精品解析：2025年江苏省无锡市侨谊实验中学第一次数学中考模拟试卷

2025年春学期自主练习 九年级数学 注意事项： 1．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. x为任意实数 3. 下列方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. 2a2﹣a2＝2 B. a•a3＝a4 C. （a3）2＝a5 D. a6÷a3＝a2 5. 将一次函数y＝﹣2x的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解析式为（　　） A. y＝﹣8x B. y＝4x C. y＝﹣2x﹣6 D. y＝﹣2x+6 6. 某阅览室2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本.设该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平移直线至，直线，被直线所截，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，假命题有（ ） ①互补的角是邻补角；②平移前后的两个图形面积相等；③无理数的和也是无理数；④带根号的实数都是无理数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 将一边长为的正方形A向右平移，使其通过一个长为，宽为 的长方形区域B，设在正方形A向右平移的过程中，长方形区域B内被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（ ） A. B. C D. 10. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，BH⊥AE于点G，连接OG，则下列结论中①OF＝OH，②△AOF∽△BGF，③tan∠GOH＝2，④FG+GH＝GO，正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的位置） 11. 实数范围内分解因式：___________． 12. 年月日，中国电信发布年中秋国庆双节假期文化和旅游市场情况．双节假期国内旅游出游亿人次，用科学记数法表示为______． 13. 方程的解是________． 14. 已知圆锥的高为，母线长为，则圆锥的表面积为___________． 15. 已知，在正比例函数的图象上，则___________.（填“”或“”或“”）. 16. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是_____元． 17. 如图，在平面直接坐标系中，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点，的直线与曲线l相交于点C、D，则sin∠COD=___ ． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线，交轴于点为，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为___________； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）2tan45°－(－1)0＋； （2） (a＋2b)2－(a＋b) (a－b)． 20 （1）解方程：x (x－2)＝3； （2）解不等式组 21. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是___________； （2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率． 23. 为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，某校开展了学生社团活动，为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出如下的统计图，请根据统计图，完成以下问题： （1）本次抽样调查的样本容量为______； （2）在扇形统计图中，表示“书法类”部分的扇形的圆心角是______； （3）若该校七年级共有450名同学参加社团活动，请求出参加“文学类”活动学生的大致人数． 24. 在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到两边的距离相等，设直线l与边交于点D，在上找一点E，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的长为 ．（在备用图中分析） 25. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝，sinF＝时，求OF长． 26. 商场分两次购进A、B两种型号的商品进行销售，两次购进同一型号的商品进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用 （元） A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A商品以每件30元出售，B商品以每件100元出售，为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 27. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD． （1）求证：＝； （2）在点P运动过程中，试问∠PBD度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势； （3）已知AB＝，设CP＝x，S△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式． 28. 如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）①求证：； ②求； （3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期自主练习 九年级数学 注意事项： 1．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是， 故选：． 2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. x为任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于等于0可以确定x的取值范围. 【详解】函数中， 解得， 故选：B. 【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，正确列式是解题的关键. 3. 下列方程组的解为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】把代入选项A第2个方程不成立，故错误； 把代入选项B第2个方程不成立，故错误； 把代入选项C第1个方程不成立，故错误； 把代入选项D两个方程均成立，故正确； 故选D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. 2a2﹣a2＝2 B. a•a3＝a4 C. （a3）2＝a5 D. a6÷a3＝a2 【答案】B 【解析】 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式=a2，不符合题意； B、原式=a4，符合题意； C、原式=a6，不符合题意； D、原式=a3，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 将一次函数y＝﹣2x的图象向下平移6个单位，得到新的图象的函数解析式为（　　） A. y＝﹣8x B. y＝4x C. y＝﹣2x﹣6 D. y＝﹣2x+6 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移6个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：， 故选． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键． 6. 某阅览室2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本.设该阅览室的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2017年图书借阅总量2015年图书借阅总量列出方程即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：B． 7. 如图，平移直线至，直线，被直线所截，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移可得，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵平移直线至 ∴，， ∴, 又∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8. 下列命题中，假命题有（ ） ①互补角是邻补角；②平移前后的两个图形面积相等；③无理数的和也是无理数；④带根号的实数都是无理数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角的定义、平移的性质、无理数的定义解答即可． 【详解】①互补的角不一定是邻补角，所以原命题是假命题，故符合同意； ②平移前后的两个图形面积相等，是真命题，故不符合题意； ③无理数的和不一定是无理数，如：与的和是有理数，所以原命题是假命题，故符合同意； ④带根号的实数不一定是无理数，如是有理数，所以原命题是假命题，故符合同意． 故选C． 【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 9. 将一边长为的正方形A向右平移，使其通过一个长为，宽为 的长方形区域B，设在正方形A向右平移的过程中，长方形区域B内被正方形A覆盖后剩余部分的面积为S，则S的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析题意可得,S为长方形B的面积减正方形A的面积,当A完全在B里面时,S有最小值. 【详解】解:当A完全在B之内时, . 故选:B. 【点睛】本题考查整式四则运算的应用,结合图形理解题意,列出表达式是解答关键. 10. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，BH⊥AE于点G，连接OG，则下列结论中①OF＝OH，②△AOF∽△BGF，③tan∠GOH＝2，④FG+GH＝GO，正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①根据正方形ABCD的性质，可得AC⊥BD，∠AOF＝∠BOH＝90°，又BH⊥AE，∠AFO＝∠BFG，即∠OAF＝∠OBH，进而可证△AOF≌△BOH（ASA），即OF＝OH. ②根据∠AOF＝∠BGF＝90°，∠OAF＝∠OBH，可得△AOF∽△BGF ③根据点E是BC的中点，可得AB＝BC＝2BE，又因为∠AOB＝∠AGB＝90°，故A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理推论可知∠BOG＝∠BAE，∠AGO＝∠ABO＝45°，由∠BOG+∠GOH＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，可得∠GOH＝∠AEB，求得tan∠GOH＝tan∠AEB＝＝2 ④过点O作OM⊥OG，交GH延长线于点M，证得∠FOG=∠HOM，∠OMH=∠OGF，由AAS证得△OMH≌△OGF得出OG=OM，FG=HM，则△GOM是等腰直角三角形，得出GM=OG，即可得出FG+GH=GO，④正确； 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，AD∥BC，∠ABO＝∠ACB＝45°， ∴∠AOF＝∠BOH＝90°， ∵BH⊥AE，∠AFO＝∠BFG， ∴∠OAF＝∠OBH， 在△AOF和△BOH中，， ∴△AOF≌△BOH（ASA）， ∴OF＝OH，①正确； ∵∠AOF＝∠BGF＝90°，∠OAF＝∠OBH， ∴△AOF∽△BGF，②正确； ∵点E是BC的中点， ∴AB＝BC＝2BE， ∵∠AOB＝∠AGB＝90°， ∴A、B、G、O四点共圆， ∴∠BOG＝∠BAE，∠AGO＝∠ABO＝45°， ∵∠BOG+∠GOH＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠GOH＝∠AEB， ∴tan∠GOH＝tan∠AEB＝＝2，③正确； 过点O作OM⊥OG，交GH延长线于点M， 如图所示： ∵∠BOC=∠GOM=90°， ∴∠FOG=∠HOM， ∵∠OMG+∠OGM=90°，∠OGF+∠OGM=90°， ∴∠OMH=∠OGF， 由①正确得：OF=OH， 在△OMH和△OGF中， ∴△OMH≌△OGF（AAS）， ∴OG=OM，FG=HM， ∴△GOM是等腰直角三角形， ∴GM=OG， ∵GM=GH+HM=GH+FG， ∴FG+GH=GO，④正确； 正确的个数有4个， 故选D． 【点睛】本题以正方形为背景，考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理及推论，准确掌握及灵活运用是解题的关键. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的位置） 11. 在实数范围内分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法，分母有理化，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是本题的解题关键． 先提起公因式，然后用平方差公式分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 年月日，中国电信发布年中秋国庆双节假期文化和旅游市场情况．双节假期国内旅游出游亿人次，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的要求，将变为的形式，分别确定a和n的值即可． 本题考查了科学记数法，其表示形式为，正确确定a和n的值是解答本题的关键．n是整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】， 故答案为：． 13. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 化系数为1，得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验． 14. 已知圆锥的高为，母线长为，则圆锥的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的相关计算， 掌握计算公式是解题的关键． 先根据勾股定理求出底面圆的半径，再求出侧面积和底面圆面积即可． 【详解】解：由题意得，圆锥的底面圆的半径为， ∴表面积为：． 故答案为：． 15. 已知，在正比例函数的图象上，则___________.（填“”或“”或“”）. 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的增减性解答. 【详解】∵<0， ∴y随着x的增大而减小， ∵1<2， ∴>， 故答案为：>. 【点睛】此题考查了正比例函数的增减性：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握正比例函数的增减性是解此题的关键. 16. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是_____元． 【答案】53 【解析】 【分析】设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：53 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解题的关键. 17. 如图，在平面直接坐标系中，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l，过点，的直线与曲线l相交于点C、D，则sin∠COD=___ ． 【答案】． 【解析】 【分析】由题，，可得OA⊥OB，建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出C、D的坐标，根据勾股定理求得OC、OD的长，根据S△OCD=S△OBC-S△OBD计算求得△OCD的面积，根据三角形面积公式求得CE的长，然后解直角三角形即可求得sin∠COD的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴, ∴OA⊥OB， 建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴． 在新的坐标系中，A（0，2），B（4，0）， ∴直线AB解析式为y′=-x′+2， 由，解得或， ∴C（1，），D（3，）， ∴S△OCD=S△OBC-S△OBD=， ∵C（1，），D（3，）， ∴OC==，OD==， 作CE⊥OD于E， ∵S△OCD=OD•CE=2， ∴CE=， ∴sin∠COD==， 故答案为． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线，交轴于点为，顶点为，对称轴与轴交于点． （1）若该抛物线与直线有且只有一个交点，则的值为___________； （2）当抛物线顶点在第二象限时，如果，的值为___________． 【答案】 ①. ##0.125 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及二次函数的图象与性质，解直角三角形的相关计算，难度较大，解题的关键在于分类讨论思想的运用． ①联立抛物线和直线表达式得到一元二次方程，根据即可求解； ②根据，得到等角的正切值相等，分类讨论求解即可． 【详解】解：①联立抛物线和直线表达式得：， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为：； ②∵顶点D在第二象限， ∴， 当， ∴， ∵， ∴顶点． 情况1，点A在轴的正半轴上，如图（1），作于点G， ∵，， ∴，， ， ， ∴． ∴． 整理得：． ∴或（舍）． 情况2，点A在轴的负半轴上，如图，作于点G， ∵，， ∴，， ， ， ∴． ∴． 整理得：． ∴或（舍）， 或， 故答案为：或 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）2tan45°－(－1)0＋； （2） (a＋2b)2－(a＋b) (a－b)． 【答案】（1）5；（2）4ab＋5b2 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂，再进行实数的计算即可； （2）先用完全平方公式及平方差公式将原式展开，再去括号、合并同类项即可． 【详解】解：（1）2tan45°－(－1)0＋ ＝2×1－1＋4 ＝5； （2） (a＋2b)2－(a＋b) (a－b)， ＝a2＋4ab＋4b2－(a2－b2) ， ＝a2＋4ab＋4b2－a2＋b2， ＝4ab＋5b2 【点睛】本题考查数与式的计算.熟练应用数与式的计算法则、公式是解题的关键.第2小题的易错点在于运用平方差公式得出的结果是一个整体，要加上括号． 20. （1）解方程：x (x－2)＝3； （2）解不等式组 【答案】（1）x1＝3，x2＝－1；（2）＜x≤6． 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）分别对不等式组的两个不等式进行求解，得出解集后再取公共部分即可． 【详解】解： （1）x (x－2)＝3， x2－2x＝3， x2－2x＋1＝3＋1， ( x－1)2＝4， x－1＝2或x－1＝－2， ∴x1＝3，x2＝－1； （2）由①得x＞， 由②得x≤6， ∴＜x≤6． 【点睛】本题考查了解一元二次方程与一元一次不等式组.按照解一元二次方程与一元一次不等式组的步骤进行求解是解题的关键． 21. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）为度 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）利用证明，即可得； （2）设，根据“等边对等角和三角形内角和定理”列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得、、是等腰三角形，设，依题意得 ， 解得， ， 为度． 22. 不透明袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是___________； （2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画出树状图得出所有等可能的情况数，找出摸到“一红一黄”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵不透明袋子中共有3个球，其中1个蓝球， ∴随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况数，其中摸到“一红一黄”的情况有2种， 则两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率是． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝． 23. 为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，某校开展了学生社团活动，为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出如下的统计图，请根据统计图，完成以下问题： （1）本次抽样调查的样本容量为______； （2）在扇形统计图中，表示“书法类”部分的扇形的圆心角是______； （3）若该校七年级共有450名同学参加社团活动，请求出参加“文学类”活动学生的大致人数． 【答案】（1） （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解答本题的关键． （1）由体育类的人数除以所占的百分比即可求出调查的总学生数； （2）由书法类的人数除以总人数求出百分比，乘以即可得到结果；        （3）用总人数乘文学类的百分比即可得到结果． 【小问1详解】 根据题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 “书法类”部分的扇形的圆心角是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：人， 答：参加“文学类”活动学生的大致人数为人． 24. 在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到两边的距离相等，设直线l与边交于点D，在上找一点E，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的长为 ．（在备用图中分析） 【答案】（1）作图见解析 （2）2或3 【解析】 【分析】（1）作的平分线；作的垂直平分线交于O点，再在的垂直平分线上截取，且使点P位于的上方，则； （2）过E作于N，得，设，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，解方程即可求得结果． 【小问1详解】 解：作的平分线，则l上的各点到两边的距离相等；作的垂直平分线交于O点，以O为圆心，在的垂直平分线上截取，且使点P位于的上方，连接交于点E，则； 【小问2详解】 解：如图，过E作于N，则， ∴； 设，则， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， 而, ∴， 即， 解得：，或， ∴或， 即或3． 故答案为：2或3． 【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 25. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长． 【答案】（1）见解析；（2）OF＝5． 【解析】 【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线； （2）连接AD．由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝，求出AB＝BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝即可求出OF． 【详解】（1）连接OC．如图1所示： ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2． 又∵∠3＝∠1+∠2， ∴∠3＝2∠1． 又∵∠4＝2∠1， ∴∠4＝∠3， ∴OC∥DB． ∵CE⊥DB， ∴OC⊥CF． 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF为⊙O的切线； （2）连接AD．如图2所示： ∵AB是直径， ∴∠D＝90°， ∴CF∥AD， ∴∠BAD＝∠F， ∴sin∠BAD＝sinF＝， ∴AB＝BD＝6， ∴OB＝OC＝3， ∵OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°， ∴sinF＝， 解得：OF＝5． 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果． 26. 商场分两次购进A、B两种型号的商品进行销售，两次购进同一型号的商品进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用 （元） A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）商场决定A商品以每件30元出售，B商品以每件100元出售，为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】（1）A商品每件进价为20元，B商品每件进价为80元 （2）当A商品购进800件，B商品购进200件时利润最大，最大利润为12000元 【解析】 【分析】（1）设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元，根据题意可列二元一次方程组，解得可求A、B两种商品每件的进价． （2）设购进A种商品m件，获得的利润为w元，则购进B种商品件，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，根据利润A商品利润B商品利润列出w与m之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设A商品每件进价为x元，B商品每件进价为y元， 根据题意得： 解得： 答：A商品每件进价为20元，B商品每件进价为80元 小问2详解】 解：设A商品购进m件，则B商品购进件，设获得利润为W元， ∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍， ∴， ∴， ， ∵ ∴当m增大时，W减少， 当时，W取最大值， 最大利润为：（元） 当A商品购进800件，B商品购进200件时利润最大，最大利润为12000元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式． 27. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD． （1）求证：＝； （2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势； （3）已知AB＝，设CP＝x，S△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°；（3）． 【解析】 【分析】（1）设AD与PB交于点K．由△AKB∽△PKD，推出△AKP∽△BKD，推出∠ADB＝∠APK，∠PAK＝∠DBK＝45°，推出∠ABD＝∠DBK＝90°，推出∠ABD＝∠ACP，由∠ADB＝∠APC，推出△ABD∽△ACP，即可解决问题； （2）结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°．由（1）可知△AKP∽△BKD，即可推出∠PAK＝∠DBK＝45°； （3）在中，由，推出，在中，，由△ABD∽△ACP，推出，推出，可得，根据计算即可． 【详解】（1） 如图，设AD与PB交于点K． ∵CA＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵PA＝PD，∠APD＝90°， ∴∠PDK＝∠PAD＝∠ABK＝45°， ∵∠AKB＝∠DKP， ∴△AKB∽△PKD， ∴， ∴， ∵∠AKP＝∠BKD， ∴△AKP∽△BKD， ∴∠ADB＝∠APK，∠PAK＝∠DBK＝45°， ∴∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠ACP， ∵∠ADB＝∠APC， ∴△ABD∽△ACP， ∴； （2）结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°． 理由：由（1）可知△AKP∽△BKD， ∴∠PAK＝∠DBK＝45°， ∴在点P运动过程中，∠PBD的度数是定值，∠PBD＝45°, （3）在Rt△ABC中，∵， ∴， 在Rt△ACP中，， ∵△ABD∽△ACP， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 28. 如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． （1）求二次函数表达式； （2）①求证：； ②求； （3）当时，求直线与二次函数的交点横坐标． 【答案】（1） （2）①证明见解析，② （3）或． 【解析】 【分析】（1）二次函数与轴交于 (0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可得到二次函数的表达式； （2）①由＝，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，进一步得到∠COD＝∠，由对顶角相等得∠ODC＝∠BD，证得结论； ②由，得到，设点D的坐标为（d，0），DC＝，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为，得到的最小值，进一步得到的最小值； （3）由和得到 ，求得B＝AB＝1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代入求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），则线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得点的坐标，设直线的解析式为y＝x＋，由待定系数法求得直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线，解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点， ∴代入 (0，0)， (4，0)得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ①证明：∵ ＝， ∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点， ∴由抛物线的对称性可知OC＝AC， ∴∠CAB＝∠COD， ∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点， ∴ △ABC≌△BC， ∴∠CAB＝∠，AB＝B， ∴∠COD＝∠， ∵∠ODC＝∠BD， ∴； ②∵， ∴， 设点D的坐标为（d，0）， DC＝， ∵点与、点不重合， ∴0＜d＜4， 对于 ＝来说， ∵ a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4， ∴当d＝2时，DC有最小值为， OC＝， ∴有最小值为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵OC＝2， ∴B＝AB＝1， ∴点B的坐标是（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝x＋， 把点B（3，0），C（2，﹣2）代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝2x－6， 设点的坐标是（p，q）， ∴线段A的中点为（，）， 由折叠的性质知点（，）在直线BC上， ∴＝2×－6， 解得q＝2p－4， B＝， 整理得＝1， 解得p＝2或p＝， 当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意， 当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意， 设直线的解析式为y＝x＋， 把点B（3，0），（，）代入得，， 解得， ∴直线的解析式为y＝x＋4， 联立直线和抛物线得到，， 解得，， ∴直线与二次函数的交点横坐标为或． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$