专题07 平方差公式和完全平方式（6题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（沪科版2024）

专题07 平方差公式和完全平方式 1平方差公式及其推导和变形 （1）平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （2） 公式的推导 用多项式的乘法推导平方差公式-代数法 ②借助几何图形推导平方差公式-几何法 图中有两个边长分别是a,b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a²-b²,下方的长方形移动位置后，拼得一个长为(a+ b)，宽为 (a-b)的长方形，其面积为 ( a+ b) ( a-b) ,从而得到 (a+ b) (a-b)=a²-b²。 【注意】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式； （3）公式的变形 ①位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 ②系数变化：如 ③指数变化：如 ④符号变化：如 ⑤增项变化：如 ⑥增因式变化：如 2 完全平方公式及其推导与变形 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. （2）公式的推导 ①用多项式乘法公式推导完全平方公式-代数法 ②借助几何图形推导完全平方公式-几何法 边长为(a+b)的正方形的面积是(a+b)²,它的面积还可以视为两个小正方形、两个小长方形面积的和，即a²+b²+ab+ab=a²+2ab+b²所以(a+b)²=a²+2ab+b²。 边长为(a-b)的正方形的面积是(a-b)²,它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形的面积和，即a²-[ab+b(a-b) ] = a²-(ab+ba-b²)=a2-2ab+=a2-2ab+b²。. 【注意】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。 （3）公式的变形 压轴题型一：运用平方差公式进行运算 √满分技法 平方差公式： 公式的变形 ①位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 ②系数变化：如 ③指数变化：如 ④符号变化：如 ⑤增项变化：如 ⑥增因式变化：如 1．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 2．定义：，例如，．求的值． 3．由计算下题：． 4．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 压轴题型二：运用平方差公式进行运算 5． 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ 以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 6．《中华人民共和国体育法》规定：国家优先发展青少年和学校体育，坚持体育和教育融合，文化学习和体育锻炼协调，体魄与人格并重，促进青少年全面发展．某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上，修建一块边长为的正方形体能训练基地和一块长为，宽为的长方形羽毛球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化．    (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）； (2)当，时，求绿化部分的面积． 7．王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解： ，，，． 聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程． (1)若，求证：； (2)若，求和的值． 8．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 ……… 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）； （ⅱ）； (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数，则_______为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故，不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容． 压轴题型三：通过对完全平方公式变形求值 √满分技法 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 公式的变形 9．在学习整式乘法时，教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式．这样，我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象．如图1，将边长的正方形分别用两个边长分别为，的正方形①②（阴影部分）和两个长方形③④拼接而成．观察图形，解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示图1中边长的正方形的面积．你能用图1中正方形的面积表示吗？请把结论写出来． (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值． ②如图2是由3个正方形、、和1个长方形拼接而成，若，，长方形的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为，，求的值． 10．在练习第十四章时，有下面一幅图： (1)请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积． 方法1：____________（直接计算）；方法2：_______________（间接求差）； (2)由（1）可以确定代数式：之间的等量关系为_______________； (3)①若，求ab的值； ②若，求和的结果． 11．人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．张老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ， ， ． ， ． ，． ，， ． 根据你的观察，请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 12．【知识扩展】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【问题发现】 （1）图1是由四个完全相同的小长方形和一个小正方形拼成的一个大正方形（不重叠无缝隙），观察图形，可知它所对应的公式为_______________，（含、的式子表示） 【问题解决】 （2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，而面积为5，求的值； 【拓展延伸】 （3） 将正方形与正方形如图3摆放（点、、在同一直线上，点、、也在同一直线上），当正方形与正方形的面积和为52，时，求图中阴影部分的面积． 压轴题型四：求完全平方公式中字母系数 13．我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．例如：；．当时，有最小值，最小值是．根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)当为何值时，多项式有最大值？请求出这个最大值； (3)已知，求出的值． 14．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．周老师布置了一道思维拓展题：代数式 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宸的解题步骤如下： ∴当时，数式的最小值是4，此时 小宸的解法及结果得到了周老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)若是一个完全平方式，则k的值等于 ； (2)求代数式的最小值，并求此时x的值； (3)对于任意实数x、y，若多项式的最小值为2，求m的值． 15．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ； （2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系： ①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ； ②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值． 16．阅读与思考 用配方法求二次三项式的最值 我们通常把和称为完全平方式，且它们的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如： 求代数式的最小值． 解：． ， ． 的最小值为． (1)以上解答过程中，主要体现的数学思想是__________． A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 (2)已知，则__________，__________． (3)请说明代数式的值是正数． 压轴题型五：平方差公式与几何图形 √满分技法 利用平方差公式的特征，结合图形和式子，利用平方差公式进行化简计算和求值。 17．某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． (2)若，，求的值； (3)计算：． 18．如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 19．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______． (2)小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：_______（直接写出结果即可）． (3)运用以上规律计算． 20．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 压轴题型六：完全平方公式在几何图形中的应用 √满分技法 利用完全平方公式的特征，结合图形和式子特征进行化简和求值，主要利用整体思想，利用公式的特性进行计算。 21．数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1______；图2______； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积； 【知识迁移】 （4）若，则______．（直接写出结果） 22．【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，， 则，， 【解决问题】 (1)若满足，则_____； (2)若满足，求的值； (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、正方形，求阴影部分的面积． 23．用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… (1)直接写出第2025个等式； (2)用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； (3)根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 24．[阅读材料]我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，内种纸片两张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式． (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 1．计算题： (1)； (2)．（用简便方法计算） 2．【问题提出】妹妹：“哥哥，我有一种快速算出的方法，先用，再加上25，得到结果是5625．”妹妹的话引发了哥哥的兴趣．他通过查阅资料，围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动． 【活动1】 阅读材料：用表示一个两位数，a代表十位上的数，b代表个位上的数，即． 观察思考：请观察下列运算规律 ， ， ， …… （1）根据阅读材料，可知：______； （2）观察运算规律，猜想：； 【推理证明】 （3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想． 【活动2】 （4）如果，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算的方法，并证明你的结论． 3．如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长为的大正方形，两块是边长为的小正方形． (1)这张长方形大铁皮的长为______，宽为______；（用含a，b的代数式表示） (2)求这张长方形大铁皮的面积S（用含a，b的代数式表示）； (3)若一个小长方形铁皮的周长为，一个大正方形铁皮与一个小正方形铁皮的面积之和为，求这张长方形大铁皮的面积S． 4．很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，计算公式都是死记硬背．为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为、宽为的小长方形（如图①），拼成了一个边长为的正方形（如图②）．观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是______________； (2)观察图①②，请你写出三个代数式：，，之间的关系______________； (3)应用：已知，求值： ①； ②． 5．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定． (1)填空：对于有理数x，k，若，则_______； (2)对于有理数x，y，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，点E在边上，连接，．若，，，，求图中阴影部分的面积． 6．（1）【知识再现】完全平方公式：或，我们把式子和分别叫做和的完全平方式和差的完全平方式，统称完全平方式．如果式子是完全平方式，那么______； （2）【知识迁移】 ______； （3）【知识运用】 ①求式子的最小值； ②若，求的值． 7．【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 8．乘法公式的探究与运用： (1)如图①，边长为a的大长方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是________；（写成两数平方差的形式） (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是________，宽是________，面积是________；（写成多项式乘法的形式） (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：________； (4)运用你得到的公式计算：； (5)若，，则的值为________． 9．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以根据面积相等得到公式：． (1)利用公式解答下列两个问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． (2)如图2，四边形的对角线与相交于点O，已知，，，若，，求的面积． 10成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且已知，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平方差公式和完全平方式 1平方差公式及其推导和变形 （1）平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （2） 公式的推导 用多项式的乘法推导平方差公式-代数法 ②借助几何图形推导平方差公式-几何法 图中有两个边长分别是a,b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a²-b²,下方的长方形移动位置后，拼得一个长为(a+ b)，宽为 (a-b)的长方形，其面积为 ( a+ b) ( a-b) ,从而得到 (a+ b) (a-b)=a²-b²。 【注意】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式； （3）公式的变形 ①位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 ②系数变化：如 ③指数变化：如 ④符号变化：如 ⑤增项变化：如 ⑥增因式变化：如 2 完全平方公式及其推导与变形 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. （2）公式的推导 ①用多项式乘法公式推导完全平方公式-代数法 ②借助几何图形推导完全平方公式-几何法 边长为(a+b)的正方形的面积是(a+b)²,它的面积还可以视为两个小正方形、两个小长方形面积的和，即a²+b²+ab+ab=a²+2ab+b²所以(a+b)²=a²+2ab+b²。 边长为(a-b)的正方形的面积是(a-b)²,它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形的面积和，即a²-[ab+b(a-b) ] = a²-(ab+ba-b²)=a2-2ab+=a2-2ab+b²。. 【注意】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。 （3）公式的变形 压轴题型一：运用平方差公式进行运算 √满分技法 平方差公式： 公式的变形 ①位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 ②系数变化：如 ③指数变化：如 ④符号变化：如 ⑤增项变化：如 ⑥增因式变化：如 1．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4 (2) (3)1 【分析】本题考查了简便运算，解题的关键是掌握平方差公式． （1）将式子运用平方差公式进行变形，结合零指数幂即可得； （2）先将前两项运用平方差公式进行变形，计算得出结果后再运用平方差公式进行变形计算即可得； （3）运用平方差公式进行变形计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．定义：，例如，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键． 根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴的值为． 3．由计算下题：． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，利用平方差公式将原式变形为，计算即可得解，熟练掌握平方差公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 4．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）12；（2）；【拓展】 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式解决问题． 探究：利用两个面积相等列式即可； 应用：①利用探究中的公式计算即可；②利用探究中的公式计算即可； 拓展：算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】解：探究：图①中的阴影面积为；图②的面积为； 这两个面积相等，所以， 故答案为：． 应用：①根据探究的公式可得，； 因为，， 所以 故答案为：12； ②原式． 拓展：原式 ． 压轴题型二：运用平方差公式进行运算 5． 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ 以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律． (1)请根据发现的规律尝试直接写出的计算结果： ． (2)有了以上的经验，我们可以进一步探究式子（n为大于1的正整数）计算结果的次数和系数的规律： i）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写） ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)i）n；；ii） 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、列代数式及多项式，能根据题意得出各式计算结果的系数变化规律是解题的关键． （1）根据所给式子，观察其各项系数，发现规律即可解决问题． （2）①根据所给式子，观察计算结果分别为几次几项式，发现规律即可解决问题． ②分别求出所给式子计算结果的各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为：1，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，2，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，3，3，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，4，6，4，1； 由此可知，计算结果中的各项系数依次为：1，5，10，10，5，1， 即． 故答案为：． （2）解：i）由题知， 计算结果是一个一次二项式； 计算结果中是一个二次三项式； 计算结果中是一个三次四项式； 计算结果是一个四次五项式； …， 所以计算结果是一个n次项式． 故答案为：n，． ii）计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； …， 所以计算结果各项系数之和为． 故答案为：． 6．《中华人民共和国体育法》规定：国家优先发展青少年和学校体育，坚持体育和教育融合，文化学习和体育锻炼协调，体魄与人格并重，促进青少年全面发展．某校计划在一块长为，宽为的长方形空地上，修建一块边长为的正方形体能训练基地和一块长为，宽为的长方形羽毛球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化．    (1)求绿化部分的面积（用含，的代数式表示）； (2)当，时，求绿化部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式运算的实际应用，代数式求值： （1）用大长方形的面积减去正方形的面积减去小长方形的面积，求解即可； （2）把，代入（1）中的结果，进行计算即可． 【详解】（1）解：绿化部分面积为： ； （2）解：当，时， 原式． 答：绿化面积为． 7．王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题． 例：若，求和的值． 解： ，，，． 聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程． (1)若，求证：； (2)若，求和的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是通过对已知等式进行变形，使其符合完全平方公式的形式，进而求解． （1）通过对已知等式进行变形，凑出完全平方的形式，利用完全平方数的非负性来证明结论； （2）同样先对等式变形为完全平方形式，利用完全平方数的非负性求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ． （2）解：， ， 则， 所以 解得，． 8．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 ……… 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）； （ⅱ）； (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数，则_______为4的倍数．而不是4的倍数，矛盾．故，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故，不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（ⅰ），；（ⅱ）12，11 (2) 【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式． （1）（ⅰ）推导出规律可知； （ⅱ）根据表中规律进行计算即可； （2）利用平方差公式因式分解即可得到答案．． 【详解】（1）解：（i）∵， ， ， ， ， ∴， 故答案为：，； （ⅱ）由表中推导的规律可知， 故答案为：12，11； （2）解： ， 故答案为：． 压轴题型三：通过对完全平方公式变形求值 √满分技法 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 公式的变形 9．在学习整式乘法时，教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式．这样，我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象．如图1，将边长的正方形分别用两个边长分别为，的正方形①②（阴影部分）和两个长方形③④拼接而成．观察图形，解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示图1中边长的正方形的面积．你能用图1中正方形的面积表示吗？请把结论写出来． (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值． ②如图2是由3个正方形、、和1个长方形拼接而成，若，，长方形的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为，，求的值． 【答案】(1)见解析， (2)①；②34 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，利用完全平方公式变形求解： （1）利用正方形的面积公式以及分割法求正方形的面积，两种方法进行求解即可； （2）①设，，利用（1）中结论进行求解即可；②设正方形、的边长分别为，，根据题意结合完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：方法一，大正方形面积为； 方法二，； ①②小正方形面积分别为，， ③④部分的面积都为， ∴， ∴； （2）①由已知得， 设，， 则有，， ∴， ∴ ②设正方形、的边长分别为，， 由题意， ∵，，，， 由正方形得，即， 由（1）得， ∴． 10．在练习第十四章时，有下面一幅图： (1)请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积． 方法1：____________（直接计算）；方法2：_______________（间接求差）； (2)由（1）可以确定代数式：之间的等量关系为_______________； (3)①若，求ab的值； ②若，求和的结果． 【答案】(1)， (2) (3)①3；②； 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是用不同的代数式表示阴影部分的面积． （1）方法1；两个阴影部分的面积和就是边长为的正方形，与边长为的正方形的面积和，即；方法2：从边长为的正方形面积中减去两个长为，宽为的长方形面积即可； （2）由（1）可得，，之间的等量关系； （3）①利用（2）中的关系进行计算即可；②设，，则，，由（2）中的关系进行计算，即即可，再求解，结合即可得的值． 【详解】（1）解：方法1：两个阴影部分的面积和就是边长为的正方形，与边长为的正方形的面积和，即； 方法2：两个阴影部分的面积和也可以看作从边长为的正方形面积中减去两个长为，宽为的长方形面积，即； （2）解：由（1）得，； （3）解：①∵， ， ∵， ， 即； ②∵， 设，，则， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 11．人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．张老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ， ， ． ， ． ，． ，， ． 根据你的观察，请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)14 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． （1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值； （2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，化简后即可求出值． 【详解】（1）解：把两边平方，得， 化简，得， 将代入得，解得； （2）解： ， ， ． 12．【知识扩展】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【问题发现】 （1）图1是由四个完全相同的小长方形和一个小正方形拼成的一个大正方形（不重叠无缝隙），观察图形，可知它所对应的公式为_______________，（含、的式子表示） 【问题解决】 （2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，而面积为5，求的值； 【拓展延伸】 （3）将正方形与正方形如图3摆放（点、、在同一直线上，点、、也在同一直线上），当正方形与正方形的面积和为52，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）26；（3）10 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式在几何中的应用是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个长方形的面积的和求解即可； （2）先根据长方形的周长和面积得出，，然后化简整式，并代入求值即可； （3）设正方形与正方形的变成分别为a，b，则，，利用完全平方公式的变形可求，，然后利用求解即可． 【详解】解：（1）． （2）边长为，的长方形的周长为12，而面积为5， ，， ， ， ． 的值为26． （3）如图，延长交于点， 设正方形与正方形的边长分别为、， 由正方形与正方形的面积和为52，， 得，， ， ． ． ， ， 图中阴影部分的面积为10． 压轴题型四：求完全平方公式中字母系数 13．我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．例如：；．当时，有最小值，最小值是．根据材料用配方法解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数______； (2)当为何值时，多项式有最大值？请求出这个最大值； (3)已知，求出的值． 【答案】(1)4 (2)当时，有最大值，最大值是 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据完全平方公式可得，由此即可得； （2）利用完全平方公式进行配方可得，再根据是非负数求解即可得； （3）利用完全平方公式可得，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为5． （3）解： ， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，． 14．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．周老师布置了一道思维拓展题：代数式 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宸的解题步骤如下： ∴当时，数式的最小值是4，此时 小宸的解法及结果得到了周老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)若是一个完全平方式，则k的值等于 ； (2)求代数式的最小值，并求此时x的值； (3)对于任意实数x、y，若多项式的最小值为2，求m的值． 【答案】(1)4 (2)最小值为2，此时 (3) 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特点解答即可； （2）根据题目提供的方法配方成完全平方公式，然后根据偶次方的非负性即可得答案． （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式，根据偶次方的非负性几何多项式的最小值为2，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：4； （2） 当时，代数式有最小值是2， 此时； （3） 依题意得， ． 15．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ； （2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系： ①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ； ②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值． 【答案】（1），，；（2）①；② 【分析】此题考查了完全平方式，列代数式． （1）利用完全平方公式分解即可； （2）①观察各式的特征，得到，，之间的关系即可； ②根据①得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：，，； （2）①若多项式是完全平方式，则实数系数，，一定存在某种关系为； 故答案为：； ②∵多项式是一个完全平方式， ∴， 解得：． 16．阅读与思考 用配方法求二次三项式的最值 我们通常把和称为完全平方式，且它们的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如： 求代数式的最小值． 解：． ， ． 的最小值为． (1)以上解答过程中，主要体现的数学思想是__________． A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 (2)已知，则__________，__________． (3)请说明代数式的值是正数． 【答案】(1)B (2)； (3)理由见解析 【分析】本题考查完全平方式，完全平方公式的应用，平方的非负性， （1）将多项式的最小值问题转化为利用平方的非负性解决问题； （2）将已知等式化为，可得结论； （3）将转化为，再根据平方的非负性可得结论； 正确理解完全平方式及非负数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：以上解答过程中，主要体现的数学思想是转化思想， 故选：B； （2）∵， ∴， ∴，， 故答案为：；； （3）∵ ， 又∵ ∴， ∴代数式的值是正数． 压轴题型五：平方差公式与几何图形 √满分技法 利用平方差公式的特征，结合图形和式子，利用平方差公式进行化简计算和求值。 17．某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是_____________；（请选择正确的选项） A．    B． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2)； (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：B； （2）解：∵，即，而， ∴； （3）解： ． 18．如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解； ②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：∵图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是． 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 19．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______． (2)小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：_______（直接写出结果即可）． (3)运用以上规律计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用不同的方法用代数式表示阴影部分的面积是得出公式的前提，配上适当的因式利用平方差公式是正确解答的关键． （1）用两种方法部分用代数式表示阴影部分的面积即可； （2）先在式子前面乘以，再连续使用平方差公式即可得出答案； （3）先在式子前面乘以，再连续使用平方差公式即可得出答案； 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 可以验证的等式是， 故答案为：； （2）解：原式， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：原式， ， ， ， ， ． 20．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 【详解】（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：3． （3）解：原式 ． 压轴题型六：完全平方公式在几何图形中的应用 √满分技法 利用完全平方公式的特征，结合图形和式子特征进行化简和求值，主要利用整体思想，利用公式的特性进行计算。 21．数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1______；图2______； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积； 【知识迁移】 （4）若，则______．（直接写出结果） 【答案】（1），；（2）；（3）4；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据图形的阴影部分可直接进行求解； （2）根据图中所给阴影部分面积可直接进行求解； （3）设，则有，然后根据完全平方公式可进行求解； （4）由题意易得，然后根据整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图1可知满足的乘法公式为；由图2可知满足的乘法公式为； 故答案为：，； （2）根据图形可知：图中阴影部分的面积为或者， ∴满足的关系式为； （3）由可设，则， ∴， ∵两正方形的面积和为20，即， ∴， ∴， ∴； （4）由题意可知：， ∴ ∵， ∴； 故答案为：13． 22．【阅读理解】若满足，求的值． 解：设，， 则，， 【解决问题】 (1)若满足，则_____； (2)若满足，求的值； (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了应用新运算解决问题，掌握完全平方公式的意义，利用公式进行适当的变形是解决问题的关键． （1）设，则，结合，再由完全平方公式的变形计算，即可求解； （2），则，结合，再由完全平方公式的变形计算，即可求解； （3）根据题意得：正方形的边长为，正方形的边长为，再由长方形的面积是48，可得，设，则，可得，再利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 因为 所以； （2）解：设，则， 因为 所以； （3）解：由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为，因为长方形的面积是48，即， 设，则， 所以， 即， 所以阴影部分的面积为， 即阴影部分的面积为28． 23．用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… (1)直接写出第2025个等式； (2)用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； (3)根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 【答案】(1) (2)用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式为，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的乘法，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给的式子即可得解； （2）根据题干所给的式子得出规律即可； （3）根据（2）中的式子将正方形进行分割，再重新拼接即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：第2025个等式为； （2）解：由题意可得：用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式为， 左边，右边， ∴左边右边； （3）解：如图所示： ． 24．[阅读材料]我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，内种纸片两张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式． (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)理解应用：； (2)拓展升华：①；②2 【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键． 理解应用：图中阴影部分面积大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积两个正方形的面积的和，即可得到等式； 拓展升华：①根据拓展升华中的公式，将，，代入即可；②根据拓展升华中的公式，将，且代入即可． 【详解】（1）理解应用：图b中阴影部分的面积= 图b中阴影部分的面积， ∴等式为； （2）拓展升华：①由理解应用可得 当，，时，， 解得； ②∵，且， 根据拓展升华中的等式可得， ∴． 1．计算题： (1)； (2)．（用简便方法计算） 【答案】(1) (2)36 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算． （1）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行简便计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 2．【问题提出】妹妹：“哥哥，我有一种快速算出的方法，先用，再加上25，得到结果是5625．”妹妹的话引发了哥哥的兴趣．他通过查阅资料，围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动． 【活动1】 阅读材料：用表示一个两位数，a代表十位上的数，b代表个位上的数，即． 观察思考：请观察下列运算规律 ， ， ， …… （1）根据阅读材料，可知：______； （2）观察运算规律，猜想：； 【推理证明】 （3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想． 【活动2】 （4）如果，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算的方法，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）（3）证明见解析（4），证明见解析 【分析】本题考查数字类规律探究，完全平方公式： （1）根据两位数的表示方法进行求解即可； （2）利用规律作答即可； （3）利用完全平方公式进行证明即可； （4）类比题干，写出方法，利用多项式乘以多项式的法则，进行证明即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）， ， ∴； （4）； 证明：∵， ∴； ∵， ∴． 3．如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长为的大正方形，两块是边长为的小正方形． (1)这张长方形大铁皮的长为______，宽为______；（用含a，b的代数式表示） (2)求这张长方形大铁皮的面积S（用含a，b的代数式表示）； (3)若一个小长方形铁皮的周长为，一个大正方形铁皮与一个小正方形铁皮的面积之和为，求这张长方形大铁皮的面积S． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式、完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）根据长方形的面积公式结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解； （3）由题意可得，，求出，代入（2）中的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：这张长方形大铁皮的长为，宽为； （2）解：； （3）解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴． 4．很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，计算公式都是死记硬背．为了让学生们能更直观地理解公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为、宽为的小长方形（如图①），拼成了一个边长为的正方形（如图②）．观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是______________； (2)观察图①②，请你写出三个代数式：，，之间的关系______________； (3)应用：已知，求值： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（）表示出阴影部分的边长即可得答案； （）用两种方法表示四个长方形面积可得答案； （）①利用（）所得关系式计算即可求解；②根据①的结果即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵阴影部分是边长为的正方形， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：由图可得，， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴； ②∵， ∴． 5．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定． (1)填空：对于有理数x，k，若，则_______； (2)对于有理数x，y，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，点E在边上，连接，．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①20；②94 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，完全平方式的含义，利用完全平方公式的变形求值，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）由新定义可得，从而可得答案； （2）①由新定义可得：，结合可得，从而可得答案；②先表示；把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）①由题意知． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②由图可知，； ∵， ∴． 6．（1）【知识再现】完全平方公式：或，我们把式子和分别叫做和的完全平方式和差的完全平方式，统称完全平方式．如果式子是完全平方式，那么______； （2）【知识迁移】 ______； （3）【知识运用】 ①求式子的最小值； ②若，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①；② 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，整体代入是解题的关键 （1）根据，即，计算求解即可； （2）根据完全平方公式计算求解即可； （3）①由，，进行求解即可；②由题意得，，根据，代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：； （3）①解：， ∵， ∴， ∴的最小值为； ②解：∵， ∴， ； ∴的值为． 7．【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 8．乘法公式的探究与运用： (1)如图①，边长为a的大长方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是________；（写成两数平方差的形式） (2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是________，宽是________，面积是________；（写成多项式乘法的形式） (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：________； (4)运用你得到的公式计算：； (5)若，，则的值为________． 【答案】(1) (2)，， (3) (4)99.91 (5)5 【分析】本题考查背景了平方差公式的几何背景及其在简算中和代数式求值中的应用． （1）由图形可知长和宽的值，再根据正方形面积公式可得答案； （2）由图形可知长方形的长和宽，根据长方形面积公式可得答案； （3）由（1）（2）结论直接得答案； （4）应用（3）的公式可简算，从而得答案； （5）根据（3）中公式可得，再将代入可得答案． 【详解】（1）解：阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积， 故答案为：； （2）解：长方形的长是，宽是，面积长宽， 故答案为：，，； （3）解：∵图①、图②阴影部分的面积相等 ， 故答案为：； （4）解： ； （5）解：， 故答案为：5． 9．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以根据面积相等得到公式：． (1)利用公式解答下列两个问题： ①若，，求的值； ②若，求的值． (2)如图2，四边形的对角线与相交于点O，已知，，，若，，求的面积． 【答案】(1)①25；②29； (2)． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）①根据代入计算即可； ②设，，根据题意可得，，根据进行计算即可； （2）设，，由题意可得，，根据，求出即可． 【详解】（1）解：①， ； ②设，则， ； （2）解：设，则， ， ， 即， 又， ， 即， ． 10成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且已知，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握公式的变形是解题的关键． （1）根据同一个图形面积的不同表示方法求解； （2）根据（1）中的公式得，再整体代入求解； （3）先把题中的条件进行变形，再整体代入求解． 【详解】（1）解：∵图2中的阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积， ∴； 故答案为：； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为：， ∴图中阴影部分面积为9． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$