专题08 因式分解（5题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题08 因式分解 1因式分解的概念 概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】 （1） 因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 2 提取公因式法 1、公因式 概念：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【注意】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母 是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2、提公因式法 概念：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【注意】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式 后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3公式法——平方差公式 1、概念：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积， 即： 【注意】 （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的 和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 2、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 3、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 4 公式法——完全平方公式 1、概念：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方。 即， 形如，的式子叫做完全平方式。 【注意】 （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2。右 边是两数的和（或差）的平方。 （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件。 （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式。 2、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 3、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 5 十字相乘法 1、概念：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【注意】 （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 2、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【注意】 （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 6 分组分解法 概念：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【注意】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 压轴题型一：提公因式法和公式法进行因式分解 √满分技法 一．提取公因式法 1、公因式 概念：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【注意】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母 是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2、提公因式法 概念：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【注意】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式 后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 二．公式法——完全平方公式 1、概念：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方。 即， 形如，的式子叫做完全平方式。 【注意】 （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2。右 边是两数的和（或差）的平方。 （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件。 （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式。 2、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 3、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 1．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)计算：． 2．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 3．已知，且，求证：． 4．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题． (1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数； (2)分解因式：； (3)已知实数，满足，求的最小值． 压轴题型二：十字相乘法 √满分技法 十字相乘法 1、概念：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【注意】 （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 2、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【注意】 （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 5．求方程的整数解． 6．当为何值时，多项式可以分解为两个关于，的一次三项式的乘积？ 7．(1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 8．阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 压轴题型三：分组分解法 √满分技法 分组分解法 概念：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【注意】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 9．若为实数且满足，，求的最小值． 10．（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 11．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 12．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 压轴题型四：因式分解在有理数简算中的应用 √满分技法 此类题型主要利用平方差公式和完全平方公式进行运算，熟练掌握平方差和完全平方式。 13．简便计算： (1)； (2) 14．简便计算： (1) (2) 15．（1）利用因式分解计算： （2）分解因式： 16．计算题 (1)； (2)20212﹣4040×2021+20202； (3)99×101； (4)（1）（1）（1）（1）…（1）． 压轴题型五：因式分解有关的最值问题 √满分技法 因式分解的最值问题主要是完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，主要分类两大类，二次项系数为1和不为1： 当二次项系数为1的时候，直接对式子进行配方，化为（x＋m）²＋n的形式，即当x＝m时，最小值为n; 当二次项系数不为1的时候，先将二次项系数提出来，对括号里的式子进行配方，化为a（x＋m）²＋n的形式，即当x＝m时，最值为n，但此时要注意当二次项系数为负数时，最值的最大值，为正数时，最值为最小值。 17．请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：；，则当时，有最小值，最小值是－8． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数_____； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 18．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如． ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 19．阅读材料：将多项式因式分解． 原式 ． 这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用．比如在上述解题过程中， ∵ ∴ 即的最小值是 请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值； 20．因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 1．因式分解：． 2．已知，，求代数式的值． 3．因式分解．小梅因式分解后，在代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下表是她的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 任务： 小梅的解法： ① ② ③ 小梅的检验：当，时， ， 因式分解错误． (1)小梅的解答是从第______步开始出错的（填序号），错误的原因是：________． (2)请尝试写出正确的因式分解过程，并用适当的方法检验． 4． 计算：． 5．【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 6．阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，，满足，试判断的形状． 7．阅读材料：根据代数式的特征进行如下变形后可将其因式分解． 例如： 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； 【拓展】（1）把代数式因式分解； （2）当时，求出的值． 8．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 9．阅读题． 材料一：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，，，，则都是“完美数”；再如，，（是整数），所以也是“完美数”． 材料二：任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且）．如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定．例如，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有． 请解答下列问题： (1)8　　　．（填写“是”或“不是”）一个完美数，　　　　． (2)如果和都是“完美数”，试说明也是“完美数”． 10．要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有：．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法”解决下列问题： (1)分解因式：． (2)当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？ (3)若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 因式分解 1因式分解的概念 概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】 （1） 因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 2 提取公因式法 1、公因式 概念：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【注意】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母 是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2、提公因式法 概念：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【注意】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式 后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3公式法——平方差公式 1、概念：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积， 即： 【注意】 （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的 和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 2、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 3、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 4 公式法——完全平方公式 1、概念：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方。 即， 形如，的式子叫做完全平方式。 【注意】 （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2。右 边是两数的和（或差）的平方。 （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件。 （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式。 2、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 3、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 5 十字相乘法 1、概念：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【注意】 （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 2、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【注意】 （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 6 分组分解法 概念：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【注意】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 压轴题型一：提公因式法和公式法进行因式分解 √满分技法 一．提取公因式法 1、公因式 概念：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【注意】 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母 是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2、提公因式法 概念：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【注意】 （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式 后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 二．公式法——完全平方公式 1、概念：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方。 即， 形如，的式子叫做完全平方式。 【注意】 （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2。右 边是两数的和（或差）的平方。 （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件。 （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式。 2、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 3、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 1．分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4)85 【分析】本题主要考查了因式分解、因式分解的应用，灵活运用因式分解的方法是解题关键． （1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）利用分组分解法进行因式分解即可； （4）先利用公式法分解和，从而可得的值，最后再代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：， ， ， ， ∴ ． 2．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整体代入得出答案即可． 此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 当，时，原式． 3．已知，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】展开，因式分解，后运用不等式的性质计算即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，不等式组的解集，熟练掌握因式分解，灵活运用不等式的性质是解题的关键． 4．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题． (1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数； (2)分解因式：； (3)已知实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答； （2）先利用配方法再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）先表示出，再表示出，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： = =， ∵，， ∴x，y取任何实数时，多项式的值总为正数； （2）解： = = =； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴当a=2时，a+b有最小值为1， ∴a+b的最小值为1． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式即平方差公式是解答此题的关键． 压轴题型二：十字相乘法 √满分技法 十字相乘法 1、概念：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 【注意】 （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 2、首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 【注意】 （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 5．求方程的整数解． 【答案】或或或； 【分析】本题考查了非一次不定方程（组）中方程整数解的求法，因式分解，二元一次方程组的解法，先把方程化为，然后提取公因式，再根据为整数，转化为二元一次方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】原方程可化为：， 即， ∵为整数 ∴或或或， 解得或或或． 6．当为何值时，多项式可以分解为两个关于，的一次三项式的乘积？ 【答案】或 【分析】先将项和常数项进行十字分解，设出两个因式，两式相乘与原式比较，列出方程求解即可． 【详解】解：利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式中三项应当分解为：， 现在要考虑，只须先改写作， 然后根据，这两项，即可断定是：， 解得：，或，， 又， 当，时，， 当，时，． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，十字相乘法分解因式，熟练掌握知识点是解题的关键． 7． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)；43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． 【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以． 故答案为：． （2）①把二次项系数2写成，，满足，所以． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以． 故答案为：． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． 8．阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2 【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可； （2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可； ②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可． 【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）； （2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16， A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2， 所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2； ②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3， 即B2-2B-3=（B-3）（B+1） =（m2-2m-3）（m2-2m+1） =（m-3）（m+1）（m-1）2， 所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2． 【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 压轴题型三：分组分解法 √满分技法 分组分解法 概念：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【注意】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 9．若为实数且满足，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，非负数的性质，先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值，掌握分组分解法和整体代入法是解题的关键． 【详解】解：由题得，， ∴ ， ， ， ∴，， ∴，当且仅当时取等号， 经检验当时满足， 的最小值为． 10．（1）若，则的值是　　； （2）分解因式： ①； ②； （3）若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）或 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，多项式乘以多项式，代数式求值： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而得到，据此求出a、b的值，再代值计算即可； （2）①先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；②先分组得到，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）设，则可推出，则，即，根据都是整数，，得到或或或，据此求出m、n的值，即可求出a的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）∵能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴可设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或或或， ∴或或或， ∴或， 解得或． 11．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】(1)； (2)①；②，． 【分析】（）根据因式分解分组分解法分解即可； （）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可； 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 12．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 【答案】(1) (2) (3)S的最小值为6 【分析】本题考查了分组分解法因式分解，完全平方的非负性质，整体代入是解题的关键． （1）根据题意分组分解即可； （2）将变形为，再按照分组分解法可得，根据a，都是正整可求出a、b的值，进而可求出的值； （3）先由得，然后整体代入S中得，再将S分组，然后转化成，根据完全平方的非负性，即可求出S的最小值． 【详解】（1） ； （2）由得， ， ， ， ， ， ， ，， 解得，， ； （3）由得， ， ， ，， ， 当，时， ， ∴S的最小值为6． 压轴题型四：因式分解在有理数简算中的应用 √满分技法 此类题型主要利用平方差公式和完全平方公式进行运算，熟练掌握平方差和完全平方式。 13．简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行变形进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（1）利用因式分解计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题的关键． （1）提取公因式，再进行计算即可； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式即可进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．计算题 (1)； (2)20212﹣4040×2021+20202； (3)99×101； (4)（1）（1）（1）（1）…（1）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据零次幂， 化简绝对值，负整数指数幂，有理数的乘方运算进行计算； （2）根据完全平方公式进行简便运算； （3）根据平方差公式进行简便运算； （4）根据平方差公式进行简便运算即可求解． 【详解】（1）解：原式＝ ； （2）解：原式＝ ； （3）解：原式＝ ； （4）解：原式＝ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，负指数幂，零次幂，正确的计算是解题的关键． 压轴题型五：因式分解有关的最值问题 √满分技法 因式分解的最值问题主要是完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，主要分类两大类，二次项系数为1和不为1： 当二次项系数为1的时候，直接对式子进行配方，化为（x＋m）²＋n的形式，即当x＝m时，最小值为n; 当二次项系数不为1的时候，先将二次项系数提出来，对括号里的式子进行配方，化为a（x＋m）²＋n的形式，即当x＝m时，最值为n，但此时要注意当二次项系数为负数时，最值的最大值，为正数时，最值为最小值。 17．请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：；，则当时，有最小值，最小值是－8． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数_____； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1)4 (2) (3)当时，有最大值，最大值是5 【分析】本题考查完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）先将配方得，然后根据是一个完全平方式得，由此即可得出的值； （2）先配成完全平方，再用平方差公式分解； （3）先配方，再求最值． 【详解】（1）解： ， 是一个完全平方式， ， ， 故答案为：4； （2）解： （3）解：． ． 当时，有最大值，最大值是5． 18．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如． ． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)12 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）利用配方法，结合平方差公式法进行因式分解即可； （2）利用配方法以及完全平方的非负性，进行求解即可； （3）移项后，利用配方法以及完全平方的非负性，求出的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：； （2） ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 19．阅读材料：将多项式因式分解． 原式 ． 这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用．比如在上述解题过程中， ∵ ∴ 即的最小值是 请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值； 【答案】(1)； (2)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解的应用； （1）加一次项系数的一半的平方即可； （2）仿照例题进行配方，分解因式并求最小值 【详解】（1）∵， ∴常数项为25， 故答案为：25； （2） ， ∵， ∴的最小值为 20．因式分解： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解：___________； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故答案为：； （2） ， ， ， （3）， ， ， ， ， ， ， 当时，最小值为． 1．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法继续分解因式即可． 【详解】解； ． 2．已知，，求代数式的值． 【答案】42 【分析】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式及整体代入思想是解题的关键． 根据完全平方公式、提取公因式把原式化简，整体代入计算，得到答案． 【详解】解： 将，，代入得： ， ． 3．因式分解．小梅因式分解后，在代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下表是她的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 任务： 小梅的解法： ① ② ③ 小梅的检验：当，时， ， 因式分解错误． (1)小梅的解答是从第______步开始出错的（填序号），错误的原因是：________． (2)请尝试写出正确的因式分解过程，并用适当的方法检验． 【答案】(1)①；去负括号时，括号里的第二项没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据去括号法则进行判断； （2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解． 【详解】（1）解：小梅的解答是从第①步开始出错的，错误的原因是去负括号时，括号里的第二项没有变号； 故答案为：①，去负括号时，括号里的第二项没有变号； （2）解：， ， ， ， 检验：当，时，，， ， 因式分解正确． 4．计算：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式因式分解把原式化为 ，再利用有理数的运算法则进行计算即可求解. 【详解】解：         =        =       =． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式把原式化简是解决问题的关键. 5．【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据结合题意分解因式即可； （2）把分解成两个整数的乘积形式，再根据题意可得的结果等于分解成的两个整数的和，据此建立方程求解即可； （3）把看做一个整体，再仿照题意因式分解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）； （3） ． 6．阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）应用分组分解法直接分解因式即可； （2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解：的三边长，，满足， ， ， ， ， ． 是等腰三角形． 7．阅读材料：根据代数式的特征进行如下变形后可将其因式分解． 例如： 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； 【拓展】（1）把代数式因式分解； （2）当时，求出的值． 【答案】【探究】； 【拓展】；或． 【分析】本题主要考查了因式分解、因式分解法解一元二次方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，利用材料中提供的思路解题． 【探究】读懂材料中的解题思路，根据材料中的解题思路先配方，配成完全平方公式，把多项式中的一部分利用完全平方公式分解因式，然后再利用平方差公式继续分解因式； 【拓展】仿照材料中的解题思路分解因式即可； 根据中分解因式的解果可知，把二元二次方程转化为两个二元一次方程，从而可求的值． 【详解】【探究】解： ； 【拓展】解： ； ， ， 或， 由可得：， 由可得：， 或． 8．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 9．阅读题． 材料一：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，，，，则都是“完美数”；再如，，（是整数），所以也是“完美数”． 材料二：任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且）．如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定．例如，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有． 请解答下列问题： (1)8　　　．（填写“是”或“不是”）一个完美数，　　　　． (2)如果和都是“完美数”，试说明也是“完美数”． 【答案】(1)是， (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和分解因式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义和最佳分解的定义可得； （2）根据完全平方公式配方变形，可证明是“完美数”； 【详解】（1）∵ ∴8是完美数， ， ； （2）设，，其中a，b，c，d均为整数， 则 ∵a，b，c，d均为整数 ∴与也是整数，即是“完美数”． 10．要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有：．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法”解决下列问题： (1)分解因式：． (2)当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？ (3)若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，最小值为 (3)时直角三角形 【分析】本题考查配方法，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题． （1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式； （2）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后求最值； （3）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理可以确定三角形的形状； 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴当时，有最小值，最小值为； （3）解：， ， 解得：，，， ∵， ∴时直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$