B　 【解析】如解图,分别取 AB,AC 的中点 M,N,作直线 MN,由三角形中位线定理知 MN 与 AE 的交点为 AE 的中 点 F,即点 F 是直线 MN 上的一个动点,作点 B 关于 MN 的对称点 B′,连接 B′C,B′F,则 B′F=BF,∴ BF+CF=B′F+ CF≥B′C,∴ BF+CF 的最小值为 B′C 的长,由题意知 BC = 4,则等边△ABC 中,BC 边上的高为 2 3 ,∴ B′B = 2 3 , 在 Rt △B′ CB 中, B′ C = BC2 +B′B2 = 42 +(2 3 ) 2 = 2 7 . 第 2 题解图 例 2　 解:桥 MN 的位置如解图所示. 例 2 题解图 3. ( -1,0)　 【解析】如解图,把 A(3,6)向左平移 1 个单位 长度得 A′(2,6),作点 B 关于 x 轴的对称点 B′,连接 B′A′ 交 x 轴于点 C,在 x 轴上取点 D(点 C 在点 D 左侧),使 CD= 1,连接 AD,此时 AD+BC 的值最小,∵ B( - 2,2), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 36 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 ∴ B′( -2, - 2), 设直线 B′ A′的解析式为 y = kx + b, ∴ -2k+b= -2, 2k+b= 6,{ 解得 k= 2, b= 2,{ ∴ 直线 B′A′的解析式为 y = 2x+ 2,当 y= 0 时,x= -1,∴ C( -1,0) . 第 3 题解图 4. 3 2 　 【解析】解法 1:如解图①,作点 G 关于 AB 的对称点 G′,在 CD 上截取 CH= 1,连接 HG′交 AB 于点 E,在 EB 上 截取 EF= 1,则 GE =G′E,此时 GE+CF 的值最小,∵ CH = EF= 1,CH∥EF,∴ 四边形 EFCH 是平行四边形,∴ EH = CF,∴ G′H =EG′+EH =EG+CF,∵ AB = 4,BC =AD = 2,G 为 边 AD 的中点,∴ DG′=AD+AG′= 2+1 = 3,DH = 4-1 = 3,在 Rt△G′DH 中,由勾股定理得 HG′= 32 +32 = 3 2 ,即 GE+ CF 的最小值为 3 2 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图①,∵ AG= 1 2 AD= 1,设 AE= x,则 BF =AB -EF- AE = 4 - x - 1 = 3 - x, 由勾股定理得 EG + CF = x2 +12 + (3-x) 2 +22 ,如解图②,在矩形 MNKR 中, MR= 3,KR= 2,KQ = 1,P 为 NK 上一动点,设 PK = y,则 NP= 3-y,∴ MP+PQ = (3-y) 2 +22 + y2 +12 ,由解图 ②可知,当 M,P,Q 三点共线时,MP+PQ 最小,最小值是 3 2 ,即 EG+CF 的最小值是3 2 . 图① 　 图② 第 4 题解图 例 3 题解图 例 3 　 2 3 　 【解析】 ∵ ∠ACB = 90°,∠B = 30°, ∴ ∠CAB = 60°, 由作图步骤可知 AF 平分∠CAB, ∴ ∠CAF = ∠BAF = 1 2 ∠CAB = 30°,如解图, 过点 C 作 CN ⊥ AB 于 N, 交 AF 于 P, 在 Rt△APN 中,∠BAF= 30°,∴ PN = 1 2 AP,∴ CP+ 1 2 AP = CP +PN=CN,此时 CP+PN 值最小,在 Rt△ACN 中,∠CAN = 60°,AC= 4,∴ sin60° = CN AC ,∴ CN = AC·sin60° = 4× 3 2 = 2 3 ,∴ CP+ 1 2 AP 的最小值为 CP+PN=CN= 2 3 . 5. B 　 【解析】 如解图,以 AP 为斜边在 AC 下方作等腰 Rt△ADP,过点 B 作 BE ⊥ AD 于点 E, ∵ ∠PAD = 45°, ∠BAC = 15°,∴ ∠BAD = 60°,∴ BE =AB·sin60° = 5 3 ,∵ 2 2 AP+PB=DP+PB≥BE,∴ 2 2 AP+PB 的最小值为 5 3 . 第 5 题解图 6. 5 2 　 【解析】如解图,在矩形外作∠BCM = 30°,过点 P 作 PE⊥CM,则 PE= 1 2 PC,过点 A 作 AF⊥CM 于点 F,交 BC 于点 P′,∴ AP+ 1 2 PC = AP+PE≥AF,∴ AP+ 1 2 PC 的最小 值为 AF 的长,∵ ∠AP′B = ∠CP′F = 90° - ∠BCM = 60°, ∠B = 90°, 在 Rt △ABP′中, AP′ = AB sin∠AP′B = 2, BP′ = AB tan∠AP′B = 1, ∴ CP′ = BC -BP′ = AD -BP′ = 2 - 1 = 1,在 Rt△CFP′中,P′F= 1 2 CP′= 1 2 ,∴ AF=AP′+P′F=2+ 1 2 = 5 2 . 第 6 题解图 例 4　 17 　 【解析】如解图,在 AC 上截取 CQ= 1,连接 CP, PQ,BQ,∵ AC = 9,CP = 3,∴ CP AC = 1 3 ,∵ CQ = 1,∴ CQ CP = 1 3 ,又∵ ∠ACP = ∠PCQ,∴ △ACP∽△PCQ,∴ PQ = 1 3 AP,∴ 1 3 PA+PB = PQ+PB≥BQ,∴ 当 B,Q,P 三点共线 时, 1 3 PA+PB 的值最小,在 Rt△BCQ 中,BC = 4,CQ = 1, ∴ QB= 17 ,∴ 1 3 PA+PB 的最小值为 17 . 例 4 题解图 【针对训练】 7. 145 2 　 【解析】如解图,在 CB 上取一点 F,使得 CF = 1 2 , 连接 PF,AF,PC. ∵ ∠DCE= 90°,DE = 4,P 为 DE 的中点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 46 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 ∴ PC= 1 2 DE= 2,∵ CF CP = 1 4 , CP CB = 1 4 ,∴ CF CP = CP CB ,∵ ∠PCF = ∠BCP, ∴ △PCF ∽ △BCP, ∴ PF PB = CF CP = 1 4 , ∴ PF = 1 4 PB,∴ PA+ 1 4 PB = PA+PF≥AF,∴ 当 F,P,A 三点共线 时,PA+ 1 4 PB 的值最小,在 Rt△ACF 中,AF = CF2 +AC2 = ( 1 2 ) 2 +62 = 145 2 ,∴ PA+ 1 4 PB 的最小值为 145 2 . 第 7 题解图 8. 17 　 【解析】如解图,在 AB 上截取 AQ= 1,连接 AP,PQ, CQ,∵ 点 E,F 分别是边 AB,AC 的中点,点 P 是以点 A 为 圆心、以 AE 长为半径的圆弧上的动点,∴ AP AB = 2 4 = 1 2 , ∴ AQ AP = 1 2 ,∵ ∠PAQ = ∠BAP,∴ △APQ∽△ABP,∴ PQ = 1 2 PB,∴ 1 2 PB+PC=PQ+PC≥CQ,∴ 当 Q,P,C 三点共线 时, 1 2 PB+PC 的值最小. 在 Rt△ACQ 中,AC= 4,AQ= 1,∴ QC= AC2 +AQ2 = 16+1 = 17 ,∴ 1 2 PB+PC 的最小值 为 17 . 第 8 题解图 例 5　 3 +1　 【解析】如解图,过点 D 作 DM⊥EF 于点 M,在 △DEF 内部过 E, F 分别作 ∠MEP = ∠MFP = 30°, 则 ∠EPF= ∠FPD = ∠EPD = 120°,点 P 就是费马点,在等腰 Rt△DEF 中,DE=DF = 2 ,DM⊥EF,∴ EF = 2 DE = 2,∴ EM=DM= 1,∴ PE = EM cos30° = 2 3 3 ,PM = EM·tan30° = 3 3 , 故 DP= 1 - 3 3 ,同法可得 PF = 2 3 3 ,则 PD+PE+PF = 2 × 2 3 3 +1- 3 3 = 3 +1. 例 5 题解图 【针对训练】 9. B　 【解析】如解图,将 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 AG,连接 CG,EG,∴ ∠GAC = 90°,∵ 等边△ABC 的边长为 1,AF 为 BC 边上的高,∴ CB = AC = AG = 1,∠BAC = ∠BCD = 60°,AF 平分∠BAC, ∴ ∠CAF = 30°, ∠GAE = ∠GAC - ∠CAF= 60°, ∴ ∠BCD = ∠GAE,在△BCD 和△GAE 中, CB=AG, ∠BCD= ∠GAE, CD=AE, ì î í ïï ï ∴ △BCD≌△GAE,∴ BD = GE,∴ BD+ CE=GE+CE≥CG,∴ 当点 C,E,G 在同一直线上时,GE+ CE 的值最小,在 Rt△ACG 中,CG = AC2 +AG2 = 2 ,∴ BD+CE 的最小值为 2 . 第 9 题解图 10. (1)60°;(2)5　 【解析】如解图,以 BD 为边向外作等边 三角形 BDE,连接 CE,∵ △BDE,△ABC 均为等边三角 形,∴ BE=BD,AB=BC,∠ABC= ∠DBE= 60°,∴ ∠ABD = ∠CBE, 在 △ABD 和 △CBE 中, AB=CB, ∠ABD= ∠CBE, BD=BE, ì î í ïï ï ∴ △ABD≌△CBE,∴ CE = AD,∵ BE = BD = DE = 8,CD = 3, ∴ 当 C,D,E 三点共线时,CE 有最小值,∴ CE = DE-CD = 8-3 = 5,∴ AD 的最小值为 5,此时∠BDC= 60°. 第 10 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 四、辽宁中考培优———突破双压轴解答题 压轴题一　 二次函数综合题 1. 解:(1)由题意可得,抛物线的对称轴是直线 x = 10+20 2 = 15, ∴ 抛物线的顶点坐标为(15,9) . ∴ 可设抛物线的表达式为 y=a(x-15) 2 +9(a≠0), 又∵ 抛物线过点(10,8), ∴ 25a= -1, ∴ a= - 1 25 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 56 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 几 何 图 形 最 值 模 型 模型九　 几何图形最值模型(锦州 2023. 14;朝阳 2023. 24) 类型 1　 将军饮马 模型 图示 作法 原理 点 A, B 在 直线 l 异侧 连接 AB 交直线 l 于点 P,点 P 即 为所求作的点 点 A, B 在 直线 l 同侧 作点 A 关于直线 l 的对称点 A′,连 接 A′B 交直线 l 于点 P,点 P 即为 所求作的点 两点之间线段最短 例 1　 如图,正方形 ABCD 的边长为 8,点 M 在 CD 上,且 DM = 2,N 是 AC 上的一个动点,则 DN+MN 的最小值为 ( C ) 例 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 B. 8 C. 10 D. 8 2 针对训练 1. 如图,已知∠AOB= 48°,点 P 为∠AOB 内部一点,点 M 为射线 OA、点 N 为射线 OB 上的两 个动点,当△PMN 的周长最小时,则∠MPN= 　 84°　 . 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,等边三角形 ABC 的边长为 4,E 为 BC 边上的动点,F 为 AE 的中点,则 BF+CF 的最 小值为 ( B ) A. 2+2 3 B. 2 7 C. 5 D. 3 3 33 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 几 何 图 形 最 值 模 型 类型 2　 造桥选址 问题描述 图示 作法 原理 已知直线 m∥n,在 直线 m,n 上分别求 点 M,N,使 MN⊥直 线 m,且 AM + MN + BN 的值最小 将 点 A 向 下 平 移 MN 的长度单位得 点 A′,连接 A′ B 交 直线 n 于点 N,过点 N 作 MN⊥ 直线 m 于点 M,连接 AM,点 M,N 即为所求 两点之间线 段最短 在直线 l 上求两点 P,P′(点 P 在点 P′ 左侧),并使 AP+PP′ +P′B 的值最小 将点 A 向 右 平 移 PP′的长度单位得 点 A′,作点 B 关于 直 线 l 的 对 称 点 B′,连接 A′B′,A′B′与直线 l 的交点 即为点 P′,将点 P′向左平移 PP′的 长度单位即为点 P 两点之间线 段最短 例 2　 [人教八上 P86 问题 2 改编]已知 A 地和 B 地在一条河的两岸(河岸平行),现要在河上建 一座垂直于河岸的桥 MN,请在图中找到合适的建桥位置,使从 A 地到 B 地的路径 AM+ MN+NB 最短. 例 2 题图 　 　 　 【自主作图】 【点拨】利用两点之间线段最短进行求解,要使 AM+MN+NB 最短,即为求解 AM+NB 的最小值. ①将点 A 沿着垂直于河岸 b 的方向平移到点 A′,使得 AA′=MN, ②连接 BA′,交河岸 b 于点 N, ③过点 N 作 MN⊥b,交河岸 a 于点 M,连接 AM,可以发现此时 AM∥A′N,即 AM∥BN. 针对训练 3. [2023 鞍山月考]如图,在平面直角坐标系中,已知 A(3,6),B( -2,2),在 x 轴上取两点 C,D (点 C 在点 D 左侧),且始终保持 CD= 1,线段 CD 在 x 轴上平移,当 AD+BC 的值最小时, 点 C 的坐标为　 (-1,0) 　 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 多解法 ∙∙∙ 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,BC = 2,G 是 AD 的中点,线段 EF 在边 AB 上左右滑 动,连接 GE,CF,若 EF= 1,则GE+CF 的最小值为　 3 2 　 . 43 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 几 何 图 形 最 值 模 型 类型 3　 胡不归 问题描述 已知点 P 是线段 BC 上一动点,点 A 是直线 BC 外一定点,连接 PA,求 PA+ k·PB 的最小值(0<k<1) 图示 作法 在线段 BC 异于点 A 的一侧作∠CBE=α,使 sinα= k,过点 P 作 PD⊥BE 于点 D,则 PD=PB·sinα= k·PB,则求 PA +k·PB 的最小值即为求 PA+PD 的最小值; 过点 A 作 AD′⊥BE 于点 D′,AD′交 BC 于点 P′,点 P′即为 PA+k·PB 取最小值时点 P 的位置 原理 垂线段最短 例 3　 [2023 锦州 14 题 3 分]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠ABC = 30°,AC = 4,按下列步 骤作图:①在 AC 和 AB 上分别截取 AD,AE,使 AD=AE. ②分别以点 D 和点 E 为圆心,以大 于 1 2 DE 的长为半径作弧,两弧在∠BAC 内交于点M. ③作射线 AM 交 BC 于点 F. 若点 P 是 线段 AF 上的一个动点,连接 CP,则 CP+ 1 2 AP 的最小值是　 2 3 　 . 【点拨】本题是一道典型的利用胡不归模型解决线段和最值的问题,胡不归模型的重点就 在于能否把 a+kb 转化成为 a+c,根据题目中所给的条件,判断 AF 为角平分线,利用胡不 归模型构建直角三角形,转化两条线段和为一条线段,利用三角函数求出线段长度. 例 3 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 针对训练 5. 如图,在△ABC 中,∠A = 15°,AB = 10,P 为 AC 边上的一个动点(不与 A,C 重合),连接 BP,则 2 2 AP+PB 的最小值是 ( B ) A. 5 2 B. 5 3 C. 10 3 3 D. 8 6. 如图,在矩形 ABCD中,AD=2,AB= 3,点 P 为 BC 边上一点,则 AP+ 1 2 PC 的最小值是　 　 　 . 53 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 几 何 图 形 最 值 模 型 类型 4　 阿氏圆 问题 描述 已知点 P 为☉O 上一动点,点 A,B 为☉O 外两定点,连接 PB,PA,求 PA+k·PB 的 最小值(0<k<1),其中 r= k·OB 图示 作法 在线段 OB 上截取 OC = k·r = k·OP,则可得 △OBP∽△OPC(OP = r = k·OB,∴ OP OB =OC OP = k, ∠POC = ∠BOP, 故 △OBP ∽ △OPC ), ∴ PC= k·PB,则求 PA+k·PB 的最小值即为 求 PA+PC 的最小值;连接 AC,交☉O 于点 P′, 点 P′即为 PA+k·PB 取最小值时点 P 的位置 原理 两点之间线段最短 例 4　 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 9,BC= 4,以点 C 为圆心,3 为半径作☉C,分别交 AC,BC 于 D,E 两点,点 P 是☉C 上一个动点,则 1 3 PA+PB 的最小值为　 17 　 . 【点拨】利用相似三角形将 1 3 PA 转化为 PQ. 在 AC 上截取 CQ = 1,连接 CP,PQ,BQ,证明 △ACP∽△PCQ,可得 PQ = 1 3 AP,当 B、Q、P 三点共线时, 1 3 PA+PB 的值最小,求出 BQ 即可. 例 4 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 针对训练 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 6,BC= 8,D,E 分别是边 BC,AC 上的两个动点,且 DE= 4,P 是 DE 的中点,连接 PA,PB,则 PA+ 1 4 PB 的最小值为　 　 　 　 . 8. 如图,在△ABC 中,∠A= 90°,AB=AC= 4,点 E,F 分别是边 AB,AC 的中点,点 P 是以 A 为 圆心、以 AE 长为半径的圆弧上的动点,则 1 2 PB+PC 的最小值为 　 17 　 . 63 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 几 何 图 形 最 值 模 型 类型 5　 费马点 问题描述 图示 思路 作法 原理 在 任 意 △ABC 内 确 定 一 点 P,使得 PA + PB + PC 最小 将以 P 为顶点 的三角形旋转 60°,得到等边 三 角 形, 则 三 条共顶点 (点 P)线段转化为 首尾相连的折 线段 将△PBC 绕点 B 顺时针旋转 60°,得到△P′BC′,连接 PP′, 得到等 边 三 角 形 PBP′, 则 PA+PB+PC =PA+PP′+P′C′, 当 PA,PP′和 P′C′在一条直 线上时,PA+PB+PC 最小 两点之 间线段 最短 例 5　 如果点 P 是△ABC 内一点,且它到三角形的三个顶点距离之和最小,则 P 点叫△ABC 的费马点. 已经证明:在三个内角均小于 120°的△ABC 中,当∠APB = ∠APC = ∠BPC = 120°时,点 P 就是△ABC 的费马点. 若点 P 是腰长为 2的等腰直角三角形 DEF 的费马点, 则 PD+PE+PF= 　 3 +1　 . 【点拨】过点 D 作 DM⊥EF 于点 M,在△DEF 内部过 E,F 分别作∠MEP = ∠MFP = 30°,结 合费马点的定义,求出 PE,PF,DP 的长即可解决问题. 针对训练 9. 如图,等边△ABC 的边长为 1,AF 为 BC 边上的高,点 D,E 分别为 AC,AF 上的两个动点, 且满足 CD=AE,则 BD+CE 的最小值为 ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 2 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 组合练 如图,D 是等边三角形 ABC 外一点,连接 AD,BD,CD,已知 BD= 8,CD= 3,则当线 段 AD 的长度最小时. (1)∠BDC= 　 60°　 ; (2)AD 的最小值是 　 5　 . 73