2，辽宁中考培优——辅助线作法-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 17. 3π　 【解析】解法 1:在正方形 ABCD 中,∠DCB = 90°, DC=AB = 6 cm. 扇形 BAC 与扇形 CBD 的弧交于点 E, ∴ △BCE 是等边三角形, ∴ ∠ECB = 60°, ∴ ∠DCE = ∠DCB-∠ECB=30°.根据图形的割补,S阴影部分 =S扇形DCE =π× 62 × 30 360 =3π (cm2). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:同解法 1 可知, △BCE 是等边三角形, ∴ ∠EBC= 60°,观察题图发现,S阴影部分 = S扇形 CBD -S扇形 CBE, ∴ S阴影部分 = π×62 × 90 360 -π×62 × 60 360 = 3π (cm2 ) . 18. D　 【解析】如解图,连接 BD. ∵ 在等腰△ABC 中,∠ABC = 90°,D 是 AC 的中点,∴ ∠ABD= ∠CBD= ∠C= 45°,BD= AD= CD,BD⊥AC, ∴ ∠FDB + ∠CDF = 90°,又∵ DE⊥ DF, ∴ ∠EDB + ∠FDB = 90°, ∴ ∠EDB = ∠FDC, 在 △BED 和 △CFD 中, ∠EBD= ∠C, BD=CD, ∠EDB= ∠FDC, { ∴ △BED ≌ △CFD(ASA),∴ S△BED =S△CFD,∵ S四边形BFDE =S△BED +S△BDF = S△CFD+S△BDF =S△BCD = 1 2 S△ABC = 9,∴ S△ABC = 18. 第 18 题解图 思维训练三　 数形结合思想 1. D　 【解析】如解图,☉O 与直线 a 的位置关系可能是相切 或相离. 第 1 题解图 2. D　 【解析】如解图,∵ 点 A,B 的坐标分别为(0,6),(8,0),∴ OA=6,OB= 8,∴ AB = OA2 +OB2 = 10,∵ 以点 A 为圆心, AB 长为半径画弧,交 y 轴负半轴于点 C,∴ AC = AB = 10, ∴ OC=AC-OA= 10-6 = 4,∴ 点 C 的坐标为(0,-4) . 第 2 题解图 3. D　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥BC 交 BC(或 BC 的延 长线)于点 D,有如下两种情况:AB,AC 在 AD 同侧或异 侧. ∵ ∠B= 30°,AB= 2,∴ 点 A 到 BC 边的距离 AD = 1. ∵ AC = 2 3 3 , ∴ CD= AC2 -AD2 = ( 2 3 3 ) 2 -12 = 3 3 , ∴ sin∠CAD= CD AC = 1 2 ,∴ ∠CAD = 30°,∴ ∠ACD = ∠AC′D = 60°,∴ ∠ACB 的度数为 60°或 120°. 第 3 题解图 4. 2≤m≤4　 【解析】令 x=ax2 +bx- 9 4 ,则 ax2 +(b-1)x- 9 4 = 0, ∵ 二次函数 y1 的图象上有且只有一个完美点( 3 2 , 3 2 ),∴ Δ =(b-1)2 +9a = 0,∴ 由题意可得 9 4 a+ 3 2 b- 9 4 = 3 2 , (b-1)2 +9a=0, { 解得 a= -1, b= 4,{ ∴ y2 = -x 2 +4x-3,如解图,当 y2 = -x2 +4x-3 的最 小值为-3,最大值为 1 时,结合图象可得 2≤m≤4. 第 4 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二、辽宁中考培优———辅助线作法 1. B　 【解析】如解图,连接 OD,BD. ∵ AD ( = CD ( ,∴ ∠ABD = ∠CBD,∵ ∠DOB = 2∠DEB = 140°,∴ ∠OBD = ∠ODB = 20°,∴ ∠ABC= 2∠OBD= 40°. 第 1 题解图 2. C　 【解析】如解图,连接 AC,∵ E,F 分别是 AM,MC 的中 点,∴ EF 是△AMC 的中位线∴ EF = 1 2 AC,∵ A,C 是定 点,∴ AC 是定长,∴ 无论 M 点运动到哪个位置,EF 的长 不变. 第 2 题解图 3. D　 【解析】如解图,连接 AD,∵ 在△ABC 中,AB=AC= 13, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 BC= 10,D 为 BC 中点,∴ AD⊥BC,BD = 1 2 BC = 5,∴ AD = AB2 -BD2 = 12,又∵ DE⊥AB,∴ 1 2 BD·AD = 1 2 AB· ED,∴ ED= BD·AD AB = 5 ×12 13 = 60 13 . 第 3 题解图 4. D 　 【解析】 连接 BC, 如解图, ∵ AC 是 ☉O 的直径, ∴ ∠ABC= 90°,∵ ∠BAC = 30°,∴ BC = 1 2 AC = 5,∴ AB = 3BC= 5 3 ,∵ PA,PB 分别切☉O 于点 A,B,∴ PA = PB, ∠CAP= 90°,∴ ∠PAB= ∠CAP-∠BAC = 60°,∴ △PAB 为 等边三角形,∴ △PAB 的周长= 3AB= 15 3 . 第 4 题解图 5. D　 【解析】解法 1:如解图 ①,连接 DE, ∵ BD⊥CE, ∴ S四边形BCDE = 1 2 BD·CE = 15 2 ,∵ CE,BD 分别是△ABC 的 中线,∴ 点 D,E 分别是 AC,AB 的中点,∴ DE 是△ABC 的 中位线, ∴ DE∥BC, DE = 1 2 BC, ∴ △ADE ∽ △ACB, ∴ S△ADE S△ACB = ( DE BC ) 2 = 1 4 , ∴ S四边形BCDE S△ABC = 3 4 , ∴ S△ABC = 4 3 × S四边形BCDE = 10. 图① 　 　 图② 第 5 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,设 BD,CE 的交点为 O,由题意可知 O 为△ABC 的重心,∴ OC = 2 3 CE = 2 3 ×5 = 10 3 ,∴ S△BCD = 1 2 BD·OC= 1 2 ×3× 10 3 = 5,∵ BD 是 AC 边上的中线, ∴ S△ABC = 2S△BCD = 2×5 = 10. 6. C　 【解析】如解图,连接 CE,在 Rt △ABC 中, ∠BAC = 30°,设 BC = x, 则 AB = 3 x, AC = 2x, 在 Rt △ADC 中, ∠DAC= 30°,则 CD = tan30° × AC = 2 3 x 3 , ∴ AD = 2CD = 4 3 x 3 ,∵ E 为 AD 的中点,∴ CE = AE = 1 2 AD = 2 3 x 3 , ∴ ∠EAC= ∠ECA,∴ ∠ECA = ∠BAC,又∵ ∠AFB = ∠CFE, ∴ △AFB∽△CFE,∴ AF CF = AB CE = 3 x 　 2 3 x 3 　 = 3 2 . 第 6 题解图 7. C　 【解析】如解图,连接 AC,作出 AB,AC 的垂直平分线, 其交点 H 即为圆心. ∵ 点 A 的坐标为(0,4),∴ 该圆弧所 在圆的圆心坐标是( -1,1) . 第 7 题解图 8. B　 【解析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,如解图,∵ ∠ACB= 90°,∴ AB= AC2 +BC2 = 10,S△ABC = 1 2 AC·BC = 1 2 AB· CD,∴ CD= AC·BC AB = 6 ×8 10 = 24 5 ,∵ 垂线段最短,∴ 当点 P 与点 D 重合时,PC 最小,即 PC 的最小值为 24 5 . 第 8 题解图 9. A　 【解析】过点 A作 AH⊥BC 于点 H,过点 E 作 EF⊥BD 于 点 F,如解图,∵ AB = AC,BC = 8,∴ BH =HC = 4,∵ ∠ACE = 90°,∴ ∠ACH + ∠ECF = 90°, ∵ ∠CAH + ∠ACH = 90°, ∴ ∠ECF=∠CAH,在△ACH 与△CEF 中, ∠AHC=∠CFE, ∠CAH=∠ECF, AC=CE, { ∴ △ACH≌△CEF,∴ EF = CH = 4,∴ S△BCE = 1 2 BC·EF = 1 2 ×8×4 = 16. 第 9 题解图 10. C　 【解析】如解图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,由作图痕 迹知,AD 为∠CAB 的平分线,∵ ∠C= 90°,∴ CD=DE,又 ∵ ∠B= 30°,∴ AB = 2AC,∵ S△ABD = 1 2 AB·DE,S△ACD = 1 2 AC·CD = 2, ∴ S△ABD = 2S△ACD = 4, ∴ S△ABC = S△ACD + S△ABD = 6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 05 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 第 10 题解图 11. C　 【解析】过点 B 作 BF∥AE,如解图,∵ CD∥AE,∴ BF ∥CD,∴ ∠BCD+∠CBF= 180°,∵ AB⊥AE,∴ AB⊥BF,∴ ∠ABF= 90°,∠ABC+∠BCD = ∠ABF+∠CBF+ ∠BCD= 90°+180° = 270°. 第 11 题解图 12. C　 【解析】解法 1:在△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 3, BC= 4,∴ AC= AB2 +BC2 = 5,∴ △ABC 的周长 = 3+4+5 = 12,∵ BD 平分△ABC 的周长,∴ AB+AD = BC+CD = 6, ∴ AD= 3,CD= 2,如解图,过点 D 作 DE⊥BC 于点 E,则 DE∥AB,∴ △CDE∽△CAB,∴ DE AB =CD CA =CE CB ,∴ DE 3 = 2 5 = CE 4 ,∴ DE = 6 5 ,CE = 8 5 , ∴ BE = BC -CE = 12 5 , ∴ BD = BE2 +DE2 = ( 12 5 ) 2 +( 6 5 ) 2 = 6 5 5 . 第 12 题解图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋解法 2 思路点拨:也可用作平行构造相似 13. 9 2 　 【解析】解法 1:如解图,过点 B 作 BG∥AD 交 EF 于 点 G,∵ ∠A = 60°,EF⊥AD,AC = 3,∴ AF = 1 2 AC = 3 2 , ∵ BG∥AD, ∴ ∠A = ∠CBG, ∠AFC = ∠BGC,又 ∵ AC = BC,∴ △ACF≌△BCG(AAS),∴ BG =AF = 3 2 ,∵ 点 B 为 线段 DE 的中点, ∴ EB = BD, ∵ BG∥AD, ∴ △BEG ∽ △DEF,∴ BG DF =EB ED = 1 2 ,∴ DF = 2BG = 2× 3 2 = 3,∴ AD = AF+DF= 3 2 +3 = 9 2 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋解法 2 思路点拨:通过延长 CF 或 CB 解决. 第 13 题解图 14. 60　 【解析】如解图,过点 A 作 AE∥CD,交 BC 于点 E,∵ AD∥BC,∴ 四边形 AECD 是平行四边形,又∵ AD = CD, ∴ 平行四边形 AECD 是菱形,∴ AE = CE = AD = 1 2 BC, ∴ BE= 1 2 BC,∴ AB = AE = BE,∴ △ABE 是等边三角形, ∴ ∠B=60°. 第 14 题解图 15. 25°　 【解析】延长 BA 交 CE 于点 F,如解图,∵ AB∥CD, ∠C= 65°,∴ ∠EFA= ∠C= 65°,∴ ∠EAB = ∠EFA+∠E = 65°+∠E,∵ AE⊥AB,∴ ∠E+ 65° = ∠EAB = 90°,∴ ∠E = 25°. 第 15 题解图 16. 证明:如解图,在 BA 上截取 BM=BD,连接 DM, 第 16 题解图 ∵ ∠B= 60°, ∴ △BMD 是等边三角形, ∴ ∠BMD= 60°, ∴ ∠AMD= 120°, 又∵ ∠ADF= 60°,∠ADF+∠FDC= ∠B+∠MAD, ∴ ∠FDC= ∠MAD, ∵ BA=BC,BM=BD, ∴ AM=DC, ∵ CF 平分∠ACG, ∴ ∠ACF= 60°, ∴ ∠DCF= 120°, 在△AMD 和△DCF 中, ∠MAD= ∠CDF, AM=DC, ∠AMD= ∠DCF, { ∴ △AMD≌△DCF(ASA), ∴ AD=DF. 17. D　 【解析】如解图,连接 AC,∵ ∠ABC = 60°,AB =BC,∴ △ABC 为等边三角形,∴ BC = AC,将△BCD 绕点 C 顺时 针旋转 60°得到△ACE,连接 DE,由旋转的性质可得 BD =AE,CD=CE,∠DCE= 60°,∴ △CDE 为等边三角形,∴ DE= CD = 5,∠CDE = 60°,∴ ∠ADE = ∠ADC+ ∠CDE = 90°,在 Rt△ADE 中,AD = 7,DE = 5,由勾股定理得 AE = DE2 +AD2 = 52 +72 = 74 ,∴ BD=AE= 74 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 第 17 题解图 变式 C　 【解析】如解图,将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°,得到△ABE. ∵ 四边形内角和 360°,∴ ∠D+∠ABC = 180°. ∴ ∠ABE+∠ABC= 180°,∴ E、B、C 三点共线. 根据 旋转性质可知∠EAC = 60°,AE = AC,∴ △AEC 是等边三 角形. ∴ 四边形 ABCD 的面积等于△AEC 的面积,∴ 等 边△AEC 的面积 = 3 4 AC2 = 3 ,∴ 四边形 ABCD 的面积 = 3 . 第 17 题变式解图 18. B　 【解析】解法 1:如解图①,∵ ∠BAC = 90°,AB = AC, ∴ 将△AQC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADB,连接 DP,∴ ∠ABD = ∠C, AD = AQ, BD = CQ, ∠DAQ = 90°, ∠BAD= ∠CAQ,∴ ∠C = ∠ABC = ∠ABD = 45°,∴ ∠DBP = 2 ∠C = 90°, ∴ DP2 = DB2 + BP2 , ∵ ∠PAQ = 45°, ∴ ∠BAP+ ∠CAQ = ∠BAP + ∠BAD = 45°, ∴ ∠PAQ = ∠PAD,∵ AP=AP,∴ △APQ≌△APD(SAS),∴ PQ =PD, ∴ PQ2 = DB2 + BP2 , ∵ BP = 2, DB = CQ = 1, ∴ PQ = 12 +22 = 5 . 第 18 题解图① 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:如解图②,将△ABP 和△AQC 分别沿 AP,AQ 翻折,∵ ∠BAC= 90°,∠PAQ= 45°,∴ 翻折后 AB 与 AC 重合在 AD 上,∠PDQ = 90°,∵ BP = 2,CQ = 1,∴ PD = 2,DQ = 1, ∵ 在 Rt △PDQ 中,PD2 +DQ2 = PQ2 ,PQ = 22 +12 = 5 . 第 18 题解图② 19. C　 【解析】设△PBC 中 BC 边上的高是 h. ∵ S△PBC = 12, BC= 8,∴ 1 2 BC·h= 12,∴ h = 3,∴ 动点 P 在与 BC 平行 且到 BC 的距离是 3 的直线 l 上,作点 B 关于直线 l 的对 称点 B′,连接 B′C 交直线 l 于点 P′,连接 P′B,则 PB+PC =PB′+PC≥B′C,∴ 当 P,B′,C 三点共线时,PB+PC 有最 小值,最小值为 B′C 的长,∵ 点 B 与点 B′关于直线 l 对 称,∴ BB′= 2h = 6,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC = 90°,∵ BC = 8,B′B = 6,∴ B′C = BC2 +BB′2 = 82 +62 = 10. 第 19 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、辽宁中考培优———模型方法 模型一　 遇到中点咋思考 例 1　 D 　 【解析】如解图,连接 AO,BO,AB,∵ ∠C = 45°, ∴ ∠AOB= 2∠C= 90°,∵ ☉O 的半径为 2,∴ AO = BO = 2, ∴ AB = 2 2 , ∵ D, G 分别是 AC, BC 的中点, ∴ DG = 1 2 AB= 2 . 例 1 题解图 例 2　 C 例 3　 12 5 　 【解析】如解图,连接 AM,∵ AB = AC,点 M 为 BC 的中点,∴ AM⊥BC(三线合一),BM = CM = 1 2 BC,∵ BC = 6,∴ BM=CM = 3,在 Rt△ABM 中,AB = 5,BM = 3,∴ AM = AB2 -BM2 = 52 -32 = 4,又∵ S△AMC = 1 2 MN·AC= 1 2 AM ·MC,∴ MN= AM·CM AC = 12 5 . 例 3 题解图 例 4　 5 　 【解析】如解图,连接 CF,由题知 EF 垂直平分 BC,∴ CF=BF,在 Rt△BEF 中,∠B = 45°,∴ BF = 2 EF = 2,∴ CF= BF = 2,∠FCB = ∠B = 45°,∴ ∠AFC = 90°,∴ 在 Rt△ACF 中,AC= AF2 +CF2 = 12 +22 = 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 专项培优练·辽宁数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 二、辽宁中考培优———辅助线作法 辅 助 线 作 法 类型 1　 连接(真卷 21 题;省样卷 21 题;省模 考 21 题) 考法 1　 连接形成半径 1. [2024 盘锦双台子区期末]如图,AB 为☉O 的 直径,点 C,D,E 在☉O 上,且 AD ( = CD ( , ∠E= 70°,则∠ABC 的度数为 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 30° B. 40° C. 35° D. 50° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 考法 2　 连接形成对角线 2. 如图,在矩形 ABCD 中,M 是 BC 上的动 点,E,F 分别是 AM,MC 的中点,则 EF 的 长随着 M 点的运动 ( C ) A. 变短 B. 变长 C. 不变 D. 先变短再变长 考法 3　 连接构造“三线合一” 3. 如图,在△ABC 中,AB = AC = 13,BC = 10, 点 D 为 BC 的中点,DE⊥AB,垂足为 E,则 DE 等于 ( D ) 第 3 题图 A. 10 13 B. 15 13 C. 45 13 D. 60 13 考法 4　 连接形成弦 4. 如图,P 为☉O 外一点,PA,PB 分别切☉O 于点 A,B,AC 是☉O 的直径,若 AC = 10, ∠BAC= 30°,则△PAB 的周长为 ( D ) A. 8 B. 10 3 C. 20 D. 15 3 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 考法 5　 连接形成中位线 5. 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABC 中,BD,CE 分别为 边 AC,AB 的中线,BD⊥CE,若 BD = 3, CE= 5,则△ABC 的面积为 ( D ) A. 20 B. 16 C. 15 D. 10 考法 6　 连接构造斜边中线 6. 如图,将两个含 30°角的直角三角板拼接 在一起,点 E 为 AD 的中点,连接 BE 交 AC 于点 F,则AFCF 的值为 ( C ) 第 6 题图 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 2 D. 2 3 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 专项培优练·辽宁数学 辅 助 线 作 法 类型 2　 作垂直(真卷 10,22 题;省样卷 10, 15 题;省模考 15,22 题) 考法 1　 利用垂直平分线性质 7. 如图,一圆弧经过方格的格点 B,A,C,方 格中每个小正方形的边长均为 1,若在方 格中建立平面直角坐标系,使点 A 的坐标 为(0,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ( C ) A. ( -1,2) B. (1,-1) C. ( -1,1) D. (2,1) 第 7 题图 　 　 第 8 题图 考法 2　 利用直角三角形性质 8. [2024 沈阳沈河区期末]如图,在△ABC 中, ∠ACB= 90°,AC = 6,BC = 8,P 为直线 AB 上一动点,连接 PC,则线段 PC 的最小值 是 ( B ) A. 8 5 B. 24 5 C. 12 5 D. 7 5 考法 3　 利用全等或相似三角形性质 9. [2024 抚顺期末]如图,在等腰△ABC 中,AB =AC,D 为 BC 延长线上一点,CE⊥AC,垂 足为 C,且 CE =AC,连接 BE,若 BC = 8,则 △BCE 的面积为 ( A ) A. 16 B. 24 C. 32 D. 8 第 9 题图 　 　 第 10 题图 考法 4　 利用角平分线性质 10. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 30°, 以点 A 为圆心,任意长为半径画弧分别 交 AB,AC 于点M,N,再分别以点M,N 为 圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧 交于点 P,连接 AP 并延长,交 BC 于点 D,若△ADC 的面积为 2,则△ABC 的面 积为 ( C ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 类型 3　 作平行(真卷 22 题) 考法 1　 遇拐点作平行 11. [2024 锦州月考]车库的电动门栏杆如图 所示,BA 垂直地面 AE 于点 A,CD 平行地 面 AE,则∠ABC+∠BCD 的大小是 ( C ) A. 150° B. 180° C. 270° D. 360° 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 考法 2　 利用相似或全等三角形性质 12. 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°, AB= 3,BC= 4,点 D 在边 AC 上,且 BD 平 分△ABC 的周长,则 BD 的长是 ( C ) A. 5 B. 6 C. 6 5 5 D. 3 6 4 第 13 题图 　 第 14 题图 13. 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABD 中,∠A= 60°. 点 B 为线段 DE 的中点,EF⊥AD 于点 F,交 AB 于点 C,若 AC=BC= 3,则 AD=　 　 　 　 . 考法 3　 构造特殊四边形 14. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,且 AB=AD=CD= 1 2 BC,则∠B= 　 60　 °. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 专项培优练·辽宁数学 辅 助 线 作 法 考法 4　 作平行构等腰 【更多练习见角平分线模型】 类型 4　 延长或截取(真卷22题;省样卷23题) 15. 如图,AB∥CD,点 E 为直线 AB,CD 外一 点,连接 CE. 若 AE⊥AB,∠C = 65°,则∠E =　 25°　 . 第 15 题图 16. [ 2024 盘锦大洼区期末] 如图, 在等 边 △ABC 中,AB = 4,点 D 是边 BC 上的点 (不与点 B,C 重合),CF 是△ABC 的外 角∠ACG 的平分线, 连接 AD,DF. 若 ∠ADF= 60°,求证:AD=DF. 第 16 题图 证明:如解图,在 BA 上截取 BM = BD,连 接 DM, ∵∠B=60°,∴△BMD 是等边三角形, ∴∠BMD=60°,∴∠AMD=120°, ∵∠ADF+∠FDC=∠B+∠MAD, 又∵∠ADF=60°,∴∠FDC=∠MAD, ∵BA=BC,BM=BD,∴AM=DC, ∵CF 平分∠ACG,∴∠ACF=60°, ∴∠DCF=120°, 在△AMD 和△DCF 中, ∠MAD=∠CDF, AM=DC, ∠AMD=∠DCF, ì î í ï ï ï ï ∴△AMD≌△DCF(ASA), ∴AD=DF. 类型 5　 作对称或旋转 17. 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC = 60°, ∠ADC= 30°,AB = BC,若 AD = 7,CD = 5, 则 BD= ( D ) 第 17 题图 A. 5 B. 7 C. 7 3 D. 74 变式 如图,在四边形 ABCD 中,AB =AD, ∠BAD= 60°,∠BCD = 120°,AC = 2,则四 边形 ABCD 的面积为 ( C ) 第 17 题变式图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18. 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC = 90°,BC 边上有两点 P,Q,若∠PAQ = 45°,BP= 2,CQ= 1,则 PQ 的长为 ( B ) 第 18 题图 A. 3 B. 5 C. 6 D. 2 2 19. 如图,P 是矩形 ABCD 内部的动点,AB= 4,BC = 8,△PBC 的面积等于 12,则点 P 到 B,C 两点距离之和 PB+PC 的最小值 为 ( C ) 第 19 题图 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01