模型6 对角互补模型-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 对 角 互 补 模 型 ︵ 含 十 字 模 型 ︶ 模型六　 对角互补模型(含十字模型) (省模考 15 题) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 模型解 读 四边形若满足一组对角互补,则称这样的模型为对角互补模型􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. 类型 双 90°对角互补 60°,120°对角互补 图形 ∠ABC= 120°,∠ADC= 60° 作法 作 DE⊥AB, DF⊥BC 将 BD 绕点 D 逆时 针旋转 90° 交 BC 延长线于点 G ( 或 作 等 角: ∠GDC= ∠BDA) 作 DE⊥AB, DF⊥BC 将 BD 绕点 D 逆时 针旋 转 60° 交 BC 延长线于点 G (或作等角:∠GDC = ∠BDA) (若 AD=CD) 结论 △AED≌△CFD △ABD≌△CGD △BGD 是 等 腰 直 角三角形 △AED≌△CFD △DAB≌△DCG △BDG 是 等 边 三 角形 (若 AD≠CD) 结论 △AED∽△CFD △ABD∽△CGD △BGD 是 直 角 三 角形 △AED∽△CFD △DAB∽△DCG 拓展模型———十字模型 基本 图形 正方形 矩形 辅助线 作法 — 过点 G 作 GH ⊥ AB 于点 H 过点 H 作 HN⊥BC 于点 N,过点 G 作 GM⊥ AB 于点 M 结论 DE=AF, △ADE≌△BAF GE=AF, △GHE≌△ABF GE=HF, △HFN≌△GEM △HFN∽△GEM, 相似比为矩形长与宽之比 32 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 对 角 互 补 模 型 ︵ 含 十 字 模 型 ︶ 例　 名师原创 如图①,正方形 ABCD 的边长为 3,O 是对角线 AC 上一点,且 CO= 2AO,E 是边 CD 上一点,连接 OE,过点 O 作 OF⊥OE,交 BC 于点 F. 例题图 (1)四边形 CEOF 的面积为　 4　 ; 【点拨】过点 O 分别作 CD,BC 的垂线,构造全等三角形,将四边形 CEOF 的面积转化为一 个以 OC 为对角线的正方形的面积. (2)如图②,延长 OE,AD交于点M,延长 OF,DC 交于点 N,则OM ON =　 　 　 　 . 【点拨】过点 O 分别作 AD,DC 的垂线,构造相似三角形,将所求比值转化为相似三角形的 相似比. 针对训练 1. 90°对角互补 多解法 ∙∙∙ 如图,∠AOB = ∠DCE = 90°,∠DCE 的顶点在∠AOB 的角平分线 OC 上,两边分别与射线 OA,OB 交于点 D,E,若 CD= 3,则 CE 的值为　 3　 . 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 60°对角互补 如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD= 60°,∠BCD= 120°,若四边形 AB- CD 的面积为 4 3 ,则 AC= 　 4　 . 3. 十字模型 [2023 丹东 16 题 3 分]如图,在正方形 ABCD 中,AB= 12,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,AE 与 BF 相交于点 G,若 BE=CF= 5,则 BG 的长为　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 120°对角互补 多解法 ∙∙∙ 如图,等边三角形 ABC 的边长为 4,D 是边 AC 的中点,点 E 在边 AB 上,BE= 1,点 F 在边 BC 的延长线上,且∠EDF= 120°,则 CF 的长为　 1　 . 42 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 CE2 =DE2 ,即 x2 +(2+x) 2 = (2 2 ) 2 ,解得 x = 3 - 1(负值 已舍去),∴ CD= 3 -1. 模型六　 对角互补模型(含十字模型) 例　 (1)4　 【解析】如解图①,过点 O 分别作 OG⊥CD,OH⊥ BC,垂足分别为 G,H,∵ 点 O 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,∴ OG = OH,∠GOH = 90°,∴ 四边形 CGOH 是正方形, ∴ ∠EOF = ∠EOG + ∠GOF = ∠GOF + ∠FOH = ∠GOH, ∴ ∠EOG = ∠FOH, 又 ∵ ∠OGE = ∠OHF, ∴ △OGE ≌ △OHF(ASA),∴ S四边形CEOF =S正方形CGOH . ∵ AD =CD = 3,∴ AC = 3 2 ,∵ CO= 2AO,∴ CO= 2 2 ,∴ S正方形CGOH = 1 2 CO2 = 1 2 × (2 2 ) 2 = 4,∴ S四边形CEOF = 4. 例题解图 (2) 1 2 　 【解析】如解图②,过点 O 分别作 OG⊥CD,OH⊥ AD,垂足分别为 G,H,∴ 四边形 OHDG 为矩形,∴ ∠EOF = ∠HOG= 90°, ∴ ∠HOM = ∠GON,又∵ ∠MHO = ∠NGO, ∴ △MHO∽△NGO, ∴ OM ON = OH OG . ∵ AD = CD = 3, ∴ AC = 3 2 ,∵ CO= 2AO,∴ AO= 2 ,CO= 2 2 ,∴ AH =OH = 2 2 OA= 1,OG=DH=AD-AH= 2,∴ OM ON =OH OG = 1 2 . 【针对训练】 1. 3　 【解析】解法 1:如解图①,过点 C 分别作 CM⊥OA, CN⊥OB 于点 M, N, 由角平分线性质可得 CM = CN, ∠MCN = 90°, ∴ ∠MCD = ∠NCE, ∴ △MCD ≌ △NCE, ∴ CD=CE= 3. 图① 　 　 图② 第 1 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,过点 C 作 CF⊥OC,与 OB 交于点 F,易 证 ∠DOC = ∠EFC = 45°, CO = CF, ∠DCO = ∠ECF,∴ △DCO≌△ECF,∴ CD=CE= 3. 2. 4　 【解析】如解图,将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到 △AEB. ∵ 四边形内角和为 360°,∴ ∠D+ ∠ABC = 180°, ∴ ∠ABE+∠ABC= 180°,∴ E,B,C 三点共线. 根据旋转性 质可知∠EAC = 60°,AE = AC, ∴ △AEC 是等边三角形. ∵ S四边形ABCD = S△AEC, ∴ S△AEC = 1 2 × 3 2 AC · AC = 4 3 , ∴ AC= 4. 第 2 题解图 3. 60 13 　 【解析】由题意得∠ABE = ∠C = 90°,AB =BC,∵ BE = CF,∴ △ABE ≌ △BCF, ∴ ∠BAE = ∠CBF, ∵ ∠CBF + ∠ABG= 90°,∴ ∠BAE+ ∠ABG = 90°,∴ ∠BGE = 90°,∴ ∠BGE= ∠C,又∵ ∠EBG = ∠FBC,∴ △EBG∽△FBC,∴ BG BC =BE BF ,∵ BC=AB= 12,CF=BE= 5,∴ BF = BC2 +CF2 = 122 +52 = 13,∴ BG 12 = 5 13 ,∴ BG= 60 13 . 4. 1　 【解析】解法 1:如解图①,过点 D 作 DG∥BC 交 AB 于 点 G,∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠B = ∠ACB = 60°,AB = AC = BC, ∴ ∠GDC = 120° = ∠EDF, ∠EGD = 120° = ∠DCF,∴ ∠GDE= ∠CDF,∵ D 是 AC 的中点,DG∥BC,∴ DG = 1 2 BC= 1 2 AC = 1 2 AB = DC = BG = 2, ∴ △GDE ≌ △CDF,∴ GE=CF. ∵ BE= 1,∴ GE=CF= 1. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M,DN ⊥BC 于点 N,连接 BD,∵ △ABC 是等边三角形,D 是 AC 的中点,∴ BD 是∠ABC 的平分线,∴ DM = DN,∵ ∠ABC = 60°, ∴ ∠MDN = 120°, ∴ ∠MDE + ∠NDE = ∠NDE+∠NDF,∴ ∠MDE = ∠NDF,∵ ∠DME = ∠DNF = 90°, ∴ △DME ≌ △DNF ( ASA ), ∴ ME = NF, 在 Rt△ADM 中,AD= 2,∠A = 60°,∴ AM = 1,同理,CN = 1, ∴ ME=AB-AM-BE= 2,∴ NF= 2,∴ CF= 1. 图① 　 　 图② 第 4 题解图 模型七　 与圆有关的模型 例 1　 5 -1　 【解析】连接 OA,交半圆于点 P′,如解图,∵ AC = BC = 2,BC 为半圆的直径, ∴ OP′ = OC = 1 2 BC = 1, ∵ ∠ACB= 90°,∴ OA = AC2 +OC2 = 22 +12 = 5 ,∵ AP ≥OA-OP′,∴ AP≥ 5 -1,∴ 当点 P 在 OA 上时,AP 最短, 最小值为 5 -1. 例 1 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95