思维训练2 转化思想&思维训练3 数形结合思想-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·辽宁数学 思 想 方 法 转 化 思 想 思维训练二　 转化思想(真卷 20,22 题;省样卷 10,17,23 题;省模考 16,17 题) 类型 1　 整体代入法 1. [2024 锦州二模]若 2a+3b= 4,则整式-2a-3b+7 的值是 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -3 B. 3 C. 5 D. 11 2. 多解法 ∙∙∙ 若关于 x、y 的二元一次方程组 x-y=2m+1, x+3y=3{ 的解满足 x+y=1,则m的值为 ( A ) A. -1 B. -4 C. 1 D. -2 3. 已知 x2 -2x-1 = 0,则3x 3 -10x2 +6x x2 -x-5 的值等于　 　 　 　 . 类型 2　 消元法、换元法 4. 用代入消元法解方程组 y= 2x+1①, 5x-2y= 7②,{ 将①代入②可得 ( A ) A. 5x-4x-2 = 7 B. 5x-2x-1 = 7 C. 5x-4x+1 = 7 D. 5x-4x+2 = 7 5. 用加减消元法解方程组 2x+3y= 1①, 3x-6y= 7②,{ 下列运算能消去 y 的是 ( C ) A. ①×2-② B. ①×3-②×2 C. ①×2+② D. ①×3+②×2 拓展 消去未知数 y 后,能得到的一元一次方程是 ( C ) A. x= 6 B. 5x= 3 C. 7x= 9 D. 5x= 6 6. 关于 x 的方程(x2 +x) 2 +2x2 +2x-3 = 0,则 x2 +x 的值是　 　 　 　 . 类型 3　 配方法 7. 对于任意实数 x,多项式-x2 +2x-3 的值是一个 ( B ) A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定的数 8. 【阅读理解】 例如 x2 +2x-3 = (x2 +2x+1) -4 = (x+1) 2 -4,像这样先添加一个适当项,使式子中出现完全 平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称之为配方法,配方法是一种重要的 解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些 与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等. 【解决问题】 请阅读以上材料,解决下列问题. (1)请用适当的数字填空:x2 +6x+　 9　 = (x+　 3　 ) 2; (2)已知 a 是任意实数,若 M= (2a-3) (3a-1),N = 2a(a- 3 2 ) -2,通过计算判断 M,N 的 大小; 3 专项培优练·辽宁数学 思 想 方 法 转 化 思 想 (3)[2023 沈阳 15 题改编]如图,用一段长为 20 米的篱笆围成一个长方形菜园,菜园的一面 靠墙,墙长为 12 米. 设与墙壁垂直的一边长为 x 米. 当 x 取何值时,菜园面积最大,最 大面积是多少平方米? 第 8 题图 解:(1)9;3; (2)M-N=(2a-3)(3a-1)-[2a(a- 3 2 )-2] = (2a-3)(3a-1)-2a(a- 3 2 )+2 = 6a2-2a-9a+3-2a2+3a+2=4a2-8a+5=4(a2-2a+1)-4+5=4(a-1) 2+1>0, ∴M>N; (3)由题意可得 0<20-2x≤12, 解得 4≤x<10, ∵ y=x(20-2x)= -2x2+20x=-2(x-5) 2+50, ∴当 x=5 时,菜园面积最大,最大面积是 50 平方米. 类型 4　 等量代换法 9. 如图,点 C,D 在线段 AB 上,若 AD=BC,则 ( B ) 第 9 题图 A. AC=CD　 　 B. AC=BD　 C. AD= 2BD　 　 　 D. CD=BC 拓展 若 AC=BD,AB= 10,AC= 3,则 AD= 　 7　 . 10. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,☉O 是△ABC 的外接圆,点 A,B,O 在网格线的交点上,则 cos∠ACB 的值是 ( A ) 第 10 题图 A. 5 5 B. 2 5 C. 2 5 5 D. 3 10 10 11. 如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的☉O 交 BC 于点 P,PD⊥AC 于点 D,连接 OP. 求证:PD 是☉O 的切线. 第 11 题图 证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵OP=OB, ∴∠B=∠OPB, ∴∠OPB=∠C, ∴OP∥AC, ∵PD⊥AC, ∴OP⊥PD, 又∵OP 是☉O 的半径, ∴PD 是☉O 的切线. 4 专项培优练·辽宁数学 思 想 方 法 转 化 思 想 类型 5　 等面积法 解题 方法 　 　 (AB=AC) 结论:CD=MP+PN → 证法 1:等面积法. 连接 AP,通 过 1 2 AB· CD = 1 2 AB· PM + 1 2 AC·PN 得证 　 　 证法 2:角平分线转化法. 作 CQ∥AB 交 MP 的延长 线于点 Q,通过 MP+PN= MP+PQ=CD 得证 常见 图形 等边三角形 OM+ON= 3 2 AB 　 　 矩形 PM+PN=AQ 　 　 菱形 PM+PN=AQ 　 　 正方形 PE+PF=OA 思考:若点 O 是等边三角形 ABC 的内部任意一点,则有什么样的结论? 12. 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC= 8,DB= 6,DH⊥AB 于点 H,则 DH= ( B ) A. 12 5 B. 24 5 C. 12 D. 24 第 12 题图 　 　 　 　 　 第 12 题变式图 拓展 连接 OH,若 OA= 4. 5,S菱形ABCD = 36,则 OH 的长为 ( ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 B. 3. 5 C. 4 D. 4. 5 变式 [2024 辽宁省样卷]如图,线段 AB= 8,点 P 在线段 AB 上,且 AP= 5,分别以点 A 和点 B 为 圆心,AP 的长为半径作弧,两弧相交于点 C 和点 D,连接 AC,BC,AD,BD,则点 C 到边 AD 的 距离是 ( ) A. 24 5 B. 48 5 C. 4 D. 3 5 专项培优练·辽宁数学 思 想 方 法 转 化 思 想 13. [2024 沈阳和平区月考]如图,△ABC 中,AB = 4,BC = 6,BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E,AF⊥BC 于点 F,若 DE= 2,则 AF 的长为 ( A ) A. 10 3 B. 7 2 C. 6 D. 15 4 第 13 题图 　 　 　 　 　 第 14 题图 14. 多解法 ∙∙∙ 如图,在Rt△ABC 中,BM= 3,AM 是斜边 BC 上的高,以 AM 为边作正方形 AMEF. 若 S正方形AMEF = 16,则 AC= ( B ) A. 11 B. 20 3 C. 12 D. 16 类型 6　 割补法 15. 如图是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是 ( A ) 第 15 题图 A. (a+b) 2 =a2 +2ab+b2 B. (a-b) 2 =a2 -2ab+b2 C. (a+b)(a-b)= a2 -b2 D. (ab) 2 =a2b2 16. 如图,在直角坐标系中,正方形的中心在原点 O,且正方形的一组对边与 x 轴平行,点 P (4a,a)是反比例函数 y= k x (k>0)的图象与正方形的一个交点,若图中阴影部分的面积 等于 16,则 k 的值为 ( C ) A. 16 B. 1 C. 4 D. -16 第 16 题图 　 　 　 　 第 17 题图 　 　 　 　 　 第 18 题图 17. 多解法 ∙∙∙ 如图,正方形 ABCD 中,扇形 BAC 与扇形 CBD 的弧交于点 E,连接 CE,BE,若 AB= 6 cm,则图中阴影部分的面积为　 3π　 cm2 . 18. 如图,在等腰三角形 ABC 中,∠B = 90°,D 为 AC 边的中点,过点 D 作 DE⊥DF,交 AB 于 点 E,交 BC 于点 F,若 S四边形BFDE = 9,则△ABC 的面积为 ( D ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6 专项培优练·辽宁数学 思 想 方 法 数 形 结 合 思 想 思维训练三　 数形结合思想 (真卷 12,22,23 题;省样卷 10,15,23 题;省模考 15,22 题) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 思想解 读 　 　 数形结合思想是初中数学中一种很重要的数学思想,它是将数学中抽象的数学语言、数量关 系与具体直观的图象结合起来,通过理解数与形之间的对应关系从而达到解决问题的目的. 数形 结合思想是辽宁中考必备的思想之一,具体体现在 2024 辽宁省中考的第 12,22,23 题. 1. 已知点 A 在半径为 3 的☉O 上,如果点 A 到直线 a 的距离是 6,那么☉O 与直线 a 的位置 关系是 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 相切或相离 画图区: 2. [2024 大连期中]在平面直角坐标系中,已知点 A,B 的坐标分别为(0,6),(8,0),以点 A 为 圆心,AB 长为半径画弧,交 y 轴负半轴于点 C,则点 C 的坐标为 ( D ) A. ( -10,0) B. (0,-10) C. (0,-2) D. (0,-4) 画图区: 3. 在△ABC 中,已知∠B= 30°,AB= 2,AC= 2 3 3 ,则∠C 的度数为 ( D ) A. 60° B. 90° C. 30°或 60° D. 60°或 120° 画图区: 4. 在平面直角坐标系中,若点 P 的横坐标和纵坐标相等,则称点 P 为完美点. 已知二次函数 y1 =ax2 +bx- 9 4 (a,b 是常数,a≠0)的图象上有且只有一个完美点( 3 2 , 3 2 ),且当 0≤x≤m 时,函数 y2 =ax2 +bx-3 的最小值为-3,最大值为 1,则 m 的取值范围是　 2≤m≤4　 . 画图区: 7 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 专项培优练 一、辽宁中考培优———思想方法 思维训练一　 分类讨论思想 1. A　 变式 1 3　 变式 2 a≤2 且 a≠-4　 变式 3 - 3 2 2. D　 【解析】∵ 直线 y = x+a 不经过第二象限,∴ a≤0,当 a= 0 时,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 是一元一次方程,解 为 x= - 1 2 ;当 a<0 时,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 是一元 二次方程,∵ Δ = 22 - 4a> 0,∴ 方程有两个不相等的实数 根,综上所述,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 实数解的个数 为 1 个或 2 个. 3. C　 【解析】由题知二次函数图象的对称轴为直线 x = m, ①m<-2 时,x= -2 取得最大值,-( -2-m) 2 +5 = 4,解得 m = -3 或 m= -1(舍去);②-2≤m≤1 时,x =m 取得最大值 为 5,不合题意;③m>1 时,x= 1 取得最大值,-(1-m) 2 +5 = 4,解得 m= 0(舍去)或 m = 2. 综上所述,实数 m 的值为 2 或-3. 4. D　 【解析】∵ y = x2 - 2mx+m2 + 2m+ 1 = ( x-m) 2 + 2m+ 1, ∴ 抛物线 y= x2 -2mx+m2 + 2m+ 1(m 是常数)的顶点坐标 为(m,2m+1),∵ 顶点到 x 轴的距离为 2,∴ | 2m+1 | = 2, 即 2m+1 = 2 或 2m+1 = -2,解得 m= 1 2 或- 3 2 . 5. 0 或-6 6. C　 【解析】如解图①,当点 B′在点 C 左侧时,∵ B′C∥AB, ∴ ∠B′CA= ∠A = 38°,如解图②,当点 B′在点 C 右侧时, ∵ B′C∥AB,∴ ∠B′CA = 180° - ∠A = 142°. 综上可得,当 C′B∥AB 时,∠B′CA 的度数为 38°或 142°. 图① 　 　 图② 第 6 题解图 7. 26 3 或 39 2 　 【解析】当点 A′在 AC 下方时,如解图①,延长A′P 交 AB 于点 H,则 A′H⊥AB,由题可得 AB = AC2 +BC2 = 26, ∵ D 为斜边 AB 的中点,∴ AD = 13,又∵ sinA = sinA′= BC AB = DH A′D = 5 13 ,∴ DH= 5,∴ AH=AD-DH= 8,由 cosA= AC AB =AH AP = 8 AP = 12 13 ,解得 AP= 26 3 ;当点 A′在 AC 上方时,如解图②,同 理可得 DH = 5,∴ AH = AD +DH = 18, ∵ cosA = AH AP = AC AB , ∴ 18 AP = 12 13 ,解得 AP= 39 2 . 综上所述,AP 的长为 26 3 或 39 2 . 图① 　 　 图② 第 7 题解图 8. A　 【解析】分两种情况:当等腰三角形的腰长为 3 cm 时, ∵ 等腰三角形的周长为 12 cm,∴ 等腰三角形的底边长 = 12-3×2 = 6(cm),∵ 3+ 3 = 6,∴ 不能组成三角形;当等腰 三角形的底边长为 3 cm 时, ∵ 等腰三角形的周长为 12 cm,∴ 等腰三角形的腰长 = 1 2 ×(12- 3) = 4. 5 ( cm), 综上所述,该等腰三角形的底边长为 3 cm. 9. 10 或 16　 【解析】由题知 BC = 1 2 AB = 20,∠B = 60°,设点 P 的运动时间为 t s,由题意得 BQ = t,AP = 2t,∴ BP = AB- AP= 40-2t,分两种情况:当∠BQP = 90°时,如解图①,∴ ∠BPQ= 90°-∠B = 30°,∴ BP = 2BQ,∴ 40- 2t = 2t,解得 t = 10;当∠BPQ= 90°时,如解图②,∴ ∠BQP = 90°-∠B = 30°,∴ BQ= 2BP,∴ t = 2(40-2t),解得 t = 16. 综上所述, 当点 P 运动 10 或 16 秒时,△PBQ 为直角三角形. 图① 　 　 图② 第 9 题解图 10. D 11. 3 或 3 2 　 【解析】在 Rt△ADC 中,由勾股定理得 CD = AC2 -AD2 = ( 6 ) 2 -22 = 2 ,当△ABC∽△ACD 时, AB CA = AC AD ,即 AB 6 = 6 2 ,∴ AB= 3;当△ABC∽△CAD 时, AB AC = AC CD ,即 AB 6 = 6 2 ,∴ AB = 3 2 . 综上所述,AB 的长为 3 或 3 2 . 12. 2 或 2. 4　 【解析】分两种情况讨论:①当 BP = CQ,AB = PC 时, △ABP ≌ △PCQ ( SAS) . ∵ AB = 6 cm, ∴ PC = 6 cm,∴ BP=BC-PC = 10-6 = 4 (cm),即 2t = 4,解得 t = 2. ∵ CQ=BP= 4 cm,即 2v = 4,解得 v = 2;②当 BA = CQ, PB= PC 时,△ABP≌△QCP( SAS) . ∵ PB = PC,∴ BP = PC= 1 2 BC= 5 (cm),即 2t = 5,解得 t = 2. 5. ∵ CQ = BA = 6 cm,即 2. 5v = 6,解得 v = 2. 4. 综上所述,当 v = 2 或 2. 4 cm / s 时,以 A,B,P 为顶点的三角形与以 P,Q,C 为 顶点的三角形全等. 思维训练二　 转化思想 1. B 2. A　 【解析】解法 1: x-y= 2m+1①, x+3y= 3②,{ ①+②得 2x+2y = 2m+ 4. ∵ x+y= 1,∴ 2x+2y= 2 = 2m+4,∴ m= -1; 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解法 2: x+3y= 3③, x+y= 1④,{ ③-④得 2y = 2,∴ y = 1,∴ x = 0, ∴ x-y= 2m+1 = -1,∴ m= -1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 3. 1　 【解析】∵ x2 -2x-1 = 0,∴ x2 -2x = 1,∴ 3x3 -10x2 +6x x2 -x-5 = 3x(x2 -2x) -4x2 +6x x2 -2x+x-5 = 3x -4x2 +6x 1+x-5 = -4x2 +9x x-4 = -4(x2 -2x) +x x-4 = -4+x x-4 = x -4 x-4 = 1. 4. A　 5. C　 拓展 C 6. 1　 【解析】设 x2 +x= t,则此方程可化为 t2 +2t-3 = 0,∴ ( t- 1)( t+3)= 0,∴ t-1 = 0 或 t+3 = 0,解得 t1 = 1,t2 = -3,∴ x2 +x 的值是 1 或-3. 当 x2 +x= 1 时,x2 +x-1 = 0,∵ Δ = 1-4× ( -1)= 5>0,∴ 此方程有解;当 x2 +x = -3 时,x2 +x+3 = 0, ∵ Δ= 1-12 = -11<0,∴ 此方程无解,∴ x2 +x 的值是 1. 7. B 8. 解:(1)9;3; (2)M-N= (2a-3)(3a-1) -[2a(a- 3 2 ) -2] = (2a-3) · (3a-1) -2a(a- 3 2 ) +2 = 6a2 -2a-9a+3-2a2 +3a+2 = 4a2 - 8a+5 = 4(a2 -2a+1) -4+5 = 4(a-1) 2 +1>0, ∴ M>N; (3)由题意可得与墙壁平行的一边长为(20-2x)米,则 0< 20-2x≤12, 解得 4≤x<10, 设菜园面积为 y 平方米,则 y = x(20- 2x) = - 2x2 + 20x = -2(x-5) 2 +50, ∴ 当 x= 5 时,菜园面积最大,最大面积是 50 平方米. 9. B　 拓展 7　 10. A 11. 证明:∵ AB=AC, ∴ ∠B= ∠C, ∵ OP=OB, ∴ ∠B= ∠OPB, ∴ ∠OPB= ∠C, ∴ OP∥AC, ∵ PD⊥AC, ∴ OP⊥PD, 又∵ OP 是☉O 的半径, ∴ PD 是☉O 的切线. 12. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC= 8,DB= 6,∴ AC⊥ BD,OA= 1 2 AC = 4,OB = 1 2 BD = 3,∴ AB = AO2 +BO2 = 5,∵ DH⊥AB,∴ S菱形ABCD = AB·DH = 1 2 AC·BD = 24,∴ DH= 24 5 . 拓展 C 变式 A　 【解析】连接 CD 交 AB 于点 E,如解图,由作 图可得 CD 垂直平分 AB,AC=AD=BC=BD=AP = 5,∴ 四 边形 ACBD 为菱形,∴ CE = DE,AE = BE = 1 2 AB = 4,在 Rt△ACE 中,CE = AC2 -AE2 = 52 -42 = 3,∴ CD = 2CE = 6,设点 C 到边 AD 的距离为 h,∴ AD·h = 1 2 AB·CD, ∴ h= 1 2 ×8×6 5 = 24 5 . 第 12 题变式解图 13. A　 【解析】如解图,作 DH⊥BC 于点 H,∵ BD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DH⊥BC,∴ DH =DE = 2,∵ S△ABD + S△CBD =S△ABC,∴ 1 2 × 4× 2+ 1 2 × 6× 2 = 1 2 × 6AF,解得 AF = 10 3 . 第 13 题解图 14. B 　 【解析】 解法 1: ∵ S正方形AMEF = 16, ∴ AM = 4, 在 Rt△ABM 中,AB= BM2 +AM2 = 5,在 Rt△ABC 中,由勾 股定理得 AB2 +AC2 = BC2,即 25+AC2 = (3+CM)2,在 Rt △AMC 中,同理可得 AC2 = 16+CM2,∴ 25+ 16+CM2 = (3+ CM)2,解得 CM = 16 3 ,∴ BC = 3+ 16 3 = 25 3 ,∴ AC = BC·AM AB = 20 3 ; 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:由解法 1 得 AB= 5,BC = 25 3 ,在 Rt△ABC 中,AC = BC2 -AB2 = 20 3 ; 解法 3:易证△ABM∽△CAM,由 AB AC =BM AM 易得 AC= 20 3 ; 解法 4:易证△ABM∽△CBA,由 AM CA =BM BA 易得 AC= 20 3 . 15. A　 【解析】由题可知,大正方形的边长为 a+b,面积为 (a+b) 2 ,它由边长为 a 的正方形,2 个长为 a,宽为 b 的 长方形,边长为 b 的正方形组成,∴ ( a+ b) 2 = a2 + 2ab +b2 . 16. C　 【解析】如解图,∵ 图中阴影部分的面积等于 16,∴ 正 方形 OABC 的面积为 16,∵ P 点坐标为(4a,a),∴ 4a· 4a= 16,∴ a= 1(负值已舍去),∴ P 点坐标为(4,1),把 P (4,1)代入 y= k x ,得 k= 4×1 = 4. 第 16 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 84 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 17. 3π　 【解析】解法 1:在正方形 ABCD 中,∠DCB = 90°, DC=AB = 6 cm. 扇形 BAC 与扇形 CBD 的弧交于点 E, ∴ △BCE 是等边三角形, ∴ ∠ECB = 60°, ∴ ∠DCE = ∠DCB-∠ECB=30°.根据图形的割补,S阴影部分 =S扇形DCE =π× 62 × 30 360 =3π (cm2). 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解法 2:同解法 1 可知, △BCE 是等边三角形, ∴ ∠EBC= 60°,观察题图发现,S阴影部分 = S扇形 CBD -S扇形 CBE, ∴ S阴影部分 = π×62 × 90 360 -π×62 × 60 360 = 3π (cm2 ) . 18. D　 【解析】如解图,连接 BD. ∵ 在等腰△ABC 中,∠ABC = 90°,D 是 AC 的中点,∴ ∠ABD= ∠CBD= ∠C= 45°,BD= AD= CD,BD⊥AC, ∴ ∠FDB + ∠CDF = 90°,又∵ DE⊥ DF, ∴ ∠EDB + ∠FDB = 90°, ∴ ∠EDB = ∠FDC, 在 △BED 和 △CFD 中, ∠EBD= ∠C, BD=CD, ∠EDB= ∠FDC, { ∴ △BED ≌ △CFD(ASA),∴ S△BED =S△CFD,∵ S四边形BFDE =S△BED +S△BDF = S△CFD+S△BDF =S△BCD = 1 2 S△ABC = 9,∴ S△ABC = 18. 第 18 题解图 思维训练三　 数形结合思想 1. D　 【解析】如解图,☉O 与直线 a 的位置关系可能是相切 或相离. 第 1 题解图 2. D　 【解析】如解图,∵ 点 A,B 的坐标分别为(0,6),(8,0),∴ OA=6,OB= 8,∴ AB = OA2 +OB2 = 10,∵ 以点 A 为圆心, AB 长为半径画弧,交 y 轴负半轴于点 C,∴ AC = AB = 10, ∴ OC=AC-OA= 10-6 = 4,∴ 点 C 的坐标为(0,-4) . 第 2 题解图 3. D　 【解析】如解图,过点 A 作 AD⊥BC 交 BC(或 BC 的延 长线)于点 D,有如下两种情况:AB,AC 在 AD 同侧或异 侧. ∵ ∠B= 30°,AB= 2,∴ 点 A 到 BC 边的距离 AD = 1. ∵ AC = 2 3 3 , ∴ CD= AC2 -AD2 = ( 2 3 3 ) 2 -12 = 3 3 , ∴ sin∠CAD= CD AC = 1 2 ,∴ ∠CAD = 30°,∴ ∠ACD = ∠AC′D = 60°,∴ ∠ACB 的度数为 60°或 120°. 第 3 题解图 4. 2≤m≤4　 【解析】令 x=ax2 +bx- 9 4 ,则 ax2 +(b-1)x- 9 4 = 0, ∵ 二次函数 y1 的图象上有且只有一个完美点( 3 2 , 3 2 ),∴ Δ =(b-1)2 +9a = 0,∴ 由题意可得 9 4 a+ 3 2 b- 9 4 = 3 2 , (b-1)2 +9a=0, { 解得 a= -1, b= 4,{ ∴ y2 = -x 2 +4x-3,如解图,当 y2 = -x2 +4x-3 的最 小值为-3,最大值为 1 时,结合图象可得 2≤m≤4. 第 4 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二、辽宁中考培优———辅助线作法 1. B　 【解析】如解图,连接 OD,BD. ∵ AD ( = CD ( ,∴ ∠ABD = ∠CBD,∵ ∠DOB = 2∠DEB = 140°,∴ ∠OBD = ∠ODB = 20°,∴ ∠ABC= 2∠OBD= 40°. 第 1 题解图 2. C　 【解析】如解图,连接 AC,∵ E,F 分别是 AM,MC 的中 点,∴ EF 是△AMC 的中位线∴ EF = 1 2 AC,∵ A,C 是定 点,∴ AC 是定长,∴ 无论 M 点运动到哪个位置,EF 的长 不变. 第 2 题解图 3. D　 【解析】如解图,连接 AD,∵ 在△ABC 中,AB=AC= 13, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94