7.3 平行线的性质（五大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年六年级数学下册同步精品课堂（鲁教版2024）

7.3 平行线的性质 题型一 利用平行线的性质证明角相等 1．如图，已知，，，求证：．    2．已知，，，在上，且．求证：． 3．解答下列各题： 如图，已知，，试说明．请将过程填写完整． 解：∵ 又（______） ∴______．（______） ∴____________（______） 又∵ ∴______ ∴（______） 4．如图，在三角形ABC中，D，E，F别在段AB，BC，CA上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证∠A＝∠DEF； （2）若∠B＝45°，∠C＝65°，求∠DEF的度数． 题型二 利用平行线的性质求角度 5．如图，已知AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF交CD于点G，若∠2＝65°，求∠1的度数． 6．如图，已知，平分，平分，，，求的度数． 7．如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．如图，直线，点F是直线上一点，过点F的射线交于点E，平分．当时，求的度数．    解：∵平分， ∴___________①（___________②）， ∵， ∴． ∵直线与交于点E，   ∴___________③___________（_______________④）， ∵， ∴（___________⑤）， ∴___________⑥． 题型三 利用平行线的性质探究角的关系 9．阅读下列推理过程，在括号中填写依据． 已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，，，DF交BC于点F，AE平分∠BAC． 求证：DF平分∠BDE， 证明：∵AE平分∠BAC（已知）． ∴∠1＝∠2（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴∠1＝∠3（ 　　　）． ∴∠2＝∠3（等量代换）． ∵（已知）， ∴∠2＝∠5（ 　　　）． ∠3＝　　　（两直线平行，内错角相等）． ∴∠4＝∠5（ 　　　）． ∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）． 10．如图，AB//CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O． (1)若∠AMF=52°，∠CNE=38°，求∠MEN、∠MFN的度数； (2)若2∠MFN∠MEN=45°，求出∠AMF的度数； (3)探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果） 11．如图，点是三角形的边所在直线上的一个动点． （1）填空：当点在线段上时，过点作，．求证：∠=∠． 证明：∵（已知）， ∴∠＝____________________（__________　________）． ∵　　　　　　　　　　（　　　　　　　　　　　　　　）， ∴∠＝_____________（___________________________）． ∴∠=∠（____________________________）． （2）当点移动到延长线上时，如果过点画交延长线于点，交延长线于点，∠和∠又存在什么数量关系？请根据题意把下图补画完整，并直接写出∠和∠存在的数量关系，不需证明．数量关系为：　　　　　　　　　　　　　　　． 12．如图，在三角形中，． （1）按下列要求画出相应的图形 ①过点画直线； ②过点分别画直线和直线的垂线，垂足分别为点、，交于点． （2）在（1）所画出的图形中，按要求完成下列问题． ①线段____________的长度是点到的距离，线段的长度是点_______到直线__________的距离； ②在线段、、、中，长度最短的是线段___________，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________________最短； ③延长至点，试说明 题型四 平行线的判定和性质的综合应用 13．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 14．如图，，，，将求的过程填写完整． 解：（______） ______（______） 又，（______） （______） ______（______） ______ （______） 又（______） ______（______） 15．如图，已知是的平分线，交于点，点分别是上的点，且． (1)图中与是一对______，与是一对______；（填“同位角”或“内错角”或“同旁内角”） (2)若，垂足为，则的度数为______； (3)判断与是什么位置关系？说明理由．（请补充完整下面的推理过程） 解：______，理由如下： ，（已知） ______，（同位角相等，两直线平行） ，（______） ，（已知） ______，（等量代换） ______．（______） 16．如图1，已知点B和点C分别是和上的点，，． (1)试说明：； (2)如图2，连接，已知，． ①当时，，求的度数； ②若，则__________．（用含m的代数式表示） 题型五 拐点模型 17．【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 18．如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，． (1)求证：； (2)如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由． 19．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， ． 又因为．所以． 解题反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，求的度数． 提示：过点作． 深化拓展： （3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． 如图3，点在点的左侧，若，则的度数为 ． 20．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 21．如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 22．阅读题目，完成下面的推理过程，并在括号内填上依据． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中，．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长EF交CD于点P ∵（已知） ∴（______） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（______） ∴（______） 又∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（______）． 23．综合与探究 【感知】如图①，，，，求的度数． 小乐想到了以下方法： 解：如图①，过点P作，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 所以． 【迁移】（1）如图②，已知，，，则______； 【探究】（2）如图③，已知，，，求的度数； 【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，的平分线与的平分线交于点G，求的度数． 24．如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)①的度数是________；②，________； (2)求的度数； (3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 25．【发现问题】 如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点．           【提出问题】 ，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究； 【解决问题】 (1)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由 (2)如图3，已知，点，分别在，上，点是，，之间，右侧任意一点，连接，，则，，的数量关系为________；（不需要写解答过程） (3)如图4，在（2）条件下，，之间，左侧再取一点，连接，，若使得，，求与的数量关系．（用表示） 26．已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)如图，当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 27．如图，已知，点E，F分别为之间的点． (1)如图1，若，求的度数； (2)若，． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知平分，平分，反向延长FG交EP于点P，直接写出的度数． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 平行线的性质 题型一 利用平行线的性质证明角相等 1．如图，已知，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质，找到角之间的关系，再根据，即可求证 【详解】证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，即 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质． 2．已知，，，在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行可求得、，线段相等得到，证明得，即可证明得 【详解】 在与中 ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键 3．解答下列各题： 如图，已知，，试说明．请将过程填写完整． 解：∵ 又（______） ∴______．（______） ∴____________（______） 又∵ ∴______ ∴（______） 【答案】对顶角相等；；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等 【分析】由对顶角相等及等量替换推出∠1=∠2，根据平行线的判定推出AB∥CD，进而推出AB∥EF，根据平行线的性质得出即可． 【详解】解：∵∠1=∠3 又∠2=∠3 (对顶角相等) ∴∠1=∠2(等量代换) ∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行) 又∵CD∥EF ∴AB∥EF ∴(两直线平行，同位角相等)． 故答案是：对顶角相等； ∠2 ；等量代换； AB ； CD ；同位角相等，两直线平行； EF ；两直线平行，同位角相等． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之即为判定定理． 4．如图，在三角形ABC中，D，E，F别在段AB，BC，CA上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证∠A＝∠DEF； （2）若∠B＝45°，∠C＝65°，求∠DEF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）70° 【分析】（1）由DE//AC，根据两直线平行，同位角相等得出∠A=∠BDE，由EF//AB，根据两直线平行，内错角相等得出∠BDE=∠DEF，等量代换得出∠A=∠DEF； （2）根据三角形内角和定理求出∠A=180°-∠B-∠C=70°，由（1）知∠DEF=∠A=70°． 【详解】（1）证明：∵DE//AC， ∴∠A=∠BDE， ∵EF//AB， ∴∠BDE=∠DEF， ∴∠A=∠DEF； （2）解：∵∠B=45°，∠C=65°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=70°， 由（1）知∠DEF=∠A=70°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 题型二 利用平行线的性质求角度 5．如图，已知AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF交CD于点G，若∠2＝65°，求∠1的度数． 【答案】∠1的度数是50° 【分析】根据平行线和角平分线得到∠BEF，根据平行线的性质可得∠1的度数． 【详解】解：∵AB∥CD，∠2＝65°， ∴∠BEG＝∠2＝65°， ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEF＝2∠BEG＝130°， ∵AB∥CD， ∴∠1+∠BEF＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠BEF＝50°， 答：∠1的度数是50°． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6．如图，已知，平分，平分，，，求的度数． 【答案】55° 【分析】过点E作EFAB，由，再证得EF，由平行线的性质得到∠FEB＝∠ABE，∠FED＝∠EDC，∠ABC＝∠BCD＝40°，∠BAD＝∠ADC＝70°，由角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE∠ABC＝20°，∠FED＝∠ADE＝∠EDC∠ADC＝35°，进而求得∠BED的度数． 【详解】解：过点E作EFAB， ∵， ∴EF， ∴∠FEB＝∠ABE，∠FED＝∠EDC，∠ABC＝∠BCD＝40°，∠BAD＝∠ADC＝70°， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝20°，∠FED＝∠ADE＝∠EDC∠ADC＝35°， ∴∠FEB＝∠ABE＝20°， ∴∠BED＝∠FEB＋∠FED＝55°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7．如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁同角互补是解题的关键． （1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得，，据此求证即可； （2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴． 8．如图，直线，点F是直线上一点，过点F的射线交于点E，平分．当时，求的度数．    解：∵平分， ∴___________①（___________②）， ∵， ∴． ∵直线与交于点E，   ∴___________③___________（_______________④）， ∵， ∴（___________⑤）， ∴___________⑥． 【答案】①，②角平分线的定义，③，④对顶角相等，⑤两直线平行，同旁内角互补，⑥ 【分析】根据题干给出的思路，结合平行线的性质即可作答． 【详解】∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴． ∵直线与交于点E， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， 故：①，②角平分线的定义，③，④对顶角相等，⑤两直线平行，同旁内角互补，⑥． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解答本题的关键． 题型三 利用平行线的性质探究角的关系 9．阅读下列推理过程，在括号中填写依据． 已知：如图，点D、E分别在线段AB、BC上，，，DF交BC于点F，AE平分∠BAC． 求证：DF平分∠BDE， 证明：∵AE平分∠BAC（已知）． ∴∠1＝∠2（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴∠1＝∠3（ 　　　）． ∴∠2＝∠3（等量代换）． ∵（已知）， ∴∠2＝∠5（ 　　　）． ∠3＝　　　（两直线平行，内错角相等）． ∴∠4＝∠5（ 　　　）． ∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）． 【答案】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠4；等量代换 【分析】根据平行线的性质，依次写出依据及结论即可． 【详解】解：证明：∵AE平分∠BAC（已知）． ∴∠1＝∠2（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）． ∴∠2＝∠3（等量代换）． ∵（已知）， ∴∠2＝∠5（ 两直线平行，同位角相等）． ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）． ∴∠4＝∠5（ 等量代换）． ∴DF平分∠BDE（角平分线的定义）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠4；等量代换． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 10．如图，AB//CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O． (1)若∠AMF=52°，∠CNE=38°，求∠MEN、∠MFN的度数； (2)若2∠MFN∠MEN=45°，求出∠AMF的度数； (3)探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）作，由平行线性质可推出 ，由角平分线定义得，则，同理可得； （2）利用（1）中结论，可推出，进而得到，由此可解； （3）作，同（1）可证，由（1）中结论可得，等量代换可得． 【详解】（1）解：如图，作， ， ， ，， ， EM是∠AMF的平分线， ， ， 同理可得，； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ； （3）如图，作， ， ， ，， ， 由（1）得，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），合理作出辅助线，注意在第（2）（3）问中运用第（1）问的结论是解题的关键． 11．如图，点是三角形的边所在直线上的一个动点． （1）填空：当点在线段上时，过点作，．求证：∠=∠． 证明：∵（已知）， ∴∠＝____________________（__________　________）． ∵　　　　　　　　　　（　　　　　　　　　　　　　　）， ∴∠＝_____________（___________________________）． ∴∠=∠（____________________________）． （2）当点移动到延长线上时，如果过点画交延长线于点，交延长线于点，∠和∠又存在什么数量关系？请根据题意把下图补画完整，并直接写出∠和∠存在的数量关系，不需证明．数量关系为：　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；；已知；；两直线平行，同位角相等；等量代换；（2）图见解析，EDF+BAC=180°． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明； （2）根据DE∥AB，DF∥CA即可求出∠EDF和∠BAC存在的数量关系． 【详解】证明：∵∥（已知）， ∴∠＝　∠　（　两直线平行，内错角相等　）． ∵　DF//AC　　（　已知　　　）， ∴∠＝　∠　（　两直线平行，同位角相等　）． ∴∠=∠（　　等量代换______）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；已知；；两直线平行，同位角相等；等量代换； （2）∠EDF+∠BAC=180°， 理由如下： ∵DE∥AB， ∴∠EDF+∠F=180°， ∵DF∥CA， ∴∠BAC=∠F， ∴∠EDF+∠BAC=180°， 补画图形如图所示； 故答案为：EDF+BAC=180°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用． 12．如图，在三角形中，． （1）按下列要求画出相应的图形 ①过点画直线； ②过点分别画直线和直线的垂线，垂足分别为点、，交于点． （2）在（1）所画出的图形中，按要求完成下列问题． ①线段____________的长度是点到的距离，线段的长度是点_______到直线__________的距离； ②在线段、、、中，长度最短的是线段___________，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________________最短； ③延长至点，试说明 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①AD，F，AB；②AD，垂线段；③证明见解析． 【分析】（1）①根据要求作图即可；②根据要求作图即可． （2）①根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度解答即可． ②根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”解答． ③根据平行线的性质及角的等量代换即可证明． 【详解】（1）①②如图所示； （2）①线段AD的长度是点A到BC的距离，线段AF的长度是点F到直线AB的距离． 故答案为：AD；F；AB ②在线段AB、AD、AF、AC中，长度最短的是线段AD，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； 故答案为：AD；垂线段； ③ ∵CE∥AB， ∴∠BCE=∠B，∠BAG=∠ACE． ∵∠ACE=∠BCE+∠ACB=∠B+∠ACB． ∴∠BAG=∠B+∠ACB． 【点睛】本题考查的是垂线段的性质及平行线的性质，掌握“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”及平行线的性质是关键． 题型四 平行线的判定和性质的综合应用 13．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 又， ． 14．如图，，，，将求的过程填写完整． 解：（______） ______（______） 又，（______） （______） ______（______） ______ （______） 又（______） ______（______） 【答案】已知；，两直线平行，同位角相等；已知，等量代换，，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；已知，，等式性质． 【分析】根据平行线的判定与性质进行填空即可． 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【详解】解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又，（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） （等式性质） 故答案为：已知；，两直线平行，同位角相等；已知，等量代换，，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；已知，，等式性质． 15．如图，已知是的平分线，交于点，点分别是上的点，且． (1)图中与是一对______，与是一对______；（填“同位角”或“内错角”或“同旁内角”） (2)若，垂足为，则的度数为______； (3)判断与是什么位置关系？说明理由．（请补充完整下面的推理过程） 解：______，理由如下： ，（已知） ______，（同位角相等，两直线平行） ，（______） ，（已知） ______，（等量代换） ______．（______） 【答案】(1)同旁内角；内错角 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，平行线的判定和性质，直角三角形的特征，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据同位角，内错角，同旁内角的定义，结合图形判断解答即可． （2）根据，判定，结合，，利用平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可． （3）根据平行线的判定和性质，推理证明即可． 【详解】（1）解：根据定义，判定与是一对同旁内角，与是一对内错角， 故答案为：同旁内角；内错角． （2）解：如图，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． （3）解：，理由如下： ，（已知） ，（同位角相等，两直线平行） ，（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ，（等量代换） ．（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：，；两直线平行，内错角相等；；；同旁内角互补，两直线平行． 16．如图1，已知点B和点C分别是和上的点，，． (1)试说明：； (2)如图2，连接，已知，． ①当时，，求的度数； ②若，则__________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）先根据证明，得到，进而可证，根据同旁内角互补两直线平行可证； （2）①由可得，由可得，进而求出，结合可求出； ②由可求得，进而求出，，然后根据两直线平行同位角相等可求的度数． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）①∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ②∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 题型五 拐点模型 17．【问题发现】 如图①，直线，点在与之间，连接，可以发现． 请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作， ，， （______）． （______）． （辅助线作法）， ______（______）． ______（等量代换）． 即． 【拓展探究】 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：，，之间的关系是______． 【解决问题】 如图③，，，求出的度数． 【答案】【问题发现】：见解析；【拓展探究】：；【解决问题】： 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解本题的关键； 问题发现：过点作，再根据题干提示逐一完成推理依据与推理过程即可； 拓展探究：过作，而，可得，再利用平行线的性质可得结论； 解决问题：过作，可得，再进一步利用平行线的性质可得答案． 【详解】问题发现： 证明：过点作． ，， （平行公理推论）． （两直线平行，内错角相等）． （辅助线作法）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 即． 拓展探究： 解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 解决问题： 解：过作． ， ． ，． ． ， ． 18．如图1，点E是直线上一点，F是直线上一点，． (1)求证：； (2)如图2，，与的平分线交于点Q，与相交于点M，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，当的大小不变时，下列结论：①的度数不变；②的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你写出正确的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的度数不变；理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）过点P作，分别证明，，进而可证； （2）设，，则，然后根据（1）的结论求解即可； （3）连接，设，，则，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，从而，求出，由（1）得，进而可求出，即的度数不变． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ， ， ，， ， ， ， ． （2）设，， 平分， ， 由（1）结论可知：， ， 由（1）结论可知：， ， ， （3）的度数不变． 理由如下：连接， 设，，则， FM平分∠PFD， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数不变， 的度数不变． 19．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， ． 又因为．所以． 解题反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，求的度数． 提示：过点作． 深化拓展： （3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． 如图3，点在点的左侧，若，则的度数为 ． 【答案】（1），；（2）；（3）65 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． （1）根据平行线的性质得，，进而可得到结论； （2）过作根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数． 【详解】解：（1）过点作， ，， 又， ． 故答案为：，； （2）过点作， ， ， ，， ． （3）如图，过点作， ， ， ，， 平分，平分，，， ，， 故答案为：65． 20．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 21．如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 22．阅读题目，完成下面的推理过程，并在括号内填上依据． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中，．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长EF交CD于点P ∵（已知） ∴（______） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（______） ∴（______） 又∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（______）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据证得，再根据已知等量代换证得，利用同位角相等，两直线平行证得，再根据平行线的性质，等量代换得出∠． 【详解】证明：如图，延长交于点P ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等量代换） 23．综合与探究 【感知】如图①，，，，求的度数． 小乐想到了以下方法： 解：如图①，过点P作，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 所以． 【迁移】（1）如图②，已知，，，则______； 【探究】（2）如图③，已知，，，求的度数； 【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，的平分线与的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）过点P作，由平行线的性质可得，，则可得，进而可求解． （2）过点P作，由平行线的性质得，，然后根据即可求解； （3）由角平分线的定义得，，过点G作，由平行线的性质得，，据此解得求得的度数． 【详解】解：（1），理由如下： 过点作，    ， ， ，， ， 即：， ，， ， 故答案为：； （2）如图2，过点P作， 所以 因为，所以． 所以． 所以． （3）因为是的平分线，是的平分线， 所以，． 如图3，过点G作， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 24．如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)①的度数是________；②，________； (2)求的度数； (3)当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． 【答案】(1)①；② (2) (3)不变，，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等． （1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出； （2）由角平分线的定义可以证明，即可求出结果； （3）不变，，证明，即可推出结论 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）不变，，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 25．【发现问题】 如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点．           【提出问题】 ，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究； 【解决问题】 (1)如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由 (2)如图3，已知，点，分别在，上，点是，，之间，右侧任意一点，连接，，则，，的数量关系为________；（不需要写解答过程） (3)如图4，在（2）条件下，，之间，左侧再取一点，连接，，若使得，，求与的数量关系．（用表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． （1）过点作，由平行线的传递性得，由平行线的性质得，，进而可得； （2）由（1）得，然后结合邻补角的定义可得； （3）由（1）（2）知，，结合，可证结论成立； 【详解】（1），理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， ． （2）， 理由如下： 如图3，由（1）得， ， ． 故答案为：； （3） 理由如下： 如图4，由（1）（2）知， ∴ ， 26．已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)如图，当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)，见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． （1）过作，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）不成立，画出图形，根据平行线的性质和三角形外角性质求出即可． 【详解】（1）解：， 证明：过作， ， ， ，， ， 即； （2）不成立， 有两种情况： ①如图2，当点P在的延长线上时，此时， 理由是：， ， ， ； ②如图3，当点P在的延长线上时，此时， 理由是：， ， ， ． 27．如图，已知，点E，F分别为之间的点． (1)如图1，若，求的度数； (2)若，． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知平分，平分，反向延长FG交EP于点P，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①∠F−∠E的度数是是定值，；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． （1）过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题； （2）①如图, 过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论； ②如图，平分，平分，可得 ，由三角形的内角和定理可得，结合① 得: ，从而可得． 【详解】（1）过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）①，是定值，理由如下： 如图, 过作，过作， ∵， ∴，而， ∴，，， ∴； ②如图, ∵平分，平分， ， ， ∵由①得: ， ． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$