模型7 与圆有关的模型-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 与 圆 有 关 的 模 型 模型七　 与圆有关的模型 (沈阳 2023. 10;鞍山 2023. 23;朝阳 2023. 7;葫芦岛 2023. 18) 类型 1　 点圆、线圆最值模型 模型解读 点圆最值(记☉O 半径为 r) 图形 定点在圆外 定点在圆上 定点在圆内 解法 提炼 基本方法:“一箭穿心”找最值,“近”最小,“远”最大 基本依据:三角形三边关系及三点共线,圆中最长弦是直径 最值 最大值为 AP2 =OA+r 最小值为 AP1 =OA-r 最大值为 AP2 = 2r 最小值为 AP1 = 0 最大值为 AP2 =OA+r 最小值为 AP1 = r-AO 模型解读 线圆最值(记☉O 半径为 r,圆心 O 到定直线 m 的距离为 d) 图形 线圆相离 线圆相切 线圆相交 依据与 总结 依据 1:垂线段最短 依据 2:三角形三边关系及三点共线 总结:过圆心作定直线的垂线与圆相交,“近垂足”取最小,“远垂足”取最大 最值 PQ最大 =d+r (PQ≤PM≤OM+ OP=d+r) PQ最大 =d-r (PQ≥OQ-OP≥ OM-OP=d-r) PQ最大 = 2r PQ最小 = 0 PQ最大 =d+r PQ最小 = 0 例 1　 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=BC= 2,以 BC 为直径的半圆交 AB 于点 D,点 P 是弧 CD 上的一个动点,连接 AP,则 AP 的最小值是　 5 -1　 . 例 1 题图 　 　 草图区: 【点拨】当点 P 在 OA 上时,即点 A,P,O 三点共线时,AP 最短. 例 2　 名师原创 如图,AB 是☉O 的弦,C 是☉O 上异于 A,B 的一动点,连接 AC,BC,若☉O 的 半径为 5,AB= 8,则点 C 到 AB 距离的最大值为　 8　 ,△ABC 面积的最大值为　 32　 . 【点拨】AB 为弦,即直线 AB 与圆相交,过点 C 作 AB 的垂线,当垂线经过圆心时,点 C 到 52 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 与 圆 有 关 的 模 型 AB 的距离最大. 当点 C 到 AB 的距离最大时,△ABC 的面积最大. 例 2 题图 　 　 　 草图区: 针对训练 1. 如图,AB 是☉O 的直径,半径 OC⊥AB,点 P 为☉O 上一动点,M 为 AP 的中点,连接 CM, OP. 若☉O 的半径为 2,则 CM 的最大值为 ( B ) A. 2 5 +1 B. 5 +1 C. 4 D. 5 2 +1 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. 名师原创 如图,A,B 是半径为 2 的☉O 上的两点,且 AB= 2 3 ,点 C 为☉O 上一动点(不与 点 A,B 重合),则△ABC 面积的最大值为 ( C ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 3 + 4π 3 类型 2　 定点定长模型———利用圆定义(葫芦岛 2023. 18) 模型 定点定长模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 三条等长线段的公共点 A 找半径 AB(或 AC) 结论 已知平面内一定点 A 和一动点 P,若 AP 长度固定,且 AB=AC=AP,则动点 P 的轨迹是以点 A 为圆心,AP 长为半径的圆 例 3 　 如图, 在四边形 ABCD 中, AB = AC = AD, ∠CAD = 2 ∠BAC, 若 ∠BCD= 105°, 则 ∠BDC= 　 25　 °. 【点拨】由 AB=AC=AD 可得,点 B,C,D 在以点 A 为圆心,AB 长为半径的圆上. 例 3 题图 　 　 　 草图区: 62 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 与 圆 有 关 的 模 型 针对训练 3. 如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB= 3,BC= 4,点 P 是 BC 边上一动点(点 P 不与 B,C 重合),连 接 AP,作点 B 关于直线 AP 的对称点 M,则线段 MC 的最小值为 ( A ) A. 2 B. 5 2 C. 3 D. 10 【点拨】由对称可知 AM=AB(定长),则可知点 M 在以点 A 为圆心,AB 长为半径的圆上. 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,△ABC 的面积为 22,AB = 11,AC = 5,点 P 在边 AB 上(点 P 与点 A 不重合),连接 CP,作点 A 关于直线 CP 的对称点 A′,连接 A′P,A′C,A′B,则 A′B 的最小值为　 4 5 -5　 . 【点拨】由对称可知 A′C=AC(定长),则点 A′在以点 C 为圆心,AC 长为半径的圆上. 类型 3　 定角定弦模型———利用圆周角定理 模型 定角定弦模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 △ABP 任意两边垂直平分线的交点 找半径 交点到点 A 或点 B 的距离 结论 在☉O 中,AB 的长度为定值(即定弦),P 为动点,且∠P 为定值,由同弧 或等弧所对的圆周角相等可知,弦 AB 在同弧或等弧上所对的圆周角相等 例 4　 如图,AB= 4,点 P 是线段 AB 外的动点,∠APB= 45°,C,D 分别是 AB,BP 的中点,则 CD 的最大值为 ( B ) 例 4 题图 　 　 　 草图区: A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 【点拨】由题可知∠APB = 45°(定角),AB = 4(定弦),结合模型可知点 P 在以 AB 为弦的 圆上. 72 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 与 圆 有 关 的 模 型 针对训练 5. [2024 扬州]如图,已知两条平行线 l1,l2,点 A 是 l1 上的定点,AB⊥l2 于点 B,点 C,D 分别 是 l1,l2 上的动点,且满足 AC = BD,连接 CD 交线段 AB 于点 E,BH⊥CD 于点 H,则当 ∠BAH 最大时,sin∠BAH 的值为　 　 　 　 . 【点拨】由题得四边形 ACBD 是平行四边形,得到 BE 是定长,又由∠BHE = 90°,得出直角 对直径的隐圆模型,当∠BAH 最大,即 AH 与☉O 相切时,即可求解. 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,点 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一个动点,且满足∠PBC+∠PDC = 45°,则 CP 的最小值是 ( D ) A. 2- 2 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 -1 【点拨】由∠PBC+∠PDC=45°,可得∠BPD=135°,AB=1,可得出点 P 是在以 AB 为弦的圆上. 类型 4　 定角定高模型 模型 定角定高模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 △ABC 三边垂直平分线的交点 找半径 交点到点 B 或点 A 或点 C 的距离 结论 已知在△ABC 中,∠ABC 的值为定值(即定角),BD 为边 AC 上的高,则点 B 可看作在圆上运动,当 B,O,H 三点共线时,AC 有最小值 例 5　 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,BC 边上的高 AD = 4,则△ABC 周长的最小值 为　 8+8 2 　 . 例 5 题图 【速解技巧】当直接应用定角定高模型的结论时可快速解题. 82 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 与 圆 有 关 的 模 型 针对训练 7. 名师原创 如图,在△ABC 中,∠ABC= 120°,BD⊥AC 于点 D,BD= 3,则 AC 的最小值是 ( B ) 第 7 题图 A. 5 B. 6 3 C. 9 3 D. 18 3 变式 若∠ABC=60°,BD=4,则△ABC 面积的最小值为　 　 　 　 . 类型 5　 四点共圆模型(沈阳 2023. 10;鞍山 2023. 23;朝阳 2023. 7) 模型 四点共圆模型 图形 原图 解图 原图 解图 分析 已知 已知动角∠A+动角∠C= 180° 已知 AB 的长度为定值,且线段 AB 所对同侧动角∠P= ∠C 定圆心 四边形 ABCD 任意两边垂直平分线的 交点 △ABC 或△ABP 任意两边垂直平分 线的交点 找半径 交点到点 B 或点 D 的距离 交点到点 A 或点 B 或点 C 的距离 结论 对角互补四边形的四个顶点共圆(圆 内接四边形性质) 共边三角形且边所对角相等的四个 顶点共圆(同弧所对的圆周角相等) 例 6　 如图,以 C 为公共顶点的 Rt △ABC 和 Rt △CED 中, ∠ACB = ∠CDE = 90°, ∠A = ∠DCE= 30°,且点 D 在线段 AB 上,则∠ABE= 　 30°　 . 例 6 题图 　 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 针对训练 8. [2023 本溪明山区月考]如图,以量角器的直径 AB 为斜边画直角三角形 ABC,量角器上点 D 对应的读数是 100°,则∠BCD 的度数为 ( B ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 80° 9. 如图,在△ABC 中,BD,CE 分别是 AC,AB 边上的高,已知∠A = 60°,BC = 6,则 DE 的长 为　 3　 . 92 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 CE2 =DE2 ,即 x2 +(2+x) 2 = (2 2 ) 2 ,解得 x = 3 - 1(负值 已舍去),∴ CD= 3 -1. 模型六　 对角互补模型(含十字模型) 例　 (1)4　 【解析】如解图①,过点 O 分别作 OG⊥CD,OH⊥ BC,垂足分别为 G,H,∵ 点 O 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,∴ OG = OH,∠GOH = 90°,∴ 四边形 CGOH 是正方形, ∴ ∠EOF = ∠EOG + ∠GOF = ∠GOF + ∠FOH = ∠GOH, ∴ ∠EOG = ∠FOH, 又 ∵ ∠OGE = ∠OHF, ∴ △OGE ≌ △OHF(ASA),∴ S四边形CEOF =S正方形CGOH . ∵ AD =CD = 3,∴ AC = 3 2 ,∵ CO= 2AO,∴ CO= 2 2 ,∴ S正方形CGOH = 1 2 CO2 = 1 2 × (2 2 ) 2 = 4,∴ S四边形CEOF = 4. 例题解图 (2) 1 2 　 【解析】如解图②,过点 O 分别作 OG⊥CD,OH⊥ AD,垂足分别为 G,H,∴ 四边形 OHDG 为矩形,∴ ∠EOF = ∠HOG= 90°, ∴ ∠HOM = ∠GON,又∵ ∠MHO = ∠NGO, ∴ △MHO∽△NGO, ∴ OM ON = OH OG . ∵ AD = CD = 3, ∴ AC = 3 2 ,∵ CO= 2AO,∴ AO= 2 ,CO= 2 2 ,∴ AH =OH = 2 2 OA= 1,OG=DH=AD-AH= 2,∴ OM ON =OH OG = 1 2 . 【针对训练】 1. 3　 【解析】解法 1:如解图①,过点 C 分别作 CM⊥OA, CN⊥OB 于点 M, N, 由角平分线性质可得 CM = CN, ∠MCN = 90°, ∴ ∠MCD = ∠NCE, ∴ △MCD ≌ △NCE, ∴ CD=CE= 3. 图① 　 　 图② 第 1 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,过点 C 作 CF⊥OC,与 OB 交于点 F,易 证 ∠DOC = ∠EFC = 45°, CO = CF, ∠DCO = ∠ECF,∴ △DCO≌△ECF,∴ CD=CE= 3. 2. 4　 【解析】如解图,将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到 △AEB. ∵ 四边形内角和为 360°,∴ ∠D+ ∠ABC = 180°, ∴ ∠ABE+∠ABC= 180°,∴ E,B,C 三点共线. 根据旋转性 质可知∠EAC = 60°,AE = AC, ∴ △AEC 是等边三角形. ∵ S四边形ABCD = S△AEC, ∴ S△AEC = 1 2 × 3 2 AC · AC = 4 3 , ∴ AC= 4. 第 2 题解图 3. 60 13 　 【解析】由题意得∠ABE = ∠C = 90°,AB =BC,∵ BE = CF,∴ △ABE ≌ △BCF, ∴ ∠BAE = ∠CBF, ∵ ∠CBF + ∠ABG= 90°,∴ ∠BAE+ ∠ABG = 90°,∴ ∠BGE = 90°,∴ ∠BGE= ∠C,又∵ ∠EBG = ∠FBC,∴ △EBG∽△FBC,∴ BG BC =BE BF ,∵ BC=AB= 12,CF=BE= 5,∴ BF = BC2 +CF2 = 122 +52 = 13,∴ BG 12 = 5 13 ,∴ BG= 60 13 . 4. 1　 【解析】解法 1:如解图①,过点 D 作 DG∥BC 交 AB 于 点 G,∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠B = ∠ACB = 60°,AB = AC = BC, ∴ ∠GDC = 120° = ∠EDF, ∠EGD = 120° = ∠DCF,∴ ∠GDE= ∠CDF,∵ D 是 AC 的中点,DG∥BC,∴ DG = 1 2 BC= 1 2 AC = 1 2 AB = DC = BG = 2, ∴ △GDE ≌ △CDF,∴ GE=CF. ∵ BE= 1,∴ GE=CF= 1. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M,DN ⊥BC 于点 N,连接 BD,∵ △ABC 是等边三角形,D 是 AC 的中点,∴ BD 是∠ABC 的平分线,∴ DM = DN,∵ ∠ABC = 60°, ∴ ∠MDN = 120°, ∴ ∠MDE + ∠NDE = ∠NDE+∠NDF,∴ ∠MDE = ∠NDF,∵ ∠DME = ∠DNF = 90°, ∴ △DME ≌ △DNF ( ASA ), ∴ ME = NF, 在 Rt△ADM 中,AD= 2,∠A = 60°,∴ AM = 1,同理,CN = 1, ∴ ME=AB-AM-BE= 2,∴ NF= 2,∴ CF= 1. 图① 　 　 图② 第 4 题解图 模型七　 与圆有关的模型 例 1　 5 -1　 【解析】连接 OA,交半圆于点 P′,如解图,∵ AC = BC = 2,BC 为半圆的直径, ∴ OP′ = OC = 1 2 BC = 1, ∵ ∠ACB= 90°,∴ OA = AC2 +OC2 = 22 +12 = 5 ,∵ AP ≥OA-OP′,∴ AP≥ 5 -1,∴ 当点 P 在 OA 上时,AP 最短, 最小值为 5 -1. 例 1 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 例 2　 8;32　 【解析】如解图,连接 OA,过点 O 作 AB 的垂线, 垂足为 D,延长 DO 交☉O 于点 C1 ,∴ AD = 1 2 AB = 4, ∴ 在 Rt△AOD 中,OD = AO2 -AD2 = 3,∴ C1D = 8,∴ 点 C 到 AB 距离的最大值为 8,∴ △ABC 面积的最大值 为 1 2 AB·C1D= 1 2 ×8×8 = 32. 例 2 题解图 【针对训练】 1. B　 【解析】如解图,当点 P 在☉O 上运动时,取 OA 的中 点 O′,连接 O′M,则 O′M 是△AOP 的中位线,∴ O′M = 1, ∴ AP 的中点 M 的轨迹是以 OA 为直径的☉O′,即点 M 在 以 O′为圆心,半径为 1 的圆上运动,此时 CO′交☉O′于点 M,CM 的值最大,由题意得 OA =OB =OC = 2,OO′ =O′A = 1 =O′M, ∵ 在 Rt △O′OC 中,OC = 2,OO′ = 1, ∴ O′C = 22 +12 = 5 ,∴ CM=CO′+O′M= 5 +1. 第 1 题解图 2. C　 【解析】如解图,边点 O 作 OH⊥AB 于点 H,连接 OA,延 长 HO 交☉O 于点 C,此时△ABC 的面积最大,∴ AH=BH= 1 2 AB= 1 2 ×2 3 = 3 ,∴ HO = AO2 -AH2 = 22 -( 3 ) 2 = 1,∴ CH=OC+OH = 2+ 1 = 3,∴ △ABC 的面积为 1 2 AB· CH= 1 2 ×2 3 ×3 = 3 3 ,∴ △ABC 面积的最大值为 3 3 . 第 2 题解图 例 3　 25　 【解析】如解图,以点 A 为圆心,AB 长为半径画 圆,∴ ∠CAD = 2∠CBD,∠BAC = 2∠BDC,∵ ∠CAD = 2∠BAC, ∴ ∠CBD = 2 ∠BDC, ∵ ∠CBD + ∠BDC + ∠BCD = 180°, ∴ 3 ∠BDC + 105° = 180°, ∴ ∠BDC = 25°. 例 3 题解图 【针对训练】 3. A　 【解析】如解图,连接 AM,∵ 点 B 和点 M 关于直线 AP 对称,∴ AB=AM= 3,∴ 点 M 在以点 A 为圆心,3 为半径的 圆上,∴ 当 A,M,C 三点共线时,CM 最短,∵ AC = 32 +42 = 5,AM=AB= 3,∴ CM=AC-AM= 5-3 = 2. 第 3 题解图 4. 4 5 -5　 【解析】如解图,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为点 D, ∵ △ABC 的面积为 22,AB= 11,∴ CD = 4,在 Rt△ACD 中, ∵ AC= 5,CD= 4,∴ AD= 3,∴ BD =AB-AD = 8,在 Rt△BCD 中,∵ CD= 4,BD= 8,∴ BC= 4 5 ,∵ 点 A 和点 A′关于直线 CP 对称,∴ 点 A′在以点 C 为圆心,AC 长为半径的圆上, AC=A′C= 5,∴ A′B≥BC-A′C,∴ A′B 的最小值为 4 5 -5. 第 4 题解图 例 4　 B　 【解析】∵ AB 是定值,∠APB = 45°,∴ 如解图,点 P 在以 AB 为弦的圆上运动且不与点 A,B 重合,∵ C,D 分别 是 AB,BP 的中点,∴ CD = 1 2 AP,当 AP 为直径时,CD 最 长,此时∠ABP = 90°,且∠APB = 45°,AB = 4,∴ AP = 4 2 . ∴ CD 的最大值为 2 2 . 例 4 题解图 【针对训练】 5. 1 3 　 【解析】如解图,连接 CB,AD,∵ AC∥BD,AC =BD,∴ 四边形 ACBD 是平行四边形,∴ AE =BE = 1 2 AB,∵ A 为定 点,且 AB⊥l2 ,∴ AB 为定值,∴ BE 为定值,∵ BH⊥CD,∴ ∠BHE= 90°,∴ 点 H 在以 BE 为直径的☉O 上运动,此时 OH=OE = 1 2 BE = 1 3 OA,∵ 当 AH 与☉O 相切时,∠BAH 最大,∴ sin∠BAH= OH OA = 1 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 06 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 第 5 题解图 6. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BCD = 90°,在 四边形 BCDP 中,∵ ∠BCD= 90°,∠PBC+∠PDC = 45°,∴ ∠BPC+∠CPD= 360°-∠BCD-( ∠PBC+∠PDC) = 225°, ∴ ∠BPD= 360°-(∠BPC+∠CPD)= 135°,即点 P 在正方 形 ABCD 内,以点 A 为圆心,AB 长为半径的圆弧上,如解 图,可得 AP+CP≥AC,当点 A,P,C 三点共线时,CP 取得 最小值,最小值为 AC-AP,在 Rt△ABC 中,∵ AB = BC = 1, ∴ AC= AB2 +BC2 = 2 ,∵ AP = AB = 1,∴ CP = AC-AP = 2 -1. 第 6 题解图 例 5　 8+8 2 　 【解析】解法 1:如解图①,延长 CB 到点 E,延 长 BC 到点 F,使得 BE=BA,CF=CA,则 C△ABC =AB+BC+AC =EB+BC+CF=EF. 作出△AEF 的外接圆,连接 OE,OF,过 点 O 作 EF 的垂线,垂足为 M,与☉O 交于点 N,∵ AB = EB,AC=FC,∴ ∠AEB= ∠EAB,∠CAF= ∠CFA,∴ ∠ABC = 2∠AEB, ∠ACB = 2 ∠AFC. ∵ ∠BAC = 90°, ∴ ∠ABC + ∠ACB= 90°,∴ ∠AEB+ ∠AFC = 45°,∴ ∠EAB+ ∠FAC = 45°,∴ ∠EAF= 135°,∴ ∠EOF= 2×(180°-135°) = 90°. 设 ☉O 的半径为 r,则 OM = 2 2 r,∴ MN = r- 2 2 r. 由 MN≥AD 得,r- 2 2 r≥4,解得 r≥8+ 4 2 ,∴ r 的最小值为 8+4 2 . 又 ∵ EF= 2 r,∴ EF 的最小值为 8+8 2 ,即△ABC 周长的最 小值为 8+8 2 . 图① 　 图② 例 5 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,由定角定高的结论知,当 AB = AC 时,△ABC 的周长最小,∵ AD = 4,∠BAC = 90°,易得 BC= 2AD= 8,AB=AC= 4 2 ,即△ABC 周长的最小值为 AB+AC+BC= 8+8 2 . 【针对训练】 7. B　 【解析】如解图,作△ABC 的外接圆☉O,连接 OA,OB, OC,过点 O 作 OH⊥AC 于点 H,∵ ∠ABC = 120°,∴ ∠AOC = 2×(180°-∠ABC)= 120°,∴ ∠AOH= 60°,设☉O 的半径 为 r,则 OH = r 2 ,AH = 3 r 2 ,∴ AC = 2AH = 3 r,又∵ OB≥ OH+BD,即 r≥ r 2 +3,解得 r≥6,∴ AC = 3 r≥6 3 ,∴ AC 的最小值为 6 3 . 第 7 题解图 变式 16 3 3 　 【解析】如解图,作△ABC 的外接圆☉O,连 接 OA,OB,OC,过点 O 作 OE⊥AC 于点 E, ∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠AOC= 120°,∵ OA=OC,∴ ∠OAC = ∠OCA = 30°, 设☉O 的半径为 r,则 OE = 1 2 OA = 1 2 r,AE = 3 2 OA = 3 2 r, ∴ AC= 3 r,∵ OB+OE≥BD,∴ r+ 1 2 r≥4,解得 r≥ 8 3 ,∴ AC≥ 8 3 3 , ∵ S△ABC = 1 2 AC·BD≥ 1 2 × 8 3 3 × 4 = 16 3 3 , ∴ △ABC 面积的最小值为 16 3 3 . 第 7 题变式解图 例 6　 30° 　 【解析】∵ ∠ACB = ∠CDE = 90°,∠A = ∠DCE = 30°,∴ ∠DBC = ∠DEC = 60°,∴ B,C,D,E 四点共圆,∴ ∠DBE= ∠DCE= 30°,∴ ∠ABE= 30°. 【针对训练】 8. B　 【解析】设 AB 的中点为 O,连接 OD,如解图,∵ 以量角 器的直径 AB 为斜边画直角三角形 ABC,∴ A,C,B,D 四点 共圆,∵ 量角器上点 D 对应的读数是 100°,∴ ∠BOD = 180°-100° = 80°,∴ ∠BCD= 1 2 ∠BOD= 40°. 第 8 题解图 9. 3　 【解析】∵ BD,CE 分别是 AC,AB 边上的高,∴ ∠BEC= ∠BDC= 90°,∴ B,C,D,E 四点共圆,如解图,∴ ∠BED+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 ∠BCD = 180°, ∵ ∠BED + ∠AED = 180°, ∴ ∠AED = ∠ACB,∵ ∠A= ∠A,∴ △AED∽△ACB,∴ DE BC = AD AB . ∵ ∠A = 60°,∴ ∠ABD= 30°,∴ AD= 1 2 AB,∴ DE= 1 2 BC= 3. 第 9 题解图 模型八　 折叠模型 例 1　 3+ 3 　 【解析】如解图,设 B′E 交 AD 于点 G,过点 E 作 EM⊥AD 于点 M,则∠AME= 90°,∵ 点 E 为边 BC 的中 点,∴ BE= CE = 1 2 BC = 3,∵ 四边形 ABCD 为矩形,BC = 6,∴ AD=BC= 6,∠A= ∠B = 90°,AD∥BC,∴ ∠AME = ∠A = ∠B= 90°,∴ 四边形 ABEM 为矩形,∴ AB =ME = 6 ,AM =BE = 3,由折叠可知,B′E = BE = 3, ∠BEF = ∠B′EF, ∵ AD∥BC,∴ ∠GFE= ∠BEF,∴ ∠GFE = ∠B′EF,∴ FG = EG,∵ B′H⊥BC,∴ ∠B′HE = 90°,在Rt△B′HE 中,EH = B′E2 -B′H2 = 32 -(2 2 ) 2 = 1,∵ EM⊥AD,B′H⊥BC, ∴ ∠EMG= ∠B′HE= 90°,∵ AD∥BC,∴ ∠EGM = ∠B′EH, ∴ △EMG∽△B′HE,∴ EG B′E = MG HE = EM B′H ,即 EG 3 = MG 1 = 6 2 2 = 3 2 ,∴ EG= 3 3 2 = FG,MG = 3 2 ,∴ FM = FG-MG = 3 3 2 - 3 2 = 3 ,∴ AF=AM-FM = 3- 3 ,∴ FD = AD-AF = 6-(3- 3 )= 3+ 3 . 例 1 题解图 【模型总结】 B′P　 B′C　 ≌　 B′P　 B′C　 AB′　 B′C　 菱形　 BC　 90 1 2 AG·GE　 FG 例 2　 2 2 -2 或 2 2 +2　 【解析】设直线 A′E 交 AC 于点 F, ①当点 F 在点 D 下方时,如解图①,∵ AC = BC = 4,∠C = 90°,∴ AB = 4 2 ,∠A = 45°,∵ 将△ABC 沿 DE 折叠,点 A 的对应点为点 A′,D 为边 AC 的中点,∴ ∠A′ = ∠A = 45°, AD=A′D= 2,∵ A′E⊥AC,∴ △AEF,△A′DF 都是等腰直角 三角形,∴ DF = A′D 2 = 2 ,∴ AF = AD+DF = 2+ 2 ,∴ AE = 2AF= 2 2 +2,∴ BE=AB-AE= 4 2 -(2 2 +2)= 2 2 -2; ②当点 F 在点 D 上方时,如解图②,同理可得 A′D = AD = 2,∴ DF= A′D 2 = 2 ,∴ AF = AD-DF = 2- 2 ,∴ AE = 2 AF = 2 2 -2,∴ BE=AB-AE= 2 2 +2. 综上所述,BE 的长为 2 2 -2 或 2 2 +2. 图① 　 　 图② 例 2 题解图 【模型总结】 垂直平分　 等边　 中点　 平分　 15　 30 【针对训练】 1. D　 【解析】∵ AB= 8,AD = 6,∴ 由折叠性质得 CE =DB = 8 -6 = 2,∴ BA = 6- 2 = 4,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥ CE,∴ △ABF∽ △ECF, ∴ AB EC = BF CF , ∴ 4 2 = 6 -CF CF , ∴ CF = 2. 2. (10,3)　 【解析】∵ 四边形 OACB 是矩形,∴ AC=OB= 10, OA=BC = 8,由折叠性质得 AE = AC = 10,CD = DE, 在 Rt△AOE 中,由勾股定理得 OE = 6,∴ BE = 4,设 BD = m, 则 CD=DE= 8-m,在 Rt△BDE 中,BE2 +BD2 =DE2 ,即 42 + m2 = (8-m) 2 ,解得 m= 3,∴ D(10,3) . 3. B　 【解析】如解图,延长 CO 交 AB 于点 E,连接 OB,∵ AB ( 恰好经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D,∴ E 为 AB 的中 点,CE⊥AB,由题意可得 CD =OD = 4,OB = 8,∴ DE = 1 2 × (8×2- 4) = 1 2 × 12 = 6, ∴ OE = DE - OD = 6 - 4 = 2,在 Rt△OEB 中,根据勾股定理可得 OE2 +BE2 = OB2 ,可求得 BE= 2 15 ,∴ AB= 4 15 . 第 3 题解图 4. 4. 5　 【解析】在等边三角形 ABC 中,有∠A = ∠B = ∠C = 60°,由折叠的性质得 AD = DF,AE = EF, ∠DFE = ∠A = 60°,∴ ∠BDF+∠BFD = ∠BFD+∠EFC = 120°,∴ ∠BDF = ∠EFC,∴ △BDF∽△CFE,∴ S△BDF ∶ S△ECF = (DF ∶EF) 2 = (AD ∶AE) 2 = 4 ∶9,∴ 2 ∶S△ECF = 4 ∶9,解得 S△ECF = 4. 5. 5. 45°或 28°　 【解析】当 DA′∥BC 时,如解图①,∠A′DA = ∠ACB= 90°,∵ △ADE 沿 DE 折叠得到△A′DE,∴ ∠ADE = ∠A′DE= 1 2 ∠ADA′= 45°;当 EA′∥BC 时,如解图②,连 接 AA′,则∠2 = ∠ABC= 90°-34° = 56°,∵ ∠DA′E = ∠BAC = 34°,∴ ∠1 = 34°+56° = 90°,∴ ∠ADA′= 180°-90°-34° = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26