模型2 遇到角平分线昨思考-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 遇 到 角 平 分 线 咋 思 考 模型二　 遇到角平分线咋思考(真卷 15,22 题;省模考 22 题) 类型 1　 作垂线构全等 已知 作法 结论 P 是∠MON 平分线上 的 一 点, PA ⊥ OM 于 点 A 过点 P 作 PB⊥ON 于点 B AP=BP, Rt△AOP≌Rt△BOP 例 1　 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,△ABC 的面积为 15,AB= 6,DE= 3, 则 AC 的长是　 4　 . 例 1 题图 类型 2　 截取(或延长)等线段构全等(截长补短) 已知 作法 AD 平分∠BAC, AB>AC 作法 1:截长 在 AB 上截取 AE=AC,连接 DE 作法 2:补短 延长 AC 至点 F,使得 AF=AB,连接 DF 结论 △ADE≌△ADC △ADB≌△ADF 例 2　 多解法 ∙∙∙ [2024 葫芦岛兴城市期末]如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠B = 2∠C,若 AC = 5,AB= 3,则 BD 的长度为 ( B ) 例 2 题图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 类型 3　 巧用“三线合一”构等腰 已知 作法 结论 P 是 ∠MON 平分线上的 一点,若 AP⊥OP 于点 P 延长 AP 交 ON 于点 B △AOB 是等腰三角形, △AOP≌△BOP 51 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 遇 到 角 平 分 线 咋 思 考 例 3　 多解法 ∙∙∙ 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠A = 90°,AB = AC,BD 平分∠ABC,CE⊥BD 于点 E,若△BCD 的面积为 16,则 BD 的长为 ( B ) 例 3 题图 A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 类型 4　 作边或角平分线的平行线构等腰 已知 作法 结论 P 是∠MON 平分线上 的一点 作法 1:作一边的平行线 过点 P 作 PQ∥ON 交 OM 于点 Q △OQP 是等腰三角形, OQ=QP OP 是 ∠MON 的 平 分 线,A 是 OM 上一点 作法 2:作角平分线的平行线 过点 A 作 AB∥PO 交 NO 的延长线于点 B △AOB 是等腰三角形, OA=OB 例 4　 多解法 ∙∙∙ 如图,AD 是△ABC 的角平分线,交 BC 于点 D,AB= 5,AC= 3,则BD CD = 　 　 　 　 . 【点拨】解法 1:AD 平分∠BAC,考虑过点 D 作 AB 的平行线,构造等腰三角形,再结合相似 三角形的性质得线段比值. 解法 2:过点 C 作 AD 的平行线与 BA 的延长线相交,构造等腰三角形,再结合相似三角形 的性质得线段比值. 解法 3:过点 B 作 AC 的平行线与 AD 的延长线相交,构造等腰三角形,再结合相似三角形 的性质得线段比值. 例 4 题图 　 　 　 　 第 1 题图 针对训练 1. [2024 沈阳于洪区期中改编]如图,在△ABC 中,AB=BC,∠ABC = 90°,D 为 BC 上一点,AD 平 分∠BAC,BD= 2,则 CD 的长为　 2 2 　 . 61 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 遇 到 角 平 分 线 咋 思 考 2. 多解法 ∙∙∙ 如图,DE 是△ABC 的中位线,∠ABC 的平分线交 DE 于点 F,AB = 8,BC = 12,则 EF 的长为 ( C ) A. 1 B. 1. 5 C. 2 D. 2. 5 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC = 60°,点 D 在 BC 边上,AC = AE,连接 CE,且 AD 平分 ∠BAE,过点 D 作 DF⊥AE 于点 F,若 CD= 4EF,则 EF AB 的值为　 　 　 　 . 4. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,AC,BD 交于点 O,CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E,则 DE 的长为 ( C ) A. 1 2 B. 2 -1 2 C. 2 -1 D. 2 +1 2 5. 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC. 求证:AC AB =CD DB . 第 5 题图 证明:过点 B 作 BE∥AC 交 AD 延长线于点 E,如解图, ∴∠C=∠DBE,∵∠ADC=∠BDE, ∴△CAD∽△BED,∴AC BE =AD ED =CD BD , ∵AD 平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD, ∵AC∥BE,∴∠CAD=∠E, ∴∠BAE=∠E,∴AB=BE, ∴AC AB =CD DB . 【更多解法见参考答案】 变式 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC. 若 AB= 4,AC CD = 8 5 ,求 BD 的长. 第 5 题变式图 解:如解图,过点 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于点 E, 则∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE, 由题知∠BAD=∠CAD, ∴∠E=∠ACE,∴AE=AC. 由 CE∥AD 可得BA AE =BD DC , 则 BA BD =AE DC =AC DC = 8 5 , ∵AB=4,∴BD= 5 2 . 71 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 遇 到 角 平 分 线 咋 思 考 6. 名师原创 如图,在锐角△ABC 中,∠BAC = 60°,BD 平分∠ABC,CE 平分∠ACB,BD 与 CE 相交于点 O,求证:BC=BE+CD. 第 6 题图 证明:在 BC 上取一点 F,使 BF=BE,如解图. 在△EBO 和△FBO 中, BE=BF, ∠EBO=∠FBO, BO=BO, ì î í ï ï ïï ∴△EBO≌△FBO. ∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°-60° =120°, ∵BD,CE 分别是∠ABC 和∠BCA 的平分线, ∴∠OBC+∠OCB= 1 2 ×120° =60°,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)= 120°, ∴∠EOB=∠FOB=180°-∠BOC=60°, 同理可得∠FOC=∠BOC-∠FOB=∠DOC=60°. 在△OCF 和△OCD 中, ∠FOC=∠DOC, OC=OC, ∠OCF=∠OCD, ì î í ï ï ïï ∴△OCF≌△OCD,∴FC=DC, 又∵BE=BF,∴BC=BF+CF=BE+CD. 拓展 1 在上述条件下,可得∠BOC= 　 　 　 　 ; 拓展 2 连接 AO 并延长,交 BC 于点 Q,若 AB=AC,判断 AQ 与 BC 的位置关系为　 　 　 　 ; 拓展 3 若 BO=AC,求∠ABC 的值. 81 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 =AE= x,则 EC= 3-x,∵ DE∥AB,∴ △CDE∽△CBA,∴ EC AC =DE BA ,∴ 3-x 3 = x 5 ,解得 x= 15 8 ,∴ DE=AE= 15 8 ,EC= 3- 15 8 = 9 8 ,又∵ DE∥AB,∴ BD CD = AE CE = 　 15 8 　 9 8 = 5 3 . 图① 　 　 图② 图③ 例 4 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,过点 C 作 CF∥AD 交 BA 的延长线 于点 F, ∴ ∠F = ∠BAD, ∠DAC = ∠ACF, ∵ AD 是 △ABC 的角平分线, ∴ ∠BAD = ∠CAD, ∴ ∠ACF = ∠F,∴ AF=AC= 3,∵ CF∥AD,∴ BD CD =AB AF = 5 3 . 解法 3:如解图③,过点 B 作 BG∥AC 交 AD 的延长线 于点 G,∴ ∠G = ∠CAD,△BGD∽△CAD,∴ BG AC = BD CD , ∵ AD 是 △ABC 的角平分线, ∴ ∠BAD = ∠DAC, ∴ ∠BAD= ∠G,∴ AB=BG,∴ BD CD =BG AC =AB AC = 5 3 . 【针对训练】 1. 2 2 　 【解析】如解图,过点D 作DG⊥AC 于点G,则∠CGD= 90°,∵ AD 平分∠BAC,DG⊥AC,DB⊥AB,BD= 2,∴ △ABD≌ △AGD,∴ GD = BD = 2,∵ AB = BC,∠ABC = 90°,∴ ∠ACB = ∠CAB = 45°, ∴ 在 Rt △CGD 中, GC = GD = 2, ∴ CD = GD2 +GC2 = 22 +22 =2 2,∴ CD 的长是 2 2 . 第 1 题解图 2. C　 【解析】解法 1:∵ DE 是△ABC 的中位线,AB = 8,BC = 12,∴ BD= 1 2 AB = 4,DE∥BC,DE = 1 2 BC = 6,∴ ∠DFB = ∠CBF,∵ BF 是 ∠ABC 的平分线, ∴ ∠DBF = ∠CBF, ∴ ∠DFB= ∠DBF,∴ DF = BD = 4,∴ EF = DE-DF = 6 - 4 = 2. 第 2 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图,连接 AF 并延长交 BC 于点 H,∵ DE 是 △ABC 的中位线,∴ DE∥BC,DE = 1 2 BC = 6,AF = FH, 又∵ BF 平分∠ABH,∴ BH = AB = 8,∵ AD = DB,AF = FH,∴ DF 是△ABH 的中位线,∴ DF = 1 2 BH = 4,∴ EF =DE-DF= 2. 3. 1 6 　 【解析】如解图,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,则∠AHD = ∠AFD = 90°, ∵ AD 是 ∠BAF 的平分线, ∴ ∠BAD = ∠FAD,∵ AD=AD,∴ Rt△ADH≌Rt△ADF,∴ AH = AF,∵ AE=AC,AB=AC,∴ AB=AE,∴ EF=BH,设 BH= x,则 CD = 4x,∵ AB = AC,∠BAC = 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∴ ∠B= 60°,AB=BC,∴ BD= 2x,∴ AB=BC=BD+DC= 6x,∴ EF AB = x 6x = 1 6 . 第 3 题解图 4. C　 【解析】如解图,过点 E 作 EF⊥DC 于点 F,由题意知 AC⊥BD,∠BDC= 45°,∵ CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E,∴ ∠ACE= ∠DCE,EO=EF,∵ 正方形 ABCD 的边长为 1,∴ AB=BC= 1,在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC = 2 ,∴ CO = 1 2 AC = 2 2 , 在 △EOC 和 △EFC 中, ∠EOC= ∠EFC, ∠OCE= ∠FCE, EO=EF, { ∴ △EOC≌△EFC( AAS),∴ CF = CO = 2 2 ,∵ EF⊥DC,∠BDC = 45°,∴ △DEF 为等腰直角三角 形,∴ DE= DF cos∠BDC =DC -CF cos45° = 1- 2 2 2 2 = 2 -1. 第 4 题解图 5. 证明:解法 1:过点 B 作 BE∥AC 交 AD 的延长线于点 E,如 解图①, ∴ ∠C= ∠DBE, ∵ ∠ADC= ∠BDE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 55 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 ∴ △CAD∽△BED, ∴ AC BE = AD ED =CD BD , ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠CAD= ∠BAD, ∵ AC∥BE, ∴ ∠CAD= ∠E, ∴ ∠BAE= ∠E, ∴ AB=BE, ∴ AC AB =CD DB . 图① 　 　 图② 第 5 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:过点 D 分别作 DH⊥AB 于点 H,DF⊥AC 于点 F,如解图②,设 BC 边上的高为 h,∵ AD 平分∠BAC, ∴ DF = DH, ∴ S△ACD S△ABD = 1 2 AC·DF 1 2 AB·DH = AC AB = 1 2 CD·h 1 2 BD·h = CD BD ,∴ AC AB =CD DB . 变式 解:如解图,过点 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 点 E, 则∠BAD= ∠E,∠CAD= ∠ACE, 由题知∠BAD= ∠CAD, ∴ ∠E= ∠ACE, ∴ AE=AC. 由 CE∥AD 可得 BA AE =BD DC , 则 BA BD = AE DC = AC DC = 8 5 , ∵ AB= 4, ∴ BD= 5 2 . 第 5 题变式解图 6. 证明:在 BC 上取一点 F,使 BF=BE,连接 OF,如解图. 在△EBO 和△FBO 中, BE=BF, ∠EBO= ∠FBO, BO=BO, { ∴ △EBO≌△FBO. ∵ ∠BAC= 60°, ∴ ∠ABC+∠ACB= 180°-60° = 120°, ∵ BD,CE 分别是∠ABC 和∠BCA 的平分线, ∴ ∠OBC+∠OCB= 1 2 ×120° = 60°, ∴ ∠BOC= 180°-(∠OBC+∠OCB)= 120°, ∴ ∠EOB= ∠FOB= 180°-∠BOC= 60°, 同理可得∠FOC= ∠BOC-∠FOB= ∠DOC= 60°. 在△OCF 和△OCD 中, ∠FOC= ∠DOC, OC=OC, ∠OCF= ∠OCD, { ∴ △OCF≌△OCD. ∴ FC=DC, 又∵ BE=BF, ∴ BC=BF+CF=BE+CD. 第 6 题解图 拓展 1 120°　 拓展 2 AQ⊥BC; 拓展 3 解:如解图,过点 B 作 BG⊥CE 垂足为 G,BG 交 CE 的延长线于点 G,过点 C 作 CH⊥AB,垂足为 H,则∠G = ∠CHA= 90°, 由题已得∠EOB= 60°, ∴ ∠CAH= ∠BOG= 60°, ∴ ∠ACH= 30°, 在△ACH 和△OBG 中, ∠CAH= ∠BOG, ∠CHA= ∠G, AC=BO, { ∴ △ACH≌△OBG, ∴ BG=CH,∠OBG= ∠ACH= 30°, 在△BEG 和△CEH 中, ∠G= ∠CHE, ∠BEG= ∠CEH, BG=CH, { ∴ △BEG≌△CEH, ∴ EB=EC,∠EBG= ∠ECH,即∠EBG+∠EBO= 30° ∴ ∠EBC= ∠ECB= 1 2 ∠ACB, 设∠EBG= ∠ECH= x,则有 x+∠EBO= 30°, ∵ ∠EBO= 1 2 ∠EBC, ∴ x+ 1 2 ∠EBC= 30°,即∠EBC= 60°-2x, ∵ ∠ECB= ∠ACE= ∠ECH+∠ACH= x+30°, ∴ 60°-2x= x+30°,∴ x= 10°, ∴ ∠EBC= 60°-2x= 40°,即∠ABC= 40°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 65 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 第 6 题拓展 3 解图 模型三　 半角模型 例 　 B 　 【解析】 在正方形 ABCD 中, AD = AB, ∠BAD = ∠ABC= ∠ADC= 90°,如解图,将△ADN 绕点 A 顺时针旋 转 90°得△ABE,E,B,M 三点共线,则 AE = AN,∠BAE = ∠DAN,∵ ∠MAN = 45°,∴ ∠BAM+∠DAN = 45°,∠EAM = ∠BAM+ ∠BAE = 45°, ∴ ∠EAM = ∠NAM, 在 △EAM 和 △NAM 中, AE=AN, ∠EAM= ∠NAM, AM=AM, { ∴ △EAM≌ △NAM ( SAS), ∴ ∠AME = ∠AMN, ∵ ∠BAM = α, ∴ ∠AMB = 90° - α, ∴ ∠AMN= ∠AMB= 90°-α,∴ ∠NMC= 180°-∠AMN-∠AMB = 180°-2×(90°-α)= 2α. 例题解图 拓展 1 D　 【解析】根据例题同理可得△ABE≌△ADN, ∴ EB=DN,设 CN= x,则 DN = 5-x,∵ BM = 2,MN = EM,∴ MN=ME = EB+BM = 7-x,CM = 3,在 Rt△CMN 中,MN2 = CM2 +CN2 ,∴ (7-x) 2 = 32 +x2 ,解得 x= 20 7 ,∴ CN= 20 7 . 拓展 2 10　 【解析】由拓展 1 可知,CN= 20 7 ,CM= 3,MN = 7- 20 7 = 29 7 ,∴ △MCN 的周长为 CN+CM+MN = 20 7 + 3+ 29 7 = 10. 拓展 3 2 2 -2　 【解析】如解图,延长 CB 到点 G,使 BG = DN,连接 AG. 根据例题同理可得△GAM≌△NAM,∴ GM = MN,设 DN= x,MN = y,则 GM = y,BG = x. ∵ BC = CD = AB = 1,∴ CN= 1-x,CM = x-y+1,在 Rt△CMN 中,由勾股定理, 得 MN2 =CM2 +CN2 ,即 y2 = (x-y+1) 2 +(1-x) 2 ,整理可得 y = x 2 +1 x+1 = (x +1) 2 -2(x+1) +2 x+1 = x+1+ 2 x+1 -2,∵ x+1+ 2 x+1 ≥ 2 (x+1)· 2 x+1 = 2 2 ,∴ y≥2 2 - 2,故 MN 的最小值为 2 2 -2. 拓展 3 题解图 【针对训练】 1. 4 3 +4　 【解析】如解图,连接 BD. ∵ 四边形 ABCD 是菱 形,AB= 4,∠ABC= 120°,∴ BC=CD=AD=AB = 4,∠ABD = ∠CBD= 1 2 ∠ABC = 60°,∴ △ABD,△BDC 都是等边三角 形,∴ ∠BDM= ∠BCN= 60°,DB=CB,∵ ∠MBN= ∠DBC= 60°, ∴ ∠DBM = ∠CBN, ∴ △DBM ≌ △CBN ( ASA ), ∴ BM=BN,DM=CN,∴ DM+DN=NC+DN=CD= 4,∵ 四边 形 BMDN 的周长为 BM+DM+DN+BN = 2BM+4,∴ 当 BM 的值最小时,四边形 BMDN 的周长最小,根据垂线段最短 可知,当 BM⊥AD 时,BM 的值最小,此时 BN =BM = AB· sin60° = 4× 3 2 = 2 3 ,∴ 四边形 BMDN 周长的最小值为 4 3 +4. 第 1 题解图 2. 3 2 　 【解析】如解图,把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°得 △ACN,连接 FN,∴ AN = AE,CN = BE = 2,∠ACN = ∠B, ∠EAN = 90°, ∵ ∠BAC = 90°, AB = AC = 3 2 , ∴ ∠B = ∠ACB= 45°, BC = 2 AB = 6, ∴ EC = 4, ∠FCN = 90°, ∵ ∠EAF= 45°, ∴ ∠BAE + ∠CAF = 90° - 45° = 45°, ∵ ∠BAE= ∠CAN,∴ ∠FAN = ∠EAF = 45°,又∵ AF = AF, AE=AN,∴ △EAF≌△NAF( SAS),∴ EF = NF,设 CF = x, 则 NF=EF= 4-x,在 Rt△FCN 中,FN2 =FC2 +CN2 ,即(4- x) 2 = x2 +22 ,解得 x= 3 2 ,即 CF= 3 2 . 第 2 题解图 变式 解:如解图,把△ACE 绕点 A 顺时针旋转 120°得到 △ABP,连接 PD, 第 2 题变式解图 ∴ AP = AE,PB = CE = 16, ∠PBA = ∠C, ∠EAP = ∠BAC = 120°, ∵ AB=AC,∠BAC= 120°, ∴ ∠ABD= ∠C= ∠ABP= 30°, ∴ ∠ABD+∠ABP= 60°,即∠PBD= 60°, 又∵ ∠DAE= 60°, ∴ ∠PAD= ∠EAP-∠DAE= 120°-60° = 60°, 在△AED 和△APD 中, AD=AD, ∠EAD= ∠PAD= 60°, AE=AP, { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 75