模型8 折叠模型-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 折 叠 模 型 模型八　 折叠模型(真卷 22 题;省模考 22 题) 类型 1　 矩形中的折叠(省模考 22 题) 例 1　 [2023 盘锦 18 题 3 分]如图,四边形 ABCD 是矩形,AB= 6 ,BC= 6,点 E 为边 BC 的中点, 点 F 为边 AD 上一点,将四边形 ABEF 沿 EF 折叠,点 A 的对应点为点 A′,点 B 的对应点为 点 B′,过点 B′作 B′H⊥BC 于点 H,若 B′H= 2 2 ,则 FD 的长是　 3+ 3 　 . 例 1 题图 【点拨】设 B′E 交 AD 于点 G,根据折叠的性质可知 BE =B′E,∠BEF = ∠B′EF,根据平行线 的性质可得∠GFE = ∠BEF,∴ ∠GFE = ∠B′EF,∴ FG =EG,利用勾股定理求出 EH 的值; 过点 E 作 EM⊥AD 于点 M,易证△EMG∽△B′HE,利用相似三角形的性质及线段和差关 系可求出 AF 的值,再根据 FD=AD-AF 进行计算即可得到答案. 模型总结 图形 结论 点 B′在矩形 ABCD 内部(折痕 CP) (大连 2022. 16) ①BP= 　 B′P　 ,BC= 　 B′C　 =AD; ②∠B= ∠PB′C,∠BPC= ∠B′PC,∠BCP= ∠B′CP; ③△BPC　 ≌　 △B′PC; ④△AB′P∽△ABC 点 B′在矩形 ABCD 边上(折痕 CP) (鞍山 2023. 13;营口 2022. 10; 盘锦 2020. 16) ①BP= 　 B′P　 ,BC= 　 B′C　 =AD; ②∠B= ∠PB′C,∠BPC= ∠B′PC,∠BCP= ∠B′CP; ③△BPC≌△B′PC; ④△AB′P∽△DCB′; ⑤直角三角形(常用勾股定理):Rt△DB′C,Rt△AB′P 点 B′在矩形 ABCD 外部(折痕 CA) (2024 省模考卷 22;沈阳 2023. 24; 盘锦 2023. 18;本溪铁岭辽阳 2023. 17) ①AB= 　 AB′　 ,BC= 　 B′C　 =AD; ②∠B= ∠B′,∠BAC= ∠B′AC,∠BCA= ∠B′CA; ③△BAC≌△B′AC,△CDF≌△AB′F; ④直角三角形(常用勾股定理):Rt△AB′F,Rt△CDF 03 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 折 叠 模 型 续表 点 B 与点 D 重合(折痕 EF) (抚顺铁岭 2021. 16) ①四边形 BFDE 是　 菱形　 ; ②A′,F,B 三点共线; ③点 A,B,C,D,A′在同一个圆上; ④直角三角形(常用勾股定理):Rt△A′DF,Rt△DEC 两次折叠(折痕 AG,GE) ①A,F,E 三点共线; ②BG=FG=CG,即点 G 为　 BC　 的中点; ③△ABG∽△GCE; ④∠AGE= 　 90　 °,AG2 +GE2 =AE2, S△AGE = 　 　 　 　 　 = 1 2 AE·　 FG　 ; ⑤GF⊥AE,△AFG∽△GFE∽△AGE 类型 2　 三角形中的折叠(真卷 22 题) 例 2 题图 例 2　 [2024 辽宁二模]如图,在等腰 Rt△ABC 中,AC =BC = 4,∠C = 90°,D 为边 AC 的中点,E 为边 AB 上的一个动点,连接 DE,将△ABC 沿 DE 折叠,点 A 的 对应点为 A′,当 A′E⊥AC 时,BE 的长度为　 2 2 -2 或 2 2 +2　 . 【点拨】此题需注意进行分类讨论. 设直线 A′E 交 AC 于点 F,①当点 F 在点 D 下方时,由题意可得 AB = 4 2 ,∠A= 45°,结合折叠的性质及 A′E⊥AC,可 推出△AEF,△A′DF 都是等腰直角三角形,从而得到 DF,可得 AE = 2 AF = 2 (AD+DF), 利用 BE=AB-AE 即可求解;②当点 F 在点 D 上方时,同理可得. 模型总结 在△ABC 中,∠B= 30°,∠ACB= 90° ,D 是 AB 上一点 一次折叠:将△ACD 沿 CD 折叠后,点 A 的对应 点 A1 落在△ABC 的边上,需分情况讨论􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 两次折叠:将△ACD 沿 CD 折叠,点 A 的对应 点为 A1;再将△A1CD 沿 CA1 折叠,使得点D 的 对应点 D′ 落在△ABC 的边上,需分情况讨论􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 点 A1 落在 AB 上 点 A1 落在 BC 上 点 D′ 落在 AB 上 点 D′ 落在 BC 上 CD 　 垂直平分 　 AA1 ; △ACA1 是　 等边　 三角 形;A1 是 AB 的　 中点　 CD　 平分　 ∠ACB ∠ACD= ∠DCA1 = ∠A1CD′= 　 15　 ° ; CA1⊥AB ∠ACD=∠DCA1 = ∠A1CD′= 　 30　 ° ; AD=A1D=A1D′= 1 2 AC 13 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 折 叠 模 型 针对训练 1. 名师原创 如图,有一块矩形纸片 ABCD, AB= 8,AD = 6,点 E 在 DC 边上,连接 AE, 将纸片沿 AE 折叠,使得 AD 落在 AB 边 上,再将△AED 沿 DE 向右翻折,AE 与 BC 的交点为 F,则 CF 的长为 ( D ) 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 2. [2023 鞍山 13 题 3 分]如图,在平面直角坐 标系中,矩形 AOBC 的边 OB,OA 分别在 x 轴、y 轴正半轴上,点 D 在 BC 边上,将矩 形 AOBC 沿 AD 折叠,点 C 恰好落在边 OB 上的点 E 处,若 OA= 8,OB = 10,则点 D 的 坐标是　 (10,3) 　 . 第 2 题图 3. 如图,将半径为 8 的☉O 沿弦 AB 折叠,AB ( 恰好经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D, 则折痕 AB 的长为 ( B ) 第 3 题图 A. 2 15 B. 4 15 C. 8 D. 10 4. [2024 盘锦兴隆台区期末]如图,在等边三角 形 ABC 中,点 D,E 分别为 AB,AC 边上一 点,连接 DE,将△AED 沿 DE 折叠,点 A 恰 好落在 BC 边的点 F 处,若 AD ∶AE = 2 ∶3, 且 S△BDF = 2,则 S△ECF = 　 4. 5　 . 第 4 题图 5. 如图,将一张三角形纸片 ABC 的一角折 叠,使得点 A 落在四边形 BCDE 的外部点 A′的位置,且点 A′与点 C 在直线 AB 的异 侧,折痕为 DE,已知∠C = 90°,∠A = 34°. 若保持 △A′ DE 的一边与 BC 平行, 则 ∠ADE 的度数为　 45°或 28°　 . 第 5 题图 6. [ 2024 沈阳和平区月考] 在 Rt △ABC 中, ∠C= 90°,AC= 6,点 D 为边 BC 上一点,将 △ACD 沿直线 AD 翻折得到△AED,点 C 的对应点为点 E,连接 BE,如果△BDE 是 以 BD 为直角边的等腰直角三角形,那么 BC 的长等于　 12 或 3 2 　 . 7. [2024 朝阳月考]如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,将△ABE 沿 AE 折叠后,点 B 的 对应点落在对角线 AC 上的点 F 处.若 OF= 1 2 ,tan∠DBC= 3 4 ,则 BE 的长是　 　 　 　 . 第 7 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 ∠BCD = 180°, ∵ ∠BED + ∠AED = 180°, ∴ ∠AED = ∠ACB,∵ ∠A= ∠A,∴ △AED∽△ACB,∴ DE BC = AD AB . ∵ ∠A = 60°,∴ ∠ABD= 30°,∴ AD= 1 2 AB,∴ DE= 1 2 BC= 3. 第 9 题解图 模型八　 折叠模型 例 1　 3+ 3 　 【解析】如解图,设 B′E 交 AD 于点 G,过点 E 作 EM⊥AD 于点 M,则∠AME= 90°,∵ 点 E 为边 BC 的中 点,∴ BE= CE = 1 2 BC = 3,∵ 四边形 ABCD 为矩形,BC = 6,∴ AD=BC= 6,∠A= ∠B = 90°,AD∥BC,∴ ∠AME = ∠A = ∠B= 90°,∴ 四边形 ABEM 为矩形,∴ AB =ME = 6 ,AM =BE = 3,由折叠可知,B′E = BE = 3, ∠BEF = ∠B′EF, ∵ AD∥BC,∴ ∠GFE= ∠BEF,∴ ∠GFE = ∠B′EF,∴ FG = EG,∵ B′H⊥BC,∴ ∠B′HE = 90°,在Rt△B′HE 中,EH = B′E2 -B′H2 = 32 -(2 2 ) 2 = 1,∵ EM⊥AD,B′H⊥BC, ∴ ∠EMG= ∠B′HE= 90°,∵ AD∥BC,∴ ∠EGM = ∠B′EH, ∴ △EMG∽△B′HE,∴ EG B′E = MG HE = EM B′H ,即 EG 3 = MG 1 = 6 2 2 = 3 2 ,∴ EG= 3 3 2 = FG,MG = 3 2 ,∴ FM = FG-MG = 3 3 2 - 3 2 = 3 ,∴ AF=AM-FM = 3- 3 ,∴ FD = AD-AF = 6-(3- 3 )= 3+ 3 . 例 1 题解图 【模型总结】 B′P　 B′C　 ≌　 B′P　 B′C　 AB′　 B′C　 菱形　 BC　 90 1 2 AG·GE　 FG 例 2　 2 2 -2 或 2 2 +2　 【解析】设直线 A′E 交 AC 于点 F, ①当点 F 在点 D 下方时,如解图①,∵ AC = BC = 4,∠C = 90°,∴ AB = 4 2 ,∠A = 45°,∵ 将△ABC 沿 DE 折叠,点 A 的对应点为点 A′,D 为边 AC 的中点,∴ ∠A′ = ∠A = 45°, AD=A′D= 2,∵ A′E⊥AC,∴ △AEF,△A′DF 都是等腰直角 三角形,∴ DF = A′D 2 = 2 ,∴ AF = AD+DF = 2+ 2 ,∴ AE = 2AF= 2 2 +2,∴ BE=AB-AE= 4 2 -(2 2 +2)= 2 2 -2; ②当点 F 在点 D 上方时,如解图②,同理可得 A′D = AD = 2,∴ DF= A′D 2 = 2 ,∴ AF = AD-DF = 2- 2 ,∴ AE = 2 AF = 2 2 -2,∴ BE=AB-AE= 2 2 +2. 综上所述,BE 的长为 2 2 -2 或 2 2 +2. 图① 　 　 图② 例 2 题解图 【模型总结】 垂直平分　 等边　 中点　 平分　 15　 30 【针对训练】 1. D　 【解析】∵ AB= 8,AD = 6,∴ 由折叠性质得 CE =DB = 8 -6 = 2,∴ BA = 6- 2 = 4,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥ CE,∴ △ABF∽ △ECF, ∴ AB EC = BF CF , ∴ 4 2 = 6 -CF CF , ∴ CF = 2. 2. (10,3)　 【解析】∵ 四边形 OACB 是矩形,∴ AC=OB= 10, OA=BC = 8,由折叠性质得 AE = AC = 10,CD = DE, 在 Rt△AOE 中,由勾股定理得 OE = 6,∴ BE = 4,设 BD = m, 则 CD=DE= 8-m,在 Rt△BDE 中,BE2 +BD2 =DE2 ,即 42 + m2 = (8-m) 2 ,解得 m= 3,∴ D(10,3) . 3. B　 【解析】如解图,延长 CO 交 AB 于点 E,连接 OB,∵ AB ( 恰好经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D,∴ E 为 AB 的中 点,CE⊥AB,由题意可得 CD =OD = 4,OB = 8,∴ DE = 1 2 × (8×2- 4) = 1 2 × 12 = 6, ∴ OE = DE - OD = 6 - 4 = 2,在 Rt△OEB 中,根据勾股定理可得 OE2 +BE2 = OB2 ,可求得 BE= 2 15 ,∴ AB= 4 15 . 第 3 题解图 4. 4. 5　 【解析】在等边三角形 ABC 中,有∠A = ∠B = ∠C = 60°,由折叠的性质得 AD = DF,AE = EF, ∠DFE = ∠A = 60°,∴ ∠BDF+∠BFD = ∠BFD+∠EFC = 120°,∴ ∠BDF = ∠EFC,∴ △BDF∽△CFE,∴ S△BDF ∶ S△ECF = (DF ∶EF) 2 = (AD ∶AE) 2 = 4 ∶9,∴ 2 ∶S△ECF = 4 ∶9,解得 S△ECF = 4. 5. 5. 45°或 28°　 【解析】当 DA′∥BC 时,如解图①,∠A′DA = ∠ACB= 90°,∵ △ADE 沿 DE 折叠得到△A′DE,∴ ∠ADE = ∠A′DE= 1 2 ∠ADA′= 45°;当 EA′∥BC 时,如解图②,连 接 AA′,则∠2 = ∠ABC= 90°-34° = 56°,∵ ∠DA′E = ∠BAC = 34°,∴ ∠1 = 34°+56° = 90°,∴ ∠ADA′= 180°-90°-34° = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 56°,∵ △ADE 沿 DE 折 叠 得 到 △A′ DE, ∴ ∠ADE = 1 2 ∠ADA′= 28°. 综上所述,∠ADE 的度数为 45°或 28°. 图① 　 　 图② 第 5 题解图 6. 12 或 3 2 　 【解析】①当∠BDE = 90°时,如解图①,此时 四边形 ACDE 是正方形,则 CD =DE = AC = 6,∵ △BDE 是 等腰直角三角形,∴ BD=DE= 6,∴ BC=CD+BD= 12; 图① 　 　 图② 第 6 题解图 ②当∠DBE= 90°时,如解图②,设 BD = x,则 BE = x,DE = 2 x,由折叠可知,CD = DE = 2 x,由题意可知,∠BDE = ∠DEB= 45°,∴ ∠CDE = 135°,∴ ∠CAE = 45°,延长 AE, CB 交于点 F,则△ACF 是等腰直角三角形,∴ CF = AC = 6,∠F= 45°,∴ BE = BF = x,∴ 2 x+x+x = 6,解得 x = 6 - 3 2 ,∴ BC = 2 x+ x = 3 2 . 综上所述,BC 的长为 12 或 3 2 . 7. 3 2 　 【解析】设 BE = 3m,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ OA = OC= 1 2 AC,OB = OD = 1 2 BD,AC = BD,∠ABC = 90°,∴ OC =OB,∴ ∠ACB= ∠DBC,由折叠得 FE =BE = 3m,∠AFE = ∠ABE= 90°,∴ ∠EFC = 180° -∠AFE = 90°,∴ AB BC = FE FC = tan∠ACB= tan∠DBC= 3 4 ,∴ 4AB= 3BC,FC = 4 3 FE = 4 3 × 3m= 4m,∴ OA=OC=OF+FC= 1 2 +4m,CE = FE2 +FC2 = (3m) 2 +(4m) 2 = 5m,∴ AB = AF = OA+OF = 1 2 + 4m+ 1 2 = 1+4m,BC=BE+CE= 3m+5m= 8m,∴ 4(1+4m) = 3×8m, 解得 m= 1 2 ,∴ BE= 3× 1 2 = 3 2 . 模型九　 几何图形最值模型 例 1　 C　 【解析】如解图,连接 BN,BM,∵ 四边形 ABCD 是 正方形,∴ 对角线 AC 所在直线是正方形的一条对称轴, ∴ BN=DN,∴ DN+MN = BN+MN≥BM,∴ DN+MN 的最小 值为 BM 的长,∵ 在 Rt△BCM 中,BC = 8,CM =CD-DM = 8 -2 = 6,∴ BM = BC2 +CM2 = 82 +62 = 10,即 DN+MN 的 最小值为 10. 例 1 题解图 【针对训练】 1. 80°　 【解析】如解图,作点 P 关于 OB 的对称点 E,连接 EO,EM,∴ EM = MP,∠MPO = ∠OEM,∠EOM = ∠MOP, 作点 P 关于 OA 的对称点 F,连接 NF,OF,∴ PN = FN, ∠OPN = ∠OFN,∠PON = ∠NOF,∴ PM+PN+MN = EM+ NF+MN≥EF,∴ 当 E,M,N,F 四点共线时,△PMN 周长 最小, 又 ∵ ∠EOF = ∠EOM + ∠MOP + ∠PON + ∠NOF, ∠AOB= ∠MOP+∠PON,∴ ∠EOF = 2∠AOB,又∵ ∠AOB = 50°,∴ ∠EOF = 100°,∵ 在△EOF 中,∠OEM+∠OFN+ ∠EOF= 180°, ∴ ∠OEM + ∠OFN = 180° - 100° = 80°, ∵ ∠MPO = ∠OEM, ∠OPN = ∠OFN, ∴ ∠MPO + ∠OPN = 80°,即∠MPN= 80°. 第 1 题解图 2. B　 【解析】如解图,分别取 AB,AC 的中点 M,N,作直线 MN,由三角形中位线定理知 MN 与 AE 的交点为 AE 的中 点 F,即点 F 是直线 MN 上的一个动点,作点 B 关于 MN 的对称点 B′,连接 B′C,B′F,则 B′F=BF,∴ BF+CF=B′F+ CF≥B′C,∴ BF+CF 的最小值为 B′C 的长,由题意知 BC = 4,则等边△ABC 中,BC 边上的高为 2 3 ,∴ B′B = 2 3 , 在 Rt △B′ CB 中, B′ C = BC2 +B′B2 = 42 +(2 3 ) 2 = 2 7 . 第 2 题解图 例 2　 解:桥 MN 的位置如解图所示. 例 2 题解图 3. ( -1,0)　 【解析】如解图,把 A(3,6)向左平移 1 个单位 长度得 A′(2,6),作点 B 关于 x 轴的对称点 B′,连接 B′A′ 交 x 轴于点 C,在 x 轴上取点 D(点 C 在点 D 左侧),使 CD= 1,连接 AD,此时 AD+BC 的值最小,∵ B( - 2,2), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 36