思维训练1 分类讨论思想-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·辽宁数学 　 　 　 　 　 　 　 　 一、辽宁中考培优———思想方法 思 想 方 法 分 类 讨 论 思 想 思维训练一　 分类讨论思想(真卷 23 题;省样卷 15 题) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 答题技 巧 1. 当题目遇到动点,动线,动图时考虑分类讨论,做题时不要盲目开始解题,应按以下步骤作答: 第一步:根据题目要求进行分类讨论; 第二步:根据分类情况画出草图; 第三步:每种情况下根据所画草图将动图转化为定图,再按照常规静态几何题进行作答; 2. 代数中遇到去绝对值符号、到数轴原点(坐标轴、直线)的距离、含参数的方程、函数自变量取值 范围不确定等情况时需要思考是否分情况讨论,再进行计算; 3. 几何中遇到“全等”“相似”对应关系不确定、等腰三角形中底边不确定、直角三角形中斜边不确 定、平行四边形中边和对角线不确定、圆的大小不确定、折叠位置不确定等情况时需要思考是否 分情况讨论,再进行计算. 类型 1　 代数含参问题 1. 已知关于 x 的分式方程 x x-2 + 2m 2-x = 3m 无解,则 m 的值是 ( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 或 1 3 B. 1 或 3 C. 1 3 D. 1 变式 1 若方程 2 x + a x+1 = 2 的解为 x= 2,则 m 的值为　 　 　 　 ; 变式 2 若方程 2x+a x-2 = -1 的解为非负数,则 m 的取值范围是　 　 　 　 ; 变式 3 若方程 2m+x x-3 -1 = 2 x 有增根,则 m 的值为　 　 　 　 . 2. 直线 y= x+a 不经过第二象限,则关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 实数解的个数是 ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 或 2 3. 当-2≤x≤1 时,二次函数 y= -(x-m) 2 +5 有最大值 4,则实数 m 的值为 ( C ) A. -3 B. -1 或 2 C. 2 或-3 D. 2 或-3 或-1 4. 若抛物线 y=x2-2mx+m2+2m+1(m 是常数)的顶点到 x 轴的距离为 2,则m的值为 ( D ) A. - 1 2 B. 3 2 C. - 1 2 或 3 2 D. - 3 2 或 1 2 1 专项培优练·辽宁数学 思 想 方 法 分 类 讨 论 思 想 类型 2　 位置不确定 5. 如图,数轴上 A,B 两点表示的数分别为-8,2,将长为 3 的线段 PQ 摆放在数轴上,使得点 P 与 AB 的中点重合,则点 Q 表示的数为　 0 或-6　 . 第 5 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 9 题图 6. [2024 雅安改编]如图,在△ABC 中,∠A=38°,BC 边绕点 C 按逆时针方向旋转一周回到原来的 位置,点 B 的对应点记为点 B′.在旋转的过程中,当 CB′∥AB 时,∠B′CA的度数为 ( C ) A. 38° B. 142° C. 38°或 142° D. 38°或 52° 7. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,BC= 10,AC= 24,D 为斜边 AB 的中点,P 是边 AC 上的一个动 点,将△APD 沿 PD 翻折得到△A′PD,当直线 A′P 与 AB 垂直时,AP 的长为　 　 　 　 　 . 类型 3　 图形形状不确定 8. 等腰三角形的周长为 12 cm,其中一边长为 3 cm,则该等腰三角形的底边长为 ( A ) A. 3 cm B. 4. 5 cm C. 5 cm D. 6 cm 9. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,∠A= 30°,AB= 40 cm,动点 P 从点 A 出发在 AB 边上沿 A→B 方 向匀速运动,速度为 vp = 2 cm / s,动点 Q 从点 B 出发在 BC 边上沿 B→C 方向匀速运动,速度 为 vQ = 1 cm / s.当点 Р 到达点 B 时,P,Q 两点同时停止运动,则当点 Р 运动　 10 或 16　 秒 时,△PBQ 为直角三角形. 类型 4　 对应关系不确定 10. [2024 辽阳期末]如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(2,4),B(4,1),以原点 O 为位似中 心,相似比为 2,在第一象限内将△OAB 放大或缩小,则点 A 的对应点 A′的坐标是( D ) A. (1,2) B. ( -4,-8) C. (8,2)或 (1,2) 　 D. (1,2)或 (4,8) 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 11. 如图,在两个直角三角形中,∠ACB= ∠ADC= 90°,AC= 6 ,AD = 2. 若以点 A,B,C 为顶点 的三角形与以 A,D,C 为顶点的三角形相似,则 AB 的长为　 3 或 3 2 　 . 12. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=CD= 6 cm,BC= 10 cm,点 P 从点 B 出发,以 2 cm / s 的速度沿 BC 向点 C 运动,设点 P 的运动时间为 t s,且 t≤5. 点 P 从点 B 开始运动的同时,点 Q 从 点 C 出发,以 v cm / s 的速度沿 CD 向点 D 运动,当 v= 　 2 或 2. 4　 cm / s 时,以 A、B、P 为 顶点的三角形与以 P、Q、C 为顶点的三角形全等. 【点拨】分两种情况讨论:①当 BP =CQ,AB =PC 时,△ABP≌△PCQ;②当 BA =CQ,PB = PC 时,△ABP≌△QCP. 2 参考答案与重难题解析·辽宁数学　 专 项 培 优 练 　 专项培优练 一、辽宁中考培优———思想方法 思维训练一　 分类讨论思想 1. A　 变式 1 3　 变式 2 a≤2 且 a≠-4　 变式 3 - 3 2 2. D　 【解析】∵ 直线 y = x+a 不经过第二象限,∴ a≤0,当 a= 0 时,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 是一元一次方程,解 为 x= - 1 2 ;当 a<0 时,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 是一元 二次方程,∵ Δ = 22 - 4a> 0,∴ 方程有两个不相等的实数 根,综上所述,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 实数解的个数 为 1 个或 2 个. 3. C　 【解析】由题知二次函数图象的对称轴为直线 x = m, ①m<-2 时,x= -2 取得最大值,-( -2-m) 2 +5 = 4,解得 m = -3 或 m= -1(舍去);②-2≤m≤1 时,x =m 取得最大值 为 5,不合题意;③m>1 时,x= 1 取得最大值,-(1-m) 2 +5 = 4,解得 m= 0(舍去)或 m = 2. 综上所述,实数 m 的值为 2 或-3. 4. D　 【解析】∵ y = x2 - 2mx+m2 + 2m+ 1 = ( x-m) 2 + 2m+ 1, ∴ 抛物线 y= x2 -2mx+m2 + 2m+ 1(m 是常数)的顶点坐标 为(m,2m+1),∵ 顶点到 x 轴的距离为 2,∴ | 2m+1 | = 2, 即 2m+1 = 2 或 2m+1 = -2,解得 m= 1 2 或- 3 2 . 5. 0 或-6 6. C　 【解析】如解图①,当点 B′在点 C 左侧时,∵ B′C∥AB, ∴ ∠B′CA= ∠A = 38°,如解图②,当点 B′在点 C 右侧时, ∵ B′C∥AB,∴ ∠B′CA = 180° - ∠A = 142°. 综上可得,当 C′B∥AB 时,∠B′CA 的度数为 38°或 142°. 图① 　 　 图② 第 6 题解图 7. 26 3 或 39 2 　 【解析】当点 A′在 AC 下方时,如解图①,延长A′P 交 AB 于点 H,则 A′H⊥AB,由题可得 AB = AC2 +BC2 = 26, ∵ D 为斜边 AB 的中点,∴ AD = 13,又∵ sinA = sinA′= BC AB = DH A′D = 5 13 ,∴ DH= 5,∴ AH=AD-DH= 8,由 cosA= AC AB =AH AP = 8 AP = 12 13 ,解得 AP= 26 3 ;当点 A′在 AC 上方时,如解图②,同 理可得 DH = 5,∴ AH = AD +DH = 18, ∵ cosA = AH AP = AC AB , ∴ 18 AP = 12 13 ,解得 AP= 39 2 . 综上所述,AP 的长为 26 3 或 39 2 . 图① 　 　 图② 第 7 题解图 8. A　 【解析】分两种情况:当等腰三角形的腰长为 3 cm 时, ∵ 等腰三角形的周长为 12 cm,∴ 等腰三角形的底边长 = 12-3×2 = 6(cm),∵ 3+ 3 = 6,∴ 不能组成三角形;当等腰 三角形的底边长为 3 cm 时, ∵ 等腰三角形的周长为 12 cm,∴ 等腰三角形的腰长 = 1 2 ×(12- 3) = 4. 5 ( cm), 综上所述,该等腰三角形的底边长为 3 cm. 9. 10 或 16　 【解析】由题知 BC = 1 2 AB = 20,∠B = 60°,设点 P 的运动时间为 t s,由题意得 BQ = t,AP = 2t,∴ BP = AB- AP= 40-2t,分两种情况:当∠BQP = 90°时,如解图①,∴ ∠BPQ= 90°-∠B = 30°,∴ BP = 2BQ,∴ 40- 2t = 2t,解得 t = 10;当∠BPQ= 90°时,如解图②,∴ ∠BQP = 90°-∠B = 30°,∴ BQ= 2BP,∴ t = 2(40-2t),解得 t = 16. 综上所述, 当点 P 运动 10 或 16 秒时,△PBQ 为直角三角形. 图① 　 　 图② 第 9 题解图 10. D 11. 3 或 3 2 　 【解析】在 Rt△ADC 中,由勾股定理得 CD = AC2 -AD2 = ( 6 ) 2 -22 = 2 ,当△ABC∽△ACD 时, AB CA = AC AD ,即 AB 6 = 6 2 ,∴ AB= 3;当△ABC∽△CAD 时, AB AC = AC CD ,即 AB 6 = 6 2 ,∴ AB = 3 2 . 综上所述,AB 的长为 3 或 3 2 . 12. 2 或 2. 4　 【解析】分两种情况讨论:①当 BP = CQ,AB = PC 时, △ABP ≌ △PCQ ( SAS) . ∵ AB = 6 cm, ∴ PC = 6 cm,∴ BP=BC-PC = 10-6 = 4 (cm),即 2t = 4,解得 t = 2. ∵ CQ=BP= 4 cm,即 2v = 4,解得 v = 2;②当 BA = CQ, PB= PC 时,△ABP≌△QCP( SAS) . ∵ PB = PC,∴ BP = PC= 1 2 BC= 5 (cm),即 2t = 5,解得 t = 2. 5. ∵ CQ = BA = 6 cm,即 2. 5v = 6,解得 v = 2. 4. 综上所述,当 v = 2 或 2. 4 cm / s 时,以 A,B,P 为顶点的三角形与以 P,Q,C 为 顶点的三角形全等. 思维训练二　 转化思想 1. B 2. A　 【解析】解法 1: x-y= 2m+1①, x+3y= 3②,{ ①+②得 2x+2y = 2m+ 4. ∵ x+y= 1,∴ 2x+2y= 2 = 2m+4,∴ m= -1; 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解法 2: x+3y= 3③, x+y= 1④,{ ③-④得 2y = 2,∴ y = 1,∴ x = 0, ∴ x-y= 2m+1 = -1,∴ m= -1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74