模型1 遇到中点咋思考-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·辽宁数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 三、辽宁中考培优———模型方法 模 型 方 法 遇 到 中 点 咋 思 考 模型一　 遇到中点咋思考(真卷 22 题;省模考 14 题) 类型 1　 遇一边中点,想三角形中位线 已知 作法 结论 在 △ABC 中, 点 D 是 BC 的 中点 取 AB 的中点 E(或取 AC 的中点 F),连 接 DE(或 DF) DE∥AC,DE= 1 2 AC, △BDE∽△BCA (或 DF∥AB,DF= 1 2 AB, △CDF∽△CBA) 例 1　 [2023 鞍山 7 题 3 分]如图,AC,BC 为☉O 的两条弦,D,G 分别为 AC,BC 的中点,☉O 的 半径为 2. 若∠C= 45°,则 DG 的长为 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 例 1 题图 A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 【点拨】看到 D,G 分别为 AC,BC 的中点,连接 AB,根据中位线定理, 可得 DG= 1 2 AB. 类型 2　 遇直角三角形斜边中点,想斜边中线 已知 作法 结论 在 △ABC 中, ∠C= 90°,点 D 是斜边 AB 的 中点 CD= 1 2 AB,即 CD=DB=AD, ∠B= ∠DCB,∠A= ∠ACD 例 2　 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 3,以点 C 为圆心,CA 长为半径作☉O 与 AB 交 于点 D,若点 D 恰好为线段 AB 的中点,则 AB 的长度为 ( C ) 例 2 题图 A. 3 2 B. 3 C. 6 D. 9 【点拨】∵ 点 D 为线段 AB 的中点,且∠ACB= 90°,∴ 由直角三角形的 斜边中点可考虑斜边中线,可直接得出 AB= 2CD= 2AC. 11 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 遇 到 中 点 咋 思 考 类型 3　 遇等腰+中点,想三线合一 已知 作法 结论 在△ABC 中,AB = AC, 点 D 是 BC 的中点 AD⊥BC,AD 平分∠BAC 例 3 题图 例 3　 如图,在△ABC 中,AB = AC = 5,BC = 6,点 M 为 BC 的中点,MN⊥AC 于点 N,则 MN 的长为　 　 　 　 . 【点拨】有等腰三角形及底边上的中点,想到连接 AM. 类型 4　 遇过中点的垂线,想垂直平分线 已知 作法 结论 在△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过 点 D 作 DE⊥BC 交 AC 于点 E BE=CE,ED 平分∠BEC, ∠EBC= ∠ECB 例 4　 名师原创 如图,在平行四边形 ABCD 中,∠B= 45°,点 E 是 BC 的中点,过点 E 作 EF⊥ BC 交 AB 于点 F. 若 AF= 1,EF= 2 ,则对角线 AC= 　 5 　 . 例 4 题图 【点拨】连接 CF,在 Rt△BEF 中,可利用勾股定理得出 BF,根据垂直平分线性质可得 CF = BF,从而在 Rt△AFC 中再次运用勾股定理求出 AC. 类型 5　 遇弦(或弧)的中点,想垂径定理及圆周角定理 已知 作法 结论 在☉O 中, 点 E 是弦 AB 的中点 OC⊥AB,AC ( =BC ( OE2 +AE2 =AO2 在☉O 中, 点 C 是AB ( 的中点 OC⊥AB,AC=BC,AE=BE, ∠ADC= ∠ABC= ∠CDB= 1 2 ∠AOC, DC 平分∠ADB 21 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 遇 到 中 点 咋 思 考 例 5　 [2024 沈阳皇姑区月考]如图,四边形 ABCD 内接于☉O,AB 是☉O 的直径,D 是 AC ( 的中 点. 若∠B= 40°,则∠A 的大小为 ( C ) 例 5 题图 A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【点拨】看到 D 是 AC ( 的中点,结合角度,可想到圆周角定理,连接 BD,可 得∠ABD= 1 2 ∠ABC= 20°,结合三角形内角和性质即可求出∠A. 类型 6　 遇中点或中线,想倍长中线构造全等 已知 作法 结论 在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线 延长 AD 至点 E,使得 DE=AD 若连接 BE, 则△ACD≌△EBD(SAS); 若连接 CE, 则△ADB≌△EDC(SAS) 例 6　 如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE = AC,延长 BE 交 AC 于点 F,若 EF= 2,则 AF 的长为　 2　 . 例 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 1 题图 针对训练 1. 如图,在☉O 中,弦 AB= 12,半径 OC⊥AB 于点 P,且 P 为 OC 的中点,则 AC 的长是 ( D ) A. 4 2 B. 6 C. 8 D. 4 3 2. 多解法 ∙∙∙ 如图,在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,AB = 2,点 D 是 AC 的中点,点 E 在边 BC 上,且 ∠DEC= 45°,则 DE 的长为　 2 　 . 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,BC= 3,AC= 4,AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于 点 E,则 CE 的长为　 　 　 　 . 31 专项培优练·辽宁数学 模 型 方 法 遇 到 中 点 咋 思 考 4. [2024 沈阳皇姑区期末]如图,在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,点 D 在 CG 上,BC = 1,CE = 3,H 是 AF 的中点,则 CH 的长是　 5 　 . 第 4 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 5. [2024 广州]如图,在△ABC 中,∠A= 90°,AB=AC = 6,D 为边 BC 的中点,点 E,F 分别在边 AB,AC 上,AE=CF,则四边形 AEDF 的面积为 ( C ) A. 18 B. 9 2 C. 9 D. 6 2 6. [2024 沈阳和平区月考]如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 6,BC = 8,点 N 是 BC 边上一 点,点 M 为 AB 边上的动点,点 D,E 分别为 CN,MN 的中点,则 DE 的最小值是 ( B ) A. 2 B. 12 5 C. 3 D. 24 5 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 多解法 ∙∙∙ 如图,正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1,连接 AE,点 F,G 分别在 边 BC,CD 上,P 为 AE 的中点,连接 PG,则 PG 的长为　 5 　 . 8. 如图,点 E 是 BC 的中点,点 A 在 DE 上,∠BAE= ∠CDE. 求证:AB=CD. 第 8 题图 解:如解图,延长 AD 到点 G,使得 DG=AD,连接 BG, ∵AD 是 BC 边上的中线,∴BD=CD, 在△BDG 和△CDA 中 BD=CD, ∠BDG=∠CDA, GD=AD, ì î í ï ï ï ï ∴△BDG≌△CDA(SAS), ∴BG=CA,∠G=∠CAD, 又∵BE=AC, ∴BE=BG,∴∠G=∠BED, ∴∠BED=∠CAD, 又∵∠BED=∠AEF, ∴∠AEF=∠CAD, ∴AF=EF=2. 41 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 第 17 题解图 变式 C　 【解析】如解图,将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°,得到△ABE. ∵ 四边形内角和 360°,∴ ∠D+∠ABC = 180°. ∴ ∠ABE+∠ABC= 180°,∴ E、B、C 三点共线. 根据 旋转性质可知∠EAC = 60°,AE = AC,∴ △AEC 是等边三 角形. ∴ 四边形 ABCD 的面积等于△AEC 的面积,∴ 等 边△AEC 的面积 = 3 4 AC2 = 3 ,∴ 四边形 ABCD 的面积 = 3 . 第 17 题变式解图 18. B　 【解析】解法 1:如解图①,∵ ∠BAC = 90°,AB = AC, ∴ 将△AQC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADB,连接 DP,∴ ∠ABD = ∠C, AD = AQ, BD = CQ, ∠DAQ = 90°, ∠BAD= ∠CAQ,∴ ∠C = ∠ABC = ∠ABD = 45°,∴ ∠DBP = 2 ∠C = 90°, ∴ DP2 = DB2 + BP2 , ∵ ∠PAQ = 45°, ∴ ∠BAP+ ∠CAQ = ∠BAP + ∠BAD = 45°, ∴ ∠PAQ = ∠PAD,∵ AP=AP,∴ △APQ≌△APD(SAS),∴ PQ =PD, ∴ PQ2 = DB2 + BP2 , ∵ BP = 2, DB = CQ = 1, ∴ PQ = 12 +22 = 5 . 第 18 题解图① 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,将△ABP 和△AQC 分别沿 AP,AQ 翻折,∵ ∠BAC= 90°,∠PAQ= 45°,∴ 翻折后 AB 与 AC 重合在 AD 上,∠PDQ = 90°,∵ BP = 2,CQ = 1,∴ PD = 2,DQ = 1, ∵ 在 Rt △PDQ 中,PD2 +DQ2 = PQ2 ,PQ = 22 +12 = 5 . 第 18 题解图② 19. C　 【解析】设△PBC 中 BC 边上的高是 h. ∵ S△PBC = 12, BC= 8,∴ 1 2 BC·h= 12,∴ h = 3,∴ 动点 P 在与 BC 平行 且到 BC 的距离是 3 的直线 l 上,作点 B 关于直线 l 的对 称点 B′,连接 B′C 交直线 l 于点 P′,连接 P′B,则 PB+PC =PB′+PC≥B′C,∴ 当 P,B′,C 三点共线时,PB+PC 有最 小值,最小值为 B′C 的长,∵ 点 B 与点 B′关于直线 l 对 称,∴ BB′= 2h = 6,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC = 90°,∵ BC = 8,B′B = 6,∴ B′C = BC2 +BB′2 = 82 +62 = 10. 第 19 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、辽宁中考培优———模型方法 模型一　 遇到中点咋思考 例 1　 D 　 【解析】如解图,连接 AO,BO,AB,∵ ∠C = 45°, ∴ ∠AOB= 2∠C= 90°,∵ ☉O 的半径为 2,∴ AO = BO = 2, ∴ AB = 2 2 , ∵ D, G 分别是 AC, BC 的中点, ∴ DG = 1 2 AB= 2 . 例 1 题解图 例 2　 C 例 3　 12 5 　 【解析】如解图,连接 AM,∵ AB = AC,点 M 为 BC 的中点,∴ AM⊥BC(三线合一),BM = CM = 1 2 BC,∵ BC = 6,∴ BM=CM = 3,在 Rt△ABM 中,AB = 5,BM = 3,∴ AM = AB2 -BM2 = 52 -32 = 4,又∵ S△AMC = 1 2 MN·AC= 1 2 AM ·MC,∴ MN= AM·CM AC = 12 5 . 例 3 题解图 例 4　 5 　 【解析】如解图,连接 CF,由题知 EF 垂直平分 BC,∴ CF=BF,在 Rt△BEF 中,∠B = 45°,∴ BF = 2 EF = 2,∴ CF= BF = 2,∠FCB = ∠B = 45°,∴ ∠AFC = 90°,∴ 在 Rt△ACF 中,AC= AF2 +CF2 = 12 +22 = 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 例 4 题解图 例 5　 C　 【解析】如解图,连接 BD,∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB = 90°, ∵ D 是 AC ( 的中点, ∴ ∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC= 1 2 ×40° = 20°,∴ ∠A= 90°-∠ABD= 70°. 例 5 题解图 例 6　 2　 【解析】如解图,延长 AD 到点 G,使得 DG = AD,连 接 BG,∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ BD = CD,在△BDG 和 △CDA 中, BD=CD, ∠BDG= ∠CDA, GD=AD, { ∴ △BDG ≌ △CDA ( SAS), ∴ BG=CA,∠G= ∠CAD,又∵ BE = AC,∴ BE = BG,∴ ∠G = ∠BED,∴ ∠BED = ∠CAD,又∵ ∠BED = ∠AEF,∴ ∠AEF = ∠FAE,∴ AF=EF=2. 例 6 题解图 【针对训练】 1. D　 【解析】如解图,连接 OA,设☉O 的半径为 r,∵ P 为 OC 的中点, ∴ OP = CP = 1 2 r, ∵ OP⊥AB, ∴ AP = BP = 1 2 AB= 6,在 Rt△OAP 中,OP2 +AP2 =OA2 ,即( 1 2 r) 2 +62 = r2 ,解得 r= 4 3 (负值已舍去),∴ PC = 2 3 ,在 Rt△APC 中,AC= PC2 +AP2 = (2 3 ) 2 +62 = 4 3 . 第 1 题解图 2. 2 　 【解析】解法 1:如解图①,过点 D 作 DF∥AB 交 BC 于点 F,∵ 点 D 是 AC 的中点,∠B = 90°,∴ ∠DFE = 90°, DF 为△ABC 的中位线,∴ DF = 1 2 AB = 1,∵ 在 Rt△DFE 中,∠DEC= 45°,∴ DE= 2DF= 2 . 第 2 题解图① 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,过点 A 作 DE 的平行线交 CB 延长 线于点 F, ∵ ∠DEC = 45°, ∴ ∠AFC = 45°, ∴ AF = 2AB= 2 2 ,又∵ 点 D 是 AC 的中点,∴ DE 为△AFC 的中位线,∴ DE= 1 2 AF= 2 . 第 2 题解图② 3. 7 6 　 【解析】如解图,连接 AE,∵ DE 垂直平分线段 AB,∴ AE=BE,设 AE=BE= x,则 CE= x-3,在 Rt△ACE 中,AE2 = AC2 +CE2 ,∴ x2 = 42 + ( x - 3) 2 ,解得 x = 25 6 , ∴ CE = 25 6 - 3 = 7 6 . 第 3 题解图 4. 5 　 【解析】如解图,连接 AC,CF,∵ 在正方形 ABCD 和正 方形 CEFG 中,BC= 1,CE= 3,∴ AC= 2 ,CF= 3 2 ,∠ACD = ∠GCF = 45°, ∴ ∠ACF = 90°, 在 Rt △ACF 中, AF = AC2 +CF2 = ( 2 ) 2 +(3 2 ) 2 = 2 5 , ∵ H 是 AF 的中 点,∴ CH= 1 2 AF= 1 2 ×2 5 = 5 . 第 4 题解图 5. C　 【解析】如解图,连接 AD,∵ ∠BAC = 90°,AB = AC = 6, D 为边 BC 的中点,∴ AD = BD = CD,∠BAD = ∠C = 45°, S△ABC = 1 2 AB·AC = 1 2 ×6×6 = 18,在△ADE 和△CDF 中, AD=CD, ∠EAD= ∠C, AE=CF, { ∴ △ADE ≌ △CDF, ∴ S△ADE = S△CDF, ∴ S四边形AEDF =S△ADE+S△ADF =S△CDF+S△ADF =S△ADC = 1 2 S△ABC = 9. 第 5 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 6. B　 【解析】如解图,连接 CM,当 CM⊥AB 时,CM 的值最 小(垂线段最短),此时 DE 有最小值,∵ ∠C = 90°,AC = 6,BC= 8,∴ AB= AC2 +BC2 = 62 +82 = 10,∴ S△ABC = 1 2 AC·BC= 1 2 AB·CM,∴ 1 2 ×6×8 = 1 2 ×10CM,∴ CM = 24 5 , ∵ 点 D,E 分别为 CN,MN 的中点,∴ DE = 1 2 CM = 1 2 × 24 5 = 12 5 ,即 DE 的最小值是 12 5 . 第 6 题解图 7. 5 　 【解析】解法 1:如解图①,延长 GE 交 AB 于点 O,过 点 P 作 PH⊥OE 于点 H,则 PH∥AB,∵ P 是 AE 的中点, ∴ PH 是△AOE 的中位线,∴ PH = 1 2 OA = 1 2 ×(3-1) = 1, ∵ 在 Rt△AOE 中,∠OAE = 45°,∴ △AOE 是等腰直角三 角形,即 OE = OA = 2,同理,在△PHE 中,HE = PH = 1,∴ HG=HE+EG= 1+1 = 2. 在 Rt△PHG 中,PG= PH2 +HG2 = 12 +22 = 5 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,延长 GP 至点 Q,使得 PQ = PG,连接 AQ,在△APQ 和△EPG 中, AP=EP, ∠APQ= ∠EPG, PQ=PG, { ∴ △APQ≌ △EPG(SAS),∴ AQ =EG = 1,∠QAP = ∠GEP,∴ AQ∥EG, 即 Q,A,D 三点共线,∴ QD = AQ+AD = 4,又∵ DG = DC- CG= 2,∴ 在 Rt△QGD 中,QG = QD2 +DG2 = 42 +22 = 2 5 ,∴ PG= 1 2 QG= 5 . 图① 　 　 图② 第 7 题解图 8. 证明:如解图,延长 DE 到点 F,使得 EF=DE,连接 BF. 第 8 题解图 ∵ 点 E 是 BC 的中点,∴ BE=CE, ∵ ∠BEF= ∠CED,EF=DE, ∴ △BEF≌△CED(SAS), ∴ BF=CD,∠BFE= ∠CDE. ∵ ∠BAE= ∠CDE, ∴ ∠BAE= ∠BFE, ∴ BF=AB, ∴ AB=CD. 模型二　 遇到角平分线咋思考 例 1　 4　 【解析】如解图,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC,∴ DE = DF = 3,∴ S△ABC = S△ABD+S△ACD = 1 2 ×6×3+ 1 2 AC×3 = 15,解得 AC= 4. 例 1 题解图 例 2　 B　 【解析】解法 1(截长):如解图①,在 AC 上截取 AE=AB,连接 DE,∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠DAC,在 △ABD 和△AED 中, AB=AE, ∠BAD= ∠EAD, AD=AD, { ∴ △ABD≌△AED, ∴ ∠B= ∠AED,BD = DE,∵ ∠B = 2∠C,∴ ∠AED = 2∠C, ∵ ∠AED= ∠C+∠CDE,∴ ∠CDE = ∠C,∴ DE = CE = BD, ∵ AC= 5,AB=AE= 3,∴ BD=CE=AC-AE= 2. 图① 　 图② 例 2 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2(补短):如解图②,延长 AB 至点 F,使 AF =AC, 连接 DF,同理可证△AFD≌△ACD,得∠F = ∠C,推出 ∠F= ∠BDF,则 BD=BF,则可推出 BD=AC-AB= 2. 例 3　 B　 【解析】解法 1:如解图①,延长 CE 交 BA 的延长线 于点 F,∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠CAF = 90°,∵ BD 平分∠ABC, BE⊥ CF, ∴ ∠ABD = ∠CBD, ∠BEC = 90°, ∵ ∠BDA = ∠CDE,∴ ∠ABD = ∠ACF,∵ AB = AC,∴ △ABD≌△ACF, ∴ BD=CF,∵ ∠ABE = ∠CBE,BE⊥CF,∴ CF = BD= 2CE, 设 CE= x,则 BD= 2x,∵ △BCD 的面积为 16,∴ 1 2 BD·CE = 1 2 ·2x·x= 16,解得 x= 4(负值已舍去),∴ BD= 8. 图① 　 　 图② 例 3 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解法 2:如解图②,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,设 AD=a, 易得 DH=a,DC= 2a,∴ AC=AD+CD=(1+ 2)a,则 BC= 2AC=( 2+2)a,由 S△BCD = 1 2 DH·BC= 1 2 a·( 2 +2)a =16,求得 a2 = 32-16 2,∵ HC =DH = a,∴ BH =BC-HC = ( 2+1)a,在Rt△BDH 中,根据勾股定理求得 BD=8. 例 4　 5 3 　 【解析】解法 1:如解图①,过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于点 E,∴ ∠BAD = ∠ADE ,∵ AD 是△ABC 的角平分 线,∴ ∠BAD= ∠CAD,∴ ∠ADE= ∠CAD,∴ DE=AE,设 DE 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 =AE= x,则 EC= 3-x,∵ DE∥AB,∴ △CDE∽△CBA,∴ EC AC =DE BA ,∴ 3-x 3 = x 5 ,解得 x= 15 8 ,∴ DE=AE= 15 8 ,EC= 3- 15 8 = 9 8 ,又∵ DE∥AB,∴ BD CD = AE CE = 　 15 8 　 9 8 = 5 3 . 图① 　 　 图② 图③ 例 4 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,过点 C 作 CF∥AD 交 BA 的延长线 于点 F, ∴ ∠F = ∠BAD, ∠DAC = ∠ACF, ∵ AD 是 △ABC 的角平分线, ∴ ∠BAD = ∠CAD, ∴ ∠ACF = ∠F,∴ AF=AC= 3,∵ CF∥AD,∴ BD CD =AB AF = 5 3 . 解法 3:如解图③,过点 B 作 BG∥AC 交 AD 的延长线 于点 G,∴ ∠G = ∠CAD,△BGD∽△CAD,∴ BG AC = BD CD , ∵ AD 是 △ABC 的角平分线, ∴ ∠BAD = ∠DAC, ∴ ∠BAD= ∠G,∴ AB=BG,∴ BD CD =BG AC =AB AC = 5 3 . 【针对训练】 1. 2 2 　 【解析】如解图,过点D 作DG⊥AC 于点G,则∠CGD= 90°,∵ AD 平分∠BAC,DG⊥AC,DB⊥AB,BD= 2,∴ △ABD≌ △AGD,∴ GD = BD = 2,∵ AB = BC,∠ABC = 90°,∴ ∠ACB = ∠CAB = 45°, ∴ 在 Rt △CGD 中, GC = GD = 2, ∴ CD = GD2 +GC2 = 22 +22 =2 2,∴ CD 的长是 2 2 . 第 1 题解图 2. C　 【解析】解法 1:∵ DE 是△ABC 的中位线,AB = 8,BC = 12,∴ BD= 1 2 AB = 4,DE∥BC,DE = 1 2 BC = 6,∴ ∠DFB = ∠CBF,∵ BF 是 ∠ABC 的平分线, ∴ ∠DBF = ∠CBF, ∴ ∠DFB= ∠DBF,∴ DF = BD = 4,∴ EF = DE-DF = 6 - 4 = 2. 第 2 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图,连接 AF 并延长交 BC 于点 H,∵ DE 是 △ABC 的中位线,∴ DE∥BC,DE = 1 2 BC = 6,AF = FH, 又∵ BF 平分∠ABH,∴ BH = AB = 8,∵ AD = DB,AF = FH,∴ DF 是△ABH 的中位线,∴ DF = 1 2 BH = 4,∴ EF =DE-DF= 2. 3. 1 6 　 【解析】如解图,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,则∠AHD = ∠AFD = 90°, ∵ AD 是 ∠BAF 的平分线, ∴ ∠BAD = ∠FAD,∵ AD=AD,∴ Rt△ADH≌Rt△ADF,∴ AH = AF,∵ AE=AC,AB=AC,∴ AB=AE,∴ EF=BH,设 BH= x,则 CD = 4x,∵ AB = AC,∠BAC = 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∴ ∠B= 60°,AB=BC,∴ BD= 2x,∴ AB=BC=BD+DC= 6x,∴ EF AB = x 6x = 1 6 . 第 3 题解图 4. C　 【解析】如解图,过点 E 作 EF⊥DC 于点 F,由题意知 AC⊥BD,∠BDC= 45°,∵ CE 平分∠ACD 交 BD 于点 E,∴ ∠ACE= ∠DCE,EO=EF,∵ 正方形 ABCD 的边长为 1,∴ AB=BC= 1,在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC = 2 ,∴ CO = 1 2 AC = 2 2 , 在 △EOC 和 △EFC 中, ∠EOC= ∠EFC, ∠OCE= ∠FCE, EO=EF, { ∴ △EOC≌△EFC( AAS),∴ CF = CO = 2 2 ,∵ EF⊥DC,∠BDC = 45°,∴ △DEF 为等腰直角三角 形,∴ DE= DF cos∠BDC =DC -CF cos45° = 1- 2 2 2 2 = 2 -1. 第 4 题解图 5. 证明:解法 1:过点 B 作 BE∥AC 交 AD 的延长线于点 E,如 解图①, ∴ ∠C= ∠DBE, ∵ ∠ADC= ∠BDE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 55